2.2.3向量的数乘运算及其几何意义

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2.2.3 向量的数乘运算及其几何意义
实际背景
试作出： a+a+a 和 (-a)+(-a)+(-a)
已知非零向量 a （如图）
a
a
a
a
O
A
B
C
-a
-a
-a
P
Q
M
N
一、向量的数乘运算的定义：
=
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量)，并进行比较。
(2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并进行比较。
向量的数乘运算满足如下运算律：
对于向量 a (a≠0), b ，以及实数λ。
问题1：如果 b=λa
那么，向量a与b是否共线？
问题2：如果 向量a与b共线
那么，b=λa ？
向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是
有且只有一个实数λ，使得 b=λa
O
A
B
C
如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C
三点共线。
提示：设AB = a BC = b
则MN= … = a + b
MC= … = a+ b
小结回顾
二、定理的应用：
1. 证明 向量共线
2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线
3. 证明 两直线平行:
AB=λCD AB∥CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa 向量a与b共线
例4 如图，已知AD=3AB，DE=3BC，
试判断AC与AE是否共线。
∴ 与 共线．
解：
解：（1）
（2）