挑战满分大题专练（十二）—导数（1）-2021届高三高考数学三轮复习 Word版含解析

挑战满分大题专练（十二）—导数（1）
1．已知函数．
（Ⅰ）已知曲线在点，（1）处的切线方程为，求的值；
（Ⅱ）若存在，，使得，求的取值范围．
解：（Ⅰ）由切线方程为，可得斜率，
因为，，
所以（1），解得．
（Ⅱ）存在，，使得，
当时，成立，，
当，时，即有解，
令，则，
设，，
因为，，所以，单调递减，
所以（1），
所以，所以在，上单调递增，
所以（1），
所以．
综上可得，若存在，，使得，则的取值范围是，．
2．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）当时，证明：．
解：（1），
令，解得：，令，解得：或，
故在递增，在递减，在递增；
（2）证明：，
设函数，则，
令，解得：，令，解得：，
故，则当时，，
设函数，则，
故在，上单调递减，
则（1），即，
故，即，
，
，
又，．
3．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求证：．
解：（1）的定义域是，
，
①当，令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
②当，令，解得：或，令，解得：，
故在递增，在递减，在递增，
③当时，令恒成立，
故在递增，无递减区间，
④当，令，解得：或，令，解得：，
故在递增，在递减，在递增，
综上：当，在递减，在递增，
当，在递增，在递减，在递增，
当时，故在递增，无递减区间，
当，在递增，在递减，在递增；
（2）证明：令，则，
，在上单调递增，
（e），，
设，，则，递增，
，即，
，使得，即，
且当时，，，时，，
在递减，在，递增，
，
设，，
则，
在上单调递减，
，原命题成立．
4．已知函数，，，．
（1）当时，求证：；
（2）若函数有两个零点，求的取值范围．
解：（1）证明：当时，，
则，
，
因为，，
所以，，
因此，
所以在，上单调递增，
于是，
因此在，上单调递增，
所以 ．
（2）由（1）知，当时，，当且仅当时取等号，
此时函数仅有1个零点，
当时，因为，
所以，
，
当，时，，单调递增，
当，时，，
因为，，
所以，所以单调递增，
又，，
因此在，上存在唯一的零点，且．
当时，，所以单调递减，
当，时，，所以单调递增，
又，，，
因此在，上存在唯一的零点，且，，
当时，，所以单调递减，
当，时，，所以单调递增，
又 ， ，，
所以在，上存在唯一零点，
因此在，上有两个零点，
综上，的取值范围是，．
5．已知函数，．
（1）证明：有且仅有一个零点；
（2）当，时，试判断函数是否有最小值？若有，设最小值为（a），求（a）的值域；若没有，请说明理由．
（1）证明：因为，
所以时，，函数无零点；
又因为，
所以，时，，单调递增，
又（1），，，
即（1），
故存在唯一，使，
综上可知，函数有且仅有一个零点．
（2）解：，
，，，，单调递增，
又（1），，
故存在唯一，使，即，
，，单调递减；
，，，单调递增，
因此有最小值，
（a），
令，，，
故单调递减，
进而，（1），，
即（a）的值域为，．
6．已知函数．
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）求函数在，的最小值．
解：（1）当时，，，
又得切点，，
所以切线方程为，即；
（2）法一：，，，，
令，，
由，得，所以在上为单调增函数，
又，
所以在上恒成立，
即，
当时，，知在上为减函数，从而，
当时，，知在上为增函数，从而；
综上，当时；当时．
法二：，，，，
由，得，，，
当时，知在上为减函数，从而，
当时，知在上为增函数，从而，
综上，当时；
当时．