3.2 古典概型
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(共27张PPT)
古 典 概 型
温故而知新
事件的关系及其运算
古 典 概 型
事件A与B关系 含义 符号
事件B包含A（或称事件A包含于B） 如果事件A发生，则事件B一定发生。 B A（A B）
事件A与B相等 如果事件A发生，则事件B一定发生； 反之，也成立。 A=B
事件A与B的和事件（或并事件） 事件A与B至少有一个发生的事件 A B
事件A与B的积事件（或交事件） 事件A与B同时发生的事件
A B
事件A与B互斥 事件A与B不能同时发生 A B=φ
事件A与B互为对立事件 事件A与B不能同时发生，但必有一个发生 A B=Φ且 A B=Ω
温故而知新
古 典 概 型
概率的基本性质
(1) 0≤P（A）≤1
(2) 当事件A、B互斥时，
(3) 当事件A、B对立时，
事件的构成
古 典 概 型
1、掷一枚质地均匀的硬币的试验，可能出现几种不同的结果？
2、掷一枚质地均匀的骰子的试验，可能出现几种不同的结果？
像上面的“正面朝上”、 “正面朝下”；出现“1点”、 “2点”、 “3点”、 “4点”、 “5点”、 “6点”这些随机事件叫做构成试验结果的基本事件。
事件的构成
例1 从字母a、b、c、d任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？
解：所求的基本事件共有6个：
古 典 概 型
A={a, b}
B={a, c}
C={a, d}
D={b, c}
E={b, d}
F={c, d}
事件的构成
基本事件的特点
（1）在同一试验中，任何两个基本事件是互斥的；
（2）任何事件都可以表示成几个基本事件的和。
古 典 概 型
由所有的基本事件构成一个试验的样本空间
例如：掷一颗均匀的骰子，它的样本空间为：
Ω＝｛1,2，3,4，5,6｝ 它有6个基本事件
训练一
古 典 概 型
1、连续抛掷两枚硬币，写出所有的基本事件。
解
训练一
古 典 概 型
2、连续抛掷两枚骰子，共有多少个基本事件。
1
2
1
2
3
3
4
4
5
5
6
6
共有36个基本事件，每个事件发生的可能性相等，都是1/36
训练一
古 典 概 型
3、一个袋中装有红、黄、蓝三个大小形状完全相同的球，（1）从中一次性摸出两个球，其中可能出现不同色的两个球的结果。
{红，黄}，{红，蓝} ，{黄，蓝}
（2）从中先后摸出两个球，其中可能出现不同色的两个球的结果。
（红，黄），（红，蓝），（黄，蓝）
（黄，红），（蓝，红），（蓝，黄）
古 典 概 率
我们会发现，以上三个试验有两个共同特征：
(1)有限性：在随机试验中，其可能出现的结果有有
限个，即只有有限个不同的基本事件；
(2)等可能性：每个基本事件发生的机会是均等的。
我们称这样的随机试验为古典概型。
1、古典概型
古 典 概 型
古 典 概 率
一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件为n,
随机事件A所包含的基本事件数为m，我们就用
来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概
率，记作P(A)，即有
我们把可以作古典概型计算的概率称为古典概率。
2、古典概率
古 典 概 型
概 率 初 步
例 题 分 析
例2、掷一颗均匀的骰子，求掷得偶数点的概率。
解：掷一颗均匀的骰子，它的样本空间是
Ω={1, 2， 3, 4，5，6}
∴n=6
而掷得偶数点事件A={2, 4，6}
∴m=3
∴P(A) =
概 率 初 步
例 题 分 析
例3、同时掷两颗均匀的骰子，求掷得两颗骰子向上的点数之和是5的概率。
解：掷两颗均匀的骰子，标记两颗骰子1号、2号便于区分。
每一颗骰子共有6种结果，两颗骰子同时抛共有6×6=36种结果
∴n=36
而掷得向上的点数之和是5的事件
A={（1，4），（2, 3），（ 3，2），（4，1）}
∴m=4
∴P(A) =
训练二
1、同时抛掷1角与1元的两枚硬币，计算：
(1)两枚硬币都出现正面的概率是
(2)一枚出现正面，一枚出现反面的概率是
0.25
0.5
2、在一次问题抢答的游戏，要求答题者在问题所列出的4个答案
中找出唯一正确答案。某抢答者不知道正确答案便随意说出
其中的一个答案，则这个答案恰好是正确答案的概率是
0.25
3、作投掷二颗骰子试验，用(x,y)表示结果，其中x表示第一
颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数，求：
(1)求事件“出现点数之和大于8”的概率
(2)求事件“出现点数相等”的概率
古 典 概 型
Goodbye
Goodbye
Goodbye
Goodbye
小知识 概率统计的第一篇论文是1657年惠更斯的《论赌博的计算》，从那时起直到十九世纪初，人们运用当时发展起来的排列组合理论和变量数学为工具，发展了古典概率和几何概率范围的概念、计算及其分析性质的成果，如大数定律，贝叶斯定理，高斯分布，最小二乘法等。拉普拉斯以《分析概率论》作了总结，形成了古典的描述性统计学。十九世纪是统计学相对停滞和酝酿时期，二十世纪初至第二次世界大战前，由于法俄概率论和英美统计科学的发展以及它们的结合，使概率统计学得以正式列入数学之林，诸分支在实践中迅速产生，如在生物学研究中提出的回归分析；出自农业实验的方差分析、实验设计理论；大规模工业生产所要求的抽样检查；从道奇──洛密克抽样表到序贯分析以至质量控制。等等。形成现代统计学的大部分内容。二次世界大战后，概率统计学主要在纯理论研究上取得进展。
概率统计学的形成，标志着人类的认识和实践领域，从必然现象扩展到偶然现象（随机事件），这是与从精确数学到模糊数学类似的变革，它使科学与数学结合的历史进程前进了一大步，因此，它的应用十分广泛，除自然科学外，社会经济统计已成独立分支；它与其它学科结合形成了生物统计、统计预报、统计物理、计量史学等边缘学科；它向其它的数学分支渗透而产生了随机微分方程、随机几何等理论。
书Ｐ112表：历史上一些掷硬币的试验结果
试验次数 正面朝上的 频数 正面朝上的频率
2048
4040
12000
24000
30000
72088 1061
2048
6019
12012
14984
36124 0.5181
0.5069
0.5016
0.5005
0.4996
0.5011
3.2.2 （整数值）随机数的产生
计算器
产生
随机数
计算机
产生
随机数
随机模拟方法或蒙特卡罗方法
(1).由试验(如摸球或抽签）产生随机数
例:产生1—25之间的随机整数.
①将25个大小形状相同的小球分别标1,2, …， 24, 25，
放入一个袋中，充分搅拌
②从中摸出一个球，这个球上的数就是
产生随机数的方法:
随机数
(2).由计算器或计算机产生随机数
计算器或计算机产生的随机数是根据确定的算法产生的，具有
周期性(周期很长),具有类似随机数的性质，但并不是真正的随
机数，故叫
伪随机数
由计算器或计算机模拟试验的方法为
例1: 产生1到25之间的取整数值的随机数.
第一步:ON → MODE→MODE→MODE→1→0 →
第三步:以后每次按“=”都会产生一个1到25的取整数值的随机数.
解：具体操作如下
1.如何利用计算器产生随机数？
第二步:25 →SHIFT→RAN#→+ → 0.5 → =
若要产生[M，N]的随机整数，操作如下:
温馨提示:
(3)将计算器的数位复原:MODE → MODE → MODE → 3 → 1
第一步:ON → MODE→MODE→MODE→1→0 →
第三步:以后每次按“=”都会产生一个M到N的取整
数值的随机数.
第二步:N-M+1→SHIFT→RAN#→＋ → M-0.5 →=
(1)第一步，第二步的操作顺序可以互换；
(2)如果已进行了一次随机整数的产生，再做类似的操
作，第一步可省略；
解：
（２）用计算器产生随机数０，１，操作过程如下：
MODE→MODE→MODE→1→0 → SHIFT → RAN#=
（３）以后每次按“=”直到产生２０随机数，并统计
出１的个数n
练习:设计用计算器模拟掷硬币的实验２０次，统计出现正
面的频数和频率
用这个频率估计出来的概率精确度如何？误差大吗？
（４）频率f＝n/20
（１）规定０表示反面朝上，１表示正面朝上
2.如何利用计算机 产生随机数？
【例２】天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%.这三天中恰有两天下雨的概率大概是多少？
(1)设计概率模型
利用计算机(计算器)产生0~9之间的(整数值)随机数
约定用0、1、2、3表示下雨，4、5、6、7、8、9表示不下雨以体现下雨的概率是40%.
模拟三天的下雨情况：连续产生三个随机数为一组，作为三天的模拟结果．
(2)进行模拟试验
例如产生30组随机数
(3)统计试验结果
选定D1，键入公式:
=IF(OR(AND(A1<4,B1<4,C1>3),AND(A1<4,B1>3,C1<4), AND(A1>3,B1<4,C1<4)),1,0)
如果三天中恰有两天下雨，则D记作为1，否则记作为0
在学过二项分布后，可以计算得到三天中恰有两天下雨的概率：
随机模拟的方法得到的仅是30次试验中恰有2天下雨的频率或概率的近似值，而不是概率．
练习:
试设计一个用计算器或计算机模拟掷骰子的实验，估计出现一点的概率．
(1).规定１表示出现１点，２表示出现２点，
．．．，６表示出现６点
(2).用计算器或计算机产生Ｎ个1至６之间的随机数
(3).统计数字１的个数n，算出概率的近似值n／Ｎ
小结：
随机数具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复试验。通过本节课的学习,我们要熟练掌握随机数产生的方法以及随机模拟试验的步骤：
作业:
作业本:3.3.2
(1)设计概率模型
(2)进行模拟试验
(3)统计试验结果
古 典 概 型
温故而知新
事件的关系及其运算
古 典 概 型
事件A与B关系 含义 符号
事件B包含A（或称事件A包含于B） 如果事件A发生，则事件B一定发生。 B A（A B）
事件A与B相等 如果事件A发生，则事件B一定发生； 反之，也成立。 A=B
事件A与B的和事件（或并事件） 事件A与B至少有一个发生的事件 A B
事件A与B的积事件（或交事件） 事件A与B同时发生的事件
A B
事件A与B互斥 事件A与B不能同时发生 A B=φ
事件A与B互为对立事件 事件A与B不能同时发生，但必有一个发生 A B=Φ且 A B=Ω
温故而知新
古 典 概 型
概率的基本性质
(1) 0≤P（A）≤1
(2) 当事件A、B互斥时，
(3) 当事件A、B对立时，
事件的构成
古 典 概 型
1、掷一枚质地均匀的硬币的试验，可能出现几种不同的结果？
2、掷一枚质地均匀的骰子的试验，可能出现几种不同的结果？
像上面的“正面朝上”、 “正面朝下”；出现“1点”、 “2点”、 “3点”、 “4点”、 “5点”、 “6点”这些随机事件叫做构成试验结果的基本事件。
事件的构成
例1 从字母a、b、c、d任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？
解：所求的基本事件共有6个：
古 典 概 型
A={a, b}
B={a, c}
C={a, d}
D={b, c}
E={b, d}
F={c, d}
事件的构成
基本事件的特点
（1）在同一试验中，任何两个基本事件是互斥的；
（2）任何事件都可以表示成几个基本事件的和。
古 典 概 型
由所有的基本事件构成一个试验的样本空间
例如：掷一颗均匀的骰子，它的样本空间为：
Ω＝｛1,2，3,4，5,6｝ 它有6个基本事件
训练一
古 典 概 型
1、连续抛掷两枚硬币，写出所有的基本事件。
解
训练一
古 典 概 型
2、连续抛掷两枚骰子，共有多少个基本事件。
1
2
1
2
3
3
4
4
5
5
6
6
共有36个基本事件，每个事件发生的可能性相等，都是1/36
训练一
古 典 概 型
3、一个袋中装有红、黄、蓝三个大小形状完全相同的球，（1）从中一次性摸出两个球，其中可能出现不同色的两个球的结果。
{红，黄}，{红，蓝} ，{黄，蓝}
（2）从中先后摸出两个球，其中可能出现不同色的两个球的结果。
（红，黄），（红，蓝），（黄，蓝）
（黄，红），（蓝，红），（蓝，黄）
古 典 概 率
我们会发现，以上三个试验有两个共同特征：
(1)有限性：在随机试验中，其可能出现的结果有有
限个，即只有有限个不同的基本事件；
(2)等可能性：每个基本事件发生的机会是均等的。
我们称这样的随机试验为古典概型。
1、古典概型
古 典 概 型
古 典 概 率
一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件为n,
随机事件A所包含的基本事件数为m，我们就用
来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概
率，记作P(A)，即有
我们把可以作古典概型计算的概率称为古典概率。
2、古典概率
古 典 概 型
概 率 初 步
例 题 分 析
例2、掷一颗均匀的骰子，求掷得偶数点的概率。
解：掷一颗均匀的骰子，它的样本空间是
Ω={1, 2， 3, 4，5，6}
∴n=6
而掷得偶数点事件A={2, 4，6}
∴m=3
∴P(A) =
概 率 初 步
例 题 分 析
例3、同时掷两颗均匀的骰子，求掷得两颗骰子向上的点数之和是5的概率。
解：掷两颗均匀的骰子，标记两颗骰子1号、2号便于区分。
每一颗骰子共有6种结果，两颗骰子同时抛共有6×6=36种结果
∴n=36
而掷得向上的点数之和是5的事件
A={（1，4），（2, 3），（ 3，2），（4，1）}
∴m=4
∴P(A) =
训练二
1、同时抛掷1角与1元的两枚硬币，计算：
(1)两枚硬币都出现正面的概率是
(2)一枚出现正面，一枚出现反面的概率是
0.25
0.5
2、在一次问题抢答的游戏，要求答题者在问题所列出的4个答案
中找出唯一正确答案。某抢答者不知道正确答案便随意说出
其中的一个答案，则这个答案恰好是正确答案的概率是
0.25
3、作投掷二颗骰子试验，用(x,y)表示结果，其中x表示第一
颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数，求：
(1)求事件“出现点数之和大于8”的概率
(2)求事件“出现点数相等”的概率
古 典 概 型
Goodbye
Goodbye
Goodbye
Goodbye
小知识 概率统计的第一篇论文是1657年惠更斯的《论赌博的计算》，从那时起直到十九世纪初，人们运用当时发展起来的排列组合理论和变量数学为工具，发展了古典概率和几何概率范围的概念、计算及其分析性质的成果，如大数定律，贝叶斯定理，高斯分布，最小二乘法等。拉普拉斯以《分析概率论》作了总结，形成了古典的描述性统计学。十九世纪是统计学相对停滞和酝酿时期，二十世纪初至第二次世界大战前，由于法俄概率论和英美统计科学的发展以及它们的结合，使概率统计学得以正式列入数学之林，诸分支在实践中迅速产生，如在生物学研究中提出的回归分析；出自农业实验的方差分析、实验设计理论；大规模工业生产所要求的抽样检查；从道奇──洛密克抽样表到序贯分析以至质量控制。等等。形成现代统计学的大部分内容。二次世界大战后，概率统计学主要在纯理论研究上取得进展。
概率统计学的形成，标志着人类的认识和实践领域，从必然现象扩展到偶然现象（随机事件），这是与从精确数学到模糊数学类似的变革，它使科学与数学结合的历史进程前进了一大步，因此，它的应用十分广泛，除自然科学外，社会经济统计已成独立分支；它与其它学科结合形成了生物统计、统计预报、统计物理、计量史学等边缘学科；它向其它的数学分支渗透而产生了随机微分方程、随机几何等理论。
书Ｐ112表：历史上一些掷硬币的试验结果
试验次数 正面朝上的 频数 正面朝上的频率
2048
4040
12000
24000
30000
72088 1061
2048
6019
12012
14984
36124 0.5181
0.5069
0.5016
0.5005
0.4996
0.5011
3.2.2 （整数值）随机数的产生
计算器
产生
随机数
计算机
产生
随机数
随机模拟方法或蒙特卡罗方法
(1).由试验(如摸球或抽签）产生随机数
例:产生1—25之间的随机整数.
①将25个大小形状相同的小球分别标1,2, …， 24, 25，
放入一个袋中，充分搅拌
②从中摸出一个球，这个球上的数就是
产生随机数的方法:
随机数
(2).由计算器或计算机产生随机数
计算器或计算机产生的随机数是根据确定的算法产生的，具有
周期性(周期很长),具有类似随机数的性质，但并不是真正的随
机数，故叫
伪随机数
由计算器或计算机模拟试验的方法为
例1: 产生1到25之间的取整数值的随机数.
第一步:ON → MODE→MODE→MODE→1→0 →
第三步:以后每次按“=”都会产生一个1到25的取整数值的随机数.
解：具体操作如下
1.如何利用计算器产生随机数？
第二步:25 →SHIFT→RAN#→+ → 0.5 → =
若要产生[M，N]的随机整数，操作如下:
温馨提示:
(3)将计算器的数位复原:MODE → MODE → MODE → 3 → 1
第一步:ON → MODE→MODE→MODE→1→0 →
第三步:以后每次按“=”都会产生一个M到N的取整
数值的随机数.
第二步:N-M+1→SHIFT→RAN#→＋ → M-0.5 →=
(1)第一步，第二步的操作顺序可以互换；
(2)如果已进行了一次随机整数的产生，再做类似的操
作，第一步可省略；
解：
（２）用计算器产生随机数０，１，操作过程如下：
MODE→MODE→MODE→1→0 → SHIFT → RAN#=
（３）以后每次按“=”直到产生２０随机数，并统计
出１的个数n
练习:设计用计算器模拟掷硬币的实验２０次，统计出现正
面的频数和频率
用这个频率估计出来的概率精确度如何？误差大吗？
（４）频率f＝n/20
（１）规定０表示反面朝上，１表示正面朝上
2.如何利用计算机 产生随机数？
【例２】天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%.这三天中恰有两天下雨的概率大概是多少？
(1)设计概率模型
利用计算机(计算器)产生0~9之间的(整数值)随机数
约定用0、1、2、3表示下雨，4、5、6、7、8、9表示不下雨以体现下雨的概率是40%.
模拟三天的下雨情况：连续产生三个随机数为一组，作为三天的模拟结果．
(2)进行模拟试验
例如产生30组随机数
(3)统计试验结果
选定D1，键入公式:
=IF(OR(AND(A1<4,B1<4,C1>3),AND(A1<4,B1>3,C1<4), AND(A1>3,B1<4,C1<4)),1,0)
如果三天中恰有两天下雨，则D记作为1，否则记作为0
在学过二项分布后，可以计算得到三天中恰有两天下雨的概率：
随机模拟的方法得到的仅是30次试验中恰有2天下雨的频率或概率的近似值，而不是概率．
练习:
试设计一个用计算器或计算机模拟掷骰子的实验，估计出现一点的概率．
(1).规定１表示出现１点，２表示出现２点，
．．．，６表示出现６点
(2).用计算器或计算机产生Ｎ个1至６之间的随机数
(3).统计数字１的个数n，算出概率的近似值n／Ｎ
小结：
随机数具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复试验。通过本节课的学习,我们要熟练掌握随机数产生的方法以及随机模拟试验的步骤：
作业:
作业本:3.3.2
(1)设计概率模型
(2)进行模拟试验
(3)统计试验结果