3.1.1 两角和与差的余弦

(共22张PPT)
问题提出
若已知α，β的三角函数值，那么cos(α－β)的值是否确定？它与α，β的三角函数值有什么关系？这是我们需要探索的问题.
海南省洋浦中学：赵生碧
探究（一）：两角差的余弦公式
思考1：设α，β为两个任意角, 你能判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成立吗
cos(45°－30°)≠cos45°－cos30°
sin60°
sin120°
cos60°
cos120°
cos(120°－60°)
sin30°
sin60°
cos30°
cos60°
cos(60°－30°)
思考2：我们设想cos(α－β)的值与α，β的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？
思考3：一般地，你猜想cos(α－β)等于什么？
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
思考4：如图，设α，β为锐角，且α＞β，角α的终边与单位圆的交点为P1, ∠P1OP＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？
M
P
P1
O
x
y
cos(α－β)=OM
思考5：如何用线段分别表示sinβ和cosβ？
P
P1
O
x
y
A
sinβ
cosβ
思考6：cosαcosβ＝OAcosα，它表示哪条线段长？
sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪条线段长？
P
P1
O
x
y
A
sinαsinβ
cosαcosβ
B
C
思考7：利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什么结论？
sinαsinβ
cosαcosβ
P
P1
O
x
y
A
B
C
M
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
x
y
P
P1
M
B
O
A
C
+
1
1
思考8：上述推理能说明对任意角α，β，都有
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ成立吗？
思考9：根据cosαcosβ＋sinαsinβ的结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？
思考10：如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别为A、B，则向量 、
的坐标分别是什么？其数量积是什么？
B
O
A
x
y
α
β
=(cosα,sinα)
=(cosβ,sinβ)
思考11：向量与的夹角θ与α、β有什么关系？根据数量积定义， 等于什么？由此可得什么结论？
α＝2kπ＋β＋θ或β＝2kπ＋α＋θ
B
O
A
x
y
α
β
θ
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
思考12：公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ称为差角的余弦公式，记作 ，该公式有什么特点？如何记忆？
例1 利用余弦公式求cos15°的值.
例2 已知
β是第三象限角,求cos(α－β)的值.
理论迁移
【理论迁移、巩固深化】
1. = .
2. = .
3.已知 ，
求 的值.
【巩固深化，发展思维】
已知 ，
是第三象限角，求 的值.
小结作业
1、两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角 、 的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.
2、牢记公式
3.在差角的余弦公式中，α，β既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，2β＝(α＋β)－(α－β) 等. 同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.
1、不查表计算下列各值
①
②
2．已知 且 ；
求 的值。
作 业