小题压轴题专练41—抛物线（3）-2021届高三数学二轮复习 Word版含解析

小题压轴题专练41—抛物线（3）
单选题
1．已知抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，圆过，，三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则此定直线方程为　　
A． B． C． D．
解：与轴交于，，
设两点，，，，
设圆的方程为，取，可得．
则方程与方程等价，则，，
则圆的方程为．
圆过，，即，
得圆的方程为，
即，
由圆系方程可知，圆经过圆与直线的交点，
则圆被直线所截弦长为定值．
故选：．
2．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则　　
A．3 B．4或 C． D．或
解：当在的延长线时，过向准线作垂线，垂足为，根据已知条件，，
结合抛物线的定义得，
，，
．
当在之间时，过向准线作垂线，垂足为，根据已知条件，，
结合抛物线的定义得，
，，
故选：．
3．已知抛物线的焦点为，过点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，点，在抛物线准线上的射影分别是，，若四边形的面积为，则该抛物线的方程为　　
A． B． C． D．
解：，抛物线的焦点为，，准线方程为：，
直线的倾斜角为，斜率，
直线的方程为，代入，
得：，则，，
令，，，，，
则，
四边形是直角梯形，
，
，
抛物线的方程为，
故选：．
4．已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，点在第一象限，，为坐标原点，则四边形面积最小时直线的方程是　　
A． B． C． D．
解：抛物线的焦点，设直线的方程为，
联立，可得．
设，，，，，则，
四边形的面积．
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
当时，即当时，四边形的面积最小，此时，，，
直线的方程为．
故选：．
5．在《西游记》中，凤仙郡太守生气时误推倒祭祀玉帝的贡桌，玉帝一怒之下下令凤仙郡三年不能下雨，于是孙悟空和猪八戒上天庭去找玉帝理论，玉帝要求鸡要吃完米，狗要舔完面，火烧断了锁才能下雨．孙悟空打量着形如圆锥的面山，让猪八戒从面山脚下出发经过的中点到，大致观察一下该面山，如图所示，若猪八戒经过的路线为一条抛物线，，底面圆的面积为，为底面圆的一条直径，则该抛物线的焦点到准线的距离为　　
A． B． C． D．
解：如图，建立以为轴，过作平行以为轴的直角坐标系，
设抛物线方程为，
底面圆的面积为，所以，，
在中，，
又因为中点，故，
，
，
，
故选：．
6．已知抛物线，直线与交于，两点，若表示直线的斜率，则的最小值为　　
A．6 B．7 C．8 D．9
解：由抛物线的方程，可得，
所以抛物线的焦点为，
所以直线的方程为经过点，
设，，，，
由，得，
△成立，
所以，
所以，
所以，
因为直线的斜率，
所以，
令，，
则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以．
所以的最小值为7，
故选：．
7．已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，且，线段的垂直平分线与轴的交点为，则　　
A． B．2 C． D．
解：设，，，，联立直线与抛物线方程，
，
，
则的垂直平分线为，
则点，
则，
．
故选：．
8．已知抛物线的焦点为，过点斜率为的直线交该抛物线于，在第一象限），直线与圆交于点，在第一象限），为坐标原点，则与的面积之比为　　
A． B． C． D．
解：由抛物线的方程可得，
则可得直线的方程为：，与抛物线方程联立可得：
，解得，
因为点在第一象限，所以，
所以，，
又由圆的方程可得圆心为，半径，
所以，，
因为三角形的面积为，，
又，四点共线，所以，
所以，
故选：．
多选题
9．已知抛物线的准线方程为，焦点为，为坐标原点，，，，是上两点，则下列说法正确的是　　
A．点的坐标为
B．若，则的中点到轴距离的最小值为8
C．若直线过点，则以为直径的圆过点
D．若直线与的斜率之积为，则直线过点
解：抛物线的准线方程为，
的解析式为：，
对于：准线方程为，故焦点，故正确；
对于：设，则，
整理得：，故，，故中点为，
，
，，
当且仅当时“”成立，故错误；
对于：设，则，则，
的中点到的距离，
故以为直径的圆不过点，故错误；
对于，
，故，即，过，故正确．
故选：．
10．已知抛物线的准线为，焦点为，原点为，过的直线交抛物线于点、，在第一象限，分别过、作准线的垂线于、，直线的倾斜角为．则下列说法正确的是　　
A． B．
C．、、三点共线 D．以为直径的圆与轴相切
解：设，，，，
由题意知，直线的方程为，且，
将其与联立，消去得，，
①，②，
，
，即③，
由②③解得，，，
代入①得，，解得，
，，即选项正确；
把，分别代入中，可得，，，，
，
，
由选项可知，，，
，即选项错误；
准线于，，，
，，
、、三点共线，即选项正确；
，，，，
，线段的中点坐标为，
线段的中点横坐标恰为的一半，
以为直径的圆与轴相切，即选项正确．
故选：．
11．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的，两点，在线段上，点为在上的射影，下列命题正确的是　　
A．若，则
B．若，，三点共线，则
C．若，则
D．对于任意直线，都有
解：如图示：
由题意的焦点为，准线，，
不妨设，联立，则，
即，则，，
设，，，，，
对于，则，，，
整理得：，则，
假设，则直线的斜率为1，
即时，解方程，得，，
故，故错误；
对于：点为在上的射影，则，
，，三点共线时，有，
解得：，，故，，
故，故正确；
对于：作于，由，得，
故，故正确；
对于：由，
而，由，得△，解得：，
故，故正确；
故选：．
12．已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为、，下列说法正确的是　　
A． B．
C．直线的斜率为 D．线段中点的横坐标为1
解：由准线上的点的坐标可得准线方程为，即，
解得，所以不正确；
所以抛物线的方程为；
显然过点的切线的斜率存在且不为0，
设过的切线方程为，
联立，整理可得，
则△，
可得，所以，所以与垂直，所以正确；
设，，，，则，
抛物线的方程，即，所以，
切线的方程为，
即，将点代入可得，
同理切线的方程为，
所以直线的方程为，所以直线的斜率为，所以正确；
中，因为直线的斜率为，
所以，即线段的中点的横坐标为1，所以正确，
故选：．
填空题
13．已知为抛物线的焦点，，点在抛物线上且满足．若这样的点有且只有一个，则实数的值为　　．
解：设，，由抛物线的性质，可得，
，，
由，得，把代入，
可得：．
点有且只有一个，方程有两相等实数根．
则△，
整理得，解得．
故答案为：．
14．已知为抛物线的焦点，过作斜率为的直线和抛物线交于，两点，延长，交抛物线于，两点，直线的斜率为．若，则　　．
解：设过点作斜率为的直线方程为：，
联立方程，消去可得：，
设，，，，
，
设，，，，
则，同理，
设所在的直线方程为，
联立方程，消去得：，
，同理可得，
则．
15．已知圆，抛物线，抛物线焦点是，过点的直线与抛物线交于点、，与圆交于点、，点、在第一象限，则的最小值是　　．
解：由抛物线方程可得，，
当直线的斜率存在时，设的方程为，
代入，整理得，．
设，，，，
，又圆的半径等于1，
，，
因此，
当且仅当，即时等号成立．
当直线的斜率不存在时，可求得．
综上，的最小值为22．
故答案为：22．
16．已知点，为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，若，则的取值范围是　 ．
解：由题意知，，设，，，，
直线的方程为，
由，得．
，，
由，得
，
即，解得，
又，，即．
的取值范围是，．
故答案为：，．