1.1 命题与量词
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(共42张PPT)
判断下列语句是不是命题：
练习：
（1）12>5
（2）若 为正无理数,则 也是无理数;
（3）x∈{1,2,3,4,5}
（4）正弦函数是周期函数吗
我们把用语言、符号或式子表达的，
可以判断真假的陈述句称为命题。
若p 则q
逆否命题：
原命题：
逆命题：
否命题：
若q 则p
若 p 则 q
若 q 则 p
准确地写出否定形式是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.
正面
词语 等于 大于 小于 是 都是
正面
词语 全 至少有一个 能 P或q P且q
不等于
不大于
不小于
不是
不都是
不全
否定
否定
一个也
没有
不能
非p且
非q
非p或
非q
四种命题之间的关系:
原命题
若p则q
逆命题
若q则p
否命题
若﹁p则﹁q
逆否命题
若﹁q则﹁p
互逆
互否
互否
互逆
观察与思考
？
你能判断它们
的真假性吗
(真)
(假)
(假)
(真)
2）原命题：若a=0, 则ab=0。
逆命题：若ab=0, 则a=0。
否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。
逆否命题：若ab≠0,则a≠0。
(真)
(假)
(假)
(真)
(真)
四种命题的真假性是否有一定的相互关系呢？
例子：
1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。
逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。
否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。
逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。
(真)
(真)
(真)
3) 原命题：若a > b, 则 ac2>bc2。
逆命题：若ac2>bc2,则a>b。
否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。
逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。
（假）
（真）
（真）
（假）
想一想：
由以上三例我们能发现什么？
结 论：
原命题与逆否命题同真假。
原命题的逆命题与否命题同真假。
（2）两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性
没有关系。
（1）
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况:
真
真
真
真
真
假
假
假
假
假
假
假
假
真
真
真
练一练：
判断下列说法是否正确。
1）一个命题的逆命题为真，
它的逆否命题不一定为真；
（对）
2）一个命题的否命题为真，
它的逆命题一定为真。
（对）
3）一个命题的原命题为假，
它的逆命题一定为假。
（错）
4）一个命题的逆否命题为假，
它的否命题为假。
（错）
例题讲解
例1：设原命题是：当c>0时，若a>b,则ac>bc.
写出它的逆命题、否命题、逆否命题。
并分别判断它们的真假。
解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b.
否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc.
逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.
（真）
（真）
（真）
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。
原命题的条件是“a>b”，
结论是“ac>bc”。
（真）
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出其假。
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的
否定为“或” “且”。
解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。
否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0.
逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.
（真）
（真）
（假）
小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命题真假等价。
证明：一个三角形中不能有
两个角是直角．
已知：△ABC．
引例
求证：∠A、∠B、∠C中不能
有两个角是直角．
反证法的一般步骤：
假设命题的结论不成立,即假
设结论的反面成立；
从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
(3) 由矛盾判定假设不正确，
从而肯定命题的结论正确。
反设
归谬
结论
反
证
法
证： 假设
若_________时,则___________,
∴x2+y2>0与 x2+y2=0矛盾,
若_________时,则___________,
∴x2+y2>0与 x2+y2=0矛盾,
所以假设不成立,
从而______________成立。
x、y至少有一个不为0
x ≠ 0
x2 > 0
例3 证明：若x2+y2=0, 则
y ≠ 0
y2 > 0
x =y=0。
x =y=0。
反证法证明
证： 假设_________或_________,
由于____________时,_________________,
与 (x-a)(x-b)≠0矛盾,
又_________时,_________________,
与(x-a)(x-b)≠0矛盾,
所以假设不成立,
从而_________________。
x=a
x=b
x=a
(x-a)(x-b)=0
x=b
(x-a)(x-b)=0
x ≠a且x ≠b
用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b.
用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.
P
O
B
A
D
C
例 1
由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，有
OP⊥AB，OP⊥CD，
所以，弦AB、CD不被P平分。
证明：
假设弦AB、CD被P平分，
即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾。
D
P
O
B
A
C
假设弦AB、CD被P点平分,
证明:
连结 AD、BD、BC、AC,
因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ABCD是平行四边形，而圆内接平行四边形必是矩形，则其对角线AB、CD必是⊙O的直径，这与已知条件矛盾。
证法二
所以结论“弦AB、CD不被P点平分”成立。
例 2
证明:
用反证法证明: 若方程ax2+bx+c=0 (a ≠0)有两个不相等的实数根, 则b2-4ac>0.
2. 用反证法证明:在△ABC中,若∠C是 直角,则∠B一定是锐角.
演练反馈
总结提炼
1.用反证法证明命题的一般步骤是什么
用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等．
①反设 ②归谬 ③结论
2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些
小结： （1）四种命题的关系
（2）四种命题的真假关系
（3）渗透思想方法：
判断下列语句是不是命题：
练习：
（1）12>5
（2）若 为正无理数,则 也是无理数;
（3）x∈{1,2,3,4,5}
（4）正弦函数是周期函数吗
我们把用语言、符号或式子表达的，
可以判断真假的陈述句称为命题。
若p 则q
逆否命题：
原命题：
逆命题：
否命题：
若q 则p
若 p 则 q
若 q 则 p
准确地写出否定形式是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.
正面
词语 等于 大于 小于 是 都是
正面
词语 全 至少有一个 能 P或q P且q
不等于
不大于
不小于
不是
不都是
不全
否定
否定
一个也
没有
不能
非p且
非q
非p或
非q
四种命题之间的关系:
原命题
若p则q
逆命题
若q则p
否命题
若﹁p则﹁q
逆否命题
若﹁q则﹁p
互逆
互否
互否
互逆
观察与思考
？
你能判断它们
的真假性吗
(真)
(假)
(假)
(真)
2）原命题：若a=0, 则ab=0。
逆命题：若ab=0, 则a=0。
否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。
逆否命题：若ab≠0,则a≠0。
(真)
(假)
(假)
(真)
(真)
四种命题的真假性是否有一定的相互关系呢？
例子：
1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。
逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。
否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。
逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。
(真)
(真)
(真)
3) 原命题：若a > b, 则 ac2>bc2。
逆命题：若ac2>bc2,则a>b。
否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。
逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。
（假）
（真）
（真）
（假）
想一想：
由以上三例我们能发现什么？
结 论：
原命题与逆否命题同真假。
原命题的逆命题与否命题同真假。
（2）两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性
没有关系。
（1）
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况:
真
真
真
真
真
假
假
假
假
假
假
假
假
真
真
真
练一练：
判断下列说法是否正确。
1）一个命题的逆命题为真，
它的逆否命题不一定为真；
（对）
2）一个命题的否命题为真，
它的逆命题一定为真。
（对）
3）一个命题的原命题为假，
它的逆命题一定为假。
（错）
4）一个命题的逆否命题为假，
它的否命题为假。
（错）
例题讲解
例1：设原命题是：当c>0时，若a>b,则ac>bc.
写出它的逆命题、否命题、逆否命题。
并分别判断它们的真假。
解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b.
否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc.
逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.
（真）
（真）
（真）
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。
原命题的条件是“a>b”，
结论是“ac>bc”。
（真）
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出其假。
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的
否定为“或” “且”。
解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。
否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0.
逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.
（真）
（真）
（假）
小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命题真假等价。
证明：一个三角形中不能有
两个角是直角．
已知：△ABC．
引例
求证：∠A、∠B、∠C中不能
有两个角是直角．
反证法的一般步骤：
假设命题的结论不成立,即假
设结论的反面成立；
从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
(3) 由矛盾判定假设不正确，
从而肯定命题的结论正确。
反设
归谬
结论
反
证
法
证： 假设
若_________时,则___________,
∴x2+y2>0与 x2+y2=0矛盾,
若_________时,则___________,
∴x2+y2>0与 x2+y2=0矛盾,
所以假设不成立,
从而______________成立。
x、y至少有一个不为0
x ≠ 0
x2 > 0
例3 证明：若x2+y2=0, 则
y ≠ 0
y2 > 0
x =y=0。
x =y=0。
反证法证明
证： 假设_________或_________,
由于____________时,_________________,
与 (x-a)(x-b)≠0矛盾,
又_________时,_________________,
与(x-a)(x-b)≠0矛盾,
所以假设不成立,
从而_________________。
x=a
x=b
x=a
(x-a)(x-b)=0
x=b
(x-a)(x-b)=0
x ≠a且x ≠b
用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b.
用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.
P
O
B
A
D
C
例 1
由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，有
OP⊥AB，OP⊥CD，
所以，弦AB、CD不被P平分。
证明：
假设弦AB、CD被P平分，
即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾。
D
P
O
B
A
C
假设弦AB、CD被P点平分,
证明:
连结 AD、BD、BC、AC,
因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ABCD是平行四边形，而圆内接平行四边形必是矩形，则其对角线AB、CD必是⊙O的直径，这与已知条件矛盾。
证法二
所以结论“弦AB、CD不被P点平分”成立。
例 2
证明:
用反证法证明: 若方程ax2+bx+c=0 (a ≠0)有两个不相等的实数根, 则b2-4ac>0.
2. 用反证法证明:在△ABC中,若∠C是 直角,则∠B一定是锐角.
演练反馈
总结提炼
1.用反证法证明命题的一般步骤是什么
用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等．
①反设 ②归谬 ③结论
2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些
小结： （1）四种命题的关系
（2）四种命题的真假关系
（3）渗透思想方法：