3.1.3 两角和与差的正切
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(共21张PPT)
．引言问题
有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B、C落在半圆的圆周上。已知半圆的半径长为a，若点A、D关于O对称,且 （1）求矩形ABCD的面积。（2）如何选择点A、D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？
二倍角的正弦、余弦、正切 (第一课时)
教学目标
(一)知识目标
二倍角的正弦、余弦、正切公式.
(二)能力目标
1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；
2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明.
(三)德育目标
1.引导学生发现数学规律；
2.让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用；
3.培养学生的创新意识.
●教学重点
1.二倍角公式的推导；
2.二倍角公式的简单应用.
●教学难点
理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数
∴ 当α＝β 时，sin(α+β)＝sin2α＝2sinαcosα
∴ 当α = β时, cos(α＋β)＝cos2α ＝cos2α －sin2α
∵ sin(α＋β)＝sinαcos β＋cosαsin β,
sin2α＝2sinαcosα (S2 α)
∵ cos(α +β)＝cosαcosβ －sinαsinβ
cos2α＝cos2α－sin2α (C2 α)
∴ 当α＝β时, tan2α ＝
∵ tan(α + β)＝
1.二倍角的正弦、余弦、正切
(T2 α )
利用sin2α+cos2α=1, 公式C2α还可以变形为：
cos2α=2cos2α–1=1 –2sin2α.
倍角公式：
sin2α＝2sinαcosα；
cos2α＝cos2α－sin2α
=2cos2α–1
=1 –2sin2α；
运用这些公式要注意如下几点：
(1)公式Ｓ2α、C2α中，角α可以是任意角；但公式T2α只有当 时才成立，否则不成立。
当α＝ + kπ (k∈Ｚ)时，虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式，
即：tan2α＝tan2( +ｋπ)＝tan(π+2kπ )
＝tan π ＝0
(2)倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情
况，还可以运用于诸如将4α作为2α的2倍，将
α作为 的2倍，将 作为 的2倍，将3α作为
的2倍等等.
例1.已知sinα＝ ，α∈( ,π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值.
解：∵sinα＝ ，α∈（ , π ),
∴cosα＝－
∴sin2α＝2sinαcosα＝2×
cos2α＝1－2sin2α＝1－2×
tan2α＝
例2 已知
练习1:求值：
例3 利用三角公式化简 (p43例3）
课课练p36—7。
例5 求证：
证明：原式等价于 ＝tan2θ ①
而①式左边＝
＝tan2θ＝右边
∴ ①式成立.
即：原式成立。
2. 降幂公式
由cos2α =2cos2α–1=1 –2sin2α可得：
由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).
例6. 求值：cos215°+sin250°–cos175°·cos95°
解:原式＝ – cos5°sin5°
课课练p35例3。
第三、四课时
●教学目标
(一)知识目标
1.巩固二倍角的正弦、余弦、正切公式应用.
2.由二倍角的余弦推出半角公式.
(二)能力目标
1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及降幂公式；
2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明.
(三)德育目标
1.引导学生发现数学规律；
2.让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用；
3.培养学生的创新意识.
●教学重点
1.降幂公式的推导；
2.二倍角公式的简单应用.
●教学难点
理解降幂公式.
这三式有一个共同特点：
用单角的三角函数表示它们的一半即半角的三角函数 。
若知道cosα的值和 角的终边所在的象限，将右边开方，就可以求得
,
.
,
.
A
例10 已知cosα= 且 求 的值。
练习p46—2(3), 3(3).
例14 已知: x+y=3–cos4θ，x – y=4sin2θ,
．引言问题
有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B、C落在半圆的圆周上。已知半圆的半径长为a，若点A、D关于O对称,且 （1）求矩形ABCD的面积。（2）如何选择点A、D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？
二倍角的正弦、余弦、正切 (第一课时)
教学目标
(一)知识目标
二倍角的正弦、余弦、正切公式.
(二)能力目标
1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；
2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明.
(三)德育目标
1.引导学生发现数学规律；
2.让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用；
3.培养学生的创新意识.
●教学重点
1.二倍角公式的推导；
2.二倍角公式的简单应用.
●教学难点
理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数
∴ 当α＝β 时，sin(α+β)＝sin2α＝2sinαcosα
∴ 当α = β时, cos(α＋β)＝cos2α ＝cos2α －sin2α
∵ sin(α＋β)＝sinαcos β＋cosαsin β,
sin2α＝2sinαcosα (S2 α)
∵ cos(α +β)＝cosαcosβ －sinαsinβ
cos2α＝cos2α－sin2α (C2 α)
∴ 当α＝β时, tan2α ＝
∵ tan(α + β)＝
1.二倍角的正弦、余弦、正切
(T2 α )
利用sin2α+cos2α=1, 公式C2α还可以变形为：
cos2α=2cos2α–1=1 –2sin2α.
倍角公式：
sin2α＝2sinαcosα；
cos2α＝cos2α－sin2α
=2cos2α–1
=1 –2sin2α；
运用这些公式要注意如下几点：
(1)公式Ｓ2α、C2α中，角α可以是任意角；但公式T2α只有当 时才成立，否则不成立。
当α＝ + kπ (k∈Ｚ)时，虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式，
即：tan2α＝tan2( +ｋπ)＝tan(π+2kπ )
＝tan π ＝0
(2)倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情
况，还可以运用于诸如将4α作为2α的2倍，将
α作为 的2倍，将 作为 的2倍，将3α作为
的2倍等等.
例1.已知sinα＝ ，α∈( ,π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值.
解：∵sinα＝ ，α∈（ , π ),
∴cosα＝－
∴sin2α＝2sinαcosα＝2×
cos2α＝1－2sin2α＝1－2×
tan2α＝
例2 已知
练习1:求值：
例3 利用三角公式化简 (p43例3）
课课练p36—7。
例5 求证：
证明：原式等价于 ＝tan2θ ①
而①式左边＝
＝tan2θ＝右边
∴ ①式成立.
即：原式成立。
2. 降幂公式
由cos2α =2cos2α–1=1 –2sin2α可得：
由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).
例6. 求值：cos215°+sin250°–cos175°·cos95°
解:原式＝ – cos5°sin5°
课课练p35例3。
第三、四课时
●教学目标
(一)知识目标
1.巩固二倍角的正弦、余弦、正切公式应用.
2.由二倍角的余弦推出半角公式.
(二)能力目标
1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及降幂公式；
2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明.
(三)德育目标
1.引导学生发现数学规律；
2.让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用；
3.培养学生的创新意识.
●教学重点
1.降幂公式的推导；
2.二倍角公式的简单应用.
●教学难点
理解降幂公式.
这三式有一个共同特点：
用单角的三角函数表示它们的一半即半角的三角函数 。
若知道cosα的值和 角的终边所在的象限，将右边开方，就可以求得
,
.
,
.
A
例10 已知cosα= 且 求 的值。
练习p46—2(3), 3(3).
例14 已知: x+y=3–cos4θ，x – y=4sin2θ,