3.3 随机数的含义与应用
图片预览
文档简介
(共36张PPT)
3.3 几何概型
3.3.1 几何概型
问题提出
1.计算随机事件发生的概率，我们已经学习了哪些方法
（1）通过做试验或计算机模拟，用频率估计概率；
（2）利用古典概型的概率公式计算.
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性）；
3.在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，这时就不能用古典概型来计算事件发生的概率.对此，我们必须学习新的方法来解决这类问题.
（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）.
2.古典概型有哪两个基本特点？
知识探究（一）：几何概型的概念
思考1：某班公交车到终点站的时间可能是11：30～12：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上.这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？
思考2：下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜.你认为甲获胜的概率分别是多少？
B
N
B
B
N
N
B
B
B
N
N
思考3：上述每个扇形区域对应的圆弧的长度（或扇形的面积）和它所在位置都是可以变化的，从结论来看，甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的哪个因素有关？哪个因素无关？
与扇形的弧长（或面积）有关，与扇形区域所在的位置无关.
B
N
B
B
N
N
B
B
B
N
N
思考4：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型. 参照古典概型的特性，几何概型有哪两个基本特征？
（1）可能出现的结果有无限多个；
（2）每个结果发生的可能性相等.
思考5：某班公交车到终点站的时间等可能是11：30～12：00之间的任何一个时刻，那么“公交车在11：40～11：50到终点站”这个随机事件是几何概型吗？若是，怎样理解其几何意义？
知识探究（二）：几何概型的概率
对于具有几何意义的随机事件，或可以化归为几何问题的随机事件，一般都有几何概型的特性，我们希望建立一个求几何概型的概率公式.
思考1：有一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1m的概率是多少？你是怎样计算的？
思考2：在玩转盘游戏中，对于下列两个转盘，甲获胜的概率分别是多少？你是怎样计算的？
B
B
B
N
N
N
B
B
B
N
N
N
思考3：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”.奥运会射箭比赛的靶面直径是122cm，黄心直径是12.2cm，运动员在距离靶面70m外射箭.假设射箭都等可能射中靶面内任何一点，那么如何计算射中黄心的概率？
思考4：在装有5升纯净水的容器中放入一个病毒，现从中随机取出1升水，那么这1升水中含有病毒的概率是多少？你是怎样计算的？
思考5：一般地，在几何概型中事件A发生的概率有何计算公式？
思考6：向边长为1的正方形内随机抛掷一粒芝麻，那么芝麻落在正方形中心和芝麻不落在正方形中心的概率分别是多少？由此能说明什么问题？
概率为0的事件可能会发生，概率为1的事件不一定会发生.
理论迁移
例1 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.
1.几何概型是不同于古典概型的又一个最基本、最常见的概率模型，其概率计算原理通俗、简单，对应随机事件及试验结果的几何量可以是长度、面积或体积.
小结作业
2.如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的可能性相等，那么该试验可以看作是几何概型.通过适当设置，将随机事件转化为几何问题，即可利用几何概型的概率公式求事件发生的概率.
3.3.2 均匀随机数的产生
3.3 几何概型
问题提出
1.几何概型的含义是什么？它有哪两个基本特点？
含义：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例的概率模型.
特点:（1）可能出现的结果有无限多个;
（2）每个结果发生的可能性相等.
2.在几何概型中，事件A发生的概率计算公式是什么？
3.我们可以利用计算器或计算机产生整数值随机数，还可以通过随机模拟方法求古典概型的概率近似值，对于几何概型，我们也可以进行上述工作.
知识探究（一）：均匀随机数的产生
思考1：一个人到单位的时间可能是8：00～9：00之间的任何一个时刻，若设定他到单位的时间为8点过X分种，则X可以是0～60之间的任何一刻，并且是等可能的.我们称X服从[0，60]上的均匀分布，X为[0，60]上的均匀随机数.一般地，X为[a，b]上的均匀随机数的含义如何？X的取值是离散的，还是连续的？
X在区间[a，b]上等可能取任意一个值；X的取值是连续的.
思考2：我们常用的是[0，1]上的均匀随机数，可以利用计算器产生（见教材P137）.如何利用计算机产生0～1之间的均匀随机数？
用Excel演示.
（1）选定Al格，键人“＝RAND（）”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的[0，1]上的均匀随机数；
（2）选定Al格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2～A100，点击粘贴，则在A1～A100的数都是[0，1]上的均匀随机数.这样我们就很快就得到了100个0～1之间的均匀随机数，相当于做了100次随机试验.
思考3：计算机只能产生[0，1]上的均匀随机数，如果试验的结果是区间[a，b]上等可能出现的任何一个值，则需要产生[a，b]上的均匀随机数，对此，你有什么办法解决？
首先利用计算器或计算机产生[0，1]上的均匀随机数X=RAND, 然后利用伸缩和平移变换： Y=X*(b—a)＋a计算Y的值，则Y为[a，b]上的均匀随机数.
思考4：利用计算机产生100个[2，6]上的均匀随机数，具体如何操作？
（1）在A1～A100产生100个0～1之间的均匀随机数；
（2）选定Bl格，键人“＝A1*4+2”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的
[2，6]上的均匀随机数；
（3）选定Bl格，拖动至B100，则在B1～B100的数都是[2，6]上的均匀随机数.
知识探究（二）：随机模拟方法
思考1：假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7:00～8:00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A，那么事件A是哪种类型的事件？
随机事件
思考2：设X、Y为[0，1]上的均匀随机数，6.5＋X表示送报人到达你家的时间，7＋Y表示父亲离开家的时间，若事件A发生，则X、Y应满足什么关系？
7＋Y >6.5＋X，即Y>X－0.5.
思考3：如何利用计算机做100次模拟试验，计算事件A发生的频率，从而估计事件A发生的概率？
（1）在A1～A100，B1～B100产生两组[0，1]上的均匀随机数；
（2）选定D1格，键入“=A1-B1”，按Enter键. 再选定Dl格，拖动至D100，则在D1～D100的数为Y-X的值；
（3）选定E1格，键入“=FREQUENCY（D1：D100，-0.5）”，统计D列中小于-0.5的数的频数；
思考4：设送报人到达你家的时间为x，父亲离开家的时间为y，若事件A发生，则x、y应满足什么关系？
6.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x.
理论迁移
例1 在下图的正方形中随机撒一把豆子，如何用随机模拟的方法估计圆周率的值.
（1）圆面积︰正方形面积=落在圆中的豆子数︰落在正方形中的豆子数.
（2）设正方形的边长为2，则 落在圆中的豆子数÷落在正方形中的豆子数×4.
例2 利用随机模拟方法计算由y=1和y=x2 所围成的图形的面积.
x
y
0
1
-1
1
以直线x=1，x=-1，y=0，y=1为边界作矩形，
用随机模拟方法计算落在抛物区域内的均匀
随机点的频率，则所求区域的面积=频率×2.
小结作业
1.在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.
2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.
3.用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是，构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.
4.利用计算机和线性变换Y=X*(b-a)＋a，可以产生任意区间[a，b]上的均匀随机数，其操作方法要通过上机实习才能掌握.
3.3 几何概型
3.3.1 几何概型
问题提出
1.计算随机事件发生的概率，我们已经学习了哪些方法
（1）通过做试验或计算机模拟，用频率估计概率；
（2）利用古典概型的概率公式计算.
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性）；
3.在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，这时就不能用古典概型来计算事件发生的概率.对此，我们必须学习新的方法来解决这类问题.
（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）.
2.古典概型有哪两个基本特点？
知识探究（一）：几何概型的概念
思考1：某班公交车到终点站的时间可能是11：30～12：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上.这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？
思考2：下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜.你认为甲获胜的概率分别是多少？
B
N
B
B
N
N
B
B
B
N
N
思考3：上述每个扇形区域对应的圆弧的长度（或扇形的面积）和它所在位置都是可以变化的，从结论来看，甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的哪个因素有关？哪个因素无关？
与扇形的弧长（或面积）有关，与扇形区域所在的位置无关.
B
N
B
B
N
N
B
B
B
N
N
思考4：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型. 参照古典概型的特性，几何概型有哪两个基本特征？
（1）可能出现的结果有无限多个；
（2）每个结果发生的可能性相等.
思考5：某班公交车到终点站的时间等可能是11：30～12：00之间的任何一个时刻，那么“公交车在11：40～11：50到终点站”这个随机事件是几何概型吗？若是，怎样理解其几何意义？
知识探究（二）：几何概型的概率
对于具有几何意义的随机事件，或可以化归为几何问题的随机事件，一般都有几何概型的特性，我们希望建立一个求几何概型的概率公式.
思考1：有一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1m的概率是多少？你是怎样计算的？
思考2：在玩转盘游戏中，对于下列两个转盘，甲获胜的概率分别是多少？你是怎样计算的？
B
B
B
N
N
N
B
B
B
N
N
N
思考3：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”.奥运会射箭比赛的靶面直径是122cm，黄心直径是12.2cm，运动员在距离靶面70m外射箭.假设射箭都等可能射中靶面内任何一点，那么如何计算射中黄心的概率？
思考4：在装有5升纯净水的容器中放入一个病毒，现从中随机取出1升水，那么这1升水中含有病毒的概率是多少？你是怎样计算的？
思考5：一般地，在几何概型中事件A发生的概率有何计算公式？
思考6：向边长为1的正方形内随机抛掷一粒芝麻，那么芝麻落在正方形中心和芝麻不落在正方形中心的概率分别是多少？由此能说明什么问题？
概率为0的事件可能会发生，概率为1的事件不一定会发生.
理论迁移
例1 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.
1.几何概型是不同于古典概型的又一个最基本、最常见的概率模型，其概率计算原理通俗、简单，对应随机事件及试验结果的几何量可以是长度、面积或体积.
小结作业
2.如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的可能性相等，那么该试验可以看作是几何概型.通过适当设置，将随机事件转化为几何问题，即可利用几何概型的概率公式求事件发生的概率.
3.3.2 均匀随机数的产生
3.3 几何概型
问题提出
1.几何概型的含义是什么？它有哪两个基本特点？
含义：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例的概率模型.
特点:（1）可能出现的结果有无限多个;
（2）每个结果发生的可能性相等.
2.在几何概型中，事件A发生的概率计算公式是什么？
3.我们可以利用计算器或计算机产生整数值随机数，还可以通过随机模拟方法求古典概型的概率近似值，对于几何概型，我们也可以进行上述工作.
知识探究（一）：均匀随机数的产生
思考1：一个人到单位的时间可能是8：00～9：00之间的任何一个时刻，若设定他到单位的时间为8点过X分种，则X可以是0～60之间的任何一刻，并且是等可能的.我们称X服从[0，60]上的均匀分布，X为[0，60]上的均匀随机数.一般地，X为[a，b]上的均匀随机数的含义如何？X的取值是离散的，还是连续的？
X在区间[a，b]上等可能取任意一个值；X的取值是连续的.
思考2：我们常用的是[0，1]上的均匀随机数，可以利用计算器产生（见教材P137）.如何利用计算机产生0～1之间的均匀随机数？
用Excel演示.
（1）选定Al格，键人“＝RAND（）”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的[0，1]上的均匀随机数；
（2）选定Al格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2～A100，点击粘贴，则在A1～A100的数都是[0，1]上的均匀随机数.这样我们就很快就得到了100个0～1之间的均匀随机数，相当于做了100次随机试验.
思考3：计算机只能产生[0，1]上的均匀随机数，如果试验的结果是区间[a，b]上等可能出现的任何一个值，则需要产生[a，b]上的均匀随机数，对此，你有什么办法解决？
首先利用计算器或计算机产生[0，1]上的均匀随机数X=RAND, 然后利用伸缩和平移变换： Y=X*(b—a)＋a计算Y的值，则Y为[a，b]上的均匀随机数.
思考4：利用计算机产生100个[2，6]上的均匀随机数，具体如何操作？
（1）在A1～A100产生100个0～1之间的均匀随机数；
（2）选定Bl格，键人“＝A1*4+2”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的
[2，6]上的均匀随机数；
（3）选定Bl格，拖动至B100，则在B1～B100的数都是[2，6]上的均匀随机数.
知识探究（二）：随机模拟方法
思考1：假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7:00～8:00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A，那么事件A是哪种类型的事件？
随机事件
思考2：设X、Y为[0，1]上的均匀随机数，6.5＋X表示送报人到达你家的时间，7＋Y表示父亲离开家的时间，若事件A发生，则X、Y应满足什么关系？
7＋Y >6.5＋X，即Y>X－0.5.
思考3：如何利用计算机做100次模拟试验，计算事件A发生的频率，从而估计事件A发生的概率？
（1）在A1～A100，B1～B100产生两组[0，1]上的均匀随机数；
（2）选定D1格，键入“=A1-B1”，按Enter键. 再选定Dl格，拖动至D100，则在D1～D100的数为Y-X的值；
（3）选定E1格，键入“=FREQUENCY（D1：D100，-0.5）”，统计D列中小于-0.5的数的频数；
思考4：设送报人到达你家的时间为x，父亲离开家的时间为y，若事件A发生，则x、y应满足什么关系？
6.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x.
理论迁移
例1 在下图的正方形中随机撒一把豆子，如何用随机模拟的方法估计圆周率的值.
（1）圆面积︰正方形面积=落在圆中的豆子数︰落在正方形中的豆子数.
（2）设正方形的边长为2，则 落在圆中的豆子数÷落在正方形中的豆子数×4.
例2 利用随机模拟方法计算由y=1和y=x2 所围成的图形的面积.
x
y
0
1
-1
1
以直线x=1，x=-1，y=0，y=1为边界作矩形，
用随机模拟方法计算落在抛物区域内的均匀
随机点的频率，则所求区域的面积=频率×2.
小结作业
1.在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.
2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.
3.用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是，构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.
4.利用计算机和线性变换Y=X*(b-a)＋a，可以产生任意区间[a，b]上的均匀随机数，其操作方法要通过上机实习才能掌握.