江苏省泰兴县第三高级中学2020-2021学年高一下学期数学午间练（22-39必修第二册第十章、第十一章）（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 江苏省泰兴县第三高级中学2020-2021学年高一下学期数学午间练（22-39必修第二册第十章、第十一章）（Word含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 33.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-28 19:10:31 | ||
图片预览
文档简介
江苏省泰兴市第三高级中学虹桥校区校本化讲义
高一数学午间练（22）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题错误的是 ( )
A. cos(70°+40°)=cos 70°-cos 40°.
B. 对于任意实数,都不成立.
C. 对任意,都成立.
D. cos 30°cos60°+sin 30°sin 60°=1.
2. cos 615°的值为 ( )
A. B. C. D.
3.cos 345°的值等于 ( )
4.求下列各式的值:
(1);
(2)sin 460°sin(-160°)+cos 560°cos(-280°);
(3)cos(α+20°)cos(40°-α)-sin(α+20°)sin(40°-α).
5.(1)已知，求的值.
(2)为锐角,,求的值.
6. 已知, 求的值.
7.已知，则的值为________.
8.已知,且满足,
求.
9.已知,且和均为钝角,则________.
10.计算的值是 ( )
A. B. C. D.
11.sin 75°=________.
高一数学午间练（23）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1. cos 75°cos 15°-sin 75°sin 15°的值等于________.
2.cos 22°cos 38°-sin 22°sin 38°的值为 ( )
3.cos(-40°)cos(-20°)-sin(-40°)sin(-20°)=________.
4.已知,则的值为 ( )
A. B. C.2 D.-1
5.已知,且, 求的值.
6.已知为锐角,β为第三象限角,且,
则值为 ( )
A. B. C. D.
7.若,
则的值为 ( )
A. B. C. D.
8.已知,则________.
9.cos 20°= ( )
A.cos 30°cos 10°-sin 30°sin 10°
B.cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10°
C.sin 30°cos 10°-sin 10°cos 30°
D.cos 30°cos 10°-sin 30°cos 10°
10.已知锐角满足,则 等于 ( )
11.设都是锐角,且,求的值.
高一数学午间练（24）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.
B. 任意α,β∈R,使得sin(α+β)≠sin α+sin β成立.
C. sin 56°cos 26°-cos56°sin 26°=sin 30°.
D. sin 30°cos60°+cos 30°sin 60°=0.
2.函数y=sin x-cos x的最小正周期是 ( )
A. B.π C.2π D.4π
3.cos 70°sin 50°-cos 200°sin 40°的值为 ( )
A. B. C. D.
4.若是第二象限角且,则________.
5.________.
6. 设,若,
求的值.
7.已知(为锐角),则 ( )
A. B. C. D.
8.化简的结果可以是 ( )
A. B. C. D.
9.函数的最小值为 ( )
A.-2 B. C. D.-1
10.若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]上是减函数,则a的最大值是 ( )
A. B. C. D.
11.若是第三象限角,则 ( )
A. B. C. D.
12.sin 155°cos 35°-cos 25°cos 235°=________.
13.已知,求.
高一数学午间练（25）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.cos 17°sin 13°+sin 17°cos 13°的值为 ( )
A. B. C. D.以上都不对
2.已知为锐角,是第四象限角,,则_____.
3.的值是 ( )
A. B. C. D.
4. ( )
A. B. C. D.
5.设,若,求的值.
6. 设,若为第三象限角, 求的值.
7.已知,且为第一象限角,为第二象限角,求的值.
8.若函数在时取得最小值,则等于 ( )
A. B. C. D.
9.已知，则的值为 ( )
A. B. C. D.
10.若的一条对称轴方程是,则的取值范围可以是( )
A. B. C. D.
11.函数的值域为 ( )
A. B. C. D.
12.sin(45°+A)-sin(45°-A)=________.
高一数学午间练（26）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 存在,使成立.
B. 对任意,都成立.
C. 对任意,都成立.
D. 等价于.
2.若,且为第三象限角,则的值等于 ( )
A. B. C.-7 D.7
3.tan 10°+tan 50°+tan 10°tan 50°=________.
4.已知.
(1)求的值;
(2)求的值.
5.已知都是锐角,且,则 ________.
6. 已知,求的值.
7.已知,则 ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
8.设角的终边过点(2,3),则 ( )
A. B. C.5 D.-5
9.在△ABC中,,则的值为 ( )
A. B. C. D.
10.已知,求的值.
高一数学午间练（27）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1. ( )
A. B. C. D.
2.计算: ________.
3.________.
4.已知,且为锐角,求的值.
5.已知,则的值为 ( )
A. B. C. D.
6.已知,那么的值为 ( )
A. B. C. D.
7.已知为锐角,,则的值为________.
8.等于 ( )
A. B.1 C. D.
9.计算________.
高一数学午间练（28）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 倍角的正切公式的适用范围不是任意角.
B. 对于任意的角,都有成立.
C. 存在角,使成立.
D. 对任意的角都成立.
2.已知,则sin 2α=________,cos 2α=________,tan 2α=________.
3. ( )
A.1 B.2 C. D.
4.列各式的值:
(1)；
(2);
(3).
5.已知,求和的值.
6.化简:（1）；（2）.
7.证明.
8.求证:.
9.求函数的最小值,
并求其单调减区间.
10.已知,则的值为 ( )
A. B. C. D.
11.的值为 ( )
A. B. C. D.
12.函数的最小正周期是________.
高一数学午间练（29）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1. sin 15°sin 75°的值为 ( )
A. B. C. D.
2. ( )
A. B. C.1 D.
3..
4.已知,求的值.
5.已知,且，求.
6.化简.
7.的化简结果为 ( )
A. B. C. D.
8.化简:,其中.
9.求函数的最小正周期和最小值,并写出该函数在上的单调递减区间.
10.计算的结果为 ( )
A. B. C. D.
11.已知,则等于________.
12.求证:.
高一数学午间练（30）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A..
B. 对于任意,都不成立.
C. 若是第一象限角,则.
D. .
2.的值为 ( )
A. B. C. D.
3.设,那么等于 ( )
A. B. C. D.
4.已知,且为第一象限角,则的值为 ( )
A. B. C. D.
5.化简: .
6.已知,试化简:.
7.求证:.
8.已知,且.
求证:.
9.已知,求证:.
10.求的值.
11.已知,则的值为 ( )
A. B. C. D.
12.函数的最小正周期为________.
高一数学午间练（31）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.若,则的值为 ( )
A. B. C. D.
2.设,则等于________.
3.已知,则 ( )
A.3 B.-3 C. D.
4.已知,求及的值.
5.化简: .
6.若,则等于 ( )
A. B. C. D.
7.求证:.
8.求证:.
9.已知,求的值.
10.已知,则等于 ( )
A. B. C. D.
11.的值为 ( )
A. B. C. D.
12.求证:.
高一数学午间练（32）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.等于 ( )
A. B. C. D.
2.计算:.
3.求的值.
4.已知,且,求的值.
5.已知,求的值.
6.已知,且,则等于 ( )
A. B. C. D.
7.已知，求的值.
8.已知α为第二象限的角,化简:.
9.证明:.
10.已知函数.
求:(1)函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的集合;
(2)函数f(x)的单调递增区间.
11.已知函数
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最小值.
高一数学午间练（33）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题错误的是 ( )
A. 在三角形中,勾股定理是余弦定理的一个特例.
B. 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适用于任何三角形.
C. 在△ABC中,已知两边和其夹角时,△ABC不唯一.
D. 余弦定理的推论：.
2.已知在△ABC中,a=1,b=2,C=60°,则c=________.
3.在△ABC中,若,则AC= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.在△ABC中,已知,则角C=________.
5.已知三角形三边之比为5∶7∶3,则最大角为 ( )
A.90° B.120° C.135° D.150°
6.在△ABC中,,则AC边上的高为 ( )
A. B. C. D.
7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,b=a+1=c+2,且,
则△ABC的周长为________.
8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,
则角C的值为 ( )
A. B. C.或 D. 或
9.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则
△ABC的形状是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
10.如图,海面上一走私船正以每小时15海里的速度沿方位角120°方向航行,距离走私船18海里处的缉私艇测得该走私船当前的方位角为60°,并即刻以每小时21海里的速度径直追赶.
(1)求缉私艇追上走私船所需的最短时间;
(2)求缉私艇用时最短的追赶方向(方位角)的余弦值.
11.在△ABC中,已知B=120°,a=3,c=5,则b等于 ( )
A.4 B. C.7 D.5
12.已知a,b,c是△ABC的三边长,若满足等式(a+b-c)·(a+b+c)=ab,
则角C的大小为 ( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
13.在△ABC中,已知,角C的余弦值是方程的根,求第三边c的长.
高一数学午间练（34）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若,
则角C等于 ( )
A.120° B.90° C.60° D.45°
2.在△ABC中,,求AB的长.
3.在△ABC中,边a,b的长是方程的两个根,C=60°,则边c=________.
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 ,
则C= ( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
5.在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b-c),则A等于 ( )
A.90° B.60° C.120° D.150°
6.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足,且C=60°,则ab=________.
7.在△ABC中,若,试判断△ABC的形状.
8.在△ABC中,,则△ABC一定是 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,则( )
A.6 B.5 C.4 D.3
10.如图,在西部某边防警戒线上有一笔直的公路上,武警边防支队在点A,B,C处设置了治安卡口,B,C两点到A的距离分别为11千米和32千米,某一天,B收到来自防控目标P的一个特殊无线信号,7秒后A,C同时接收到该无线信号,已知该特殊无线信号在空气中的传播速度是1千米/秒.(假设该无线信号沿直线传播)
(1)求PA的长度;
(2)现要更改卡口B的位置,使得卡口B能在最短时间内截获来自P处的信号,求此时P,B两点间的距离.
11.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,,
则b= ( )
A.1 B.2 C.3 D.
12.在△ABC中,,则△ABC的形状为 ( )
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
高一数学午间练（35）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 正弦定理不适用于直角三角形.
B. 在△ABC中,若sin A=sin B,则A=B.
C. 在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B.
D. 正弦定理的一个推论：（为三角形外接圆的半径）.
2.在△ABC中,若,则AC= ( )
A. B. C. D.
3.在△ABC中,,则c等于 ( )
A. B. C. D.
4.在△ABC中,已知,则 ( )
A. B. C. D.
5.在△ABC中,已知,解这个三角形.
6.在△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,为使此三角形有两个,则a满足的条件是 ( )
A. B. C. D.或a=3
7.已知,试判断△ABC的形状.
8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.
(1)求A;
(2)若,求sin C.
9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c-acos B=(2a-b)cos A,则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
10.在△ABC中内角A,B,C所对边分别为a,b,c,,
则的值等于 ( )
A. B. C. D.
11.如图,某数学学习兴趣小组的同学要测量学校地面上旗杆CD的高度(旗杆CD垂直于地面),设计如下的测量方案:先在地面选定距离为30米的A,B两点,然后在A处测得∠BAC=30°,在B处测得∠ABC=105°,∠DBC=45°,由此可得旗杆CD的高度为________米,∠CAD的正切值为________.
12.在锐角△ABC中,下列不等关系总成立的是 ( )
A.sin Asin B D.sin B>cos A
13.在△ABC中,若，则B的度数为________.
高一数学午间练（36）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.在△ABC中,,则sin B= ( )
A. B. C. D.1
2.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=30°,B=45°,则 ( )
A. B. C. D.
3.在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.
4.在△ABC中,,求三角形中其他边与角的大小.
5.在△ABC中,,则B等于 ( )
A.45°或135° B.135° C.45° D.60°
6.在△ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且sin 2A=sin2B+sin 2C,试判断△ABC的形状.
7.在△ABC中,若,则b=________.
8.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,满足 ,则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
9.在△ABC中内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若bcos C+ccos B=2acos A，且△ABC的面积为,则B= ( )
A. B. C. D.
10.如图,在路边安装路灯,灯柱AB与地面垂直,灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直,且,路灯C采用锥形灯罩,射出的光线如图阴影部分所示,已知,路宽AD=24(m),设灯柱高AB=h(m),.
(1)求灯柱的高h(用表示);
(2)若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同,记所用材料的
长度为S,求S关于的函数表达式,并求出S的最小值.
11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列等式正确的是 ( )
A.a∶b=A∶B B.a∶b=sin A∶sin B
C.a∶b=sin B∶sin A D.asin A=bsin B
12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知,则B=________.
13.△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,则角B=________,△ABC的面积是________.
高一数学午间练（37）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 若P在Q的北偏东44°方向,则Q在P的东偏北44°方向.
B. 方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系,其范围均是.
C. 方位角210°的方向与南偏西30°的方向一致.
D. 方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.
2.已知两座建筑A,B与规划测量点C的距离
相等,A在C的北偏东40°,B在C的
南偏东60°,则A在B的 ( )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东10° D.南偏西10°
3.已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2 km,船B在灯塔C北偏西65°且到
C的距离为km,则A、B两船的距离为 ( )
A. km B.km C.km D.km
4.如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A、B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则河的宽度为 ( )
A.230 m B.240 m C.50 m D.60 m
5.在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A为海里
的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°方向,距离A为2
海里的C处有一艘缉私艇奉命以海里/时的速度追截走私船,此时,走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.
(1)问C与B相距多少海里?C在B的什么方向?
(2)问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?并求出所需时间.
6.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,
则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,
试确定小艇航行速度的最小值.
7.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC
=90°.
(1)若PB=,求PA;
(2)若∠APB=150°,求tan ∠PBA.
8.如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援,则________.
9.如图,某公园内有两条道路AB,AP,现计划在AP上选择一点C,新建道路BC,并把△ABC所在区域改造成绿化区域,已知km.
(1)若绿化区域△ABC的面积为1 km2,求道路BC的长度;
(2)绿化区域△ABC每平方千米的改造费用与新建道路BC
每千米修建费用都是∠ACB的函数,其中绿化区域△ABC改造费用为(单位:万元/平方千米),新建道路BC新建费用为(单位:万元/千米),设,某工程队承包了该公园的绿化区域改造与新道路修建,已知绿化区域改造费与道路新建费用越高,则工程队所获利润也越高,试问当为何值时,该工程队获得最高利润?
10.一海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是 ( )
A.海里 B.海里 C.海里 D.海里
11.一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B,又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C,若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C,则此船沿________方向行驶________海里至海岛C.
高一数学午间练（38）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.如图,为了测量隧道AB的长度,给定下列四组数据,测量时应选用数据 ( )
A. B.
C. D.
2.如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者与A在河的同侧,
在A所在的河岸边先确定一点C,测出A,C的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,
可以计算出A,B两点的距离为 ( )
A.m B.m
C.m D.m
3.如图所示,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10 m,从D,C两地测得A点的仰角分
别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于 ( )
A.10 m B.m
C.m D.m
4.在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°,塔基的俯角为45°,那么这座塔吊的高是 ( )
A. B. C. D.
5.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距a n mile,乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的倍,问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船?相遇时乙船行驶了多少n mile?
6.如图,为了测量河对岸的塔高AB,有不同的方案,其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D,测得CD=200米,在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高AB.
7.瑞云塔是福清著名的历史文化古迹.如图,一研究小组同学为了估测塔的高度,在塔底D和A,B(与塔底D同一水平面)处进行测量,在点A,B处测得塔顶C的仰角分别为45°,30°,且A,B两点相距91 m,由点D看A,B的张角为150°,
则瑞云塔的高度CD= ( )
A.91 m B. m
C. m D. m
8.某海域的东西方向上分别有A,B两个观测点(如图),它们相距海里.现有一艘轮船在D点发出求救信号,经探测得知D点位于A点北偏东45°,B点北偏西60°,这时,位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点有一救援船,
其航行速度为30海里/小时.
(1)求B点到D点的距离BD;
(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救,
求该救援船到达D点需要的时间.
9.如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的 ( )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东80° D.南偏西80°
10.如图所示,在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,
则山高BC为 ( )
A. m B. m
C. m D. m
11.海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°,距离为海里;在A处看灯塔C,在货轮的北偏西30°,距离为海里;货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在南偏东60°,求:
(1)A处与D处之间的距离;
(2)灯塔C与D处之间的距离.
高一数学午间练（39）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,
AC=1,AB=AD,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=________.
2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且.
(1)求c和sin A的值;
(2)求sin(2A-B)的值.
3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,B=120°,C=45°,
则边c的大小是 ( )
A. B. C. D.
4.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,且,则A=________,
若角A为钝角,则的取值范围为________.
5.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, ________,且.现从:①,②,③这三个条件中任选一个,将题目补充完整,并判断这样的△ABC是否存在,若存在,求△ABC的面积S;若不存在,请说明理由.
6.(多选题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(k为非零实数),
则下列结论正确的是 ( )
A.当k=5时,△ABC是直角三角形 B.当k=3时,△ABC是锐角三角形
C.当k=2时,△ABC是钝角三角形 D.当k=1时,△ABC是钝角三角形
7.(多选题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,①若A>B,则sin A>sin B;②若sin 2A=sin 2B,则△ABC一定为等腰三角形;③若sin2A+ sin2B=sin2C,则△ABC为直角三角形;④若△ABC为锐角三角形,则sin A>cos B.以上结论中正确的有 ( )
A.① B. ② C. ③ D.④
8.如图所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏
西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶40海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为 ( )
A.海里 B.海里 C.海里 D.海里
9.如图所示,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=500 m,则山高MN=________m.
高一数学午间练（22）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题错误的是 ( )
A. cos(70°+40°)=cos 70°-cos 40°.
B. 对于任意实数,都不成立.
C. 对任意,都成立.
D. cos 30°cos60°+sin 30°sin 60°=1.
【答案】选ABD
提示:A×.cos(70°+40°)=cos 110°≠cos 70°-cos 40°.
B×.当-45°,β=45°时,cos(-β)=cos(-45°-45°)=cos(-90°)=0,cos -cos β=cos(-45°)-cos 45°=0,此时cos(-β)=cos -cos β.
C√.结论为两角和的余弦公式.
D×.cos 30°cos 60°+sin 30°sin 60°=cos(60°-30°)=cos 30°=.
2. cos 615°的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.
cos 615°=cos(720°-105°)=cos (-105°)=cos 105°=cos(45°+60°)= .
3.cos 345°的值等于 ( )
【解析】选C.cos 345°=cos(360°-15°)=cos 15°=cos(45°-30°)
=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=.
4.求下列各式的值:
(1);
(2)sin 460°sin(-160°)+cos 560°cos(-280°);
(3)cos(α+20°)cos(40°-α)-sin(α+20°)sin(40°-α).
【解析】(1)
.
(2)原式=-sin 100°sin 160°+cos 200°cos 280°=-sin 80°sin 20°-cos 20°cos 80°
=-(cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°)=-cos 60°=.
(3)cos(α+20°)cos(40°-α)-sin(α+20°)sin(40°-α)=cos[(α+20°)+(40°-α)]=cos 60°=.
5.(1)已知，求的值.
(2)为锐角,,求的值.
【思路导引】对已知条件和所求结论中的角进行分析,看已知条件中的角如何“拼凑”成结论中的角.
【解析】(1)因为,所以,
所以.
(2)因为为锐角,所以.因为,
所以,因为为锐角,所以,
因为,所以,
所以,
所以
.
6. 已知, 求的值.
【解析】因为,所以.
又因为,所以,
所以.
所以
【解题策略】
解决三角函数的求值问题的关键点
(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;
(2)当“已知角”有一个时通常有两种思路:
①着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”;
②考虑把“所求角”表示为“已知角”与特殊角的和与差的形式.
7.已知，则的值为________.
【解析】因为,
所以
答案:
8.已知,且满足,
求.
【解题策略】
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围:根据条件确定所求角的范围;
(2)求所求角的某个三角函数值:根据角的范围选择求哪一个三角函数值,原则是由所求的三角函数值能确定角所在的象限;
(3)求角:结合三角函数值及角的范围求角.
9.已知,且和均为钝角,则________.
【解析】因为均为钝角,
所以.
所以.
由和均为钝角,得,所以.
答案:
10.计算的值是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.
.
11.sin 75°=________.
【解析】sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°·cos30°+sin45°·sin30°
=
答案:
高一数学午间练（23）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1. cos 75°cos 15°-sin 75°sin 15°的值等于________.
【解析】逆用两角和的余弦公式可得:
cos 75°cos 15°-sin 75°sin 15°=cos(75°+15°)=cos 90°=0.
答案:0
2.cos 22°cos 38°-sin 22°sin 38°的值为 ( )
【解析】A.原式=cos(22°+38°)=cos 60°=.
3.cos(-40°)cos(-20°)-sin(-40°)sin(-20°)=________.
【解析】cos(-40°)cos(-20°)-sin(-40°)sin(-20°)
=cos[(-40°)+(-20°)]=cos(-60°)=cos 60°=.
答案:
【解题策略】
两角和与差的余弦公式在求值应用中的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值.
(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角和或差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.
4.已知,则的值为 ( )
A. B. C.2 D.-1
【思路导引】对所求式逐步变形,直至可代入已知条件即可.
【解析】选B.
5.已知,且, 求的值.
【解析】因为,且,所以,
所以，
所以
.
6.已知为锐角,β为第三象限角,且,
则值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.因为为锐角,且,所以， 因为β为第三象限角,且,所以,所以
.
7.若,
则的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.由,得,①
,②
①+②得2-2(sin αsin β+cos αcos β)=1.所以sin αsin β+cos αcos β=.所以cos(α-β)=.
8.已知,则________.
【解析】因为,所以.
因为,所以,
所以
因为,所以 .
答案:
9.cos 20°= ( )
A.cos 30°cos 10°-sin 30°sin 10°
B.cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10°
C.sin 30°cos 10°-sin 10°cos 30°
D.cos 30°cos 10°-sin 30°cos 10°
【解析】选B.cos 20°=cos(30°-10°)=cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10°.
10.已知锐角满足,则 等于 ( )
【解析】选A.因为为锐角, ,所以
,所以
.
11.设都是锐角,且,求的值.
【解析】因为都是锐角且,所以,
所以,又,所以,
所以，
所以
.
高一数学午间练（24）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.
B. 任意α,β∈R,使得sin(α+β)≠sin α+sin β成立.
C. sin 56°cos 26°-cos56°sin 26°=sin 30°.
D. sin 30°cos60°+cos 30°sin 60°=0.
【答案】选AC
提示:A√.根据公式的推导过程可得.
B×.当α=30°,β=0°时,sin(α+β)=sin α+sin β.
C√.因为sin 56°cos 26°-cos 56°sin 26°
=sin(56°-26°)=sin 30°,故原式正确.
D×. sin 30°cos60°+cos 30°sin 60°=sin (30°+60°)=sin90°=1.
2.函数y=sin x-cos x的最小正周期是 ( )
A. B.π C.2π D.4π
【解析】选C.y=sin x-cos x= 所以函数的最小正周期为T=2π.
3.cos 70°sin 50°-cos 200°sin 40°的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.
cos 70°sin 50°-cos 200°sin 40°=cos 70°sin 50°-(-sin 70°)cos 50°=sin(50°+70°)=sin 120°=.
4.若是第二象限角且,则________.
【解析】因为θ是第二象限角且sin θ=,所以，
所以，
答案:
【解题策略】
解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.
(2)解决三角函数的给角求值问题的关键是寻求“已知角”与“所求角”之间的关系,用“已知角”表示“所求角”.
5.________.
【解析】原式=
.
答案:-2
6. 设,若,
求的值.
【解析】
.
7.已知(为锐角),则 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.因为,所以.
所以，所以8.化简的结果可以是 ( )
A. B. C. D.
【思路导引】利用辅助角公式进行变形.
【解析】选B. .
9.函数的最小值为 ( )
A.-2 B. C. D.-1
【解析】选D.,因为,
所以,
所以f(x)的最小值为-1.
10.若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]上是减函数,则a的最大值是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.在上单调递减,所以,故且,解得.
11.若是第三象限角,则 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.因为为第三象限角,
所以,由两角和的正弦公式得.
12.sin 155°cos 35°-cos 25°cos 235°=________.
【解析】原式=sin 25°cos 35°+cos 25°sin 35°=sin(25°+35°)=sin 60°=.
答案:
13.已知,求.
【解析】因为,所以,
所以.
高一数学午间练（25）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.cos 17°sin 13°+sin 17°cos 13°的值为 ( )
A. B. C. D.以上都不对
【解析】选A.原式=sin(13°+17°)= sin 30°=.
2.已知为锐角,是第四象限角,,则_____.
【解析】因为为锐角，且,所以.又为第四象限角,且
,所以.
所以.
答案:0
3.的值是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.原式
4. ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.
5.设,若,求的值.
【思路导引】应用公式?注意角的范围?所求角的正弦值.
【解析】因为,所以,
因为,所以.
所以.
6. 设,若为第三象限角, 求的值.
【解析】,所以s.
因为为第三象限角,,所以.
所以.
【解题策略】
解决给值求值问题的解题策略
1.当“已知角”有两个或多个时,“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式.
2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
3.角的拆分方法不唯一,可根据题目合理选择拆分方式.
提醒:解题时要重视角的范围对三角函数值的制约,从而恰当、准确地求出三角函数值.
7.已知,且为第一象限角,为第二象限角,求的值.
【解析】因为为第一象限角,为第二象限角, ,所以,
所以.
8.若函数在时取得最小值,则等于 ( )
A. B. C. D.
【思路导引】利用辅助角公式进行变形.
【解析】选B. ,
其中,
由题意知，得,
所以.
【解题策略】
把形如的式子化为,可进一步研究函数
的周期性、单调性、最值与对称性.
9.已知，则的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B. 10.若的一条对称轴方程是,则的取值范围可以是( )
A. B. C. D.
【解析】选D.因为（且）,
则,所以,即,
而且, 所以,所以,
取,此时.
11.函数的值域为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.
,
所以函数f(x)的值域为.
12.sin(45°+A)-sin(45°-A)=________.
【解析】sin(45°+A)-sin(45°-A)=2cos 45°sin A=sin A.
答案: sin A
高一数学午间练（26）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 存在,使成立.
B. 对任意,都成立.
C. 对任意,都成立.
D. 等价于.
【答案】选AD
提示:A√.
当时,,但一般情况下不成立.
B×.两角和的正切公式的适用范围是 且.
C×.两角和的正切公式的适用范围是 且.
D√.当时,由前一个式子两边同乘以可得后一个式子.
2.若,且为第三象限角,则的值等于 ( )
A. B. C.-7 D.7
【解析】选D.,且为第三象限角,则，
所以.
关键能力·合作学习
3.tan 10°+tan 50°+tan 10°tan 50°=________.
【解析】因为tan 60°=tan(10°+50°)=
所以tan 10°+tan 50°=tan 60°(1-tan 10°tan 50°)=,
所以原式=.
答案:
【解题策略】公式应用的解题策略
(1)公式有 (或), (或),三者知二可求出第三个.
(2)化简过程中注意“1”与“”,“”与“”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化.
4.已知.
(1)求的值;
(2)求的值.
【解题策略】给值求角问题的步骤及选取函数的原则
(1)给值求角问题的步骤.
①求所求角的某个三角函数值.
②确定所求角的范围(范围过大或过小,会使求出的角不合题意或漏解),
根据范围找出角.
(2)选取函数的原则.
①已知正切函数值,选正切函数.
②已知正余弦函数值,选正弦或余弦函数,若角的范围是,选正弦或余弦函数均可;若角的范围是,选余弦较好;若角的范围是,选正弦较好.
5.已知都是锐角,且,则 ________.
【解析】因为，
，
因为,且为锐角,所以,同理,
所以,所以.
答案:
6. 已知,求的值.
【解析】因为,所以,,又，
所以.
7.已知,则 ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【解析】选D.由题意可知,
化简得:,
解得.
8.设角的终边过点(2,3),则 ( )
A. B. C.5 D.-5
【解析】选A.由于角的终边过点(2,3),因此,
故.
9.在△ABC中,,则的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.因为C=120°,所以A+B=60°,
所以, 因为,
所以,解得.
10.已知,求的值.
【解析】因为,
所以.
高一数学午间练（27）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1. ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°=tan(45°+30°)
.
2.计算: ________.
【解析】原式=.
答案:1
3.________.
【解析】原式
.
答案:
4.已知,且为锐角,求的值.
【解析】因为，且为锐角,所以.
又因为，且为锐角.
所以,所以.①
由为锐角,得,所以.
所以，
所以
由①②可得.
5.已知,则的值为 ( )
A. B. C. D.
【思路导引】由条件得出与的值,代入两角差的正切公式可求值.
【解析】选A.因为,所以,,又，
所以.
6.已知,那么的值为 ( )
A. B. C. D.
【思路导引】
【解析】选B.
.
【解题策略】给值求值问题的两种变换
(1)式子的变换:分析已知式子的结构特点,结合两角和与差的三角函数公式,通过变形,建立与待求式子间的联系以实现求值.
(2)角的变换:首先从已知角间的关系入手,分析已知角与待求角间的关系,如用等关系,把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系,从而求值.
7.已知为锐角,,则的值为________.
【解析】因为为锐角,,所以.
所以.
答案:
8.等于 ( )
A. B.1 C. D.
【解析】选B.原式=tan 10°tan 20°+tan 30°(1-tan 10°tan 20°)
=tan 10°tan 20°+1-tan 10°tan 20°=1.
9.计算________.
【解析】因为.
答案:1
题19.已知,求的值.
【解析】因为,
所以.
高一数学午间练（28）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 倍角的正切公式的适用范围不是任意角.
B. 对于任意的角,都有成立.
C. 存在角,使成立.
D. 对任意的角都成立.
【答案】选ACD
提示:A√.倍角的正切公式,要求且,故此说法正确.
B×.当时,,而.
C√.由,得时, 成立.
D√.由倍角的正弦公式可得.
2.已知,则sin 2α=________,cos 2α=________,tan 2α=________.
【解析】因为,所以,
所以.
答案:
3. ( )
A.1 B.2 C. D.
【解析】选B. .
4.列各式的值:
(1)；
(2);
(3).
【解析】(1)原式.
(2)原式.
(3)原式.
5.已知,求和的值.
【解析】由，得，则，即.
因为，所以，所以，
.
6.化简:（1）；（2）.
【思路导引】结合题目特点,利用二倍角的正弦、余弦公式化简.
【解析】(1)原式.
(2)原式
.
7.证明.
【思路导引】利用二倍角公式化简左边式子求解.
【解析】.
【解题策略】
1.化简三角函数式的常用方法
(1)切化弦;(2)异名化同名;(3)异角化同角;(4)高次降低次.
2.化简三角函数式的常用技巧
(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化;
(2)对于分式形式,应分别对分子、分母进行变形处理,有公因式的提取公因式后进行约分;
(3)对于二次根式,注意倍角公式的逆用;
(4)利用角与角之间的隐含关系,如互余、互补等.
3.证明问题的原则及一般步骤
(1)观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.
(2)证明的一般步骤是:先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.
8.求证:.
【证明】方法一:左边右边,得证.
方法二:
右边左边,得证.
9.求函数的最小值,
并求其单调减区间.
【思路导引】
化简f(x)的解析式→f(x)=Asin(ωx+φ)+B→ωx+φ的范围→求最小值,单调减区间.
【解析】
,
因为,所以,所以,
所以当,即时,f(x)取最小值为.
因为在上单调递增,所以f(x)在上单调递减.
【解题策略】倍角公式与三角函数性质的综合问题的解题策略
运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asin ωx+bcos ωx+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质.
10.已知,则的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.因为,所以.
11.的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B..
12.函数的最小正周期是________.
【解析】
,
故最小正周期为.
答案:
高一数学午间练（29）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1. sin 15°sin 75°的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.原式.
2. ( )
A. B. C.1 D.
【解析】选A.原式.
3..
【解析】原式.
答案:
【解题策略】利用二倍角公式解决给角求值问题的策略
(1)注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系,灵活正用或逆用二倍角公式.
(2)结合诱导公式恰当变化函数名称,灵活处理系数,构造二倍角公式的形式.
4.已知,求的值.
【解题策略】解决条件求值问题的方法
(1)将已知式或未知式化简,使关系明朗化;
(2)寻找角之间的关系,特别是已知角与要求的角之间的二倍关系,如果二倍关系中含有已知角和某些特殊角,则利用诱导公式转化后整体代入.
5.已知,且，求.
【解析】因为，
，
所以原式可化为，
解得或.
因为,所以,故或,
即或.
6.化简.
【解析】原式
.
7.的化简结果为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B..
8.化简:,其中.
【解析】原式
.
①当时,,
此时原式.
②当时,,
此时原式.
9.求函数的最小正周期和最小值,并写出该函数在上的单调递减区间.
【解析】
,
所以.
由,得,
又,所以令k=0,得函数的单调递减区间为.
10.计算的结果为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B. .
11.已知,则等于________.
【解析】由得.
答案:
12.求证:.
【证明】左边 =
右边,所以等式成立.
高一数学午间练（30）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A..
B. 对于任意,都不成立.
C. 若是第一象限角,则.
D. .
【答案】选CD
提示:A×.只有当,
即时，.
B×.当时,上式成立,但一般情况下不成立.
C√.若是第一象限角,则是第一、三象限角,此时成立.
D√.积化和差公式.
2.的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.
.
3.设,那么等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.若,
则，则.
4.已知,且为第一象限角,则的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.因为,所以.又,
所以或
因为α为第一象限角,所以 为第一、三象限角,且
所以.
【解题策略】
利用半角公式求值的思路
(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.
(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用，其优点是计
算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用计算.
(4)下结论:结合(2)求值.
5.化简: .
【思路导引】利用二倍角公式及半角公式解决,注意角度的范围.
【解析】原式
又因为180°< <360°,所以90°<<180°,
所以,所以原式.
【解题策略】 化简问题中的“三变”
(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.
(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.
(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等.
6.已知,试化简:.
【解析】因为,所以，
所以，
从而.
所以原式
.
7.求证:.
【思路导引】左边切化弦,通分,变形,直至与右边相等.
【证明】因为左边
右边.所以原始成立.
8.已知,且.
求证:.
【思路导引】结合已知条件,求的某个三角函数值,进而求出角的大小.
【证明】因为,即，
所以，
所以，所以.
又因为，所以，所以.因为，所以.
【解题策略】
(1)证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的的化繁为简、左右归一.
(2)三角恒等式的证明主要有两种类型:绝对恒等式与条件恒等式.
①证明绝对恒等式要根据等式两边的特征,化繁为简,左右归一,通过三角恒等式变换,使等式的两边化异为同.
②条件恒等式的证明则要认真观察,比较已知条件与求证等式之间的联系,选择适当途径.常用代入法、消元法、两头凑等方法.
9.已知,求证:.
【证明】由得
，
即，
即(1-m)sin(α+β)cos α=(1+m)cos(α+β)sin α.两边同除以(1-m)cos(α+β)cos α,
得,即原等式成立.
10.求的值.
【解析】原式
.
11.已知,则的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.因为,
所以.
12.函数的最小正周期为________.
【解析】因为，
所以函数的最小正周期.
答案:
高一数学午间练（31）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.若,则的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由题意知,所以.
2.设,则等于________.
【解析】.
因为,所以,所以,故原式.
答案:
3.已知,则 ( )
A.3 B.-3 C. D.
【解析】选D.因为,且,
所以.
4.已知,求及的值.
【解析】，所以，所以，
所以，解得或.
因为,所以,所以,所以.
综上可知.
5.化简: .
【解析】原式，
因为,所以.所以，
所以原式
.
6.若,则等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.因为,所以，
.
7.求证:.
【证明】因为左边右边,
所以原式成立.
8.求证:.
【证明】左边
右边.所以原等式成立.
9.已知,求的值.
【思路导引】利用和差化积公式,对所求式子进行变形,利用所给条件求解.
【解析】因为,所以 ①
又因为,所以 ②
因为,所以由①②,得,即.
所以.
【解题策略】
1.积化和差公式的功能与关键
(1)功能:①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式).
②将角度化为特殊角求值或化简,将函数式变形以研究其性质.
(2)关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数.
2.和差化积公式应用时的注意事项
(1)在应用和差化积公式时,必须是一次同名三角函数方可施行,若是异名,必须用诱导公式化为同名,若是高次函数,必须用降幂公式降为一次.
(2)根据实际问题选用公式时,应从以下几个方面考虑:
①运用公式之后,能否出现特殊角;
②运用公式之后,能否提取公因式,能否约分,能否合并或消项.
10.已知,则等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.由题知,所以.
11.的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.原式
12.求证:.
【证明】原式可变形为,①,
式右边
左边.
所以①式成立,即原式得证.
高一数学午间练（32）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.
2.计算:.
【解析】原式
.
3.求的值.
【解析】原式
.
【方法技巧】
给角求值
在解决给角求值问题时,如果含有正切函数、正弦函数、余弦函数,一般采用切化弦、通分的策略进行转化;含有正弦或余弦的二次项时,一般应考虑采用二倍角公式进行转化.另外也要注意角的转化与两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用.
题组训练二 给值求值问题
4.已知,且,求的值.
【解析】易知.
因为,所以.
因为，
所以，
所以
.
所以.
5.已知,求的值.
【解析】由条件得,
即或.
又由已知条件知,所以,且,即.
于是,所以.
所以
.
将代入上式,得
.
【方法技巧】
给值求值
解决给值求值问题时,关键是分析已知条件和结论中的角之间的内在关系,通过角的变换(拆角、配角),发现解题思路,选择相应的三角公式进行求解.
题组训练三 给值求角问题
6.已知,且,则等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由，
易知，
所以，
所以.
7.已知，求的值.
【解析】因为，所以.
因为,所以,所以.
因为,所以，
由,得.
又,所以.
【方法技巧】
给值求角
解决给值求角问题时,首先要求出该角的某一个三角函数值,其次要确定出该角的取值范围,最后求得该角的大小.求三角函数值时,还要注意根据角的取值范围合理选择是求其正弦值还是余弦值,而确定角的取值范围时,可能还要根据给定的函数值结合三角函数的单调性进行求解.
题组训练四 三角函数式的化简问题
8.已知α为第二象限的角,化简:.
【解析】因为为第二象限的角,所以,
所以
所以
9.证明:.
【证明】左边
右边,所以原等式成立.
【方法技巧】
三角函数式的化简与证明问题
三角函数式的化简与证明问题是三角变换应用的一个重要方面,解决这类问题的基本方法与思路:
(1)基本方法
弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂或升幂、“1”的代换等.
(2)基本思路
“一角二名三结构”,即:
一看“角”,这是最重要的一环,通过角之间的差别与联系,把角进行合理地拆分,从而正确使用公式;
二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;
三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“遇根式化被开方式为完全平方式”等.
题组训练五 运用公式研究函数性质
10.已知函数.
求:(1)函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的集合;
(2)函数f(x)的单调递增区间.
【解析】(1)
所以当,即时f(x)取得最大值.
函数f(x)取得最大值时自变量的集合为.
(2)由(1),得，
由题意,得，
即时,函数f(x)单调递增,因此函数f(x)的单调递
增区间为.
11.已知函数
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最小值.
【解析】(1)因为
所以的最小正周期为.
(2)因为,所以，
所以当，即时,取得最小值.
所以在区间上的最小值为.
【方法技巧】
三角恒等变换与三角函数性质的综合问题
1.研究三角函数的性质,例如周期性、单调性、最值等,通常要先将函数的解析式进行化简,转化为的形式,再通过整体代换研究函数的上述性质,而将函数的解析式进行化简的过程,降幂公式和辅助角公式起着关键作用.
2.常见的降幂公式有:,当函数解析式中含有二次(或二次以上)的三角函数式时,可考虑利用上述公式进行降幂.
3.辅助角公式的作用是将形如的三角函数式转化为只含有一种三角函数(正弦或余弦)的一次函数
式,从而可进一步研究函数的性质.
高一数学午间练（33）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题错误的是 ( )
A. 在三角形中,勾股定理是余弦定理的一个特例.
B. 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适用于任何三角形.
C. 在△ABC中,已知两边和其夹角时,△ABC不唯一.
D. 余弦定理的推论：.
【答案】选CD
提示:A√.余弦定理可以看作勾股定理的推广.
B√.余弦定理反映了任意三角形的边角关系,它适用于任何三角形.
C×.由余弦定理可知,已知△ABC的两边和其夹角时,第三边是唯一确定的,所以△ABC是唯一的.
D×.余弦定理的推论应该为：.
2.已知在△ABC中,a=1,b=2,C=60°,则c=________.
【解析】由余弦定理,得,所以.
答案:
3.在△ABC中,若,则AC= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【思路导引】利用余弦定理求出AC,再检验方程的根.
【解析】选A.由余弦定理得, ,将各值代入得,解得或 (舍去!).
【解题策略】已知两边及角解三角形
(1)已知两边及其夹角可以直接运用余弦定理求解,如果已知两边及一边对角亦可以运用余弦定理,此时选用含有此角的形式的余弦定理,然后解关于未知边作为变量的一元二次方程,解出未知量后根据内角和为或者利用大边对大角、小边对小角加以检验.
(2)应用余弦定理应该注意的事项:一定要熟记两种形式:
①;②,同时还要熟练掌握运用两种形式的
条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住30°,45°,60°等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.
4.在△ABC中,已知,则角C=________.
【解析】由余弦定理,得,
所以,得a=3或6.当a=3时,A=30°,所以C=120°.
当a=6时,因为.所以A=90°,所以C=60°.
答案:60°或120°
5.已知三角形三边之比为5∶7∶3,则最大角为 ( )
A.90° B.120° C.135° D.150°
【解析】选B.因为三角形三边之比为5∶7∶3,
所以设三边长分别为5a,7a,3a,所以长为7a的边对的角最大,设这个角为,
由余弦定理得,
因为是三角形的内角,所以.
6.在△ABC中,,则AC边上的高为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.由选C.由题可知,可得,得.
因为A为△ABC的内角,所以,所以AC边上的高为.
7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,b=a+1=c+2,且,
则△ABC的周长为________.
【解析】由余弦定理得，
解得a=4.所以b=5,c=3.所以△ABC的周长为12.
答案:12
8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,
则角C的值为 ( )
A. B. C.或 D. 或
【解析】选C.在△ABC中,由已知等式整理得,即.
因为,所以,因为C为△ABC内角,所以或.
9.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则
△ABC的形状是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
【解析】选B.因为bcos C+ccos B=asin A,所以由余弦定理得,整理,得a=asin A,所以sin A=1.
又,所以.故△ABC为直角三角形.
10.如图,海面上一走私船正以每小时15海里的速度沿方位角120°方向航行,距离走私船18海里处的缉私艇测得该走私船当前的方位角为60°,并即刻以每小时21海里的速度径直追赶.
(1)求缉私艇追上走私船所需的最短时间;
(2)求缉私艇用时最短的追赶方向(方位角)的余弦值.
【思路导引】
(1)设缉私艇追上走私船的最短时间为x小时,利用余弦定理列方程求出x的值;
(2)利用余弦定理和两角和的余弦值,即可求出缉私艇用时最短的追赶方向(方位角)的余弦值.
【解析】(1)如图所示,在C点处缉私艇赶上走私船,在△ABC中,
∠ABC=60°+(180°-120°)=120°,AB=18,设缉私艇追上走私船的最短时间为x小时,
则;
即,
化简得,解得或(不合题意,舍去);
所以缉私艇追上走私船所需的最短时间是2小时.
(2)在△ABC中,AB=18,AC=42,BC=30,
所以,所以,
,
所以缉私艇用时最短的追赶方向(方位角)的余弦值是.
【解题策略】解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系;
(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型;
(3)根据题意选择余弦定理求解.
(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
11.在△ABC中,已知B=120°,a=3,c=5,则b等于 ( )
A.4 B. C.7 D.5
【解析】选C.,
所以b=7(负值舍去).
12.已知a,b,c是△ABC的三边长,若满足等式(a+b-c)·(a+b+c)=ab,
则角C的大小为 ( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
【解析】选C.由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得(a+b)2-c2=ab,
所以,所以,所以C=120°.
13.在△ABC中,已知,角C的余弦值是方程的根,求第三边c的长.
【解析】可化为(5x-3)·(x+2)=0,所以,所以.
根据余弦定理得,,所以c=4,
即第三边c的长为4.
高一数学午间练（34）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若,
则角C等于 ( )
A.120° B.90° C.60° D.45°
【解析】选A.由余弦定理的推论,得,
所以C=120°.
2.在△ABC中,,求AB的长.
【思路导引】首先利用二倍角公式求出cos C,然后利用余弦定理求出AB的长.
【解析】,在△ABC中,
由余弦定理得,,
则,所以.
【解题策略】
已知两边及其夹角的三角形的解法
首先直接利用余弦定理求出第三边,其次再利用余弦定理求出一个角,最后利用内角和为π得出第三个角.
3.在△ABC中,边a,b的长是方程的两个根,C=60°,则边c=________.
【解析】由题意得:a+b=5,ab=2.
由余弦定理得,
所以.
答案:
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 ,
则C= ( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
【解析】选C.由题可知,因为,故C=60°.
5.在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b-c),则A等于 ( )
A.90° B.60° C.120° D.150°
【解析】选B.因为(a+c)(a-c)=b(b-c),所以,
所以.因为0°【解题策略】已知三角形的三边解三角形的方法
(1)利用余弦定理的推论求出两个角,最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.
(2)若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边求解.
6.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足,且C=60°,则ab=________.
【思路导引】把已知关系式化简,根据化简结果和C=60°求出ab即可.
【解析】因为C=60°,所以,即.①
又因为,所以. ②
由①②知,所以.
答案:
7.在△ABC中,若,试判断△ABC的形状.
【思路导引】先将正弦转化为余弦,化简后利用余弦定理的推论判断.
【解析】将已知等式变形为.
即
所以A=90°.所以△ABC是直角三角形.
【解题策略】
利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
(1)化边的关系:将条件中的角,利用余弦定理化为边的关系,再变形条件进行判断.
(2)化角的关系:将条件转化为角与角之间的关系,通过三角变换得出关系进行判断.
8.在△ABC中,,则△ABC一定是 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
【解析】选D.在△ABC中,因为,所以由余弦定理可得
,即,
所以b=c,结合A=60°可得△ABC一定是等边三角形.
9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,则( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【解析】选A.由已知得,由余弦定理可得,
所以,所以，所以.
10.如图,在西部某边防警戒线上有一笔直的公路上,武警边防支队在点A,B,C处设置了治安卡口,B,C两点到A的距离分别为11千米和32千米,某一天,B收到来自防控目标P的一个特殊无线信号,7秒后A,C同时接收到该无线信号,已知该特殊无线信号在空气中的传播速度是1千米/秒.(假设该无线信号沿直线传播)
(1)求PA的长度;
(2)现要更改卡口B的位置,使得卡口B能在最短时间内截获来自P处的信号,求此时P,B两点间的距离.
【解析】(1)依题意,设PA=PC=x(千米),PB=x-1×7=x-7(千米).
因为∠PBA+∠PBC=π,所以cos∠PBA=-cos∠PBC,
在△PAB中,由余弦定理得PA2=PB2+AB2-2PB·BA·cos∠PBA,
在△PBC中,由余弦定理得PC2=PB2+CB2-2PB·CB·cos∠PBC,
所以
又cos∠PBA=-cos∠PBC,解得x=20,所以AP=20千米.
答:PA的长度为20千米.
(2)如图,作PD⊥AC于点D,因为PA=PC,所以D为AC中点,
在△ADP中,由,得,
所以PD=PAsin∠PAD=20×=12千米.
答:目标P到卡口B的距离最小为12千米.
11.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,,
则b= ( )
A.1 B.2 C.3 D.
【解析】选A.由余弦定理知,
因为a=4b,所以,解得b=1(负值舍去).
12.在△ABC中,,则△ABC的形状为 ( )
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
【解析】选B.因为,所以,
所以,所以C=90°,所以△ABC为直角三角形.
高一数学午间练（35）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 正弦定理不适用于直角三角形.
B. 在△ABC中,若sin A=sin B,则A=B.
C. 在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B.
D. 正弦定理的一个推论：（为三角形外接圆的半径）.
【答案】选BC
提示:A×.正弦定理是适用于任何三角形的.
B√.在△ABC中,若sin A=sin B,由正弦定理得,故a=b,则A=B.
C√.在△ABC中,若A>B,则a>b,由正弦定理得2Rsin A>2Rsin B,所以
sin A>sin B.
D×.正弦定理的一个推论应该为：（为三角形外接圆的半径）.
2.在△ABC中,若,则AC= ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.由正弦定理得:,所以.
3.在△ABC中,,则c等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B. 由得，
.
由正弦定理得.
4.在△ABC中,已知,则 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.A=180°-B-C=45°,由正弦定理,得.
5.在△ABC中,已知,解这个三角形.
四步 内容
理解 题意 条件:已知三角形的两边及一边对角
结论:求该三角形的其他边与角
思路 探求 利用正弦定理求出sin C的值,再解其他元素,注意三角形解的个数.
书写 表达 因为
所以
因为0°所以C=60°或C=120°. ①
当C=60°时,B=75°, ；
当C=120°时,B=15°, ；
所以
或. ②
书写 表达 注意书写的规范性:①解三角形产生多解时必须进行检验,常用大边对大角、小边对小角或者内角和为进行检验;②分情况讨论时不能使用大括号,要分开来写.
题后 反思 正、余弦定理通常可以解决四种类型,唯有两边及一边对角这种类型可能会产生多解,应当引起重视.
【解题策略】已知两边及其中一边的对角解三角形的思路
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值;
(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角;
(3)如果已知的角为小边所对的角,不能判断另一边所对的角为锐角时,这时由正弦值可求出两个角,要分类讨论.
6.在△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,为使此三角形有两个,则a满足的条件是 ( )
A. B. C. D.或a=3
【解析】选C.设C到AB的距离d=bsin A=3,
所以当时符合条件的三角形有两个.
7.已知,试判断△ABC的形状.
【解析】在△ABC中,由,可得,所以.
又因为,所以,所以,
所以sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A+2B=π,
即A=B或A+B=.
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.
(1)求A;
(2)若,求sin C.
【思路导引】(1)由正弦定理化角为边,再用余弦定理的推论求角A;
(2)由正弦定理化边为角,结合(1)的结论,利用三角恒等变换求sin C.
【解析】
2.(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C，故由正弦定理得.
由余弦定理的推论,得.因为0°(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得,
即,可得.
由于,所以,
故
【解题策略】
1.判定三角形形状的两种常用途径
(1)化角为边:利用正弦定理、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断;
(2)化边成角:通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.
2.解三角形时的边角互化
化边(角)为角(边):将题目中所有的条件,利用正弦定理或余弦定理化边(角)为角(边),再利用三角恒等变换找出三角的关系.
9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c-acos B=(2a-b)cos A,则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
【解析】选D.已知c-acos B=(2a-b)cos A,由正弦定理得sin C-sin Acos B
=2sin Acos A-sin Bcos A,所以sin(A+B)-sin Acos B=2sin Acos A-sin B
cos A,化简得cos A(sin B-sin A)=0,所以cos A=0或sin B-sin A=0,则A=90°
或A=B,故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
10.在△ABC中内角A,B,C所对边分别为a,b,c,,
则的值等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.因为,所以，
所以,所以，
所以.
11.如图,某数学学习兴趣小组的同学要测量学校地面上旗杆CD的高度(旗杆CD垂直于地面),设计如下的测量方案:先在地面选定距离为30米的A,B两点,然后在A处测得∠BAC=30°,在B处测得∠ABC=105°,∠DBC=45°,由此可得旗杆CD的高度为________米,∠CAD的正切值为________.
【解析】因为CD垂直于地面,所以CD⊥BC,CD⊥AC,又∠DBC=45°,所以BC=CD,
在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=105°,所以∠ACB=45°,又AB=30,
由正弦定理可得: ，所以，
解得:,即;由正弦定理可得: ,
所以，即
因此.
答案:
12.在锐角△ABC中,下列不等关系总成立的是 ( )
A.sin Asin B D.sin B>cos A
【解析】选D.因为在锐角△ABC中,,所以,
因为,故A选项不正确,因为sin A与sin B大小不定,所以C
选项不正确,所以,所以B不正确,D选项正确.
13.在△ABC中,若，则B的度数为________.
【解析】根据正弦定理知,，结合已知条件可得sin B=cos B,
又0°答案:45°
高一数学午间练（36）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.在△ABC中,,则sin B= ( )
A. B. C. D.1
【解析】选B.因为,所以由正弦定理得.
2.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=30°,B=45°,则 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.由正弦定理知,,即.
3.在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.
【解析】因为A=45°,C=30°,所以B=180°-(A+C)=105°.
由，得.
因为,
所以.
所以.
【解题策略】已知三角形的两角和任一边解三角形的思路
(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对的边,再由三角形内角和定理求出第三个角.
(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.
4.在△ABC中,,求三角形中其他边与角的大小.
【解析】因为,所以B=30°或150°,当B=30°时,由A=60°得C=90°;
当B=150°时,不合题意,舍去.所以由正弦定理,
得
5.在△ABC中,,则B等于 ( )
A.45°或135° B.135° C.45° D.60°
【解析】选C.由,得,由正弦定理得.因为三角形的内角和为180°,且a>b,所以B=45°.
【拓展延伸】
1.已知两边及一边对角解三角形的个数判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a=bsin A bsin Ab a≤b
解的 个数 一解 两解 一解 一解 无解
2.解题思路
在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其他边角的问题时,首先必须判断是否有解,如果有解,是一解还是两解,注意“大边对大角”在判定中的应用.运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.
6.在△ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且sin 2A=sin2B+sin 2C,试判断△ABC的形状.
【思路导引】解决本题的关键是把sin 2A=sin 2B+sin 2C转化为三角形三边的关系,从而求出角A,然后再利用sin A=2sin Bcos C求解.
【解析】方法一:(利用角的互余关系)根据
正弦定理，及sin 2A=sin2B+sin 2C,可得,
所以A是直角,B+C=90°,所以2sin Bcos C=2sin Bcos(90°-B)=2sin 2B=sin A=1,
所以.因为,所以,
所以△ABC是等腰直角三角形.
方法二:(利用角的互补关系)根据正弦定理，及sin 2A=sin2B+sin 2C,可得,因为,
所以.所以.
又,所以,所以,
所以△ABC是等腰直角三角形.
7.在△ABC中,若,则b=________.
【思路导引】根据cos C的值,求出sin C的值,再根据三角形的面积公式求出边b的值;
【解析】因为,所以,所以,
又,所以.
答案:
8.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,满足 ,则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【解析】选C.由正弦定理得,又,
得,即tan A=tan B=tan C,所以A=B=C,即△ABC为等边三角形.
9.在△ABC中内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若bcos C+ccos B=2acos A，且△ABC的面积为,则B= ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由正弦定理及bcos C+ccos B=2acos A,
得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin Acos A,所以sin(B+C)=2sin Acos A,
又因为在△ABC中,sin(B+C)=sin A>0,
所以,又A∈(0,π),所以,
又,结合余弦定理，
得,所以tan C=1.又C∈(0,π),所以,
所以.
10.如图,在路边安装路灯,灯柱AB与地面垂直,灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直,且,路灯C采用锥形灯罩,射出的光线如图阴影部分所示,已知,路宽AD=24(m),设灯柱高AB=h(m),.
(1)求灯柱的高h(用表示);
(2)若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同,记所用材料的长度为S,求S关于的函数表达式,并求出S的最小值.
【思路导引】(1)由已知得∠BAC=60°-θ,∠CAD=30°+θ,又∠ACD=60°,
∠ADC=90°-θ,在△ACD中和在△ABC中,,运用正弦定理可求得答案;
(2)在△ABC中,运用正弦定理可得,运用三角恒等变换和三角函数的性质可求得最小值.
【解析】(1)由已知得∠BAC=60°-θ,∠CAD=30°+θ,又∠ACD=60°,∠ADC=90°-θ,
在△ACD中, ，所以,
在△ABC中,,
即h=16sin 2θ(30°≤θ≤45°).
(2)在△ABC中, ,
则,
因为30°≤θ≤45°,所以120°≤2θ+60°≤150°,当θ=45°时,S取到最小值m.
【解题方略】利用正弦定理解决实际问题的步骤
1.认真审题,弄清题意.有图形则借助图形,无图形则作出规范图形辅助解决.
2.转化.将实际问题转化为解三角形问题,利用正弦定理进行数据求解.
3.还原问题.将求得的解还原到实际问题中去,即除了解三角形自身限制外还要注意实际问题的限制.
4.作出解答.
11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列等式正确的是 ( )
A.a∶b=A∶B B.a∶b=sin A∶sin B
C.a∶b=sin B∶sin A D.asin A=bsin B
【解析】选B.由正弦定理，可得a∶b=sin A∶sin B,可知B正确.
12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知,则B=________.
【解析】因为,把代入,解得.因为b>a,
所以B>A,结合题意可知或.
答案: 或
13.△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,则角B=________,△ABC的面积是________.
【解析】在△ABC中由正弦定理得，则，
又因为b则△ABC的面积为.
答案:
高一数学午间练（37）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 若P在Q的北偏东44°方向,则Q在P的东偏北44°方向.
B. 方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系,其范围均是.
C. 方位角210°的方向与南偏西30°的方向一致.
D. 方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.
【答案】选CD
提示:A×.因为若P在Q的北偏东44°方向,则Q应在P的南偏西44°方向.
B×.因为方向角的范围为0°～90°,而方位角的范围为0°～360°.
C√.由方位角与方向角的定义知正确.
D√.方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角，这是方位角的定义.
2.已知两座建筑A,B与规划测量点C的距离相等,A在C的北偏东40°,B在C的南偏东60°,则A在B的 ( )
A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东10° D.南偏西10°
【解析】选B.如图,由题意可知△ABC为等腰三角形,∠ACB=80°,
所以∠CBA=(180°-80°)=50°,又60°-50°=10°.所以A在B的北偏西10°.
3.已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2 km,船B在灯塔C北偏西65°且到
C的距离为km,则A、B两船的距离为 ( )
A. km B.km C.km D.km
【解析】选D.如图可知∠ACB=85°+65°=150°,AC=2 km,BC=km,
所以,所以AB=km.
4.如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A、B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则河的宽度为 ( )
A.230 m B.240 m C.50 m D.60 m
【解析】选D.在△ABC中,∠CAB=30°,∠CBA=75°,
所以∠ACB=75°,∠ACB=∠ABC.所以AC=AB=120 m.
如图, 作CD⊥AB,垂足为D,则CD即为河的宽度.
在Rt△ACD中,由正弦定理,得，所以，
所以CD=60,所以河的宽度为60 m.
5.在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A为海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°方向,距离A为2海里的C处有一艘缉私艇奉命以海里/时的速度追截走私船,此时,走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.
(1)问C与B相距多少海里?C在B的什么方向?
(2)问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?并求出所需时间.
【解题策略】
解决测量角度的常用方法与注意点
(1)测量角度问题的关键是弄清题意,画出图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将结果转化为实际问题的解.
(2)求角的度数时,多用余弦定理求角.因为余弦函数在上是单调递减的,而正弦函数不单调,一个正弦值可能对应两个角.若角在上时,用正、余弦定理皆可.
6.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值.
【思路导引】(1)设相遇时小艇的航行距离为S海里,根据余弦定理可得S关于t
的表达式为,进而可知当时,S有最小值为,进而求得此时的速度v.
(2)设小艇与轮船在B处相遇.根据余弦定理可得v关于t的表达式,再根据t的范围及二次函数的单调性求得v的最小值及此时t的值.
【解析】(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里,
则
.
故当时, (海里/小时).
即小艇以海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.
(2)设小艇与轮船在B处相遇,如图所示.
由题意可得 :,
化简得，
由于,即,所以当时v取得最小值 ,
即小艇航行速度的最小值为海里/小时.
7.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC
=90°.
(1)若PB=,求PA;
(2)若∠APB=150°,求tan ∠PBA.
【思路导引】(1)根据PB,BC的值及∠BPC求出∠PBC的值,再在△ABP中,求出∠PBA,利用余弦定理求出PA的长.
(2)根据∠PBA+∠PAB=30°,用∠PBA表示∠PAB,再利用正弦定理求出tan ∠PBA.
【解析】(1)由已知得,∠PBC=60°,所以∠PBA=30°,在△ABP中,
由余弦定理得,所以(负值舍去).
(2)设∠PBA=,所以∠PCB=,PB=sin.
在△PBA中,由正弦定理得,，化简得，
所以，即.
【解题策略】
在复杂图形中利用正弦定理、余弦定理解题的方法
(1)分析复杂图形,找准需要解决的问题所在的三角形,找出该三角形与其他三角形之间的关系.
(2)根据题目给出的条件,适当选用正弦定理或余弦定理解题.
8.如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援,则________.
【解析】在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,
由余弦定理知.
由正弦定理,
则∠ACB为锐角,.由∠ACB+30°,
则cos=cos(∠ACB+30°)=cos ∠ACB·cos 30°-sin ∠ACB·sin 30°=.
答案:
9.如图,某公园内有两条道路AB,AP,现计划在AP上选择一点C,新建道路BC,并把△ABC所在区域改造成绿化区域,已知km.
(1)若绿化区域△ABC的面积为1 km2,求道路BC的长度;
(2)绿化区域△ABC每平方千米的改造费用与新建道路BC每千米修建费用都是∠ACB的函数,其中绿化区域△ABC改造费用为(单位:万元/平方千米),新建道路BC新建费用为(单位:万元/千米),设,某工程队承包了该公园的绿化区域改造与新道路修建,已知绿化区域改造费与道路新建费用越高,则工程队所获利润也越高,试问当为何值时,该工程队获得最高利润?
【解析】(1)因为绿化区域△ABC的面积为1 km2,
所以.
因为,所以,得AC=2,
由余弦定理得,
所以
即BC的长度为.
(2)设绿化区域改造费与道路新建费用之和为y万元.
因为,所以,
由正弦定理，得，
则由题意可得
，
因为，所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以当时，该工程队获得最高利润.
10.一海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是 ( )
A.海里 B.海里 C.海里 D.海里
【解析】选B.根据已知条件可知在△ABC中,AB=20,∠BAC=30°,∠ABC=105°,
所以∠C=45°,由正弦定理有，所以.
11.一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B,又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C,若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C,则此船沿________方向行驶________海里至海岛C.
【解析】在△ABC中,∠ABC=110°+10°=120°.又AB=BC,故∠CAB=∠ACB=30°,
.
故此船沿着北偏东70°-30°=40°方向行驶了海里到达海岛C.
答案:北偏东40°
高一数学午间练（38）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.如图,为了测量隧道AB的长度,给定下列四组数据,测量时应选用数据 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.选择a,b,γ可直接利用余弦定理求解,而无法测量得到,故排除A,B,D.选C.
2.如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者与A在河的同侧,在A所在的河岸边先确定一点C,测出A,C的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,
可以计算出A,B两点的距离为 ( )
A.m B.m C.m D.m
【解析】选A.∠ABC=180°-45°-105°=30°,在△ABC中由，
得 (m).
3.如图所示,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10 m,从D,C两地测得A点的仰角分
别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于 ( )
A.10 m B.m C.m D.m
【解析】选D.方法一:设AB=x m,则BC=x m.所以BD=(10+x)m.
所以，解.
所以A点离地面的高AB等于m.
方法二:因为∠ACB=45°,所以∠ACD=135°,所以∠CAD=180°-135°-30°=15°.
由正弦定理,得(m),
所以AB=ACsin 45°m.
【解题策略】
1.求距离问题时应注意的两点
(1)选定或确定所求量所在的三角形,若其他量已知,则直接求解;若有未知量,则先把未知量放在另一确定三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
2.解决测量高度问题的一般步骤
(1)画图:根据已知条件画出示意图.
(2)分析三角形:分析与问题有关的三角形,在高度问题中,经常用到直角三角形.
(3)求解:运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解.在解题中,要综合运用平面几何知识,注意方程思想的运用.
4.在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°,塔基的俯角为45°,那么这座塔吊的高是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B. 如图,由条件知四边形ABCD为正方形,
所以AB=CD=BC=AD=20 m.在△DCE中,∠EDC=60°,
∠DCE=90°,CD=20 m,所以EC=CD·tan 60°=20(m),
所以BE=BC+CE=(20+20)=20(1+)m.
5.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距a n mile,乙船向
正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的倍,问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船?相遇时乙船行驶了多少n mile?
【解析】如图所示,设两船在C处相遇,并设∠CAB=,
乙船行驶距离BC为x n mile,则AC=x,
由正弦定理得，而,
所以,所以∠ACB=30°,BC=AB=a.
所以甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船,两船相遇时乙船行驶了a n mile.
【拓展延伸】
1.函数与方程思想在距离问题中的应用
(1)函数思想的应用
将三角形中边角之间的关系问题借助余弦定理和正弦定理建立函数关系,结合有关函数的图象和性质,加以分析、转化、解决有关求取值范围、最大(小)值问题.
(2)方程思想的应用
余弦定理和正弦定理涉及三个边和三个角共六个量,只要知道其中三个独立的量(必须有边)就能求出其余三个量.因此,解三角形的实际应用问题中,直接求相关量较难时,通常将问题的数量关系运用这两个定理转化为数学模型(方程、方程组)加以解决.
6.如图,为了测量河对岸的塔高AB,有不同的方案,其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D,测得CD=200米,在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高AB.
【思路导引】设AB=h.表示出BC=h,BD=h,然后在△BCD中利用余弦定理求解.
【解析】在Rt△ABC中,∠ACB=45°,若设AB=h,则BC=h.
在Rt△ABD中,∠ADB=30°,则BD=h.在△BCD中,
由余弦定理可得,
即,所以,解得h=200(h= -200舍去),
即塔高AB=200米.
7.瑞云塔是福清著名的历史文化古迹.如图,一研究小组同学为了估测塔的高度,在塔底D和A,B(与塔底D同一水平面)处进行测量,在点A,B处测得塔顶C的仰角分别为45°,30°,且A,B两点相距91 m,由点D看A,B的张角为150°,则瑞云塔的高度CD= ( )
A.91 m B. m C. m D. m
【解析】选C.设CD=h,因为在点A,B处测得塔顶C的仰角分别为45°,30°,
所以BD=h,AD=h,
因为,所以,即(负值舍去).
8.某海域的东西方向上分别有A,B两个观测点(如图),它们相距海里.现有一艘轮船在D点发出求救信号,经探测得知D点位于A点北偏东45°,B点北偏西60°,这时,位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点有一救援船,其航行速度为30海里/小时.
(1)求B点到D点的距离BD;
(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救,求该救援船到达D点需要的时间.
【解析】(1)由题意知海里,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,
所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°,在△DAB中,由正弦定理得，
(2)在△DBC中,∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC(海里),
由余弦定理得,
所以CD=30(海里),则需要的时间(小时).
答:救援船到达D点需要1小时.
9.如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的 ( )
A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东80° D.南偏西80°
【解析】选D.由条件及题图可知,∠CAB=∠CBA=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
10.如图所示,在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为 ( )
A. m B. m C. m D. m
【解析】选D.可得∠SAB=45°-30°=15°,∠SBA=∠ABC-∠SBC=45°-(90°-75°)=30°,
在△ABS中,(m),
所以(m).
11.海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°,距离为海里;在A处看灯塔C,在货轮的北偏西30°,距离为海里;货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在南偏东60°,求:
(1)A处与D处之间的距离;
(2)灯塔C与D处之间的距离.
【解析】由题意,画出示意图.
(1)在△ABD中,因为∠ADB=60°,∠DAB=75°,所以B=45°.由正弦定理得(海里).所以A处与D处之间的距离为24海里.
(2)在△ADC中,由余弦定理得,
所以海里.所以C,D之间的距离为海里.
高一数学午间练（39）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,
AC=1,AB=AD,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=________.
【解析】因为AB⊥AC,AB=,AC=1,由勾股定理得,
同理得BD=,所以BF=BD=,在△ACE中,AC=1,AE=AD=,∠CAE=30°,
由余弦定理得,
所以CF=CE=1,在△BCF中,BC=2,BF=,CF=1,由余弦定理得
.
答案:
2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且.
(1)求c和sin A的值;
(2)求sin(2A-B)的值.
【解析】(1)由余弦定理,得,
又,所以ac=9,解得a=3,c=3,
在△ABC中,
由正弦定理得，所以.
(2)因为a=c,则A为锐角,所以，
所以，
所以.
【方法技巧】
1.已知两边a,b及其夹角C的求解步骤
(1)由，求边c;
(2)由正弦定理求a,b中较小边所对的锐角;
(3)由内角和定理求第三角.
2.已知三边的求解步骤
(1)由余弦定理求最大边所对的角;
(2)由正弦定理求其余两个锐角.
题组训练二 利用正弦定理解题
3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,B=120°,C=45°,
则边c的大小是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.因为b=2,B=120°,C=45°,
所以，即.
4.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,且,则A=________,
若角A为钝角,则的取值范围为________.
【解析】由及0由正弦定理得，
所以.由，得.
所以
，
又，所以，所以.
故的取值范围为.
答案:或
5.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, ________,且.现从:①,②,③这三个条件中任选一个,将题目补充完整,并判断这样的△ABC是否存在,若存在,求△ABC的面积S;若不存在,请说明理由.
【解析】若选条件①.由3sin B+3sin C=4sin(B+C),得3b+3c=4a.
又a=3,所以b+c=4.因为,所以,
解得 或
不妨取易知b>a>c,且a+c>b,
所以这样的△ABC存在,其面积.
若选条件②.由3sin B+3sin C=4sin(B+C),得3b+3c=4a.又a=3,所以b+c=4,
因为,所以.
解得易知a>b>c,且b+c>a,
所以这样的△ABC存在,其面积.
若选条件③.由3sin B+3sin C=4sin(B+C),得3b+3c=4a,又a=3,
所以b+c=4,因为A+B=,所以,即,
解得易知c>a>b,且a+b>c,
所以这样的△ABC存在,其面积.
综上所述,选条件①时,;选条件②时,;选条件③时,.
【方法技巧】
1.已知两角A,B及一边b的求解步骤
(1)利用C=π-A-B求出角C;
(2)由正弦定理得求出边a;
(3)由正弦定理得求出边c.
2.已知两边a,b及一边对角A的求解步骤
(1)由正弦定理得 sin B= ;
(2)利用sin B的值及具体题意判断解的情况;
(3)利用C=π-A-B求出角C;
(4)由正弦或余弦定理求边c.
其中(2)中运用正弦定理解三角形时,解不确定,可结合三角形中大边对大角的性质去判断解的个数.
题组训练三 判断三角形的形状
6.(多选题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(k为非零实数),
则下列结论正确的是 ( )
A.当k=5时,△ABC是直角三角形 B.当k=3时,△ABC是锐角三角形
C.当k=2时,△ABC是钝角三角形 D.当k=1时,△ABC是钝角三角形
【解析】选ABC.当k=5时,，根据正弦定理不妨设a=5m,b=3m,
c=4m(m>0),显然△ABC是直角三角形;当k=3时, ，根据正弦定
理不妨设a=3m,b=3m,c=4m(m>0),显然△ABC是等腰三角形,,说明C是锐角,故△ABC是锐角三角形;当k=2时, ，根据正弦定理不妨设a=2m,b=3m,c=4m(m>0), ,说明C是钝角,故△ABC是钝角三角形,当k=1时, ，根据正弦定理不妨设a=m,b=3m,c=4m(m>0),此时a+b=c,不能构成三角形,故结论错误.
7.(多选题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,①若A>B,则sin A>sin B;②若sin 2A=sin 2B,则△ABC一定为等腰三角形;③若sin2A+ sin2B=sin2C,则△ABC为直角三角形;④若△ABC为锐角三角形,则sin A>cos B.以上结论中正确的有 ( )
A.① B. ② C. ③ D.④
【解析】选ACD.对于①,因为A>B,所以a>b,由正弦定理可知,sin A>sin B,即①正确;对于②,因为sin 2A=sin 2B,所以A=B或2A+2B=π.若A=B时,△ABC为等腰三角形;若2A+2B=π,则A+B=,此时△ABC为直角三角形,故②不正确;对于③, sin2A+sin2B=sin2C,由正弦定理可得,a2+b2=c2,故△ABC为直角三角形,即③正确;对于④,因为△ABC为锐角三角形,所以A+B>,则A>-B,显然,因为函数y=sin x在上单调递增,所以,即sin A>cos B,故④正确.
【方法技巧】
1.判断三角形形状的常用方法
高一数学午间练（22）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题错误的是 ( )
A. cos(70°+40°)=cos 70°-cos 40°.
B. 对于任意实数,都不成立.
C. 对任意,都成立.
D. cos 30°cos60°+sin 30°sin 60°=1.
2. cos 615°的值为 ( )
A. B. C. D.
3.cos 345°的值等于 ( )
4.求下列各式的值:
(1);
(2)sin 460°sin(-160°)+cos 560°cos(-280°);
(3)cos(α+20°)cos(40°-α)-sin(α+20°)sin(40°-α).
5.(1)已知，求的值.
(2)为锐角,,求的值.
6. 已知, 求的值.
7.已知，则的值为________.
8.已知,且满足,
求.
9.已知,且和均为钝角,则________.
10.计算的值是 ( )
A. B. C. D.
11.sin 75°=________.
高一数学午间练（23）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1. cos 75°cos 15°-sin 75°sin 15°的值等于________.
2.cos 22°cos 38°-sin 22°sin 38°的值为 ( )
3.cos(-40°)cos(-20°)-sin(-40°)sin(-20°)=________.
4.已知,则的值为 ( )
A. B. C.2 D.-1
5.已知,且, 求的值.
6.已知为锐角,β为第三象限角,且,
则值为 ( )
A. B. C. D.
7.若,
则的值为 ( )
A. B. C. D.
8.已知,则________.
9.cos 20°= ( )
A.cos 30°cos 10°-sin 30°sin 10°
B.cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10°
C.sin 30°cos 10°-sin 10°cos 30°
D.cos 30°cos 10°-sin 30°cos 10°
10.已知锐角满足,则 等于 ( )
11.设都是锐角,且,求的值.
高一数学午间练（24）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.
B. 任意α,β∈R,使得sin(α+β)≠sin α+sin β成立.
C. sin 56°cos 26°-cos56°sin 26°=sin 30°.
D. sin 30°cos60°+cos 30°sin 60°=0.
2.函数y=sin x-cos x的最小正周期是 ( )
A. B.π C.2π D.4π
3.cos 70°sin 50°-cos 200°sin 40°的值为 ( )
A. B. C. D.
4.若是第二象限角且,则________.
5.________.
6. 设,若,
求的值.
7.已知(为锐角),则 ( )
A. B. C. D.
8.化简的结果可以是 ( )
A. B. C. D.
9.函数的最小值为 ( )
A.-2 B. C. D.-1
10.若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]上是减函数,则a的最大值是 ( )
A. B. C. D.
11.若是第三象限角,则 ( )
A. B. C. D.
12.sin 155°cos 35°-cos 25°cos 235°=________.
13.已知,求.
高一数学午间练（25）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.cos 17°sin 13°+sin 17°cos 13°的值为 ( )
A. B. C. D.以上都不对
2.已知为锐角,是第四象限角,,则_____.
3.的值是 ( )
A. B. C. D.
4. ( )
A. B. C. D.
5.设,若,求的值.
6. 设,若为第三象限角, 求的值.
7.已知,且为第一象限角,为第二象限角,求的值.
8.若函数在时取得最小值,则等于 ( )
A. B. C. D.
9.已知，则的值为 ( )
A. B. C. D.
10.若的一条对称轴方程是,则的取值范围可以是( )
A. B. C. D.
11.函数的值域为 ( )
A. B. C. D.
12.sin(45°+A)-sin(45°-A)=________.
高一数学午间练（26）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 存在,使成立.
B. 对任意,都成立.
C. 对任意,都成立.
D. 等价于.
2.若,且为第三象限角,则的值等于 ( )
A. B. C.-7 D.7
3.tan 10°+tan 50°+tan 10°tan 50°=________.
4.已知.
(1)求的值;
(2)求的值.
5.已知都是锐角,且,则 ________.
6. 已知,求的值.
7.已知,则 ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
8.设角的终边过点(2,3),则 ( )
A. B. C.5 D.-5
9.在△ABC中,,则的值为 ( )
A. B. C. D.
10.已知,求的值.
高一数学午间练（27）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1. ( )
A. B. C. D.
2.计算: ________.
3.________.
4.已知,且为锐角,求的值.
5.已知,则的值为 ( )
A. B. C. D.
6.已知,那么的值为 ( )
A. B. C. D.
7.已知为锐角,,则的值为________.
8.等于 ( )
A. B.1 C. D.
9.计算________.
高一数学午间练（28）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 倍角的正切公式的适用范围不是任意角.
B. 对于任意的角,都有成立.
C. 存在角,使成立.
D. 对任意的角都成立.
2.已知,则sin 2α=________,cos 2α=________,tan 2α=________.
3. ( )
A.1 B.2 C. D.
4.列各式的值:
(1)；
(2);
(3).
5.已知,求和的值.
6.化简:（1）；（2）.
7.证明.
8.求证:.
9.求函数的最小值,
并求其单调减区间.
10.已知,则的值为 ( )
A. B. C. D.
11.的值为 ( )
A. B. C. D.
12.函数的最小正周期是________.
高一数学午间练（29）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1. sin 15°sin 75°的值为 ( )
A. B. C. D.
2. ( )
A. B. C.1 D.
3..
4.已知,求的值.
5.已知,且，求.
6.化简.
7.的化简结果为 ( )
A. B. C. D.
8.化简:,其中.
9.求函数的最小正周期和最小值,并写出该函数在上的单调递减区间.
10.计算的结果为 ( )
A. B. C. D.
11.已知,则等于________.
12.求证:.
高一数学午间练（30）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A..
B. 对于任意,都不成立.
C. 若是第一象限角,则.
D. .
2.的值为 ( )
A. B. C. D.
3.设,那么等于 ( )
A. B. C. D.
4.已知,且为第一象限角,则的值为 ( )
A. B. C. D.
5.化简: .
6.已知,试化简:.
7.求证:.
8.已知,且.
求证:.
9.已知,求证:.
10.求的值.
11.已知,则的值为 ( )
A. B. C. D.
12.函数的最小正周期为________.
高一数学午间练（31）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.若,则的值为 ( )
A. B. C. D.
2.设,则等于________.
3.已知,则 ( )
A.3 B.-3 C. D.
4.已知,求及的值.
5.化简: .
6.若,则等于 ( )
A. B. C. D.
7.求证:.
8.求证:.
9.已知,求的值.
10.已知,则等于 ( )
A. B. C. D.
11.的值为 ( )
A. B. C. D.
12.求证:.
高一数学午间练（32）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.等于 ( )
A. B. C. D.
2.计算:.
3.求的值.
4.已知,且,求的值.
5.已知,求的值.
6.已知,且,则等于 ( )
A. B. C. D.
7.已知，求的值.
8.已知α为第二象限的角,化简:.
9.证明:.
10.已知函数.
求:(1)函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的集合;
(2)函数f(x)的单调递增区间.
11.已知函数
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最小值.
高一数学午间练（33）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题错误的是 ( )
A. 在三角形中,勾股定理是余弦定理的一个特例.
B. 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适用于任何三角形.
C. 在△ABC中,已知两边和其夹角时,△ABC不唯一.
D. 余弦定理的推论：.
2.已知在△ABC中,a=1,b=2,C=60°,则c=________.
3.在△ABC中,若,则AC= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.在△ABC中,已知,则角C=________.
5.已知三角形三边之比为5∶7∶3,则最大角为 ( )
A.90° B.120° C.135° D.150°
6.在△ABC中,,则AC边上的高为 ( )
A. B. C. D.
7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,b=a+1=c+2,且,
则△ABC的周长为________.
8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,
则角C的值为 ( )
A. B. C.或 D. 或
9.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则
△ABC的形状是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
10.如图,海面上一走私船正以每小时15海里的速度沿方位角120°方向航行,距离走私船18海里处的缉私艇测得该走私船当前的方位角为60°,并即刻以每小时21海里的速度径直追赶.
(1)求缉私艇追上走私船所需的最短时间;
(2)求缉私艇用时最短的追赶方向(方位角)的余弦值.
11.在△ABC中,已知B=120°,a=3,c=5,则b等于 ( )
A.4 B. C.7 D.5
12.已知a,b,c是△ABC的三边长,若满足等式(a+b-c)·(a+b+c)=ab,
则角C的大小为 ( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
13.在△ABC中,已知,角C的余弦值是方程的根,求第三边c的长.
高一数学午间练（34）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若,
则角C等于 ( )
A.120° B.90° C.60° D.45°
2.在△ABC中,,求AB的长.
3.在△ABC中,边a,b的长是方程的两个根,C=60°,则边c=________.
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 ,
则C= ( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
5.在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b-c),则A等于 ( )
A.90° B.60° C.120° D.150°
6.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足,且C=60°,则ab=________.
7.在△ABC中,若,试判断△ABC的形状.
8.在△ABC中,,则△ABC一定是 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,则( )
A.6 B.5 C.4 D.3
10.如图,在西部某边防警戒线上有一笔直的公路上,武警边防支队在点A,B,C处设置了治安卡口,B,C两点到A的距离分别为11千米和32千米,某一天,B收到来自防控目标P的一个特殊无线信号,7秒后A,C同时接收到该无线信号,已知该特殊无线信号在空气中的传播速度是1千米/秒.(假设该无线信号沿直线传播)
(1)求PA的长度;
(2)现要更改卡口B的位置,使得卡口B能在最短时间内截获来自P处的信号,求此时P,B两点间的距离.
11.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,,
则b= ( )
A.1 B.2 C.3 D.
12.在△ABC中,,则△ABC的形状为 ( )
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
高一数学午间练（35）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 正弦定理不适用于直角三角形.
B. 在△ABC中,若sin A=sin B,则A=B.
C. 在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B.
D. 正弦定理的一个推论：（为三角形外接圆的半径）.
2.在△ABC中,若,则AC= ( )
A. B. C. D.
3.在△ABC中,,则c等于 ( )
A. B. C. D.
4.在△ABC中,已知,则 ( )
A. B. C. D.
5.在△ABC中,已知,解这个三角形.
6.在△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,为使此三角形有两个,则a满足的条件是 ( )
A. B. C. D.或a=3
7.已知,试判断△ABC的形状.
8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.
(1)求A;
(2)若,求sin C.
9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c-acos B=(2a-b)cos A,则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
10.在△ABC中内角A,B,C所对边分别为a,b,c,,
则的值等于 ( )
A. B. C. D.
11.如图,某数学学习兴趣小组的同学要测量学校地面上旗杆CD的高度(旗杆CD垂直于地面),设计如下的测量方案:先在地面选定距离为30米的A,B两点,然后在A处测得∠BAC=30°,在B处测得∠ABC=105°,∠DBC=45°,由此可得旗杆CD的高度为________米,∠CAD的正切值为________.
12.在锐角△ABC中,下列不等关系总成立的是 ( )
A.sin A
13.在△ABC中,若，则B的度数为________.
高一数学午间练（36）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.在△ABC中,,则sin B= ( )
A. B. C. D.1
2.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=30°,B=45°,则 ( )
A. B. C. D.
3.在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.
4.在△ABC中,,求三角形中其他边与角的大小.
5.在△ABC中,,则B等于 ( )
A.45°或135° B.135° C.45° D.60°
6.在△ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且sin 2A=sin2B+sin 2C,试判断△ABC的形状.
7.在△ABC中,若,则b=________.
8.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,满足 ,则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
9.在△ABC中内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若bcos C+ccos B=2acos A，且△ABC的面积为,则B= ( )
A. B. C. D.
10.如图,在路边安装路灯,灯柱AB与地面垂直,灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直,且,路灯C采用锥形灯罩,射出的光线如图阴影部分所示,已知,路宽AD=24(m),设灯柱高AB=h(m),.
(1)求灯柱的高h(用表示);
(2)若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同,记所用材料的
长度为S,求S关于的函数表达式,并求出S的最小值.
11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列等式正确的是 ( )
A.a∶b=A∶B B.a∶b=sin A∶sin B
C.a∶b=sin B∶sin A D.asin A=bsin B
12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知,则B=________.
13.△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,则角B=________,△ABC的面积是________.
高一数学午间练（37）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 若P在Q的北偏东44°方向,则Q在P的东偏北44°方向.
B. 方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系,其范围均是.
C. 方位角210°的方向与南偏西30°的方向一致.
D. 方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.
2.已知两座建筑A,B与规划测量点C的距离
相等,A在C的北偏东40°,B在C的
南偏东60°,则A在B的 ( )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东10° D.南偏西10°
3.已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2 km,船B在灯塔C北偏西65°且到
C的距离为km,则A、B两船的距离为 ( )
A. km B.km C.km D.km
4.如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A、B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则河的宽度为 ( )
A.230 m B.240 m C.50 m D.60 m
5.在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A为海里
的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°方向,距离A为2
海里的C处有一艘缉私艇奉命以海里/时的速度追截走私船,此时,走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.
(1)问C与B相距多少海里?C在B的什么方向?
(2)问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?并求出所需时间.
6.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,
则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,
试确定小艇航行速度的最小值.
7.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC
=90°.
(1)若PB=,求PA;
(2)若∠APB=150°,求tan ∠PBA.
8.如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援,则________.
9.如图,某公园内有两条道路AB,AP,现计划在AP上选择一点C,新建道路BC,并把△ABC所在区域改造成绿化区域,已知km.
(1)若绿化区域△ABC的面积为1 km2,求道路BC的长度;
(2)绿化区域△ABC每平方千米的改造费用与新建道路BC
每千米修建费用都是∠ACB的函数,其中绿化区域△ABC改造费用为(单位:万元/平方千米),新建道路BC新建费用为(单位:万元/千米),设,某工程队承包了该公园的绿化区域改造与新道路修建,已知绿化区域改造费与道路新建费用越高,则工程队所获利润也越高,试问当为何值时,该工程队获得最高利润?
10.一海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是 ( )
A.海里 B.海里 C.海里 D.海里
11.一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B,又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C,若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C,则此船沿________方向行驶________海里至海岛C.
高一数学午间练（38）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.如图,为了测量隧道AB的长度,给定下列四组数据,测量时应选用数据 ( )
A. B.
C. D.
2.如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者与A在河的同侧,
在A所在的河岸边先确定一点C,测出A,C的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,
可以计算出A,B两点的距离为 ( )
A.m B.m
C.m D.m
3.如图所示,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10 m,从D,C两地测得A点的仰角分
别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于 ( )
A.10 m B.m
C.m D.m
4.在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°,塔基的俯角为45°,那么这座塔吊的高是 ( )
A. B. C. D.
5.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距a n mile,乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的倍,问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船?相遇时乙船行驶了多少n mile?
6.如图,为了测量河对岸的塔高AB,有不同的方案,其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D,测得CD=200米,在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高AB.
7.瑞云塔是福清著名的历史文化古迹.如图,一研究小组同学为了估测塔的高度,在塔底D和A,B(与塔底D同一水平面)处进行测量,在点A,B处测得塔顶C的仰角分别为45°,30°,且A,B两点相距91 m,由点D看A,B的张角为150°,
则瑞云塔的高度CD= ( )
A.91 m B. m
C. m D. m
8.某海域的东西方向上分别有A,B两个观测点(如图),它们相距海里.现有一艘轮船在D点发出求救信号,经探测得知D点位于A点北偏东45°,B点北偏西60°,这时,位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点有一救援船,
其航行速度为30海里/小时.
(1)求B点到D点的距离BD;
(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救,
求该救援船到达D点需要的时间.
9.如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的 ( )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东80° D.南偏西80°
10.如图所示,在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,
则山高BC为 ( )
A. m B. m
C. m D. m
11.海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°,距离为海里;在A处看灯塔C,在货轮的北偏西30°,距离为海里;货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在南偏东60°,求:
(1)A处与D处之间的距离;
(2)灯塔C与D处之间的距离.
高一数学午间练（39）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,
AC=1,AB=AD,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=________.
2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且.
(1)求c和sin A的值;
(2)求sin(2A-B)的值.
3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,B=120°,C=45°,
则边c的大小是 ( )
A. B. C. D.
4.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,且,则A=________,
若角A为钝角,则的取值范围为________.
5.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, ________,且.现从:①,②,③这三个条件中任选一个,将题目补充完整,并判断这样的△ABC是否存在,若存在,求△ABC的面积S;若不存在,请说明理由.
6.(多选题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(k为非零实数),
则下列结论正确的是 ( )
A.当k=5时,△ABC是直角三角形 B.当k=3时,△ABC是锐角三角形
C.当k=2时,△ABC是钝角三角形 D.当k=1时,△ABC是钝角三角形
7.(多选题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,①若A>B,则sin A>sin B;②若sin 2A=sin 2B,则△ABC一定为等腰三角形;③若sin2A+ sin2B=sin2C,则△ABC为直角三角形;④若△ABC为锐角三角形,则sin A>cos B.以上结论中正确的有 ( )
A.① B. ② C. ③ D.④
8.如图所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏
西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶40海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为 ( )
A.海里 B.海里 C.海里 D.海里
9.如图所示,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=500 m,则山高MN=________m.
高一数学午间练（22）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题错误的是 ( )
A. cos(70°+40°)=cos 70°-cos 40°.
B. 对于任意实数,都不成立.
C. 对任意,都成立.
D. cos 30°cos60°+sin 30°sin 60°=1.
【答案】选ABD
提示:A×.cos(70°+40°)=cos 110°≠cos 70°-cos 40°.
B×.当-45°,β=45°时,cos(-β)=cos(-45°-45°)=cos(-90°)=0,cos -cos β=cos(-45°)-cos 45°=0,此时cos(-β)=cos -cos β.
C√.结论为两角和的余弦公式.
D×.cos 30°cos 60°+sin 30°sin 60°=cos(60°-30°)=cos 30°=.
2. cos 615°的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.
cos 615°=cos(720°-105°)=cos (-105°)=cos 105°=cos(45°+60°)= .
3.cos 345°的值等于 ( )
【解析】选C.cos 345°=cos(360°-15°)=cos 15°=cos(45°-30°)
=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=.
4.求下列各式的值:
(1);
(2)sin 460°sin(-160°)+cos 560°cos(-280°);
(3)cos(α+20°)cos(40°-α)-sin(α+20°)sin(40°-α).
【解析】(1)
.
(2)原式=-sin 100°sin 160°+cos 200°cos 280°=-sin 80°sin 20°-cos 20°cos 80°
=-(cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°)=-cos 60°=.
(3)cos(α+20°)cos(40°-α)-sin(α+20°)sin(40°-α)=cos[(α+20°)+(40°-α)]=cos 60°=.
5.(1)已知，求的值.
(2)为锐角,,求的值.
【思路导引】对已知条件和所求结论中的角进行分析,看已知条件中的角如何“拼凑”成结论中的角.
【解析】(1)因为,所以,
所以.
(2)因为为锐角,所以.因为,
所以,因为为锐角,所以,
因为,所以,
所以,
所以
.
6. 已知, 求的值.
【解析】因为,所以.
又因为,所以,
所以.
所以
【解题策略】
解决三角函数的求值问题的关键点
(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;
(2)当“已知角”有一个时通常有两种思路:
①着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”;
②考虑把“所求角”表示为“已知角”与特殊角的和与差的形式.
7.已知，则的值为________.
【解析】因为,
所以
答案:
8.已知,且满足,
求.
【解题策略】
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围:根据条件确定所求角的范围;
(2)求所求角的某个三角函数值:根据角的范围选择求哪一个三角函数值,原则是由所求的三角函数值能确定角所在的象限;
(3)求角:结合三角函数值及角的范围求角.
9.已知,且和均为钝角,则________.
【解析】因为均为钝角,
所以.
所以.
由和均为钝角,得,所以.
答案:
10.计算的值是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.
.
11.sin 75°=________.
【解析】sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°·cos30°+sin45°·sin30°
=
答案:
高一数学午间练（23）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1. cos 75°cos 15°-sin 75°sin 15°的值等于________.
【解析】逆用两角和的余弦公式可得:
cos 75°cos 15°-sin 75°sin 15°=cos(75°+15°)=cos 90°=0.
答案:0
2.cos 22°cos 38°-sin 22°sin 38°的值为 ( )
【解析】A.原式=cos(22°+38°)=cos 60°=.
3.cos(-40°)cos(-20°)-sin(-40°)sin(-20°)=________.
【解析】cos(-40°)cos(-20°)-sin(-40°)sin(-20°)
=cos[(-40°)+(-20°)]=cos(-60°)=cos 60°=.
答案:
【解题策略】
两角和与差的余弦公式在求值应用中的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值.
(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角和或差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.
4.已知,则的值为 ( )
A. B. C.2 D.-1
【思路导引】对所求式逐步变形,直至可代入已知条件即可.
【解析】选B.
5.已知,且, 求的值.
【解析】因为,且,所以,
所以，
所以
.
6.已知为锐角,β为第三象限角,且,
则值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.因为为锐角,且,所以， 因为β为第三象限角,且,所以,所以
.
7.若,
则的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.由,得,①
,②
①+②得2-2(sin αsin β+cos αcos β)=1.所以sin αsin β+cos αcos β=.所以cos(α-β)=.
8.已知,则________.
【解析】因为,所以.
因为,所以,
所以
因为,所以 .
答案:
9.cos 20°= ( )
A.cos 30°cos 10°-sin 30°sin 10°
B.cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10°
C.sin 30°cos 10°-sin 10°cos 30°
D.cos 30°cos 10°-sin 30°cos 10°
【解析】选B.cos 20°=cos(30°-10°)=cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10°.
10.已知锐角满足,则 等于 ( )
【解析】选A.因为为锐角, ,所以
,所以
.
11.设都是锐角,且,求的值.
【解析】因为都是锐角且,所以,
所以,又,所以,
所以，
所以
.
高一数学午间练（24）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.
B. 任意α,β∈R,使得sin(α+β)≠sin α+sin β成立.
C. sin 56°cos 26°-cos56°sin 26°=sin 30°.
D. sin 30°cos60°+cos 30°sin 60°=0.
【答案】选AC
提示:A√.根据公式的推导过程可得.
B×.当α=30°,β=0°时,sin(α+β)=sin α+sin β.
C√.因为sin 56°cos 26°-cos 56°sin 26°
=sin(56°-26°)=sin 30°,故原式正确.
D×. sin 30°cos60°+cos 30°sin 60°=sin (30°+60°)=sin90°=1.
2.函数y=sin x-cos x的最小正周期是 ( )
A. B.π C.2π D.4π
【解析】选C.y=sin x-cos x= 所以函数的最小正周期为T=2π.
3.cos 70°sin 50°-cos 200°sin 40°的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.
cos 70°sin 50°-cos 200°sin 40°=cos 70°sin 50°-(-sin 70°)cos 50°=sin(50°+70°)=sin 120°=.
4.若是第二象限角且,则________.
【解析】因为θ是第二象限角且sin θ=,所以，
所以，
答案:
【解题策略】
解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.
(2)解决三角函数的给角求值问题的关键是寻求“已知角”与“所求角”之间的关系,用“已知角”表示“所求角”.
5.________.
【解析】原式=
.
答案:-2
6. 设,若,
求的值.
【解析】
.
7.已知(为锐角),则 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.因为,所以.
所以，所以8.化简的结果可以是 ( )
A. B. C. D.
【思路导引】利用辅助角公式进行变形.
【解析】选B. .
9.函数的最小值为 ( )
A.-2 B. C. D.-1
【解析】选D.,因为,
所以,
所以f(x)的最小值为-1.
10.若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]上是减函数,则a的最大值是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.在上单调递减,所以,故且,解得.
11.若是第三象限角,则 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.因为为第三象限角,
所以,由两角和的正弦公式得.
12.sin 155°cos 35°-cos 25°cos 235°=________.
【解析】原式=sin 25°cos 35°+cos 25°sin 35°=sin(25°+35°)=sin 60°=.
答案:
13.已知,求.
【解析】因为,所以,
所以.
高一数学午间练（25）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.cos 17°sin 13°+sin 17°cos 13°的值为 ( )
A. B. C. D.以上都不对
【解析】选A.原式=sin(13°+17°)= sin 30°=.
2.已知为锐角,是第四象限角,,则_____.
【解析】因为为锐角，且,所以.又为第四象限角,且
,所以.
所以.
答案:0
3.的值是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.原式
4. ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.
5.设,若,求的值.
【思路导引】应用公式?注意角的范围?所求角的正弦值.
【解析】因为,所以,
因为,所以.
所以.
6. 设,若为第三象限角, 求的值.
【解析】,所以s.
因为为第三象限角,,所以.
所以.
【解题策略】
解决给值求值问题的解题策略
1.当“已知角”有两个或多个时,“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式.
2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
3.角的拆分方法不唯一,可根据题目合理选择拆分方式.
提醒:解题时要重视角的范围对三角函数值的制约,从而恰当、准确地求出三角函数值.
7.已知,且为第一象限角,为第二象限角,求的值.
【解析】因为为第一象限角,为第二象限角, ,所以,
所以.
8.若函数在时取得最小值,则等于 ( )
A. B. C. D.
【思路导引】利用辅助角公式进行变形.
【解析】选B. ,
其中,
由题意知，得,
所以.
【解题策略】
把形如的式子化为,可进一步研究函数
的周期性、单调性、最值与对称性.
9.已知，则的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B. 10.若的一条对称轴方程是,则的取值范围可以是( )
A. B. C. D.
【解析】选D.因为（且）,
则,所以,即,
而且, 所以,所以,
取,此时.
11.函数的值域为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.
,
所以函数f(x)的值域为.
12.sin(45°+A)-sin(45°-A)=________.
【解析】sin(45°+A)-sin(45°-A)=2cos 45°sin A=sin A.
答案: sin A
高一数学午间练（26）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 存在,使成立.
B. 对任意,都成立.
C. 对任意,都成立.
D. 等价于.
【答案】选AD
提示:A√.
当时,,但一般情况下不成立.
B×.两角和的正切公式的适用范围是 且.
C×.两角和的正切公式的适用范围是 且.
D√.当时,由前一个式子两边同乘以可得后一个式子.
2.若,且为第三象限角,则的值等于 ( )
A. B. C.-7 D.7
【解析】选D.,且为第三象限角,则，
所以.
关键能力·合作学习
3.tan 10°+tan 50°+tan 10°tan 50°=________.
【解析】因为tan 60°=tan(10°+50°)=
所以tan 10°+tan 50°=tan 60°(1-tan 10°tan 50°)=,
所以原式=.
答案:
【解题策略】公式应用的解题策略
(1)公式有 (或), (或),三者知二可求出第三个.
(2)化简过程中注意“1”与“”,“”与“”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化.
4.已知.
(1)求的值;
(2)求的值.
【解题策略】给值求角问题的步骤及选取函数的原则
(1)给值求角问题的步骤.
①求所求角的某个三角函数值.
②确定所求角的范围(范围过大或过小,会使求出的角不合题意或漏解),
根据范围找出角.
(2)选取函数的原则.
①已知正切函数值,选正切函数.
②已知正余弦函数值,选正弦或余弦函数,若角的范围是,选正弦或余弦函数均可;若角的范围是,选余弦较好;若角的范围是,选正弦较好.
5.已知都是锐角,且,则 ________.
【解析】因为，
，
因为,且为锐角,所以,同理,
所以,所以.
答案:
6. 已知,求的值.
【解析】因为,所以,,又，
所以.
7.已知,则 ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【解析】选D.由题意可知,
化简得:,
解得.
8.设角的终边过点(2,3),则 ( )
A. B. C.5 D.-5
【解析】选A.由于角的终边过点(2,3),因此,
故.
9.在△ABC中,,则的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.因为C=120°,所以A+B=60°,
所以, 因为,
所以,解得.
10.已知,求的值.
【解析】因为,
所以.
高一数学午间练（27）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1. ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°=tan(45°+30°)
.
2.计算: ________.
【解析】原式=.
答案:1
3.________.
【解析】原式
.
答案:
4.已知,且为锐角,求的值.
【解析】因为，且为锐角,所以.
又因为，且为锐角.
所以,所以.①
由为锐角,得,所以.
所以，
所以
由①②可得.
5.已知,则的值为 ( )
A. B. C. D.
【思路导引】由条件得出与的值,代入两角差的正切公式可求值.
【解析】选A.因为,所以,,又，
所以.
6.已知,那么的值为 ( )
A. B. C. D.
【思路导引】
【解析】选B.
.
【解题策略】给值求值问题的两种变换
(1)式子的变换:分析已知式子的结构特点,结合两角和与差的三角函数公式,通过变形,建立与待求式子间的联系以实现求值.
(2)角的变换:首先从已知角间的关系入手,分析已知角与待求角间的关系,如用等关系,把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系,从而求值.
7.已知为锐角,,则的值为________.
【解析】因为为锐角,,所以.
所以.
答案:
8.等于 ( )
A. B.1 C. D.
【解析】选B.原式=tan 10°tan 20°+tan 30°(1-tan 10°tan 20°)
=tan 10°tan 20°+1-tan 10°tan 20°=1.
9.计算________.
【解析】因为.
答案:1
题19.已知,求的值.
【解析】因为,
所以.
高一数学午间练（28）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 倍角的正切公式的适用范围不是任意角.
B. 对于任意的角,都有成立.
C. 存在角,使成立.
D. 对任意的角都成立.
【答案】选ACD
提示:A√.倍角的正切公式,要求且,故此说法正确.
B×.当时,,而.
C√.由,得时, 成立.
D√.由倍角的正弦公式可得.
2.已知,则sin 2α=________,cos 2α=________,tan 2α=________.
【解析】因为,所以,
所以.
答案:
3. ( )
A.1 B.2 C. D.
【解析】选B. .
4.列各式的值:
(1)；
(2);
(3).
【解析】(1)原式.
(2)原式.
(3)原式.
5.已知,求和的值.
【解析】由，得，则，即.
因为，所以，所以，
.
6.化简:（1）；（2）.
【思路导引】结合题目特点,利用二倍角的正弦、余弦公式化简.
【解析】(1)原式.
(2)原式
.
7.证明.
【思路导引】利用二倍角公式化简左边式子求解.
【解析】.
【解题策略】
1.化简三角函数式的常用方法
(1)切化弦;(2)异名化同名;(3)异角化同角;(4)高次降低次.
2.化简三角函数式的常用技巧
(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化;
(2)对于分式形式,应分别对分子、分母进行变形处理,有公因式的提取公因式后进行约分;
(3)对于二次根式,注意倍角公式的逆用;
(4)利用角与角之间的隐含关系,如互余、互补等.
3.证明问题的原则及一般步骤
(1)观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.
(2)证明的一般步骤是:先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.
8.求证:.
【证明】方法一:左边右边,得证.
方法二:
右边左边,得证.
9.求函数的最小值,
并求其单调减区间.
【思路导引】
化简f(x)的解析式→f(x)=Asin(ωx+φ)+B→ωx+φ的范围→求最小值,单调减区间.
【解析】
,
因为,所以,所以,
所以当,即时,f(x)取最小值为.
因为在上单调递增,所以f(x)在上单调递减.
【解题策略】倍角公式与三角函数性质的综合问题的解题策略
运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asin ωx+bcos ωx+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质.
10.已知,则的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.因为,所以.
11.的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B..
12.函数的最小正周期是________.
【解析】
,
故最小正周期为.
答案:
高一数学午间练（29）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1. sin 15°sin 75°的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.原式.
2. ( )
A. B. C.1 D.
【解析】选A.原式.
3..
【解析】原式.
答案:
【解题策略】利用二倍角公式解决给角求值问题的策略
(1)注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系,灵活正用或逆用二倍角公式.
(2)结合诱导公式恰当变化函数名称,灵活处理系数,构造二倍角公式的形式.
4.已知,求的值.
【解题策略】解决条件求值问题的方法
(1)将已知式或未知式化简,使关系明朗化;
(2)寻找角之间的关系,特别是已知角与要求的角之间的二倍关系,如果二倍关系中含有已知角和某些特殊角,则利用诱导公式转化后整体代入.
5.已知,且，求.
【解析】因为，
，
所以原式可化为，
解得或.
因为,所以,故或,
即或.
6.化简.
【解析】原式
.
7.的化简结果为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B..
8.化简:,其中.
【解析】原式
.
①当时,,
此时原式.
②当时,,
此时原式.
9.求函数的最小正周期和最小值,并写出该函数在上的单调递减区间.
【解析】
,
所以.
由,得,
又,所以令k=0,得函数的单调递减区间为.
10.计算的结果为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B. .
11.已知,则等于________.
【解析】由得.
答案:
12.求证:.
【证明】左边 =
右边,所以等式成立.
高一数学午间练（30）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A..
B. 对于任意,都不成立.
C. 若是第一象限角,则.
D. .
【答案】选CD
提示:A×.只有当,
即时，.
B×.当时,上式成立,但一般情况下不成立.
C√.若是第一象限角,则是第一、三象限角,此时成立.
D√.积化和差公式.
2.的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.
.
3.设,那么等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.若,
则，则.
4.已知,且为第一象限角,则的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.因为,所以.又,
所以或
因为α为第一象限角,所以 为第一、三象限角,且
所以.
【解题策略】
利用半角公式求值的思路
(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.
(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用，其优点是计
算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用计算.
(4)下结论:结合(2)求值.
5.化简: .
【思路导引】利用二倍角公式及半角公式解决,注意角度的范围.
【解析】原式
又因为180°< <360°,所以90°<<180°,
所以,所以原式.
【解题策略】 化简问题中的“三变”
(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.
(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.
(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等.
6.已知,试化简:.
【解析】因为,所以，
所以，
从而.
所以原式
.
7.求证:.
【思路导引】左边切化弦,通分,变形,直至与右边相等.
【证明】因为左边
右边.所以原始成立.
8.已知,且.
求证:.
【思路导引】结合已知条件,求的某个三角函数值,进而求出角的大小.
【证明】因为,即，
所以，
所以，所以.
又因为，所以，所以.因为，所以.
【解题策略】
(1)证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的的化繁为简、左右归一.
(2)三角恒等式的证明主要有两种类型:绝对恒等式与条件恒等式.
①证明绝对恒等式要根据等式两边的特征,化繁为简,左右归一,通过三角恒等式变换,使等式的两边化异为同.
②条件恒等式的证明则要认真观察,比较已知条件与求证等式之间的联系,选择适当途径.常用代入法、消元法、两头凑等方法.
9.已知,求证:.
【证明】由得
，
即，
即(1-m)sin(α+β)cos α=(1+m)cos(α+β)sin α.两边同除以(1-m)cos(α+β)cos α,
得,即原等式成立.
10.求的值.
【解析】原式
.
11.已知,则的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.因为,
所以.
12.函数的最小正周期为________.
【解析】因为，
所以函数的最小正周期.
答案:
高一数学午间练（31）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.若,则的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由题意知,所以.
2.设,则等于________.
【解析】.
因为,所以,所以,故原式.
答案:
3.已知,则 ( )
A.3 B.-3 C. D.
【解析】选D.因为,且,
所以.
4.已知,求及的值.
【解析】，所以，所以，
所以，解得或.
因为,所以,所以,所以.
综上可知.
5.化简: .
【解析】原式，
因为,所以.所以，
所以原式
.
6.若,则等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.因为,所以，
.
7.求证:.
【证明】因为左边右边,
所以原式成立.
8.求证:.
【证明】左边
右边.所以原等式成立.
9.已知,求的值.
【思路导引】利用和差化积公式,对所求式子进行变形,利用所给条件求解.
【解析】因为,所以 ①
又因为,所以 ②
因为,所以由①②,得,即.
所以.
【解题策略】
1.积化和差公式的功能与关键
(1)功能:①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式).
②将角度化为特殊角求值或化简,将函数式变形以研究其性质.
(2)关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数.
2.和差化积公式应用时的注意事项
(1)在应用和差化积公式时,必须是一次同名三角函数方可施行,若是异名,必须用诱导公式化为同名,若是高次函数,必须用降幂公式降为一次.
(2)根据实际问题选用公式时,应从以下几个方面考虑:
①运用公式之后,能否出现特殊角;
②运用公式之后,能否提取公因式,能否约分,能否合并或消项.
10.已知,则等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.由题知,所以.
11.的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.原式
12.求证:.
【证明】原式可变形为,①,
式右边
左边.
所以①式成立,即原式得证.
高一数学午间练（32）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.
2.计算:.
【解析】原式
.
3.求的值.
【解析】原式
.
【方法技巧】
给角求值
在解决给角求值问题时,如果含有正切函数、正弦函数、余弦函数,一般采用切化弦、通分的策略进行转化;含有正弦或余弦的二次项时,一般应考虑采用二倍角公式进行转化.另外也要注意角的转化与两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用.
题组训练二 给值求值问题
4.已知,且,求的值.
【解析】易知.
因为,所以.
因为，
所以，
所以
.
所以.
5.已知,求的值.
【解析】由条件得,
即或.
又由已知条件知,所以,且,即.
于是,所以.
所以
.
将代入上式,得
.
【方法技巧】
给值求值
解决给值求值问题时,关键是分析已知条件和结论中的角之间的内在关系,通过角的变换(拆角、配角),发现解题思路,选择相应的三角公式进行求解.
题组训练三 给值求角问题
6.已知,且,则等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由，
易知，
所以，
所以.
7.已知，求的值.
【解析】因为，所以.
因为,所以,所以.
因为,所以，
由,得.
又,所以.
【方法技巧】
给值求角
解决给值求角问题时,首先要求出该角的某一个三角函数值,其次要确定出该角的取值范围,最后求得该角的大小.求三角函数值时,还要注意根据角的取值范围合理选择是求其正弦值还是余弦值,而确定角的取值范围时,可能还要根据给定的函数值结合三角函数的单调性进行求解.
题组训练四 三角函数式的化简问题
8.已知α为第二象限的角,化简:.
【解析】因为为第二象限的角,所以,
所以
所以
9.证明:.
【证明】左边
右边,所以原等式成立.
【方法技巧】
三角函数式的化简与证明问题
三角函数式的化简与证明问题是三角变换应用的一个重要方面,解决这类问题的基本方法与思路:
(1)基本方法
弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂或升幂、“1”的代换等.
(2)基本思路
“一角二名三结构”,即:
一看“角”,这是最重要的一环,通过角之间的差别与联系,把角进行合理地拆分,从而正确使用公式;
二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;
三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“遇根式化被开方式为完全平方式”等.
题组训练五 运用公式研究函数性质
10.已知函数.
求:(1)函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的集合;
(2)函数f(x)的单调递增区间.
【解析】(1)
所以当,即时f(x)取得最大值.
函数f(x)取得最大值时自变量的集合为.
(2)由(1),得，
由题意,得，
即时,函数f(x)单调递增,因此函数f(x)的单调递
增区间为.
11.已知函数
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最小值.
【解析】(1)因为
所以的最小正周期为.
(2)因为,所以，
所以当，即时,取得最小值.
所以在区间上的最小值为.
【方法技巧】
三角恒等变换与三角函数性质的综合问题
1.研究三角函数的性质,例如周期性、单调性、最值等,通常要先将函数的解析式进行化简,转化为的形式,再通过整体代换研究函数的上述性质,而将函数的解析式进行化简的过程,降幂公式和辅助角公式起着关键作用.
2.常见的降幂公式有:,当函数解析式中含有二次(或二次以上)的三角函数式时,可考虑利用上述公式进行降幂.
3.辅助角公式的作用是将形如的三角函数式转化为只含有一种三角函数(正弦或余弦)的一次函数
式,从而可进一步研究函数的性质.
高一数学午间练（33）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题错误的是 ( )
A. 在三角形中,勾股定理是余弦定理的一个特例.
B. 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适用于任何三角形.
C. 在△ABC中,已知两边和其夹角时,△ABC不唯一.
D. 余弦定理的推论：.
【答案】选CD
提示:A√.余弦定理可以看作勾股定理的推广.
B√.余弦定理反映了任意三角形的边角关系,它适用于任何三角形.
C×.由余弦定理可知,已知△ABC的两边和其夹角时,第三边是唯一确定的,所以△ABC是唯一的.
D×.余弦定理的推论应该为：.
2.已知在△ABC中,a=1,b=2,C=60°,则c=________.
【解析】由余弦定理,得,所以.
答案:
3.在△ABC中,若,则AC= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【思路导引】利用余弦定理求出AC,再检验方程的根.
【解析】选A.由余弦定理得, ,将各值代入得,解得或 (舍去!).
【解题策略】已知两边及角解三角形
(1)已知两边及其夹角可以直接运用余弦定理求解,如果已知两边及一边对角亦可以运用余弦定理,此时选用含有此角的形式的余弦定理,然后解关于未知边作为变量的一元二次方程,解出未知量后根据内角和为或者利用大边对大角、小边对小角加以检验.
(2)应用余弦定理应该注意的事项:一定要熟记两种形式:
①;②,同时还要熟练掌握运用两种形式的
条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住30°,45°,60°等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.
4.在△ABC中,已知,则角C=________.
【解析】由余弦定理,得,
所以,得a=3或6.当a=3时,A=30°,所以C=120°.
当a=6时,因为.所以A=90°,所以C=60°.
答案:60°或120°
5.已知三角形三边之比为5∶7∶3,则最大角为 ( )
A.90° B.120° C.135° D.150°
【解析】选B.因为三角形三边之比为5∶7∶3,
所以设三边长分别为5a,7a,3a,所以长为7a的边对的角最大,设这个角为,
由余弦定理得,
因为是三角形的内角,所以.
6.在△ABC中,,则AC边上的高为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.由选C.由题可知,可得,得.
因为A为△ABC的内角,所以,所以AC边上的高为.
7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,b=a+1=c+2,且,
则△ABC的周长为________.
【解析】由余弦定理得，
解得a=4.所以b=5,c=3.所以△ABC的周长为12.
答案:12
8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,
则角C的值为 ( )
A. B. C.或 D. 或
【解析】选C.在△ABC中,由已知等式整理得,即.
因为,所以,因为C为△ABC内角,所以或.
9.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则
△ABC的形状是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
【解析】选B.因为bcos C+ccos B=asin A,所以由余弦定理得,整理,得a=asin A,所以sin A=1.
又,所以.故△ABC为直角三角形.
10.如图,海面上一走私船正以每小时15海里的速度沿方位角120°方向航行,距离走私船18海里处的缉私艇测得该走私船当前的方位角为60°,并即刻以每小时21海里的速度径直追赶.
(1)求缉私艇追上走私船所需的最短时间;
(2)求缉私艇用时最短的追赶方向(方位角)的余弦值.
【思路导引】
(1)设缉私艇追上走私船的最短时间为x小时,利用余弦定理列方程求出x的值;
(2)利用余弦定理和两角和的余弦值,即可求出缉私艇用时最短的追赶方向(方位角)的余弦值.
【解析】(1)如图所示,在C点处缉私艇赶上走私船,在△ABC中,
∠ABC=60°+(180°-120°)=120°,AB=18,设缉私艇追上走私船的最短时间为x小时,
则;
即,
化简得,解得或(不合题意,舍去);
所以缉私艇追上走私船所需的最短时间是2小时.
(2)在△ABC中,AB=18,AC=42,BC=30,
所以,所以,
,
所以缉私艇用时最短的追赶方向(方位角)的余弦值是.
【解题策略】解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系;
(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型;
(3)根据题意选择余弦定理求解.
(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
11.在△ABC中,已知B=120°,a=3,c=5,则b等于 ( )
A.4 B. C.7 D.5
【解析】选C.,
所以b=7(负值舍去).
12.已知a,b,c是△ABC的三边长,若满足等式(a+b-c)·(a+b+c)=ab,
则角C的大小为 ( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
【解析】选C.由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得(a+b)2-c2=ab,
所以,所以,所以C=120°.
13.在△ABC中,已知,角C的余弦值是方程的根,求第三边c的长.
【解析】可化为(5x-3)·(x+2)=0,所以,所以.
根据余弦定理得,,所以c=4,
即第三边c的长为4.
高一数学午间练（34）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若,
则角C等于 ( )
A.120° B.90° C.60° D.45°
【解析】选A.由余弦定理的推论,得,
所以C=120°.
2.在△ABC中,,求AB的长.
【思路导引】首先利用二倍角公式求出cos C,然后利用余弦定理求出AB的长.
【解析】,在△ABC中,
由余弦定理得,,
则,所以.
【解题策略】
已知两边及其夹角的三角形的解法
首先直接利用余弦定理求出第三边,其次再利用余弦定理求出一个角,最后利用内角和为π得出第三个角.
3.在△ABC中,边a,b的长是方程的两个根,C=60°,则边c=________.
【解析】由题意得:a+b=5,ab=2.
由余弦定理得,
所以.
答案:
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 ,
则C= ( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
【解析】选C.由题可知,因为,故C=60°.
5.在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b-c),则A等于 ( )
A.90° B.60° C.120° D.150°
【解析】选B.因为(a+c)(a-c)=b(b-c),所以,
所以.因为0°
(1)利用余弦定理的推论求出两个角,最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.
(2)若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边求解.
6.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足,且C=60°,则ab=________.
【思路导引】把已知关系式化简,根据化简结果和C=60°求出ab即可.
【解析】因为C=60°,所以,即.①
又因为,所以. ②
由①②知,所以.
答案:
7.在△ABC中,若,试判断△ABC的形状.
【思路导引】先将正弦转化为余弦,化简后利用余弦定理的推论判断.
【解析】将已知等式变形为.
即
所以A=90°.所以△ABC是直角三角形.
【解题策略】
利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
(1)化边的关系:将条件中的角,利用余弦定理化为边的关系,再变形条件进行判断.
(2)化角的关系:将条件转化为角与角之间的关系,通过三角变换得出关系进行判断.
8.在△ABC中,,则△ABC一定是 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
【解析】选D.在△ABC中,因为,所以由余弦定理可得
,即,
所以b=c,结合A=60°可得△ABC一定是等边三角形.
9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,则( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【解析】选A.由已知得,由余弦定理可得,
所以,所以，所以.
10.如图,在西部某边防警戒线上有一笔直的公路上,武警边防支队在点A,B,C处设置了治安卡口,B,C两点到A的距离分别为11千米和32千米,某一天,B收到来自防控目标P的一个特殊无线信号,7秒后A,C同时接收到该无线信号,已知该特殊无线信号在空气中的传播速度是1千米/秒.(假设该无线信号沿直线传播)
(1)求PA的长度;
(2)现要更改卡口B的位置,使得卡口B能在最短时间内截获来自P处的信号,求此时P,B两点间的距离.
【解析】(1)依题意,设PA=PC=x(千米),PB=x-1×7=x-7(千米).
因为∠PBA+∠PBC=π,所以cos∠PBA=-cos∠PBC,
在△PAB中,由余弦定理得PA2=PB2+AB2-2PB·BA·cos∠PBA,
在△PBC中,由余弦定理得PC2=PB2+CB2-2PB·CB·cos∠PBC,
所以
又cos∠PBA=-cos∠PBC,解得x=20,所以AP=20千米.
答:PA的长度为20千米.
(2)如图,作PD⊥AC于点D,因为PA=PC,所以D为AC中点,
在△ADP中,由,得,
所以PD=PAsin∠PAD=20×=12千米.
答:目标P到卡口B的距离最小为12千米.
11.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,,
则b= ( )
A.1 B.2 C.3 D.
【解析】选A.由余弦定理知,
因为a=4b,所以,解得b=1(负值舍去).
12.在△ABC中,,则△ABC的形状为 ( )
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
【解析】选B.因为,所以,
所以,所以C=90°,所以△ABC为直角三角形.
高一数学午间练（35）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 正弦定理不适用于直角三角形.
B. 在△ABC中,若sin A=sin B,则A=B.
C. 在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B.
D. 正弦定理的一个推论：（为三角形外接圆的半径）.
【答案】选BC
提示:A×.正弦定理是适用于任何三角形的.
B√.在△ABC中,若sin A=sin B,由正弦定理得,故a=b,则A=B.
C√.在△ABC中,若A>B,则a>b,由正弦定理得2Rsin A>2Rsin B,所以
sin A>sin B.
D×.正弦定理的一个推论应该为：（为三角形外接圆的半径）.
2.在△ABC中,若,则AC= ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.由正弦定理得:,所以.
3.在△ABC中,,则c等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B. 由得，
.
由正弦定理得.
4.在△ABC中,已知,则 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.A=180°-B-C=45°,由正弦定理,得.
5.在△ABC中,已知,解这个三角形.
四步 内容
理解 题意 条件:已知三角形的两边及一边对角
结论:求该三角形的其他边与角
思路 探求 利用正弦定理求出sin C的值,再解其他元素,注意三角形解的个数.
书写 表达 因为
所以
因为0°
当C=60°时,B=75°, ；
当C=120°时,B=15°, ；
所以
或. ②
书写 表达 注意书写的规范性:①解三角形产生多解时必须进行检验,常用大边对大角、小边对小角或者内角和为进行检验;②分情况讨论时不能使用大括号,要分开来写.
题后 反思 正、余弦定理通常可以解决四种类型,唯有两边及一边对角这种类型可能会产生多解,应当引起重视.
【解题策略】已知两边及其中一边的对角解三角形的思路
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值;
(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角;
(3)如果已知的角为小边所对的角,不能判断另一边所对的角为锐角时,这时由正弦值可求出两个角,要分类讨论.
6.在△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,为使此三角形有两个,则a满足的条件是 ( )
A. B. C. D.或a=3
【解析】选C.设C到AB的距离d=bsin A=3,
所以当时符合条件的三角形有两个.
7.已知,试判断△ABC的形状.
【解析】在△ABC中,由,可得,所以.
又因为,所以,所以,
所以sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A+2B=π,
即A=B或A+B=.
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.
(1)求A;
(2)若,求sin C.
【思路导引】(1)由正弦定理化角为边,再用余弦定理的推论求角A;
(2)由正弦定理化边为角,结合(1)的结论,利用三角恒等变换求sin C.
【解析】
2.(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C，故由正弦定理得.
由余弦定理的推论,得.因为0°
即,可得.
由于,所以,
故
【解题策略】
1.判定三角形形状的两种常用途径
(1)化角为边:利用正弦定理、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断;
(2)化边成角:通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.
2.解三角形时的边角互化
化边(角)为角(边):将题目中所有的条件,利用正弦定理或余弦定理化边(角)为角(边),再利用三角恒等变换找出三角的关系.
9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c-acos B=(2a-b)cos A,则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
【解析】选D.已知c-acos B=(2a-b)cos A,由正弦定理得sin C-sin Acos B
=2sin Acos A-sin Bcos A,所以sin(A+B)-sin Acos B=2sin Acos A-sin B
cos A,化简得cos A(sin B-sin A)=0,所以cos A=0或sin B-sin A=0,则A=90°
或A=B,故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
10.在△ABC中内角A,B,C所对边分别为a,b,c,,
则的值等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.因为,所以，
所以,所以，
所以.
11.如图,某数学学习兴趣小组的同学要测量学校地面上旗杆CD的高度(旗杆CD垂直于地面),设计如下的测量方案:先在地面选定距离为30米的A,B两点,然后在A处测得∠BAC=30°,在B处测得∠ABC=105°,∠DBC=45°,由此可得旗杆CD的高度为________米,∠CAD的正切值为________.
【解析】因为CD垂直于地面,所以CD⊥BC,CD⊥AC,又∠DBC=45°,所以BC=CD,
在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=105°,所以∠ACB=45°,又AB=30,
由正弦定理可得: ，所以，
解得:,即;由正弦定理可得: ,
所以，即
因此.
答案:
12.在锐角△ABC中,下列不等关系总成立的是 ( )
A.sin A
【解析】选D.因为在锐角△ABC中,,所以,
因为,故A选项不正确,因为sin A与sin B大小不定,所以C
选项不正确,所以,所以B不正确,D选项正确.
13.在△ABC中,若，则B的度数为________.
【解析】根据正弦定理知,，结合已知条件可得sin B=cos B,
又0°
高一数学午间练（36）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.在△ABC中,,则sin B= ( )
A. B. C. D.1
【解析】选B.因为,所以由正弦定理得.
2.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=30°,B=45°,则 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.由正弦定理知,,即.
3.在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.
【解析】因为A=45°,C=30°,所以B=180°-(A+C)=105°.
由，得.
因为,
所以.
所以.
【解题策略】已知三角形的两角和任一边解三角形的思路
(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对的边,再由三角形内角和定理求出第三个角.
(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.
4.在△ABC中,,求三角形中其他边与角的大小.
【解析】因为,所以B=30°或150°,当B=30°时,由A=60°得C=90°;
当B=150°时,不合题意,舍去.所以由正弦定理,
得
5.在△ABC中,,则B等于 ( )
A.45°或135° B.135° C.45° D.60°
【解析】选C.由,得,由正弦定理得.因为三角形的内角和为180°,且a>b,所以B=45°.
【拓展延伸】
1.已知两边及一边对角解三角形的个数判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a=bsin A bsin A
解的 个数 一解 两解 一解 一解 无解
2.解题思路
在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其他边角的问题时,首先必须判断是否有解,如果有解,是一解还是两解,注意“大边对大角”在判定中的应用.运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.
6.在△ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且sin 2A=sin2B+sin 2C,试判断△ABC的形状.
【思路导引】解决本题的关键是把sin 2A=sin 2B+sin 2C转化为三角形三边的关系,从而求出角A,然后再利用sin A=2sin Bcos C求解.
【解析】方法一:(利用角的互余关系)根据
正弦定理，及sin 2A=sin2B+sin 2C,可得,
所以A是直角,B+C=90°,所以2sin Bcos C=2sin Bcos(90°-B)=2sin 2B=sin A=1,
所以.因为,所以,
所以△ABC是等腰直角三角形.
方法二:(利用角的互补关系)根据正弦定理，及sin 2A=sin2B+sin 2C,可得,因为,
所以.所以.
又,所以,所以,
所以△ABC是等腰直角三角形.
7.在△ABC中,若,则b=________.
【思路导引】根据cos C的值,求出sin C的值,再根据三角形的面积公式求出边b的值;
【解析】因为,所以,所以,
又,所以.
答案:
8.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,满足 ,则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【解析】选C.由正弦定理得,又,
得,即tan A=tan B=tan C,所以A=B=C,即△ABC为等边三角形.
9.在△ABC中内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若bcos C+ccos B=2acos A，且△ABC的面积为,则B= ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由正弦定理及bcos C+ccos B=2acos A,
得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin Acos A,所以sin(B+C)=2sin Acos A,
又因为在△ABC中,sin(B+C)=sin A>0,
所以,又A∈(0,π),所以,
又,结合余弦定理，
得,所以tan C=1.又C∈(0,π),所以,
所以.
10.如图,在路边安装路灯,灯柱AB与地面垂直,灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直,且,路灯C采用锥形灯罩,射出的光线如图阴影部分所示,已知,路宽AD=24(m),设灯柱高AB=h(m),.
(1)求灯柱的高h(用表示);
(2)若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同,记所用材料的长度为S,求S关于的函数表达式,并求出S的最小值.
【思路导引】(1)由已知得∠BAC=60°-θ,∠CAD=30°+θ,又∠ACD=60°,
∠ADC=90°-θ,在△ACD中和在△ABC中,,运用正弦定理可求得答案;
(2)在△ABC中,运用正弦定理可得,运用三角恒等变换和三角函数的性质可求得最小值.
【解析】(1)由已知得∠BAC=60°-θ,∠CAD=30°+θ,又∠ACD=60°,∠ADC=90°-θ,
在△ACD中, ，所以,
在△ABC中,,
即h=16sin 2θ(30°≤θ≤45°).
(2)在△ABC中, ,
则,
因为30°≤θ≤45°,所以120°≤2θ+60°≤150°,当θ=45°时,S取到最小值m.
【解题方略】利用正弦定理解决实际问题的步骤
1.认真审题,弄清题意.有图形则借助图形,无图形则作出规范图形辅助解决.
2.转化.将实际问题转化为解三角形问题,利用正弦定理进行数据求解.
3.还原问题.将求得的解还原到实际问题中去,即除了解三角形自身限制外还要注意实际问题的限制.
4.作出解答.
11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列等式正确的是 ( )
A.a∶b=A∶B B.a∶b=sin A∶sin B
C.a∶b=sin B∶sin A D.asin A=bsin B
【解析】选B.由正弦定理，可得a∶b=sin A∶sin B,可知B正确.
12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知,则B=________.
【解析】因为,把代入,解得.因为b>a,
所以B>A,结合题意可知或.
答案: 或
13.△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,则角B=________,△ABC的面积是________.
【解析】在△ABC中由正弦定理得，则，
又因为b
答案:
高一数学午间练（37）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 若P在Q的北偏东44°方向,则Q在P的东偏北44°方向.
B. 方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系,其范围均是.
C. 方位角210°的方向与南偏西30°的方向一致.
D. 方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.
【答案】选CD
提示:A×.因为若P在Q的北偏东44°方向,则Q应在P的南偏西44°方向.
B×.因为方向角的范围为0°～90°,而方位角的范围为0°～360°.
C√.由方位角与方向角的定义知正确.
D√.方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角，这是方位角的定义.
2.已知两座建筑A,B与规划测量点C的距离相等,A在C的北偏东40°,B在C的南偏东60°,则A在B的 ( )
A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东10° D.南偏西10°
【解析】选B.如图,由题意可知△ABC为等腰三角形,∠ACB=80°,
所以∠CBA=(180°-80°)=50°,又60°-50°=10°.所以A在B的北偏西10°.
3.已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2 km,船B在灯塔C北偏西65°且到
C的距离为km,则A、B两船的距离为 ( )
A. km B.km C.km D.km
【解析】选D.如图可知∠ACB=85°+65°=150°,AC=2 km,BC=km,
所以,所以AB=km.
4.如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A、B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则河的宽度为 ( )
A.230 m B.240 m C.50 m D.60 m
【解析】选D.在△ABC中,∠CAB=30°,∠CBA=75°,
所以∠ACB=75°,∠ACB=∠ABC.所以AC=AB=120 m.
如图, 作CD⊥AB,垂足为D,则CD即为河的宽度.
在Rt△ACD中,由正弦定理,得，所以，
所以CD=60,所以河的宽度为60 m.
5.在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A为海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°方向,距离A为2海里的C处有一艘缉私艇奉命以海里/时的速度追截走私船,此时,走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.
(1)问C与B相距多少海里?C在B的什么方向?
(2)问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?并求出所需时间.
【解题策略】
解决测量角度的常用方法与注意点
(1)测量角度问题的关键是弄清题意,画出图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将结果转化为实际问题的解.
(2)求角的度数时,多用余弦定理求角.因为余弦函数在上是单调递减的,而正弦函数不单调,一个正弦值可能对应两个角.若角在上时,用正、余弦定理皆可.
6.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值.
【思路导引】(1)设相遇时小艇的航行距离为S海里,根据余弦定理可得S关于t
的表达式为,进而可知当时,S有最小值为,进而求得此时的速度v.
(2)设小艇与轮船在B处相遇.根据余弦定理可得v关于t的表达式,再根据t的范围及二次函数的单调性求得v的最小值及此时t的值.
【解析】(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里,
则
.
故当时, (海里/小时).
即小艇以海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.
(2)设小艇与轮船在B处相遇,如图所示.
由题意可得 :,
化简得，
由于,即,所以当时v取得最小值 ,
即小艇航行速度的最小值为海里/小时.
7.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC
=90°.
(1)若PB=,求PA;
(2)若∠APB=150°,求tan ∠PBA.
【思路导引】(1)根据PB,BC的值及∠BPC求出∠PBC的值,再在△ABP中,求出∠PBA,利用余弦定理求出PA的长.
(2)根据∠PBA+∠PAB=30°,用∠PBA表示∠PAB,再利用正弦定理求出tan ∠PBA.
【解析】(1)由已知得,∠PBC=60°,所以∠PBA=30°,在△ABP中,
由余弦定理得,所以(负值舍去).
(2)设∠PBA=,所以∠PCB=,PB=sin.
在△PBA中,由正弦定理得,，化简得，
所以，即.
【解题策略】
在复杂图形中利用正弦定理、余弦定理解题的方法
(1)分析复杂图形,找准需要解决的问题所在的三角形,找出该三角形与其他三角形之间的关系.
(2)根据题目给出的条件,适当选用正弦定理或余弦定理解题.
8.如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援,则________.
【解析】在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,
由余弦定理知.
由正弦定理,
则∠ACB为锐角,.由∠ACB+30°,
则cos=cos(∠ACB+30°)=cos ∠ACB·cos 30°-sin ∠ACB·sin 30°=.
答案:
9.如图,某公园内有两条道路AB,AP,现计划在AP上选择一点C,新建道路BC,并把△ABC所在区域改造成绿化区域,已知km.
(1)若绿化区域△ABC的面积为1 km2,求道路BC的长度;
(2)绿化区域△ABC每平方千米的改造费用与新建道路BC每千米修建费用都是∠ACB的函数,其中绿化区域△ABC改造费用为(单位:万元/平方千米),新建道路BC新建费用为(单位:万元/千米),设,某工程队承包了该公园的绿化区域改造与新道路修建,已知绿化区域改造费与道路新建费用越高,则工程队所获利润也越高,试问当为何值时,该工程队获得最高利润?
【解析】(1)因为绿化区域△ABC的面积为1 km2,
所以.
因为,所以,得AC=2,
由余弦定理得,
所以
即BC的长度为.
(2)设绿化区域改造费与道路新建费用之和为y万元.
因为,所以,
由正弦定理，得，
则由题意可得
，
因为，所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以当时，该工程队获得最高利润.
10.一海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是 ( )
A.海里 B.海里 C.海里 D.海里
【解析】选B.根据已知条件可知在△ABC中,AB=20,∠BAC=30°,∠ABC=105°,
所以∠C=45°,由正弦定理有，所以.
11.一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B,又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C,若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C,则此船沿________方向行驶________海里至海岛C.
【解析】在△ABC中,∠ABC=110°+10°=120°.又AB=BC,故∠CAB=∠ACB=30°,
.
故此船沿着北偏东70°-30°=40°方向行驶了海里到达海岛C.
答案:北偏东40°
高一数学午间练（38）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.如图,为了测量隧道AB的长度,给定下列四组数据,测量时应选用数据 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.选择a,b,γ可直接利用余弦定理求解,而无法测量得到,故排除A,B,D.选C.
2.如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者与A在河的同侧,在A所在的河岸边先确定一点C,测出A,C的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,
可以计算出A,B两点的距离为 ( )
A.m B.m C.m D.m
【解析】选A.∠ABC=180°-45°-105°=30°,在△ABC中由，
得 (m).
3.如图所示,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10 m,从D,C两地测得A点的仰角分
别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于 ( )
A.10 m B.m C.m D.m
【解析】选D.方法一:设AB=x m,则BC=x m.所以BD=(10+x)m.
所以，解.
所以A点离地面的高AB等于m.
方法二:因为∠ACB=45°,所以∠ACD=135°,所以∠CAD=180°-135°-30°=15°.
由正弦定理,得(m),
所以AB=ACsin 45°m.
【解题策略】
1.求距离问题时应注意的两点
(1)选定或确定所求量所在的三角形,若其他量已知,则直接求解;若有未知量,则先把未知量放在另一确定三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
2.解决测量高度问题的一般步骤
(1)画图:根据已知条件画出示意图.
(2)分析三角形:分析与问题有关的三角形,在高度问题中,经常用到直角三角形.
(3)求解:运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解.在解题中,要综合运用平面几何知识,注意方程思想的运用.
4.在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°,塔基的俯角为45°,那么这座塔吊的高是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B. 如图,由条件知四边形ABCD为正方形,
所以AB=CD=BC=AD=20 m.在△DCE中,∠EDC=60°,
∠DCE=90°,CD=20 m,所以EC=CD·tan 60°=20(m),
所以BE=BC+CE=(20+20)=20(1+)m.
5.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距a n mile,乙船向
正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的倍,问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船?相遇时乙船行驶了多少n mile?
【解析】如图所示,设两船在C处相遇,并设∠CAB=,
乙船行驶距离BC为x n mile,则AC=x,
由正弦定理得，而,
所以,所以∠ACB=30°,BC=AB=a.
所以甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船,两船相遇时乙船行驶了a n mile.
【拓展延伸】
1.函数与方程思想在距离问题中的应用
(1)函数思想的应用
将三角形中边角之间的关系问题借助余弦定理和正弦定理建立函数关系,结合有关函数的图象和性质,加以分析、转化、解决有关求取值范围、最大(小)值问题.
(2)方程思想的应用
余弦定理和正弦定理涉及三个边和三个角共六个量,只要知道其中三个独立的量(必须有边)就能求出其余三个量.因此,解三角形的实际应用问题中,直接求相关量较难时,通常将问题的数量关系运用这两个定理转化为数学模型(方程、方程组)加以解决.
6.如图,为了测量河对岸的塔高AB,有不同的方案,其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D,测得CD=200米,在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高AB.
【思路导引】设AB=h.表示出BC=h,BD=h,然后在△BCD中利用余弦定理求解.
【解析】在Rt△ABC中,∠ACB=45°,若设AB=h,则BC=h.
在Rt△ABD中,∠ADB=30°,则BD=h.在△BCD中,
由余弦定理可得,
即,所以,解得h=200(h= -200舍去),
即塔高AB=200米.
7.瑞云塔是福清著名的历史文化古迹.如图,一研究小组同学为了估测塔的高度,在塔底D和A,B(与塔底D同一水平面)处进行测量,在点A,B处测得塔顶C的仰角分别为45°,30°,且A,B两点相距91 m,由点D看A,B的张角为150°,则瑞云塔的高度CD= ( )
A.91 m B. m C. m D. m
【解析】选C.设CD=h,因为在点A,B处测得塔顶C的仰角分别为45°,30°,
所以BD=h,AD=h,
因为,所以,即(负值舍去).
8.某海域的东西方向上分别有A,B两个观测点(如图),它们相距海里.现有一艘轮船在D点发出求救信号,经探测得知D点位于A点北偏东45°,B点北偏西60°,这时,位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点有一救援船,其航行速度为30海里/小时.
(1)求B点到D点的距离BD;
(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救,求该救援船到达D点需要的时间.
【解析】(1)由题意知海里,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,
所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°,在△DAB中,由正弦定理得，
(2)在△DBC中,∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC(海里),
由余弦定理得,
所以CD=30(海里),则需要的时间(小时).
答:救援船到达D点需要1小时.
9.如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的 ( )
A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东80° D.南偏西80°
【解析】选D.由条件及题图可知,∠CAB=∠CBA=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
10.如图所示,在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为 ( )
A. m B. m C. m D. m
【解析】选D.可得∠SAB=45°-30°=15°,∠SBA=∠ABC-∠SBC=45°-(90°-75°)=30°,
在△ABS中,(m),
所以(m).
11.海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°,距离为海里;在A处看灯塔C,在货轮的北偏西30°,距离为海里;货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在南偏东60°,求:
(1)A处与D处之间的距离;
(2)灯塔C与D处之间的距离.
【解析】由题意,画出示意图.
(1)在△ABD中,因为∠ADB=60°,∠DAB=75°,所以B=45°.由正弦定理得(海里).所以A处与D处之间的距离为24海里.
(2)在△ADC中,由余弦定理得,
所以海里.所以C,D之间的距离为海里.
高一数学午间练（39）
班级_______姓名__________学号_________日期______
1.如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,
AC=1,AB=AD,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=________.
【解析】因为AB⊥AC,AB=,AC=1,由勾股定理得,
同理得BD=,所以BF=BD=,在△ACE中,AC=1,AE=AD=,∠CAE=30°,
由余弦定理得,
所以CF=CE=1,在△BCF中,BC=2,BF=,CF=1,由余弦定理得
.
答案:
2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且.
(1)求c和sin A的值;
(2)求sin(2A-B)的值.
【解析】(1)由余弦定理,得,
又,所以ac=9,解得a=3,c=3,
在△ABC中,
由正弦定理得，所以.
(2)因为a=c,则A为锐角,所以，
所以，
所以.
【方法技巧】
1.已知两边a,b及其夹角C的求解步骤
(1)由，求边c;
(2)由正弦定理求a,b中较小边所对的锐角;
(3)由内角和定理求第三角.
2.已知三边的求解步骤
(1)由余弦定理求最大边所对的角;
(2)由正弦定理求其余两个锐角.
题组训练二 利用正弦定理解题
3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,B=120°,C=45°,
则边c的大小是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.因为b=2,B=120°,C=45°,
所以，即.
4.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,且,则A=________,
若角A为钝角,则的取值范围为________.
【解析】由及0
所以.由，得.
所以
，
又，所以，所以.
故的取值范围为.
答案:或
5.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, ________,且.现从:①,②,③这三个条件中任选一个,将题目补充完整,并判断这样的△ABC是否存在,若存在,求△ABC的面积S;若不存在,请说明理由.
【解析】若选条件①.由3sin B+3sin C=4sin(B+C),得3b+3c=4a.
又a=3,所以b+c=4.因为,所以,
解得 或
不妨取易知b>a>c,且a+c>b,
所以这样的△ABC存在,其面积.
若选条件②.由3sin B+3sin C=4sin(B+C),得3b+3c=4a.又a=3,所以b+c=4,
因为,所以.
解得易知a>b>c,且b+c>a,
所以这样的△ABC存在,其面积.
若选条件③.由3sin B+3sin C=4sin(B+C),得3b+3c=4a,又a=3,
所以b+c=4,因为A+B=,所以,即,
解得易知c>a>b,且a+b>c,
所以这样的△ABC存在,其面积.
综上所述,选条件①时,;选条件②时,;选条件③时,.
【方法技巧】
1.已知两角A,B及一边b的求解步骤
(1)利用C=π-A-B求出角C;
(2)由正弦定理得求出边a;
(3)由正弦定理得求出边c.
2.已知两边a,b及一边对角A的求解步骤
(1)由正弦定理得 sin B= ;
(2)利用sin B的值及具体题意判断解的情况;
(3)利用C=π-A-B求出角C;
(4)由正弦或余弦定理求边c.
其中(2)中运用正弦定理解三角形时,解不确定,可结合三角形中大边对大角的性质去判断解的个数.
题组训练三 判断三角形的形状
6.(多选题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(k为非零实数),
则下列结论正确的是 ( )
A.当k=5时,△ABC是直角三角形 B.当k=3时,△ABC是锐角三角形
C.当k=2时,△ABC是钝角三角形 D.当k=1时,△ABC是钝角三角形
【解析】选ABC.当k=5时,，根据正弦定理不妨设a=5m,b=3m,
c=4m(m>0),显然△ABC是直角三角形;当k=3时, ，根据正弦定
理不妨设a=3m,b=3m,c=4m(m>0),显然△ABC是等腰三角形,,说明C是锐角,故△ABC是锐角三角形;当k=2时, ，根据正弦定理不妨设a=2m,b=3m,c=4m(m>0), ,说明C是钝角,故△ABC是钝角三角形,当k=1时, ，根据正弦定理不妨设a=m,b=3m,c=4m(m>0),此时a+b=c,不能构成三角形,故结论错误.
7.(多选题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,①若A>B,则sin A>sin B;②若sin 2A=sin 2B,则△ABC一定为等腰三角形;③若sin2A+ sin2B=sin2C,则△ABC为直角三角形;④若△ABC为锐角三角形,则sin A>cos B.以上结论中正确的有 ( )
A.① B. ② C. ③ D.④
【解析】选ACD.对于①,因为A>B,所以a>b,由正弦定理可知,sin A>sin B,即①正确;对于②,因为sin 2A=sin 2B,所以A=B或2A+2B=π.若A=B时,△ABC为等腰三角形;若2A+2B=π,则A+B=,此时△ABC为直角三角形,故②不正确;对于③, sin2A+sin2B=sin2C,由正弦定理可得,a2+b2=c2,故△ABC为直角三角形,即③正确;对于④,因为△ABC为锐角三角形,所以A+B>,则A>-B,显然,因为函数y=sin x在上单调递增,所以,即sin A>cos B,故④正确.
【方法技巧】
1.判断三角形形状的常用方法
同课章节目录
- 第六章 平面向量及其应用
- 6.1 平面向量的概念
- 6.2 平面向量的运算
- 6.3 平面向量基本定理及坐标表示
- 6.4 平面向量的应用
- 第七章 复数
- 7.1 复数的概念
- 7.2 复数的四则运算
- 7.3 * 复数的三角表示
- 第八章 立体几何初步
- 8.1 基本立体图形
- 8.2 立体图形的直观图
- 8.3 简单几何体的表面积与体积
- 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 8.5 空间直线、平面的平行
- 8.6 空间直线、平面的垂直
- 第九章 统计
- 9.1 随机抽样
- 9.2 用样本估计总体
- 9.3 统计分析案例 公司员工
- 第十章 概率
- 10.1 随机事件与概率
- 10.2 事件的相互独立性
- 10.3 频率与概率