(共45张PPT)
第二章
基本初等函数(Ⅰ)
2.2 对数函数
2．2.2 对数函数及其性质
第1课时
对数函数的概念、图象及性质
1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型．
2．掌握对数函数的图象和性质.
研 习 新 知
新 知 视 界
一、对数函数的概念
1．一般地，我们把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量．
2．对数函数y＝logax的定义域为(0，＋∞)，值域为R.
二、对数函数的图象与性质
思考感悟
函数y＝ax与y＝logax的定义域与值域有什么关系？
提示：y＝ax的定义域为R，值域为(0，＋∞)，y＝logax的定义域为(0，＋∞)，值域为R，即它们的定义域和值域互换．
答案：C
答案：A
解析：由1－lnx≥0得lnx≤1即0
答案：(0，e]
4．函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为________．
解析：∵x≥1，log2x≥0，故y＝2＋log2x≥2.
答案：[2，＋∞)
互 动 课 堂
[点评] 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底数的取值应用单调性．
类型二 对数函数的图象问题
[例2] 已知a>0且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是( )
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①两函数的底数都是a；
②对数函数的真数为－x.
解答本题可先由函数定义域判断函数图象的位置，再对底数a进行讨论，最后确定选项．
[解析] 由y＝loga(－x)的定义域为(－∞，0)知，图象应在y轴左侧，可排除A、D选项．
当a>1时，y＝ax应为增函数，y＝loga(－x)应为减函数，可知B项正确．
而对C项，由图象知y＝ax递减 0[答案] B
[点评] (1)利用函数代数性质寻找图象的几何特征，体现了依数论形的思想方法．
(2)函数y＝logax(a>0且a≠1)的底数变化对图象位置的影响
观察图象，注意变化规律：
①上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图象越靠近x轴，0②左右比较：(比较图象与y＝1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
变式体验2 函数y＝ax与y＝－logax(a>0且a≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )
解析：∵y＝ax与y＝－logax的单调性相反，可排除C、D选项，又y＝－logax中x>0，可排除B.
答案：A
类型三 比较大小问题
[例3] 比较下列各组数的大小：
(1)log2π与log20.9；
(2)log20.3与log0.20.3；
(3)log0.76,0.76与60.7；
(4)log20.4，log30.4；
(5)3log45,2log23.
[分析] 观察各组数的特征，看其是否直接可以利用对数单调性比较大小．
[解] (1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，π>0.9，
所以log2π>log20.9.
(2)由于log20.3log0.21＝0，
所以log20.3(3)因为60.7>60＝1,0<0.76<0.70＝1，
又log0.76所以60.7>0.76>log0.76.
(4)底数不同，但真数相同，根据y＝logax的图象在a>1，x>1时，a越大，图象越靠近x轴，如图3所示，知log30.4>log20.4.
(3)底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较，如y1＝loga1x与y2＝loga2x的比较．
当a1>a2>1时，当x>1时，y1当0y2；
当01时，y1当0y2.
思 悟 升 华
1．对数函数的概念
(1)同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，如y＝2log2x，y＝log2x2等都不是对数函数，只有形如y＝logax(a>0，且a≠1)的函数才是．
(2)由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，值域为(0，＋∞)，再根据对数式与指数式的互化过程知道对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)，它们互为反函数．
2．对数函数的图象
函数y＝logax(a>0且a≠1)的底数变化对图象位置的影响观察图象，注意变化规律：
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图象向右越靠近x轴，0(2)左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
3．在比较对数值大小时要分清底数大于1还是小于1，不同底尽量化为同底；需要时要引入中间量0、1，或用作差(商)法，或结合图象解决．
4．对数函数的性质
要从定义域、值域、单调性、特殊点等几个方面掌握对数函数的性质，理解记忆性质要结合图象，即“看图说话”．
课时作业（19）(共31张PPT)
第二章
基本初等函数(Ⅰ)
2.2 对数函数
2．2.1 对数与对数运算
第1课时 对数
1.理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互化．
2．掌握对数的基本性质及对数恒等式.
研 习 新 知
新 知 视 界
1．对数：如果logaN＝x(a>0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数logaN(a>0，a≠1)具有下列简单性质：
(1)零和负数无对数，即N>0；
(2)1的对数为零，即loga1＝0；
(3)底数的对数等于1，即logaa＝1.
3．常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，记做lgN.
4．自然对数：以无理数e为底的对数称为自然对数，简称为lnN，其中e≈2.71828….
5．对数与指数间的关系：
当a>0，a≠1时，ax＝N x＝logaN.
6．对数式与指数式的关系及相应各数的名称：
式子 名称
a b N
指数式 ab＝N 底数 指数 幂值
对数式 logaN＝b 底数 对数 真数
自 我 检 测
1．ab＝N化为对数式是( )
A．logba＝N B．logaN＝b
C．logNb＝a D．logNa＝b
答案：B
答案：D
3．使对数log(a－2)(7－2a)有意义的a的取值范围是________．
答案：10
互 动 课 堂
[分析] 由对数的定义知，ab＝N b＝logaN.(a>0且a≠1，N>0)
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
(1)、(2)题中对数值是特殊实数0和1；(3)题中底数和真数都含有根式．解答本题可利用对数的基本性质求解．
[解] (1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lgx)＝1，
∴lgx＝31＝3，∴x＝103＝1000.
[点评] 有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值为“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算．
变式体验2 已知log2(log3(log4x))＝log3(log4
(log2y))＝0，求x＋y的值．
解：∵log2(log3(log4x))＝0，
∴log3(log4x)＝1，∴log4x＝3，
∴x＝43＝64.同理可得y＝24＝16.
∴x＋y＝80.
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
指数中含有对数值．
解答本题可使用对数恒等式alogaN＝N来化简求值．
[点评] 要牢记对数恒等式，对于对数恒等式alogaN＝N要注意结构特点：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．
1．对数由指数而来，对数式logaN＝b是由指数式ab＝N而来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N，而对数值b是指数式中的幂指数．对数式与指数式的关系如下图所示．
在指数式ab＝N中，若已知a，N的值，求幂指数b的值，便是对数运算b＝logaN.
图1
2．对数记号logaN只有在a>0，且a≠1，N>0时才有意义．
3．关于对数的几个基本结论要牢记，如：(1)零和负数没有对数；(2)loga1＝0(a>0，a≠1)；(3)logaa＝1(a>0，a≠1)；(4)alogaN＝N(a>0，且a≠1)；(5)注意对数式与指数式的互化．由指数式ab＝N可以写成logaN＝b(a>0，且a≠1)．这是指数式与对数式互化的依据．
课时作业（17）(共40张PPT)
第二章
基本初等函数(Ⅰ)
本章小结
网 络 建 构
知 识 归 纳
6．比较大小问题：应先区分是正还是负，再区分是大于1的数还是小于1的正数，然后分类比较，要注意指数函数与幂函数单调性在应用上的区别，若是同底幂比较大小，则利用指数函数的单调性；若是同指数幂比较大小，则利用幂函数的单调性．
7．准确地掌握对数的运算法则是正确进行对数运算的前提，利用对数运算，可以把乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，从而显示了利用对数运算的优越性．
8．利用换底公式时，应注意选择恰当的底，既要善于“正用”，还要注意它的“逆用”．
9．在比较与鉴别中学习，注意指数与对数运算法则的对比；指数函数与对数函数性质的对比；函数增长快慢的对比．
10．注意数形结合，本章的内容中，图象占有很大的比重，函数的图象在研究函数的性质时起到了很重要的作用，因此在学习中要特别注意利用函数图象，心中不但有“数”，而且还要有“图”．记住某些常见的函数图象的草图，养成利用函数图象来说明函数的性质和分析问题的习惯．
热 点 剖 析
一、指数与对数的运算问题
指数与指数幂的运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，它们既是学习和研究指数函数、对数函数的基础，也是高考必考内容之一，教学中应给予足够的重视．
[点评] (1)对于根式的运算结果，不强求形式的统一，但结果绝不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．(2)指、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据幂对数的运算法则及性质加以解决，在运用法则时要注意法则的逆用．在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化，因此要熟练把握这些运算性质的基本特征：①同底；②“和积”互化．
二、指数函数、对数函数及幂函数的图象与性质
指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的基本初等函数．它们的图象与性质始终是高考考查的重点．由于指数函数y＝ax，对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象与性质都与a的取值有密切的联系，幂函数y＝xα的图象与性质与α的取值有关，a、α变化时，函数的图象与性质也随之改变；因此，在a，α的值不确定时，要对它们进行分类讨论．
[例2] 如下图所示，函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一平面直角坐标系下的图象大致是( )
[答案] C
[例3] 方程a－x＝logax(a>0且a≠1)的实数解的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 本例可用数形结合法画出y＝a－x与y＝logax的图象，观察交点个数，要注意对a分a>1与0当a>1时，在同一坐标系中画出y1＝logax的图象和y2＝a－x的图象如图(1)，由图象知两函数图象只有一个交点；同理，当0[答案] B
[分析] 由指数函数的定义知y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域为x∈R，且y＝ax>0，因此在求函数值域时可由ax>0求y的取值范围．在讨论单调性时，可由定义入手，也可由指数函数单调性入手．
[点评] 求定义域注意表达式中自变量x受限制的条件，求值域灵活掌握、运用换元法、分离常数法、单调性法、数形结合法、判别式法等各种方法．
三、指数函数、对数函数的实际应用
[例7] 某医药研究所开发了一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图3所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病有效的时间．
[分析] 分段求函数的解析式，再利用解析式解决问题．
[点评] 识图、用图是本题求解的第一环节，待定系数法求函数表达式是重要的方法，在求解不等式f(t)≥0.25时，既要运用分段函数的相关知识，同时又要运用好指数函数的性质．(共42张PPT)
第二章
基本初等函数(Ⅰ)
本章学习的三个基本初等函数：指数函数、对数函数和幂函数将为你解开谜底．
第一节是指数函数，教材先给出两个实际例子，回顾了初中已学的整数指数幂，并初步体会其中的函数模型，同时提出问题，在问题的引导下，探究分数指数幂、无理数指数幂．
第二节是在学习了指数函数后，通过具体实例了解对数函数模型的实际背景，学习对数概念，进而学习对数函数．在指数与对数的对应关系的基础上，教材又讨论了指数函数与对数函数的对应性质．
第三节从实际问题得到五个常用的幂函数，从而引出幂函数的概念，并认识它们的图象与基本性质．
学习三种基本初等函数，在掌握各种基本初等函数概念的同时，熟悉各种函数的图象，通过图象来认识性质，即“作图”、“识图”和“用图”，这是学习本章内容的常用方法，因此数形结合思想会贯穿始终．其次，由于指数函数、对数函数的底数及幂函数的幂指数对函数图象有影响，因此分类讨论思想也在本章学习中扮演着重要的角色．
2.1 指数函数
2．1.1 指数与指数幂的运算
第1课时 根式
研 习 新 知
新 知 视 界
1．根式及相关概念
(1)a的n次方根定义
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
答案：C
答案：A
答案：C
答案：2
互 动 课 堂
[点评] 进行根式的化简时，我们经常忘记条件，根式有意义常忘记被开方数为0的情况，做题时应引起高度注意．
解析：比较a10，b10，c10的大小．
答案：C
思 悟 升 华
1．在实数范围内，一个正数的奇次方根是一个正数；一个负数的奇次方根是一个负数．
2．在实数范围内，一个正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；一个负数没有偶次方根．
3．0的任何次方根都是0.
课时作业（13）(共41张PPT)
第二章
基本初等函数(Ⅰ)
2.2 对数函数
2．2.1 对数与对数运算
第2课时 对数的运算
1.掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行化简、求值和证明．这是本节的重点．
2．了解对数的换底公式，用换底公式能将一般对数化成自然对数或常用对数，这是本节的一个难点.
研 习 新 知
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：A
2．log63＋log62等于( )
A．6 B．5
C．1 D．log65
解析：log63＋log62＝log63×2＝log66＝1.
答案：C
答案：C
4．若logab·log3a＝4，则b的值为________．
答案：81
5．已知a2＝m，a3＝n，求2logam＋logan.
解：由a2＝m，a3＝n，
得logam＝2，logan＝3，
∴2logam＋logan＝2×2＋3＝7.
互 动 课 堂
[分析] 对于这类问题，可以将整个式子运用对数的性质统一为一个单一的对数式进行运算，但这样做往往比较复杂，也较容易出错．如果分别运用性质，对每一部分先化简或合并同类项，可以简化运算过程并提高运算的准确性．
变式体验2 已知log147＝a,14b＝5，用a、b表示log3528.
[点评] 通过指数式、对数式的相互转化，将所求式子中的元素表示出来．(1)题用到了方程思想，(2)题还可以对已知等式两边取对数．
变式体验4 某城市现有人口总数为100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式．
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)．
解：(1)1年后该城市人口总数为
y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)
2年后该城市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，
3年后该城市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3，
x年后该城市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)x，
思 悟 升 华
1．对数式的求值、化简方法：
(1)对于同底的对数式的化简常用方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
(2)对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题．
(3)对于含多重对数符号的对数式的化简，应从内向外逐层化简．
2．对数换底公式的选用
(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算；
(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．
课时作业（18）(共37张PPT)
第二章
基本初等函数(Ⅰ)
2.2 对数函数
2．2.2 对数函数及其性质
第2课时
对数函数的性质应用
1.要借助函数图象掌握对数函数的性质，这是本节内容的重点．
2．要会利用对数函数的性质解决相关问题，这也是本节的一个难点内容．
3．理解指数函数和对数函数的互为反函数的关系.
研 习 新 知
新 知 视 界
1．复合函数y＝logaf(x)，x∈D的单调性：设集合M D，若a>1，且u＝f(x)在x∈M上单调递增(减)，集合M对应的区间是函数y＝logaf(x)的增(减)区间；若02．形如y＝f(logax)的函数的最值，通常利用换元的思想方法，即令t＝logax，根据函数的定义域及对数函数单调性确定t的取值范围，即t∈D，转化为求函数y＝f(t)，t∈D的最值问题．
3．(1)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数．
(2)互为反函数的两函数的图象关于直线y＝x对称．
自 我 检 测
1．函数y＝log2|x|的图象大致是( )
答案：A
答案：D
答案：D
4．已知logm7解析：∵logm7∴0>log7m>log7n.
∵y＝log7x在(0,1)内递增，∴0答案：0互 动 课 堂
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①(1)中底数含有参数；
②(2)中底数相同．
解答本题可根据对数函数的单调性转化为一般不等式(组)求解．
[点评] (1)解对数不等式问题通常转化为一般不等式(组)求解，其依据是对数函数的单调性．
(2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则．
(3)若含有字母，应考虑分类讨论．
变式体验1 已知loga(2a＋1)解：(1)当a>1时，原不等式等价于
类型二 对数型函数的单调性问题
[例2] 讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．
[分析] 本题考查复合函数单调性的判定方法．一般地，设函数y＝f(u)，u＝g(x)都是给定区间上的单调函数．
(1)若y＝f(u)，u＝g(x)在给定区间上的单调性相同，则函数y＝f[g(x)]是增函数；
(2)若y＝f(u)，u＝g(x)在给定区间上的单调性相反，则函数y＝f[g(x)]是减函数．
[点评] 要求复合函数的单调区间，首先要搞清函数的复合关系，即把整个函数分解为若干个单调函数，按照“同增异减”的法则去判断函数的单调性．要讨论函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行，同时，还要注意区间的端点值．
变式体验2 已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是关于x的减函数，求a的取值范围．
类型三 对数函数的最值问题
[例3] 已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,3]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及相应的x的值．
[分析] 先确定y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域，然后转化成关于log3x的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．
[解] ∵f(x)＝2＋log3x，x∈[1,3]．
∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(log3x)2＋6log3x＋6且定义域为[1,3]．
令t＝log3x(x∈[1,3])．因为t＝log3x在[1,3]上是增函数，所以0≤t≤1.
从而要求y＝[f(x)]2＋f(x2)在[1,3]上的最大值，只需求y＝t2＋6t＋6在[0,1]上的最大值即可．
∵y＝t2＋6t＋6在[－3，＋∞)上是增函数，
∴当t＝1，即x＝3时，ymax＝1＋6＋6＝13.
综上可知，当x＝3时，y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值为13.
变式体验3 已知集合A＝{x|2≤x≤π}，定义在集合A上的函数y＝logax的最大值比最小值大1，求a的值．
思 悟 升 华
1．与对数函数有关的复合函数单调区间的求法
求与对数函数有关的复合函数的单调区间，首要的是弄清楚这个函数是怎样复合而成的，再按“同增异减”的方法来求其单调区间．
2．对于对数型复合函数的综合应用的题目，无论是求最值还是求参数的取值范围，必须抓住两点：一是先求出原函数的定义域，二是在定义域内求出函数的单调区间，然后由函数的单调性求出其最值或参数的取值范围．此外在解题过程中一定要注意数形结合方法的灵活应用．
课时作业（20）(共35张PPT)
第二章
基本初等函数(Ⅰ)
2.1 指数函数
2．1.1 指数与指数幂的运算
第2课时 指数幂及运算
1.要理解分数指数幂的意义，并会用分数指数幂的运算性质和规律解题．
2．要熟练掌握根式与幂运算的转化，这是本节的重点内容！
3．无理数指数幂的意义简单了解即可.
研 习 新 知
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(2)结论：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(3)说明：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．
2．有理指数幂的运算性质
(1)ar·as＝ar＋s(a>0，r、s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r、s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．无理指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
答案：A
答案：D
答案：A
答案：A
互 动 课 堂
典 例 导 悟
类型一 根式与分数指数幂的互化
[例1] 将下列根式化成分数指数幂的形式：
[分析] 由题目可获取以下主要信息：本例三个小题均含有根式．解答本题可将根式化为分数指数幂形式，根据分数指数幂的运算性质求解．
变式体验1
类型二 利用幂的运算性质化简、求值
[例2] 计算下列各式：
[分析] 由题目可获取以下主要信息：①分数指数幂的概念与性质；②分数指数幂的四则运算．解答本题时可先算乘方、开方，再算乘除，最后进行加减运算．
[点评] 进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用，一般地进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题．
变式体验2 计算：
类型三 条件因式的化简与求值
[例3] (1)已知2x＋2－x＝a(常数)，求8x＋8－x的值；
[分析] 本题考查已知等式的数量关系求值．将已知条件作为整体进行处理．
[解] (1)∵4x＋4－x＝(2x)2＋(2－x)2＝(2x＋2－x)2－2·2x·2－x＝a2－2.
∴8x＋8－x＝(2x)3＋(2－x)3
＝(2x＋2－x)·[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2]
＝(2x＋2－x)(4x＋4－x－1)
＝a(a2－2－1)＝a3－3a.
变式体验3
思 悟 升 华
1．指数幂的运算步骤：
(1)有括号先算括号里的；无括号先进行指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．
2．在进行幂和根式的化简时，一般要先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，尽可能地统一成分数指数幂形式，再利用幂的运算法则进行化简、求值、计算，达到化繁为简的目的．
3．对于根式计算结果，并不强求统一的表示形式．一般地用分数指数幂的形式来表示．如果有特殊要求，则按要求给出结果．但结果中不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
课时作业（14）(共35张PPT)
第二章
基本初等函数(Ⅰ)
2．3 幂函数
研 习 新 知
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪
(0，＋∞)
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 (－∞，0)减，
(0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)减，
(0，＋∞)减
定点 (0,0) (1,1) (1,1)
思考感悟
幂函数的图象能过第四象限吗？
提示：对幂函数y＝xα而言，当x>0时，必有y>0，故幂函数图象不过第四象限．
自 我 检 测
1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( )
A．y＝－x3 B．y＝x－3
C．y＝2x3 D．y＝x3－1
答案：B
答案：C
答案：2
4．幂函数y＝x－1在[－4，－2]上的最小值为________．
5．函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋2是幂函数，且函数f(x)为偶函数，求m的值．
解：∵f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋2是幂函数，
∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0.
∴m＝1或m＝2.
当m＝1时，f(x)＝x3为奇函数，不符合题意．
当m＝2时，f(x)＝x4为偶函数，满足题目要求．所以m＝2.
互 动 课 堂
变式体验1 已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－2是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时是减函数，求实数m.
解：∵f(x)＝(m2－m－1)·x m2－2m－2是幂函数．
则m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x－2；当m＝－1时，f(x)＝x.
又∵当x∈(0，＋∞)时，函数是减函数，
∴f(x)＝x－2，m＝2为所求．
类型二 幂函数的图象问题
[例2] 如图2，曲线C1与曲线C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限的图象，则下列结论正确的是( )
A．nB．mC．n>m>0
D．m>n>0
图2
[解析] 由幂函数的图象知，m，n均小于0，取特殊值，令x＝2，由图象可知，2m>2n，而y＝2x为增函数，所以0>m>n.故选择A.
[点评] 此题将幂函数的问题转化为指数函数来研究，很巧妙，而且使题迎刃而解．
变式体验2
幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限的图象如图3所示，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．a>b>c>d
B．d>b>c>a
C．d>c>b>a
D．b>c>d>a
图3
解析：本题考查幂函数的性质及图象．由幂函数的性质可知，当x>1时，幂指数大的函数值较大，图象位置较高．故有b>c>d>a.故选D.
答案：D
[点评] 当幂函数的指数为分数形式时，须将其转化为熟悉的根式，利用根式的有关要求求出自变量的取值范围．
类型四 比较大小
[例4] 比较下列各组中三个数的大小．
[分析] 本题考查幂函数及指数函数的单调性．
课时作业（21）(共47张PPT)
第二章
基本初等函数(Ⅰ)
2.1 指数函数
2.1.2 指数函数及其性质
第1课时
指数函数的概念、图象及性质
1.理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出指数函数图象．
2．初步掌握指数函数的有关性质．
3．在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型.
研 习 新 知
新 知 视 界
1．函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象和性质用下表表示：
01
定义域 R R
值域 (0，＋∞) (0，＋∞)
性
质 (1)过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 (1)过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
(2)当x>0时，01 (2)当x>0时，y>1；当x<0时，0(3)在R上是减函数 (3)在R上是增函数
3.底数a对图象的影响：在同一坐标系中，当a>1时，a越大，y轴右边的图象越靠近y轴，即底数越大，x>0时，函数值增长越快；当0思考感悟
1．为什么在指数函数y＝ax中规定底数a大于零且不等1
提示：(1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义．
自 我 检 测
1．下列一定是指数函数的是( )
A．形如y＝ax的函数 B．y＝xa(a>0，且a≠1)
C．y＝(|a|＋2)x D．y＝(a－2)ax
解析：∵y＝(|a|＋2)x符合指数函数的定义，
∴y＝(|a|＋2)x是指数函数．
答案：C
2．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如右图1，则( )
A．a<0，b<0
B．a<0，b>0
C．01
D．0解析：结合指数函数的图象知b>1,0答案：C
3．函数y＝πx的值域是( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．R D．(－∞，0)
答案：A
4．函数y＝(a－1)x在R上为减函数，则a的取值范围是________．
解析：∵y＝(a－1)x在R上递减，
∴0答案：(1,2)
5．已知指数函数f(x)的图象过点(3,8)，求f(6)的值．
解：设f(x)＝ax，则a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x，∴f(6)＝26＝64.
互 动 课 堂
典 例 导 悟
类型一 指数函数的概念
[例1] 指出下列函数哪些是指数函数：
(1)y＝4x；(2)y＝x4；(3)y＝－4x；(4)y＝(－4)x；(5)y＝4x2；(6)y＝xx；(7)y＝(2a－1)x(a>，且a≠1)．
[分析] 根据指数函数的定义进行判断．
[解] (1)(7)为指数函数．
(2)不是指数函数．
(3)是－1与指数函数4x的乘积，所以不是指数函数．
(4)中底数－4<0，所以不是指数函数．
(5)中指数不是自变量x，所以不是指数函数．
(6)中底数x不是常数，不符合指数函数的定义，所以不是指数函数．
变式体验1 若y＝(a－3)·(a－2)x是指数函数，求a的值．
(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数．
(3)由图象知当x＝－1时，有最大值1，无最小值．
[点评] (1)指数型函数的作图一般从最基本的指数函数入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．
(2)带有绝对值的图象作图，一般分为两种情况，一种是去掉绝对值作图，一种是不去绝对值，如y＝f(|x|)可依据函数是偶函数，先作出y＝f(x)(x≥0)的图象，x<0时的图象只需将y＝f(x)(x≥0)图象关于y轴对称过去即可，又如y＝|f(x)|的图象，可作出y＝f(x)的图象，保留x轴上方图象，将下方图象关于x轴对称过去即可得y＝|f(x)|的图象．
[点评] 本题中的函数都不是指数函数，但都与指数函数有关．根据指数函数的定义域为R，值域为(0，＋∞)，结合前一章求函数定义域和值域的方法，可以求解一些简单函数的定义域和值域．在求解中要注意正确运用指数函数的单调性．在求值域问题时，既要考虑指数函数的单调性，还应注意指数函数的值域为(0，＋∞)．
类型四 比较大小
[例4] 比较下列各组数的大小：
[分析] 因为是两个指数幂比较大小，故解答本题可利用指数函数的图象与性质或通过寻求第三个数，将两数进行比较．
[点评] 比较幂的大小的常用方法：
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断．(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较．
变式体验4 已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a、b、c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
解析：∵y＝0.8x是减函数，∴a＝0.80.7>0.80.9＝b，且a＝0.80.7<0.80＝1.又c＝1.20.8>1，∴c>a>b.故选D.
答案：D
思 悟 升 华
1．指数函数是形式化的概念，形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数被称为指数函数，这里x是自变量，要判断一个函数是否是指数函数，需抓住三点：①底数大于零且不等于1；②幂指数有单一的自变量x；③系数为1，且没有其他的项．
2．当底数a大小不定时，必须分“a>1”和“03．当a>1时，a的值越大，y轴右边的图象越靠近y轴，当04．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域是R，其值域是(0，＋∞)．
关于指数型函数y＝af(x)＋b的定义域可结合求函数定义域的方法，通过解不等式或不等式组来解决；求其值域可采用换元法，既要考虑指数函数的单调性，还应注意指数函数的值域是(0，＋∞)．
5．比较幂值的大小常常化为同底数的幂，根据指数函数的单调性比较大小．如果不能化为同底数的幂，则要借助幂值的范围利用中间值过渡(常选1作中间值)．
课时作业（15）