【2021年中考数学二轮复习】专题二 规律探索型专题训练（含答案）
文档属性
| 名称 | 【2021年中考数学二轮复习】专题二 规律探索型专题训练（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-29 09:11:44 | ||
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文档简介
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专题二
规律探索型专题
专题解读
规律探索型题是中考的点之一，它的形式多种多样，取材广泛，在中考试卷中频频出现，主要是对合情推理的考查成为中考试卷中的一个亮点规律探索反映了由特殊到一般的数学方法，主要是考“数学思考”，考查学生的观察、分析、猜想、象、归纳能力，因此它成为中考试题的命题热点在选择题、填空题、解答题中均可能出现，分值有所加大要求不断提高.
解题策略:规律探索类题一般是先给出一列数或一列图形的前几项，让学生通过观察分析，猜想验证，找到其中隐含的规律然后运用所发现的规律解决问题，此复习中要了解中考规律型问题常见的题型及其特征，熟悉规律型问题的一般思路、解法，切实提高分析问题、决问题的能力，提高解题方案的准确性.
题型一 探究数（数组或数表）的排列规律
解题攻略:
（1）标序数（1，2，3，…，n）即先把各数按顺序或位置进行编号.
（2）找规律:从数符号（正号或负号）和绝对值两个方面进行分析，先观察分析几个式子，从中找出变化的量及符号、不变的量及符号.
（3）写规律:将式子变化的量用字母表示出来，从而得到本组式子的模型.
（4）常见的数字规律要熟记:
①自然数列规律:0，1，2，3，…，n（n≥0）；
②正整数列规律:1，2，3，…，n（n≥1）；
③奇数列规律:1，3，5，7，…，2n-1（n≥1）；
④偶数列规律:2，4，6，8，…，2n（n≥1）；
⑤正整数的和:1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝；
⑥正整数的平方:1，4，9，16，…，n2（n≥1）；
⑦正整数平方加1:2，5，10，17，，n2＋1（n≥1）；
⑧正整数平方减1:0，3，8，15，…，n2-1（n≥1）；
⑨若所给数字的正负号交替出现，则用（-1）2n或（-1）2n-1表示符号，若所给的数字既有整数又有分数时，将整数写成分数，再分别观察分子、分母的规律即可.
典例1 有一列数，按一定规律排列成1，-2，4，-8，16，-32，…，其中某三个相邻数的积是412则这三个数的和是__________.
思路导引
根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和.
名师点拨
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，然后根据题意列方程解得.
跟踪训练1
1.一列数按某规律排列如下:，，，，，，，，，…，若第n个数为，则n＝（ ）
A.50 B.60 C.62 D.71
2.有一列数，按一定的规律排列成，-1，3，-9，27，-81，…若其中某三个相邻数的和是567，则这三个数中第一个数是__________.
3.将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是_________.
4.一列数1，5，11，19，…，按此规律排列，第7个数是________.
5.）观察下列一组数:a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数an＝________（用含n的式子表示）.
题型二 探究等式的排列规律
解题攻略:
（1）标序数（1，2，3，…，n）:将每一个等式按先后顺序依次标1，2，3，…
（2）找规律:观察等式的左右两边与序数之间的关系，哪些数不变，哪些数变，找出变化的数与序数之间的关系.
（3）总结2中的规律.
（4）验证3中规律的正确性.
典例2 观察以下等式:
按照以上规律，解决下列问题:
（1）写出第6个等式:________________；
（2）写出你猜想的第n个等式:____________（用含n的等式表示），并证明.
思路导引
（1）根据已知等式即可得；
（2）根据已知等式得出规律，再利用分式的混合运算法则验证即可.名师点拨
本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律，并熟练加以运用.
跟踪训练2
1.已知有理数a≠1，我们把称为的差倒数，如:2的差倒数是＝-1，-1的差倒数是.如果a1＝-2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1＋a2＋…＋a100的值是（ ）
A.-7.5 B.7.5 C.5.5 D.-5.5
2.观察下列等式:
2＋22＝23-2；
2＋22＋23＝24-2；
2＋22＋23＋24＝25-2；
2＋22＋23＋24＋25＝26-2；
…
已知按一定规律排列的一组数:220，221，222，223，224，…，238，239，240，,220＝m，则220＋221＋222＋223＋224＋…＋238＋239＋240＝_________（结果用含m的代数式表示）.
3.观察下列各式的规律:
①1×3-22＝3-4＝-1；②2×4-32＝8-9＝-1；③3×5-42＝15-16＝-1.
请按以上规律写出第4个算式______________.
用含有字母的式子表示第n个算式为____________________.
4.观察下面的变化规律:
，，，，…
根据上面的规律计算:＝____________.
5.观察下列各式:
请利用你发现的规律，计算:
,
其结果为_____________.
6.观察下列等式:
按上述规律，回答以下问题:
（1）请写出第n个等式:an＝____________；
（2）a1＋a2＋a3＋…＋an＝_______________.
7.观察以下等式:
按照以上规律，解决下列问题:
（1）写出第6个等式:___________；
（2）写出你猜想的第n个等式:______________（用含n的等式表示），并证明.
题型三 探究图形的排列规律
解题攻略:
（1）找关系:找后一个图形与前一个图形所求元素的个数之间的关系.
（2）找规律:①若第一个图形所求元素为a，第二个图形所求元素比第一个图形所求元素个数多b个，且此后每一个图形所求元素个数比前一个图形所求元素个数多b个，则第n个图形所求元素个数为a＋b（n-1）；②也可以观察后一个图形所求元素个数与前一个图形所求元素个数是否是平方或立方的关系来解决问题.
（3）总结2中的规律.
（4）验证3中规律的正确性.
典例3 如图所示，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……，按这样的方法拼成的第（n＋1）个正方形比第n个正方形多_________个小正方形.
思路导引
观察不难发现，所需要的小正方形的个数都是平方数，因此根据相应的序数与正方形的个数的关系找出规律解答即可.
名师点拨
此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，要抓住数量变化的一定规律，并用代数式表示出来在解决问题时，一般从该数学与其序号的联系上入手进行分析规律，最后按规律求解.
跟踪训练3
1.把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，……，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（ ）
A.10 B.15 C.18 D.21
2.下面是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（ ）
A.148 B.152 C.174 D.202
3.人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图所示中的每一个小正方形表示一块地砖.如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图表示，那么第50个图形中的白色小正方形地砖的块数是（ ）
A.150 B.200 C.355 D.505
4.如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形……按此规律摆下去，第n个图案有________个三角形（用含n的代数式表示）.
5.如图所示图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，……，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为_________.
6.观察下列结论:
（1）如图①所示，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝60°；
（2）如图②所示，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝90°；
（3）如图③所示，在正五边形 ABCDE中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝108°；
……
根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于O，也会有类似的结论.你的结论是_________________.
7.欧拉（Euler，1707～1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都作出了杰出的贡献.他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V（ Vertex）棱数E（Edge）、面数F（ Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式.
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整:
（2）分析表中的数据，你能发现V，E，F之间有什么关系吗？请写出关系式:_________.
题型四 探究图形的倍增规律
典例4 如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，若进行以下操作，在边BC上从左到右依入次取点D1，D2，D3，D4，；过点D1作AB，AC的平行线分别交AC，AB于点E1，F1；过点D2作AB，AC的平行线分别交AC，AB于点E2，F2；过点D3作AB，AC的平行线分别交AC，AB于点E3，F3，…，则4（D1E1＋D2E2＋…＋D2019E2019）＋5（D1F1＋D2F2＋…＋D2019F2019）＝___________.
思路导引
∵D1F1∥AC，D1E1∥AB，可得,因为AB＝5，AC＝4，则有4D1E1＋5D1F1＝20；同理有如下规律4D2E2＋5D2F2＝20，…，4D2019F2019＋5D2019F2019＝20.
名师点拨
本题考查平行线的性质，探索规律；能够根据平行线的性质和等量代换得到4D1E1＋5D1F1＝20是解题的关键.
跟踪训练4
1.如图所示，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2015的值为（ ）
A. B. C. D.
2.如图所示，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的其中:弧DA1的圆心为点A，半径为AD；弧A1B1的圆心为点B，半径为BA1；弧B1C1的圆心为点C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为点D，半径为DC1；…弧DA1，弧A1B1，弧B1C1，弧C1D1，…的圆心依次按点A，B，C，D循环.若正方形ABCD的边长为1，则弧A2020B2020的长是________.
3.如图所示，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1，BF1，得到△EF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到△EF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则△EFnB的面积为_________（用含正整数n的式子表示）.
4.如图所示，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为__________.
5.如图所示，∠MON＝30°，在OM上截取OA1＝.过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A20B20的长等于 __________.
题型五 探究坐标中的图形变化规律
典例5 正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…按图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y＝kx＋b（k＞0）和x轴上已知点A1（0，1），点B1（1，0），则C5的坐标是_________.
思路导引
由题意可知A1的纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8，…，即可得到C1，C2，C3，C4，C5的纵坐标，根据图象得出C1（2，1），C2（5，2），C3（11，4），即可得到C1，C2，C3，C4，C5，在一条直线上，直线的解析式为y＝x＋，把C3的纵坐标代入即可求得横坐标.
名师点拨
此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、等腰直角三角形和正方形的性质.此题难度适中，属于规律型题目，注意掌握数形结合思想的应用.
跟踪训练5
1.如图所示，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10＋12，0），得到等腰直角三角形⑤；…；依此规律，则第2020个等腰直角三角形的面积是___________.
2.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点C1，C2，C3，…都在直线y＝x＋上，且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，OA1＝1，则点C6的坐标是___________.
3.如图所示，直线AM的解析式为y＝x＋1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）.过点B作EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1，以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）.过点B1作E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2.以O2A2为边作正方形O2A2B2C2，…则点B2020的坐标__________.
4.如图所示，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An-1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则An的坐标为__________.
5.如图所示，直线y＝-x＋b与y轴交于点A，与双曲线y＝在第三象限交于B，C两点，且AB·AC＝16.下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝_______，前25个等边三角形的周长之和为__________.
6.在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示.已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4，…，依次进行下去，则点A2019的坐标为____________.
参考答案
典例1 -384
跟踪训练1
1.B 2.-81 3.625 4.55 5.
典例2 解:（1）；
（2）.
证明:∵右边＝＝左边.∴等式成立.
跟踪训练2
1.A 2.m（2m-1） 3.4×6-52＝24-25＝-1 n×（n＋2）-（n＋1）2＝-1
4. 5.
6.（1）； （2）.
7.解:（1）；
（2）.
证明:∵左边＝＝右边，∴等式成立.
典例3 2n＋3
跟踪训练3
1.B 2.C 3.C 4. （3n＋1） 5. 57
6. A1N＝AnM，∠NOAn＝（或者:从正多边形相邻顶点出发的两条相等线段相交形成的角中有一个角的度数为该正多边形一个内角的度数）
7.解:（1）填表如下:
（2）∵4＋4-6＝2，6＋5-9＝2，8＋6-12＝2，6＋8-12＝2，…
∴V＋F-E＝2.即V，E，F之间的关系式为:V＋F-E＝2.
故答案为:V＋F-E＝2.
典例4 40380
跟踪训练4
1.C 2.4039π 3. 4. 5. 219
典例5 （47，16）
跟踪训练5
22020 2. （47，16） 3.（2×32020-1， 32020）
4.（2，0） 5.4 60 6.（-1010，10102）
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专题二
规律探索型专题
专题解读
规律探索型题是中考的点之一，它的形式多种多样，取材广泛，在中考试卷中频频出现，主要是对合情推理的考查成为中考试卷中的一个亮点规律探索反映了由特殊到一般的数学方法，主要是考“数学思考”，考查学生的观察、分析、猜想、象、归纳能力，因此它成为中考试题的命题热点在选择题、填空题、解答题中均可能出现，分值有所加大要求不断提高.
解题策略:规律探索类题一般是先给出一列数或一列图形的前几项，让学生通过观察分析，猜想验证，找到其中隐含的规律然后运用所发现的规律解决问题，此复习中要了解中考规律型问题常见的题型及其特征，熟悉规律型问题的一般思路、解法，切实提高分析问题、决问题的能力，提高解题方案的准确性.
题型一 探究数（数组或数表）的排列规律
解题攻略:
（1）标序数（1，2，3，…，n）即先把各数按顺序或位置进行编号.
（2）找规律:从数符号（正号或负号）和绝对值两个方面进行分析，先观察分析几个式子，从中找出变化的量及符号、不变的量及符号.
（3）写规律:将式子变化的量用字母表示出来，从而得到本组式子的模型.
（4）常见的数字规律要熟记:
①自然数列规律:0，1，2，3，…，n（n≥0）；
②正整数列规律:1，2，3，…，n（n≥1）；
③奇数列规律:1，3，5，7，…，2n-1（n≥1）；
④偶数列规律:2，4，6，8，…，2n（n≥1）；
⑤正整数的和:1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝；
⑥正整数的平方:1，4，9，16，…，n2（n≥1）；
⑦正整数平方加1:2，5，10，17，，n2＋1（n≥1）；
⑧正整数平方减1:0，3，8，15，…，n2-1（n≥1）；
⑨若所给数字的正负号交替出现，则用（-1）2n或（-1）2n-1表示符号，若所给的数字既有整数又有分数时，将整数写成分数，再分别观察分子、分母的规律即可.
典例1 有一列数，按一定规律排列成1，-2，4，-8，16，-32，…，其中某三个相邻数的积是412则这三个数的和是__________.
思路导引
根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和.
名师点拨
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，然后根据题意列方程解得.
跟踪训练1
1.一列数按某规律排列如下:，，，，，，，，，…，若第n个数为，则n＝（ ）
A.50 B.60 C.62 D.71
2.有一列数，按一定的规律排列成，-1，3，-9，27，-81，…若其中某三个相邻数的和是567，则这三个数中第一个数是__________.
3.将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是_________.
4.一列数1，5，11，19，…，按此规律排列，第7个数是________.
5.）观察下列一组数:a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数an＝________（用含n的式子表示）.
题型二 探究等式的排列规律
解题攻略:
（1）标序数（1，2，3，…，n）:将每一个等式按先后顺序依次标1，2，3，…
（2）找规律:观察等式的左右两边与序数之间的关系，哪些数不变，哪些数变，找出变化的数与序数之间的关系.
（3）总结2中的规律.
（4）验证3中规律的正确性.
典例2 观察以下等式:
按照以上规律，解决下列问题:
（1）写出第6个等式:________________；
（2）写出你猜想的第n个等式:____________（用含n的等式表示），并证明.
思路导引
（1）根据已知等式即可得；
（2）根据已知等式得出规律，再利用分式的混合运算法则验证即可.名师点拨
本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律，并熟练加以运用.
跟踪训练2
1.已知有理数a≠1，我们把称为的差倒数，如:2的差倒数是＝-1，-1的差倒数是.如果a1＝-2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1＋a2＋…＋a100的值是（ ）
A.-7.5 B.7.5 C.5.5 D.-5.5
2.观察下列等式:
2＋22＝23-2；
2＋22＋23＝24-2；
2＋22＋23＋24＝25-2；
2＋22＋23＋24＋25＝26-2；
…
已知按一定规律排列的一组数:220，221，222，223，224，…，238，239，240，,220＝m，则220＋221＋222＋223＋224＋…＋238＋239＋240＝_________（结果用含m的代数式表示）.
3.观察下列各式的规律:
①1×3-22＝3-4＝-1；②2×4-32＝8-9＝-1；③3×5-42＝15-16＝-1.
请按以上规律写出第4个算式______________.
用含有字母的式子表示第n个算式为____________________.
4.观察下面的变化规律:
，，，，…
根据上面的规律计算:＝____________.
5.观察下列各式:
请利用你发现的规律，计算:
,
其结果为_____________.
6.观察下列等式:
按上述规律，回答以下问题:
（1）请写出第n个等式:an＝____________；
（2）a1＋a2＋a3＋…＋an＝_______________.
7.观察以下等式:
按照以上规律，解决下列问题:
（1）写出第6个等式:___________；
（2）写出你猜想的第n个等式:______________（用含n的等式表示），并证明.
题型三 探究图形的排列规律
解题攻略:
（1）找关系:找后一个图形与前一个图形所求元素的个数之间的关系.
（2）找规律:①若第一个图形所求元素为a，第二个图形所求元素比第一个图形所求元素个数多b个，且此后每一个图形所求元素个数比前一个图形所求元素个数多b个，则第n个图形所求元素个数为a＋b（n-1）；②也可以观察后一个图形所求元素个数与前一个图形所求元素个数是否是平方或立方的关系来解决问题.
（3）总结2中的规律.
（4）验证3中规律的正确性.
典例3 如图所示，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……，按这样的方法拼成的第（n＋1）个正方形比第n个正方形多_________个小正方形.
思路导引
观察不难发现，所需要的小正方形的个数都是平方数，因此根据相应的序数与正方形的个数的关系找出规律解答即可.
名师点拨
此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，要抓住数量变化的一定规律，并用代数式表示出来在解决问题时，一般从该数学与其序号的联系上入手进行分析规律，最后按规律求解.
跟踪训练3
1.把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，……，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（ ）
A.10 B.15 C.18 D.21
2.下面是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（ ）
A.148 B.152 C.174 D.202
3.人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图所示中的每一个小正方形表示一块地砖.如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图表示，那么第50个图形中的白色小正方形地砖的块数是（ ）
A.150 B.200 C.355 D.505
4.如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形……按此规律摆下去，第n个图案有________个三角形（用含n的代数式表示）.
5.如图所示图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，……，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为_________.
6.观察下列结论:
（1）如图①所示，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝60°；
（2）如图②所示，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝90°；
（3）如图③所示，在正五边形 ABCDE中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝108°；
……
根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于O，也会有类似的结论.你的结论是_________________.
7.欧拉（Euler，1707～1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都作出了杰出的贡献.他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V（ Vertex）棱数E（Edge）、面数F（ Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式.
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整:
（2）分析表中的数据，你能发现V，E，F之间有什么关系吗？请写出关系式:_________.
题型四 探究图形的倍增规律
典例4 如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，若进行以下操作，在边BC上从左到右依入次取点D1，D2，D3，D4，；过点D1作AB，AC的平行线分别交AC，AB于点E1，F1；过点D2作AB，AC的平行线分别交AC，AB于点E2，F2；过点D3作AB，AC的平行线分别交AC，AB于点E3，F3，…，则4（D1E1＋D2E2＋…＋D2019E2019）＋5（D1F1＋D2F2＋…＋D2019F2019）＝___________.
思路导引
∵D1F1∥AC，D1E1∥AB，可得,因为AB＝5，AC＝4，则有4D1E1＋5D1F1＝20；同理有如下规律4D2E2＋5D2F2＝20，…，4D2019F2019＋5D2019F2019＝20.
名师点拨
本题考查平行线的性质，探索规律；能够根据平行线的性质和等量代换得到4D1E1＋5D1F1＝20是解题的关键.
跟踪训练4
1.如图所示，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2015的值为（ ）
A. B. C. D.
2.如图所示，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的其中:弧DA1的圆心为点A，半径为AD；弧A1B1的圆心为点B，半径为BA1；弧B1C1的圆心为点C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为点D，半径为DC1；…弧DA1，弧A1B1，弧B1C1，弧C1D1，…的圆心依次按点A，B，C，D循环.若正方形ABCD的边长为1，则弧A2020B2020的长是________.
3.如图所示，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1，BF1，得到△EF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到△EF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则△EFnB的面积为_________（用含正整数n的式子表示）.
4.如图所示，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为__________.
5.如图所示，∠MON＝30°，在OM上截取OA1＝.过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A20B20的长等于 __________.
题型五 探究坐标中的图形变化规律
典例5 正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…按图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y＝kx＋b（k＞0）和x轴上已知点A1（0，1），点B1（1，0），则C5的坐标是_________.
思路导引
由题意可知A1的纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8，…，即可得到C1，C2，C3，C4，C5的纵坐标，根据图象得出C1（2，1），C2（5，2），C3（11，4），即可得到C1，C2，C3，C4，C5，在一条直线上，直线的解析式为y＝x＋，把C3的纵坐标代入即可求得横坐标.
名师点拨
此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、等腰直角三角形和正方形的性质.此题难度适中，属于规律型题目，注意掌握数形结合思想的应用.
跟踪训练5
1.如图所示，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10＋12，0），得到等腰直角三角形⑤；…；依此规律，则第2020个等腰直角三角形的面积是___________.
2.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点C1，C2，C3，…都在直线y＝x＋上，且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，OA1＝1，则点C6的坐标是___________.
3.如图所示，直线AM的解析式为y＝x＋1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）.过点B作EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1，以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）.过点B1作E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2.以O2A2为边作正方形O2A2B2C2，…则点B2020的坐标__________.
4.如图所示，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An-1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则An的坐标为__________.
5.如图所示，直线y＝-x＋b与y轴交于点A，与双曲线y＝在第三象限交于B，C两点，且AB·AC＝16.下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝_______，前25个等边三角形的周长之和为__________.
6.在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示.已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4，…，依次进行下去，则点A2019的坐标为____________.
参考答案
典例1 -384
跟踪训练1
1.B 2.-81 3.625 4.55 5.
典例2 解:（1）；
（2）.
证明:∵右边＝＝左边.∴等式成立.
跟踪训练2
1.A 2.m（2m-1） 3.4×6-52＝24-25＝-1 n×（n＋2）-（n＋1）2＝-1
4. 5.
6.（1）； （2）.
7.解:（1）；
（2）.
证明:∵左边＝＝右边，∴等式成立.
典例3 2n＋3
跟踪训练3
1.B 2.C 3.C 4. （3n＋1） 5. 57
6. A1N＝AnM，∠NOAn＝（或者:从正多边形相邻顶点出发的两条相等线段相交形成的角中有一个角的度数为该正多边形一个内角的度数）
7.解:（1）填表如下:
（2）∵4＋4-6＝2，6＋5-9＝2，8＋6-12＝2，6＋8-12＝2，…
∴V＋F-E＝2.即V，E，F之间的关系式为:V＋F-E＝2.
故答案为:V＋F-E＝2.
典例4 40380
跟踪训练4
1.C 2.4039π 3. 4. 5. 219
典例5 （47，16）
跟踪训练5
22020 2. （47，16） 3.（2×32020-1， 32020）
4.（2，0） 5.4 60 6.（-1010，10102）
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