安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高一下学期期中考试数学（理）试题 Word版含答案

育才学校2020-2021学年度第二学期期中考试
高一数学理科试卷
总分：150分 考试时间：120分钟
一．选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1.已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中的元素个数为(　　)
A． 5 B． 4 C． 3 D． 2
2.在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A． －13.已知幂函数f(x)＝，若f(a＋1)A． (3,5) B． (－1，＋∞) C． (－∞，5) D． (－1,5)
4.设函数f(x)＝4x3＋x－8，用二分法求方程4x3＋x－8＝0近似解的过程中，计算得到f(1)<0，f(3)>0，则方程的近似解落在区间(　　)
A． (1,1.5) B． (1.5,2) C． (2,2.5) D． (2.5,3)
5.某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中，f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数是(　　)
A． 60 B． 70 C． 80 D． 90
6.为使方程cos2x－sinx＋a＝0在0＜x≤内有解，则a的取值范围是( )
A． －1≤a≤1 B． －1＜a≤1 C． －1≤a＜0 D．a≤－
7.函数y＝sin(－2x)的单调递增区间是( )
A． [kπ－，kπ＋)() B． [kπ－，kπ＋]()
C． [kπ－，kπ－)() D．()
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8.如图是函数y＝2sin(ωx＋φ)(|φ|＜)的图象，那么(　　)
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－
9.函数y＝sin 3x的图象可以由函数y＝cos 3x的图象(　)
A． 向右平移个单位得到 B． 向左平移个单位得到
C． 向右平移个单位得到 D． 向左平移个单位得到
10.在△ABC中，若tanB＝，则这个三角形是(　　)
A． 锐角三角形 B． 直角三角形
C． 等腰三角形 D． 等腰三角形或直角三角形
11.函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间上的最大值是(　　)
A． 1 B． C． D． 1＋
12.已知－＜θ＜，且sinθ＋cosθ＝a，其中a∈(0,1)，则关于tanθ的值，在以下四个答案中，可能正确的是(　　)
A． －3 B． 3或 C． － D． －3或－
二．填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.函数y＝tan的单调递增区间是________.
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14.函数y＝sinωx(ω＞0)的部分图象如图所示，点A，B是最高点，点C是最低点，若△ABC是直角三角形，则ω的值为_____.
15.已知sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，且β为第三象限
角，则cos β＝________.
16.将函数f(x)＝2sin的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得图象关于直线x＝对称，则φ的最小正值为________.
三．解答题(共6小题,10+12*5=70分) 17.已知cos(x－)＝，x∈(，)．
(1)求sinx的值；
(2)求sin(2x＋)的值．
18.已知函数f(x)＝tan(2x＋).
(1)求该函数的定义域，周期及单调区间；
(2)若f(θ)＝，求的值.
19.已知函数f(x)＝Acos，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
20.已知函数f(x)＝sin 2xsinφ＋cos2xcosφ－sin(＋φ)(0＜φ＜π)，其图象过点(，)．
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在[0，]上的最大值和最小值．
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21.如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
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22.已知定义在区间[－π，π]上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，当x∈[－，π]时，函数f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)，其图象如图所示.
(1)求函数y＝f(x)在[－π，π]上的表达式；
(2)求方程f(x)＝的解集.
答案解析
一．选择题
1.D
【解析】由条件知，当n＝2时，3n＋2＝8，当n＝4时，3n＋2＝14，故A∩B＝{8,14}，故选D.
2.C
【解析】由题意可知，(x－a)?(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，
∴原不等式可化为(x－a)(1－x－a)<1.即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x都成立，
所以只需Δ＝(－1)2－4(－a2＋a＋1)<0，解得－3.A
【解析】因为f(x)＝＝，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
又f(a＋1)所以
解得34.A
【解析】取x1＝2，因为f(2)＝4×8＋2－8＝26>0，所以方程近似解x0∈(1,2)，
取x2＝，因为f()＝4×＋－8＝7>0，所以方程近似解x0∈(1，) ，所以应选A.
5.C
【解析】∵T＝＝，∴f＝＝80.
6.B
【解析】a＝sin2x＋sinx－1，又f(x)＝sin2x＋sinx－1在(0，]上的范围是－1＜f(x)≤1，故a的取值范围是－1＜a≤1.
7.D
【解析】令2kπ＋π＜2x－≤2kπ＋()，2kπ＋＜2x≤2kπ＋()，kπ＋＜x≤kπ＋()，故函数的单调递增区间是(kπ－，kπ－] ().
8.C
【解析】由点(0,1)在图象上，∴1＝2sinφ，|φ|＜，
∴φ＝，此时y＝2sin.
又点在y＝2sin的图象上，且该点是“五点”中的第五个点，
∴0＝2sin，
∴＋＝2π，∴ω＝2，
综上，有ω＝2，φ＝，故选C.
9.A
【解析】由于函数y＝sin 3x＝cos(3x＋)＝cos(3x－)＝cos 3(x－)，
故把函数y＝cos 3x的图象向右平移个单位，即可得到y＝cos 3(x－)＝sin 3x的图象.
10.B
【解析】因为△ABC中，A＋B＋C＝π，
所以tanB＝＝＝，
即＝，
∴cos(B＋C)＝0，∴cos(π－A)＝0，∴cosA＝0，
∵0＜A＜π，∴A＝，
∴这个三角形为直角三角形，故选B.
11.C
【解析】由已知得f(x)＝＋sin 2x＝＋sin，当x∈时，2x－∈，sin∈，因此f(x)的最大值为＋1＝，故选C.
12.C
【解析】因为sinθ＋cosθ＝a，a∈(0,1)，两边平方整理得sinθcosθ＝＜0，故－＜θ＜0且cosθ＞－sinθ，
∴|cosθ|＞|sinθ|，借助三角函数线可知－＜θ＜0，－1＜tanθ＜0，故选C.
二．填空题
13.(k∈Z)
【解析】根据题意，得－＋kπ＜2x＋＜＋kπ，k∈Z.解得－π＋＜x＜＋，k∈Z.
14.
【解析】由题意结合三角函数的对称性可知△ABC为等腰直角三角形，且∠ACB为直角，
取AB的中点为D，由三角函数的最大值和最小值为1和－1，得CD＝2，
故AB＝4，又AB为函数的一个周期的长度，
故可得＝4，得ω＝.
15.－
【解析】由sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，得sin(－β)＝m，即sinβ＝－m，
又β为第三象限角，
∴ cosβ＝－＝－＝－.
16.
【解析】由题意得，函数f(x)＝2sin变为g(x)＝2sin＝2sin因为所得图象关于直线x＝对称，所以4×－2φ＋＝＋kπ，φ＝－()，φ的最小正值为.
三.解答题
17.(1)因为x∈(，)，所以x－∈(，)，
于是sin(x－)＝＝，
则sinx＝sin[(x－)＋]＝sin(x－)cos＋cos(x－)sin＝×＋×＝.
(2)因为x∈(，)，
故cosx＝－＝－＝－，
sin 2x＝2sinxcosx＝－，cos 2x＝2cos2x－1＝－，
所以sin(2x＋)＝sin 2xcos＋cos 2xsin＝－.
18.(1)由题意得，T＝.
由2x＋≠＋kπ(k∈Z)，得x≠＋，
由－＋kπ＜2x＋＜＋kπ(k∈Z)，得－＜x＜＋，
综上得，函数的周期是，定义域是{x|x≠＋，k∈Z}，
单调增区间是(－，＋)(k∈Z).
(2)＝＝，①
∵f(θ)＝，∴tan(2θ＋)＝，
则tan 2θ＝tan[(2θ＋)－]＝＝－，
由tan 2θ＝＝－，得tanθ＝3或－，
把tanθ＝3代入上式①得，＝－，
把tanθ＝－代入上式①得，＝2.
19.(1)因为f()＝，所以Acos(＋)＝，A＝＝2.
(2)因为f(4α＋)＝－，所以2cos[(4α＋)＋]＝2cos(α＋)＝－，
所以sinα＝.
又因为f(4β－)＝，所以2cos[(4β－)＋]＝2cosβ＝，
所以cosβ＝，
又因为α，β∈[0，]，所以cosα＝，sinβ＝，
所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.
20.(1)因为f(x)＝sin 2xsinφ＋cos2xcosφ－sin(＋φ)(0＜φ＜π)，
所以f(x)＝sin 2xsinφ＋cosφ－cosφ
＝sin 2xsinφ＋cos 2xcosφ
＝(sin 2xsinφ＋cos 2xcosφ)＝cos(2x－φ)．
又函数图象过点(，)，
所以＝cos(2×－φ)，即cos(－φ)＝1.
又0＜φ＜π，所以φ＝.
(2)由(1)知，f(x)＝cos(2x－)，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知g(x)＝f(2x)＝cos(4x－)，
因为x∈[0，]，所以4x∈[0，π]，
因此4x－∈[－，]，
故－≤cos(4x－)≤1.
所以y＝g(x)在[0，]上的最大值和最小值分别为和－.
21.在Rt△OBC中，OB＝cosα，BC＝sinα.
在Rt△OAD中，＝tan＝，∴OA＝DA＝BC＝sinα，
∴AB＝OB－OA＝cosα－sinα.
设矩形ABCD的面积为S，则S＝AB·BC＝sinα＝sinαcosα－sin2α
＝sin 2α－(1－cos 2α)＝sin 2α＋cos 2α－
＝－＝sin－.
由0＜α＜，得＜2α＋＜，所以当2α＋＝，
即α＝时，Smax＝－＝.
因此，当α＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.
22.(1)当x∈[－，π]时，函数f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)，
观察图象易得，A＝1，ω＝1，φ＝，即x∈[－，π]时，函数f(x)＝sin(x＋).
由函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称得，x∈[－π，－]时，函数f(x)＝－sinx.
∴f(x)＝
(2)当x∈[－，]时，由sin(x＋)＝得，x＋＝或?x＝－或x＝；
当x∈[－π，－]时，由－sinx＝得，x＝－或x＝－.
∴方程f(x)＝的解集为{－，－，－，}.