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昆明市第一中学2021届高中新课标高三第八次考前适应性训练
参考答案（理科数学）
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
C
C
A
C
B
C
A
B
D
D
1.
解析：因为，，所以，选D.
2.
解析：解析：由题意可得，，
=+=×
+×，选A.
3.
解析：由题意可知，能为型血病人输血的有型和型，因此，在该地区任选一人，能为病人输血
的概率为49%+25%=74%.选C.
4.
解析：蒲每天长高的长度组成等比数列，其，公比为，其前项和为．
莞每天长高的长度组成等比数列，其，公比为，其前项和为．
则，，由题意可得：，化简为，
解得，（舍去）．所以，选C．
5.
解析：当直线的斜率不存在时，直线与圆相交于，两点，所以弦长为，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，圆心到直线的距离，由可得，即，所以，直线的方程为，选A．
6.
解析：因为，所以，所以数列是等比数列，则其公比满足，
所以，又数列各项均为正数，所以.因此.选C.
7.
解析：根据三视图可得原几何体为正三棱锥，取中点，连接，则底面中心在
上，连接，可得平面，由三视图可知，，设底面边长为，则，则，则在等腰直角三角形中，，因为是底面中心，所以，则，解得，则，底面边长为，则正视图（等腰三角形）的腰长为，选B.
8.
解析：因为双曲线的一条渐近线为，直线可化为，由题意可得，即；又因为，所以；又因为双曲线离心率，所以双曲线离心率，选C．
9.
解析：因为函数的定义域为，，所以为奇函数；
又因为，所以函数在上单调递增；又因为，所以，，即，选A．
10.
解析：由函数图象和性质可知：，在单调递减，则在单调递增.
又因为，所以，所以，选B．
11.
解析：由可得，则；设所求等比数列为，，，，则，即，所以，；因为为偶数，当时，等比数列有个；当时，等比数列有个；当时，等比数列有个；当时，等比数列有个；当时，等比数列有个.
由加法计数原理得满足条件的等比数列共有个，选D
．
12.
解析：因为球与直三棱柱的所有面均相切，且直三棱柱的底面是正三角形，
所以球心为该三棱柱上、下底面三角形重心连线的中点，如图所示，设底面三角形的重心为，连接，则底面，连接，易知点在上，
连接、，因为是侧面对角线交点，所以四边形为正方形，设球的半径为，则由，可得，易得，连接，可得，所以，故所求弦长为，选D.
二、填空题
13.
解析：，又且，则.
14.
解析：根据题意，有一名教师需要对两名学生进行家庭问卷调查，所以有种.
15.
解析：因为且，所以，所以在复平面内的轨迹是以和为焦点，为长轴的椭圆，所以的轨迹方程为.
16.
解析：,,,所以,所以为真.
当时成立，所以为真.
,方程有两个不相等实根，所以为真.
当时，，所以为假.
所以，，为真，
所以真命题为①②④.
三、解答题
（一）必考题
17.
解：（1）因为，
所以，
所以，
所以，由正弦定理得：，
所以是，的等差中项．
………6分
（2）由余弦定理得：，又由（1）得：，
所以，
而（当且仅当时取“”），
所以，
（当且仅当，即△为正三角形时，取“”），
又因为，余弦函数在上单调递减，
所以的最大值为．
………12分
18.
解：（1）由题意得月日新增病例中有名男性，名女性，按性别从中分层抽取人，
其中有名男性，名女性.
所以这人至少有名女性的概率.
………5分
（2）由题意得所有可能的取值分别为，，，，.
，；
，；
.
所以的分布列为：
所以.
………12分
19.
解：（1）设，因为点为抛物线：的焦点，点是该抛物线的对称轴与准线的交点，所以，，
因为，所以，
即，整理得：解得：，
所以，，
因为在以，为焦点的椭圆上，所以，，
所以椭圆的离心率.
………6分
（2）设，则圆心，过作直线的垂线，垂足为，
因为，则，
则
，
所以弦的长为定值.
………12分
20.
解：（1）因为四边形是矩形，所以．
因为，，所以平面．
因为，平面，平面，所以平面．
因为平面平面，所以，所以直线平面．
………6分
（2）设，所以（），．
因为平面平面，交线为，且，所以平面，而平面，所以．在直角△中，，，有．
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，．
如图，建立空间直角坐标系，可得，
，，
所以，，，
设平面和平面的法向量分别为和
因为，，所以，
所以
所以二面角的余弦值为．
………12分
21.解：（1）当时，，，
由，得；
由，得．
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
因为，，所以函数在上存在一个零点．
当时，恒成立，
所以函数在上不存在零点．
综上，函数在上只有一个零点．
………4分
（2）由求导，得，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
所以．
由求导，得，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以．
因为，函数的最大值，即函数的图象在直线的下方，
所以函数的图象在直线的上方，
即，解得．
所以的取值集合．
………8分
（3）对任意，的最小值为．
当时，；
当时，．
因为，
所以的最小值为．
………12分
（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。
22.
解：（1）由题意，曲线的参数方程为，经过伸缩变换后，曲线的参数方程为
，
由得：，
化为直角坐标方程为，
所以，曲线的参数方程为
，
直线的直角坐标方程为.
………5分
（2）设，
点到直线的距离为，
（其中，，），
当时，即，时，点到直线的距离取到最小值，
此时，，
，
，
，
所以，点的坐标为.
………10分
23.
解：（1）由不等式可得：，
可化为：
或
或，
解得：
或
或
，
所以，不等式的解集为.
………5分
（2）因为，当且仅当时，等号成立，
另一方面，因为，，，
，
当且仅当时，等号成立，
所以，
.
………10分密
重
提
播
格
和法律责
位举报
课标高三第八次孝前适应性训练
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理科数学
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