平方差公式（一）教学设计

第一章　整式的运算
７．平方差公式（一）
山东省济南市第二十七中学 朱艳
本节课是在学生学习了单项式乘法、单项式与多项式乘法及多项式乘法之后的一节课。从知识上来讲，实际上不是新知识，而是上一节整式乘法的一个特例。因而可以引导学生在已有整式乘法知识的基础上，归纳这一乘法结果的普遍性，让学生明确这一公式来源于整式乘法。除了从代数角度来认识这个公式之外，还要引导学生理解这个乘法公式的几何背景，可以加深学生对这个乘法公式的直观印象，体会数形结合的数学思想方法。
学生前面已经学习了整式乘法，对多项式乘法法则的形成及几何意义有一定的了解，这对学习本节课的知识有一定的帮助。相信，在问题的引导下，学生应该和乐意用自己已学的知识来发现新的结论，学习新的知识。这一点是与新课程标准中让学生经历知识形成过程的要求相符的。但是对学生来说，如何从项的角度来理解平方差公式的特征，以区别与其他多项式相乘的算式会有一定的困难，再加上要学生用图形来解释所得的乘法公式，要求有点高，估计学生会需要老师的帮助。
义务教育阶段的数学新课程标准明确指出：数学教学活动必须建立在认识发展水平和已有的知识经验的基础之上。强调从学生已有的生活经验出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流、获得知识，从而更好地理解数学知识的意义，掌握必要的基础知识与基本技能，发展应用数学知识的意识和能力，增强学好数学的信。
《平方差公式—第一课时》教学设计说明
学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在前面的学习中，已经学习了整式的有关内容，并经历了用字母表示数量关系的过程，有了一定的符号感。经过一个学期的培养，学生已经具备了小组合作、交流的能力。学生刚学过多项式的乘法，已具备学习并运用平方差公式的知识结构，通过创造问题情境，让学生在探究相应问题，建立并运用公式从而拓展学生知识技能结构成为可能.
学生活动经验基础：通过实际问题的探究，学生已感受到多项式乘法运算的重要性，同时，有了对式的运算，“快”，“准”的积极心理，学生已具备学习公式的知识与技能结构，通过新课程教学的实施，学生已具有独立探索，合作交流的习惯。因而让学生独立探索，合作交流得出并运用平方差公式就有了可能.由于学生初次学习公式，只有原始的的换元思想，虽然在学习过程中有进一步的感悟和深化。同时，在运用公式时，认清结构不易，而且本课节所学的公式运用仅是局部的，因此，教学时不可拨高要求追求一步到位，而应在今后滚动式逐步达到灵活运用的目的，使之与学生的知识结构同步发展完善。?
二、教学任务分析
一方面由于本课内容的特点所决定，运用平方差公式的关键是认清两个多项式相乘是否具有(a+b)(a-b)的形式，由于两个多项式相乘的形式复杂多变，学生较易被假象所述惑，另一方面学生初学公式只有原始的换元思想，有些同学多项式相乘还不够熟练，我校生源不够好. 由此，根据课标要求，我确定本节课的目的如下：
(1)知识与技能：经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力;会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算。
(2)过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用。
(3)情感与态度：让学生感受到数学既来源于生活实际，又是解决生活中许多问题的工具，从而促使学生热爱数学.
三、教学设计分析
本节课的设计理念是：遵循“教学、学习、研究”同步协调的原则，重组教材，恰当地创设情境、激发学生对数学的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断发现和提出问题，分析并创造性地解决问题，教师为学生构建开放的学习环境引导学生体验探索、研究的过程，通过学生的再发现、再创造活动，体验“数学化”的过程，使学生在领悟数学对象本质的同时，真正经历知识的“生长过程”.
让学生在探究合作交流的过程中，展示思维过程，让学生的思维全过程得到充分暴露，学生在再发现、再发明的过程中，思维火花发生强烈碰撞，数学结论的发现、生成为自然的事情.?
第一环节 发现特征、探索规律，亲历建构过程。
活动内容：我们已经学过了多项式的乘法，两个二项式相乘，在合并同类项前应该有几项 合并同类项以后，积可能会是三项吗 积可能是二项吗 请举出例子?
让学生动脑、动笔进行探讨，并发表自己的见解，教师根据学生的回答，引导学生进一步思考：两个二项式相乘，乘式具备什么特征时，积才会是二项式 为什么具备这些特点的两个二项式相乘，积会是两项呢 而它们的积又有什么特征
(当乘式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式?这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四个项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了?而它们的积等于乘式中这两个数的平方差)
学生思考后出示题目，看谁算得快：
(1) (x+2)(x-2)
(2) (1+3a)(1-3a)
(3) (x+5y)(x-5y)
(4) (-m+n)(-m-n)
提出问题：你们能发现什么规律？
在多项式的乘法中，对于某些特殊形式的多项式相乘，我们把它写成公式，并加以熟记，以便遇到类似形式的多项式相乘时就可以直接运用公式进行计算?以后经常遇到(a+b)(a-b)这种乘法，所以把(a+b)(a-b)＝a2-b2作为公式，叫做乘法的平方差公式?
在此基础上，让学生用语言叙述公式.总结公式结构特征: (1) 公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；相同两数的和与差相乘；且左边两括号内的第一项相等、第二项符号相反[互为相反数(式)];(2) 公式右边是这两个数的平方差；即右边是左边括号内的第一项的平方减去第二项的平方. (3) 公式中的 a和b 可以代表数，也可以是代数式．
活动目的：在这设计过程中，我充分考虑发挥的学生主体作用。首先，这节课的主题——两数和与两数差的积等于两数的平方差及其特点，应该由学生发现得出结论。其次，学生的活动不能停留在简单的、机械的操作活动上，而是要立足于复杂的思维活动，学生根据公式特点，自己去寻找对象，发散性大，这样学生的创造的自由度大，使得在这过程中，学生一方面要动用他全部的知识经验；另一方面，要运用许多思维操作，如比较、类比、观察、想象、分析、综合等等。第三，教师随着学生的思路，及时的加以引导，而不是把学生的思路、想法，强拉到自己的思路上来，这也是由数学教学的特点决定的。将“两个二项式相乘，积可能有几项”的问题作为课题引入，目的是激发学生的学习兴趣，使学生能在两个二项式相乘其积可能为四项、三项、两项中找出积为两项的特征，上升到一定的理论认识，加以实践检验，从而培养学生观察、概括的能力
实际教学效果：学生议论、讨论，各抒己见。通过学生自己的试算、观察、发现、总结、归纳，得出为什么有的两个二项式相乘，其积为两项，因为其中两项是两个数的平方差，而另两项恰是互为相反数，合并同类项时为零，即
(a+b)(a-b)＝a2+ab-ab-b2＝a2-b2?
这样得出平方差公式，并且把这类乘法的实质讲清楚了?
第二环节 运用知识，解决问题，形成数学意识。
活动内容：（1）直接运用新知，解决第一层次问题。
例1计算：①(2x +3 ) (2x–3) ②(2 a +3b ) (2 a–3b) ③（– 1 + 2a ） (– 1 – 2a)
（2）间接运用新知，解决第二层次问题。
例2计算：①(–2x +3 ) (3+2x) ②(3b+2a) (2 a–3 b)
例3计算：(-4a-1)(-4a+1)
活动目的：教学不仅使学生掌握在日常生活和进一步学习所必需的最基础的数学知识和基本技能，还要在学生获取知识和技能的同时，激发学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，并使智力得到发展，能力得到培养。但是，知识的掌握，技能的形成，智力的开发，能力的培养，以及良好学风的养成，必须通过一定量的练习才能实现。练习的设计要遵循：由易到难，由简到繁，由基本到变式，由低级到高级的发展顺序；要从数量和质量这两个方面去考虑，尽力做到在有限的时间里，取得最佳的练习效果，这是我们优化课堂教学始终要追求的一个目标。
实际教学效果：例1教学中教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么；例2教学中教师引导学生发现，需将其中一个括号中的两项交换位置，就可用平方差公式进行计算；例3教学中让学生在练习本上计算，教师巡视学生解题情况，让采用不同解法的两个学生进行板演?
解法1：(-4a-1)(-4a+1)
＝［-(4a+1)］［- (4a-1)］
＝(4a+1)(4a-1)
＝(4a)2-12
＝16a2-1?
解法2：(-4a-1)(-4a+1)
＝(-4a)2-12
＝16a2-1?
根据学生板演，教师指出两种解法都很正确，解法1先用了提出负号的办法，使两乘式首项变成正的，而后看出两数的和与这两数的差相乘的形式，应用平方差公式，写出结果；解法2把-4a看成一个数，把1看成另一个数，直接写出(-4a)2-12后得出结果。采用解法2的同学比较注意平方差公式的特征，能看到问题的本质，运算简捷。
第三环节 巩固深化，拓展思维
活动内容：例4 计算：(1)(x＋y－z)(x＋y＋z)；(2)(a－b＋c)(a＋b＋c)．
活动目的：让学生认识到平方差公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式，在平方时，应把单项式或多项式加括号；学会灵活运用平方差公式。
实际教学效果：(1)题中可利用整体思想，把x＋y看作一个整体，则此题中相同项是(x＋y)，相反项是－z和z；(2)题中的每个因式都可利用加法交换律写成(a＋c－b)(a＋c＋b)的形式，则(a＋c)是相同项，相反项是－b和b．
第四环节 感受问题、体验探索成功。
活动内容：
练习1
1．(ｘ+ｙ) (ｘ-ｙ) = __________
2．(ｘ+3ｙ) (ｘ-3ｙ) = ( ) 2－( )２= ___________
3．(２+ａ) (２-ａ) = ( ) 2－( )２= __________
4．(１-３ｍ) (1+３ｍ)=( ) 2－( )２ = __________
5． (2a+5b) (2a-5b) = ( ) 2－( )２ = __________
6． (-2b-5) (-2b+5) = ( ) 2－( )２ = __________
7． (-1+4x) (-1-4x) = ( ) 2－( )２ = __________
练习2 下列式子可用平方差公式计算吗 为什么 如果能够，怎样计算
(1) (a+b)(a b) ；
(2) (a b)(b a) ;
(3) (a+2b)(2b+a);
(4) (a b)(a+b) ;
(5) (2x+y)(y 2x). 练习3 填空
(1) ( x+2y) ( -x+2y) =__________________
(2) (3m-5n)(5n+3m)=__________________
(3) ( -1 + x) (-1- x ) = __________________
(4) (-2b- 5) (2b -5) =___________________
练习4 提高题
（1）（m+2）(m-2)(m2+4) （2）（a+b+2）(a+b-2)
活动目的：由于初学公式等原因出错是正常现象，但在问题讨论，引导发现，巩固训练的过程中，学生与学生积极交流，讨论、思维活跃，师生的信息交流畅通，反馈评价及时，
实际教学效果：通过练习学生学会如何正确应用平方差公式?但还要特别要求学生注意公式的结构，教师可以用对应思想来加强对公式结构的理解和训练，如计算(1+2x)(1-2x)，(1+2x)(1-2x) 12-(2x)2＝1-4x2?
↓ ↓ ↓ ↓ ↑ ↑
(a+b)(a-b) a2-b2?
这样，学生就能正确应用公式进行计算，不容易出差错?
另外，在计算中不一定用一种模式刻板地应用公式，可以结合以前学过的运算法则，经过变形后灵活应用公式，培养学生解题的灵活性?
第五环节 归纳总结，形成知识网络
活动内容：
小结1． 叙述公式（B，C组学生回答）
2．公式中的字母可以代表什么？（A组学生回答）（数字、单项式、多项式）
只要习题符合平方差公式的结构，都可应用其计算。
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想。
实际教学效果：学生总结出为了掌握平方差公式，我们应该记住它们的结构特征：
（1）左边：两个乘式都是二项式，它们分别是两个数的和与这两个数的差。
（2）右边：积是乘式中两个数的平方差。
（3）公式中的a和b，可以是具体的数，也可以是代数式
（4）公式中的a的符号相同，b的符号相反
第六环节 布置作业
四、教学设计反思
本节课从学生练习情况上来看，学生掌握的很好。但从教学过程中来看，并没有完全达到新课标中所要求的应以学生为主的教育教学的理念。因该给学生更多的交流讨论时间，让学生自己当老师，大胆发言，推导出平方差公式并找出平方差公式的特点，一方面让其他学生容易接受，另一方面锻炼学生有条理的表达能力，这样可增强学生的自信心和学习数学的兴趣。
总之，平方差公式就是特殊形式的多项式与多项式相乘的一种。它在代数运算和恒等变形中有广泛地应用，这就需要我给学生更多练习的机会以达到学生真正熟练掌握的程度