2.2 椭圆

(共55张PPT)
§2.2 椭圆及其标准方程
用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；
当平面与圆锥面的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个圆．
当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察截线的变化情况，并思考：
● 用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？




椭圆
双曲线
抛物线
探究 ：椭圆有什么几何特征？
活动1：动手试一试
数学史：
M
Q
F2
P
O1
O2
V
F1
古希腊数学家Dandelin在圆锥截面的两侧分别放置一球，使它们都与截面相切（切点分别为F1，F2），又分别与圆锥面的侧面相切（两球与侧面的公共点分别构成圆O1和圆O2）．过M点作圆锥面的一条母线分别交圆O1，圆O2与P，Q两点，因为过球外一点作球的切线长相等，所以
MF1 = MP，MF2 = MQ，
MF1 + MF2 ＝MP + MQ ＝ PQ＝定值
1、椭圆的定义：
M
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
椭圆形成演示椭圆定义.gsp
思考：是否平面内到两定点之间的距离和为定长的点的轨迹就是椭圆？
结论：（若 PF1＋PF2为定长）
１）当动点Ｐ到定点F1、F2距离PF1、PF2满足PF1＋PF2> F1F2时，P点的轨迹是椭圆。
２）当动点Ｐ到定点F1、F2距离PF1、PF2满足PF1＋PF2＝ F1F2时，P点的轨迹是一条线段F1F2 。
３）当动点Ｐ到定点F1、F2距离PF1、PF2满足PF1＋PF2< F1F2时,Ｐ点没有轨迹。
想一想.gsp
神舟六号在进入太空后，先以远地点347公里、近地点200公里的椭圆轨道运行，后经过变轨调整为距地343公里的圆形轨道.
太阳系
拱桥的桥拱采用基于椭圆的优化设计，
无论从力学原理，还是从施工角度考虑
都是优越于传统的圆弧型和抛物线型的。
中国水利水电科学研究院研究表明：
生活中有椭圆，
生活中用椭圆。
求曲线方程的一般步骤？
设点
建系
列式
代坐标
化简、证明
怎样建立平面直角坐标系呢？
2、椭圆的标准方程
椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1、F2的距离的和为2a
对于含有两个
根式的方程，
可以采用移项
两边平方或者
分子有理化进
行化简。
叫做椭圆的标准方程，焦点在x 轴上。
焦点在y 轴上，可得出椭圆
它也是椭圆的标准方程。
1
2
y
o
F
F
M
x
1
2
y
o
F
F
M
x
y
x
o
F
2
F
1
M
定 义
图 形
方 程
焦 点
F(±c，0)
F(0，±c)
a,b,c之间
的关系
c2=a2-b2
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
椭圆的标准方程
求法：
一定焦点位置；二设椭圆方程；三求a、b的值.
例1．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0）
（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10，
求椭圆的标准方程。
1
2
y
o
F
F
M
x
.
解： ∵椭圆的焦点在x轴上
∴设它的标准方程为:
∵ 2a=10, 2c=8
∴ a=5, c=4
∴ b2=a2－c2=52－42=9
∴所求椭圆的标准方程为
求椭圆的标准方程
（1）首先要判断类型，
（2）用待定系数法求
椭圆的定义
a2=b2+c2
？思考一个问题:把“焦点在y轴上”这句话去掉，怎么办？
定义法：如果所给几何条件正好符合某一特定的曲线（圆，椭圆等）的定义，则可直接利用定义写出动点的轨迹方程.
待定系数法：所求曲线方程的类型已知，则可以设出所求曲线的方程，然后根据条件求出系数.用待定系数法求椭圆方程时，要“先定型，再定量”.
~ 求曲线方程的方法：
代入法：或中间变量法，利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标x,y之间的坐标。
~ 求曲线方程的方法：
变式题组一
变式题组二
1、方程
表示________。
2、方程
表示________。
3、方程
表示________。
4、方程
的解是________。
巩固练习
14
D
D
C
一、二、二、三
一个概念；
二个方程；
三个意识：求美意识，
求简意识，
猜想的意识。
二个方法：
去根号的方法；求标准方程的方法
|MF1|+|MF2|=2a
一、复习回顾：
1.椭圆:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。
2.椭圆的标准方程：
3.椭圆中a,b,c的关系:
a2=b2+c2
当焦点在x轴上时
当焦点在y轴上时
二、椭圆 简单的几何性质
1.范围：
x
≤
≤
≤
≤
,
≤1,
≤1得：
o
y
B2
B1
A1
A2
F1
F2
≤
≤
≤
≤
2.对称性
根据椭圆的图形，观察它有何对称性？
2.对称性：
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
如何从方程来分析这些对称性呢？
（1）把y换成-y方程不变，椭圆关于x轴对称；
（2）把x换成-x方程不变，椭圆关于y轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，
椭圆 关于原点成中心对称。
练习2.
3.椭圆的顶点
*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
*长轴、短轴：线段A1A2、
B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
* 分别叫做椭圆的长半轴长
和短半轴长。
这四个顶点的坐标是什么？
o
F1
F2
B2
B1
A1
A2
练习3
练习4. 画出下列椭圆的草图
（1）
（2）
B1
1
2
3
-1
-2
-3
-4
4
y
A1
A2
B2
1
2
3
4
5
-1
-5
-2
-3
-4
x
0
1
2
3
-1
-2
-3
-4
4
y
B2
A2
B1
A1
1
2
3
4
5
-1
-5
-2
-3
-4
x
0
4.椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比
叫做椭圆的离心率。
（1）离心率的取值范围：
（2）离心率对椭圆形状的影响：
01）离心率e 越大，椭圆就越扁（瘦）；
2）离心率e 越小，椭圆就越圆（胖）；
练习5
标准方程
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
离心率
关于x轴、y轴成轴对称；---对称轴
关于原点成中心对称-----对称中心
a2=b2+c2
≤
≤
≤
≤
,
标准方程
图形
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
离心率
关于x轴、y轴成轴对称；
关于原点成中心对称
a2=b2+c2
同左
同左
同左
同左
≤
≤
≤
≤
,
≤
b
,
≤
≤
≤
y
-
练习6.已知椭圆方程为 则
它的长轴长是： ;
短轴长是： ;
焦距是： ;
离心率等于： ;
焦点坐标是： ＿＿＿;
顶点坐标是： ＿＿＿＿＿＿＿;
外切矩形的面积等于： 。
2
解：由题意得:
当焦点在 轴时，椭圆的标准方程是
当焦点在 轴时，椭圆的标准方程是
练习7.若椭圆经过点 ，
求它的标准方程。
标准方程
图形
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
离心率
同左
同左
同左
同左
≤
≤
≤
≤
,
≤
b
,
≤
≤
≤
y
-
关于x轴、y轴成轴对称；----对称轴
关于原点成中心对称 ------对称中心
a2=b2+c2
作业：
1.必做题：课本P49 A组 4，5（1）（3）
2.选做题：
已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3，0），求椭圆的标准方程。
练习8：
原点