第10讲 反比例函数与几何综合题-2021年中考数学二轮复习重点题型针对训练（北师大版）(word版含解析)

《重点题型专项复习》第10讲
反比例函数与几何综合题
【思路方法】
一.总体解题思路
二.具体思路方法
1.走“点的坐标”→→求或设点的坐标；辅助线：作x或y轴垂线；
2.走“k值与几何基础面积图形”→→构造出基础图形，寻找题目条件图形与基础图形间的转化关系；
【强化巩固练习】
1.
如图，反比例函数与一次函数的交点横坐标为1，4，则不等式的解集为（
）
A.
x≤4
B.
x<0或1≤x≤4
C.
x<0或x≥4
D.
x≤1或x≥4
2.
函数和在同一直角坐标系中的大致图象是（　　）
A.
B.
C.
D.
3．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数y=bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
）
4.反比例函数与一次函数y=-kx+1在同一坐标系的图像可能是（
）
5.二次函数的图像如右图所示，反比例函数与正比例函数y=(2a+c)x在同一坐标系内的大致图像是（
）
6．下列选项中不正确的是（　　）
A．反比例函数y＝（k≠0）的图象只有1条对称轴
B．若ab＜0，则抛物线y＝ax2﹣2x+b与x轴有两个交点
C．将二次函数y＝﹣3（x﹣1）2的图象向左平移1个单位得到y＝﹣3x2的图象
D．若反比例函数y＝﹣三图象过点（a，﹣2），（b，﹣3），则a＞b
7.
如图，已知某人对地面的压强
P
与他和地面接触面积
S
的函数关系如图所示，若经过一稀泥地地面能承
受的压强不超过
500N/m，那么要想不至于下陷，必须站立的木板面积（木板的重量忽略不计）是（
）
A.
大于
B.
小于
C.
至少
D.
至多
8.如图，过反比例函数上一点A作y轴的平行线交反比例函数于点B，连接OA,OB，若，则k的值为（
）
A.
3
B.
-3
C.
4
D.
-4
9.如图，菱形OABC的边OC在x轴上，且周长为10，已知cos∠COA=,若反比例函数经过点A，则k=_______
10.如图，已知直线交x轴于点A，交反比例函数于点B，过点B作BC⊥AB交反比例函数于点C，若BC=AB，则k的值为_____________
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，OA＝5，tan∠COA＝．若反比例函数y＝
(k＞0，x＞0)经过点C，则k的值等于________．
12.如图，直线y=x+4与坐标轴分别交于A,B两点,AC⊥AB，交双曲线（x<0）于点C，且BC交x轴于点M，BM=2CM，则k=_____________
13.如图，已知点A是反比例函数(x>0)图像上一点，AB//x轴交另一个反比例函数(x>0)的图像于点B，C为x轴上一点，若，则k的值为（
）
A.
4
B.
2
C.
3
D.
1
14.如图，矩形ABCD的顶点A,D分别在坐标轴上，对角线BD//x轴，反比例函数(x>0，k>0)的图像经过矩形对角线的交点E，若点A(2,0),D(0,4),则反比例函数解析式为_____________
15.如图，直线y=x与双曲线（x>0）于点A，点B为y轴负半轴上一点，，点C在x轴正半轴上，且OC=OB，连接BC，BA=BC，则k=_____________
16.
如图，直角坐标系原点O为Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB=90°,A(-5,0)，且tanA=，反比例函数经过点C，则k的值是_______．
17.如图，已知直线y=kx与双曲线交于A、B两点，将线段AB绕点A沿顺时针方向旋转60°后，点B落
在点C处，双曲线经过点C，则的值是__________.
18．如图，点A（1，3）为双曲线y＝上的一点，连接AO并延长与双曲线在第三象限交于点B，M为y轴正半轴上
一点，连接MA并延长于双曲线交于点N，连接BM、BN，已知△MBN的积为，则点N的坐标为　
　．
19．如图,将反比例函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的曲线，过点
A(,),B(2,2)的直线与曲线相交于点C,D,则
sin∠COD=
________．
20．点A（﹣3，1），B（﹣2，2），反比例函数y＝（k＜0，x＜0）的图象记为L．
（1）若L经过点A．
①图象L的解析式为　
　．
②点B在图象L上，还是在图象L的上方或下方？为什么？
（2）如图在（1）的条件下，L上纵坐标为3的点P与点C关于原点O对称，PQ⊥x轴于点Q，CD⊥x轴于点D．求△QCD的面积．
（3）若L与线段AB有公共点，直接写出k的取值范围．
21.
如图，直线AD:y=3x+3与坐标轴交于A,D两点，以AD为边在AD右侧作正方形ABCD，过C作CG⊥y轴于G点．过点C的反比例函数与直线AD交于E,F两点．
（1）求证：△AOD≌△DGC；
（2）求E、F两点坐标；
（3）填空：不等式3x+3>的取值范围是_________．
22.如图1，一次函数y=kx-3的图像与y轴交于点B，与反比例函数（x>0）交于A(8,1)
（1）k=_______;m=__________;
（2）点C是线段AB上一点（不与A,B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标；
（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O`C`D`，若点O对应点O`恰好落在该反比例函数图像上，如图2，请直接写出此时点D的对应点D`的坐标；
23.如图，直线y=3x+b经过点A(-1,0),与y轴正半轴交于点B，与反比例函数(x>0)交于点C，且BC=2AB，BD//x轴交反比例函数于点D，连接AD.
（1）b=_____,k=______；
（2）求△ABD的面积；
（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF//BD，交反比例函数的图像于点F，且EF=BD.,求m的值。
【答案详解】
1.
如图，反比例函数与一次函数的交点横坐标为1，4，则不等式的解集为（
）
A.
x≤4
B.
x<0或1≤x≤4
C.
x<0或x≥4
D.
x≤1或x≥4
【解析】
不等式的解集，即是反比例函数图像在一次函数图像下方的那部分图像的x的取值范围，故选B.
2.
函数和在同一直角坐标系中的大致图象是（　　）
A.
B.
C.
D.
【解析】
在函数和中，当时，函数的图象在第一、三象限，
函数的图象在第一、二、三象限，
故选项A、D错误，选项B正确，
当时，函数的图象在第二、四象限，
函数的图象在第一、二、四象限，
故选项C错误，
故选B．
3．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数y=bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
）
【解析】
由反比例函数图像可知ab>0，
则当a,b均为正数时，二次函数开口向上，
一次函数经过一、二、三象限，
故选C
4.反比例函数与一次函数y=-kx+1在同一坐标系的图像可能是（
）
【解析】
若k>0，则反比例函数经过一、三象限，
则-k<0，
则一次函数经过一、二、四象限，
故选B
5.二次函数的图像如右图所示，反比例函数与正比例函数y=(2a+c)x在同一坐标系内的大致图像是（
）
【解析】
由抛物线图像可得：a<0,b>0,c>0，
则ab<0,由对称轴可得b=-a，
当x=-1时a-b+c<0，
则2a+c<0，
故选B
6．下列选项中不正确的是（　　）
A．反比例函数y＝（k≠0）的图象只有1条对称轴
B．若ab＜0，则抛物线y＝ax2﹣2x+b与x轴有两个交点
C．将二次函数y＝﹣3（x﹣1）2的图象向左平移1个单位得到y＝﹣3x2的图象
D．若反比例函数y＝﹣三图象过点（a，﹣2），（b，﹣3），则a＞b
【解析】
反比例函数图像有2条对称轴，分别是一、三；二、四象限的角平分线，
故选A
7.
如图，已知某人对地面的压强
P
与他和地面接触面积
S
的函数关系如图所示，若经过一稀泥地地面能承
受的压强不超过
500N/m，那么要想不至于下陷，必须站立的木板面积（木板的重量忽略不计）是（
）
A.
大于
B.
小于
C.
至少
D.
至多
【解析】由图可知P=，当P≤500时,S≥,故选C
8.如图，过反比例函数上一点A作y轴的平行线交反比例函数于点B，连接OA,OB，若，则k的值为（
）
A.
3
B.
-3
C.
4
D.
-4
【解析】由图可知，解得k=-4，故选D
9.如图，菱形OABC的边OC在x轴上，且周长为10，已知cos∠COA=,若反比例函数经过点A，则k=_______
【解析】
作AD⊥OC于点D，由周长可得OA=2.5,
由cos∠COA=可得OD=1.5,
则AD=2，
则k=2=3
10.如图，已知直线交x轴于点A，交反比例函数于点B，过点B作BC⊥AB交反比例函数于点C，若BC=AB，则k的值为_____________
【解析】
由题可知A(-2,0),OA=2,
如图构造“一线三垂直模型”，
则，
设B(a,),
∴OE=a,BE=，AE=a+2，CD=,BD=,
∴C（，a+2），
∵B,C均在反比例函数图像上，
∴a()=()(a+2),
解得a=2,
则k=
a()=4
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，OA＝5，tan∠COA＝．若反比例函数y＝
(k＞0，x＞0)经过点C，则k的值等于________．
【解析】
有三角函数，必构造Rt△,
故作CD⊥x轴于点D，
由OC=OA=5,
tan∠COA＝
易得OD=4,CD=3，
则C（4，3）,则k=12
12.如图，直线y=x+4与坐标轴分别交于A,B两点,AC⊥AB，交双曲线（x<0）于点C，且BC交x轴于点M，BM=2CM，则k=_____________
【解析】
由题可得：A(-8,0),B(0,4)，
作CE⊥x轴于点E，
由BM=2CM及
可得CE=2，
由AC⊥AB可设直线AC的解析式为y=-2x+b，
代入A点坐标可得y=-2x-4，
当y=-2时x=-1，
∴C(-1,-2)，
则k=2
13.如图，已知点A是反比例函数(x>0)图像上一点，AB//x轴交另一个反比例函数(x>0)的图像于点B，C为x轴上一点，若，则k的值为（
）
A.
4
B.
2
C.
3
D.
1
【解析】
延长AB交y轴于点D，
由AB//x轴可得，
由反比例函数可得，
∴，
∴k=2，
故选B
14.如图，矩形ABCD的顶点A,D分别在坐标轴上，对角线BD//x轴，反比例函数(x>0，k>0)的图像经过矩形对角线的交点E，若点A(2,0),D(0,4),则反比例函数解析式为_____________
【解析】
由BD//x轴可设B(x，4),
由可列方程为，
解得x=10，
则B(10,4)，
由中点坐标公式可得E(5,4)，
∴k=5×4=20,
∴反比例函数解析式为
15.如图，直线y=x与双曲线（x>0）于点A，点B为y轴负半轴上一点，，点C在x轴正半轴上，且OC=OB，连接BC，BA=BC，则k=_____________
【解析】
设A(m,m)，
则AD=OD=m，
由可得OB=,
则BD=，
BC==,
由BA=BC可得,
则,
即,
化简为,
十字相乘分解可得：，
解得（舍去）,
∴
16.
如图，直角坐标系原点O为Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB=90°,A(-5,0)，且tanA=，反比例函数经过点C，则k的值是_______．
【解析】作CD⊥AB于点D．由tanA=可设BC=x，AC=2x，根据勾股定理即可求出BC和AC的值，利用面积法求出CD的值，再利用勾股定理求出BD的值，得到点C的坐标，然后可求出k的值．
【详解】如图，作CD⊥AB于点D．
∵A(-5,0)，O为Rt△ABC斜边AB的中点，
∴B(5,0)，
∴OB=5，AB=10．
∵tanA=，
∴可设BC=x，AC=2x，
由勾股定理得x2+(2x)2=102，
∴x=，
∴BC=，AC=，
∵，
∴，
∴CD=4，
∴BD=，
∴OD=5-2=3，
∴C(3，4)．反比例函数经过点C，
∴k=3×4=12．
17.如图，已知直线y=kx与双曲线交于A、B两点，将线段AB绕点A沿顺时针方向旋转60°后，点B落
在点C处，双曲线经过点C，则的值是__________.
【解析】
连接
BC、OC，过点
B
作
BD⊥x
轴于
D，过点
C
作
CE⊥x轴于点E，
易得△OBD∽△COE，且相似比是1：，
即面积比为1：3，
∵，，
∴=-
18．如图，点A（1，3）为双曲线y＝上的一点，连接AO并延长与双曲线在第三象限交于点B，M为y轴正半轴上
一点，连接MA并延长于双曲线交于点N，连接BM、BN，已知△MBN的积为，则点N的坐标为　
　．
【解析】反比例函数与正比例函数同时出现的反比例函数几何综合题，一定要紧抓住“O是A，B的中点”解题，
连接ON，则，，
∴，
由A点坐标可得反比例函数解析式为y＝,
设M(0,m)，
则由
可得，
可得，
∵N在反比例函数图像上，则N点坐标为（，）,
由M,A两点坐标可得可得直线MA的解析式为y=(3-m)x+m，
将N点坐标代入y=(3-m)x+m，
可得，
解得m=或，或1（与A点重合故舍去），
∴N点坐标为（，）
19．如图,将反比例函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的曲线，过点
A(,),B(2,2)的直线与曲线相交于点C,D,则
sin∠COD=
________．
【解析】
依旋转性质可知，将图形绕点O顺时针旋转45°后∠COD的大小不会发生变化，
则点A的对应点A`(0,2),点B的对应点B`(4,0)，
则直线A`B`的解析式为y=，
联立方程，
解得C`(1,),D`(3,),
如图构造“一线三垂直模型”，
易得直线OC`的解析式为,
设P点坐标为（，），PN=3-a,ND`=,
则由△OMD`∽△D`NP
可得，
即，
解得a=，
∴P(，)，
由两点间距离公式可得PD`=,OP=,
∴sin∠COD=
20．点A（﹣3，1），B（﹣2，2），反比例函数y＝（k＜0，x＜0）的图象记为L．
（1）若L经过点A．
①图象L的解析式为　
　．
②点B在图象L上，还是在图象L的上方或下方？为什么？
（2）如图在（1）的条件下，L上纵坐标为3的点P与点C关于原点O对称，PQ⊥x轴于点Q，CD⊥x轴于点D．求△QCD的面积．
（3）若L与线段AB有公共点，直接写出k的取值范围．
【解析】
（1）①∵L经过点A，
∴k=-3×1=-3，
∴图象L的解析式为
②点B在图像L的上方，理由是：
当x=-2时，y=,
∴L不经过点B，
∵<2，
∴点B在L的上方.
（2）由点P的纵坐标为3，
则当y=3，x=-1，
∴P(-1,3),
∴，
∵点Q与点C关于原点对称，且PQ⊥x轴，CD⊥x轴，
∴DQ=2OQ,CD=PQ,
∴.
(3)当L过点A时，k=-3，
当L过点B时，k=-4，
∴若L与线段AB有公共点时k的取值范围-4≤x≤-3.
21.
如图，直线AD:y=3x+3与坐标轴交于A,D两点，以AD为边在AD右侧作正方形ABCD，过C作CG⊥y轴于G点．过点C的反比例函数与直线AD交于E,F两点．
（1）求证：△AOD≌△DGC；
（2）求E、F两点坐标；
（3）填空：不等式3x+3>的取值范围是_________．
【解析】
（1）由题意易得AD=CD,∠ADC=90°，进而可得∠ADO=∠DCG，然后问题可求证；
（2）由直线AD的解析式可求出A(-1,0),D(0,3)，由（1）可得DG=OA=1,CG=OD=3，则有OG=2，然后联立一次函数与反比例函数解析可求解；
（3）由（2）及图像可直接进行求解．
（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AD=CD,∠ADC=90°，
∵∠AOD=∠DGC=90°，
∴∠ADO+∠GDC=∠DCG+∠GDC=90°
∴∠ADO=∠DCG，
∴△AOD≌△DGC；
（2）解：∵y=3x+3=0时，x=-1，
∴A(-1,0),D(0,3)，
由(1)可知DG=OA=1,CG=OD=3，
∴OG=2，
即C(3,2)，
即，
联立，
解得：；
∴E(1,6),F(-2,-3)；
（3）由图像及（2）可得：
不等式3x+3>的取值范围是-21；
22.如图1，一次函数y=kx-3的图像与y轴交于点B，与反比例函数（x>0）交于A(8,1)
（1）k=_______;m=__________;
（2）点C是线段AB上一点（不与A,B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标；
（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O`C`D`，若点O对应点O`恰好落在该反比例函数图像上，如图2，请直接写出此时点D的对应点D`的坐标；
【解析】
（1）k=,，m=8；
（2）∵点C是线段AB上一点,
∴C点坐标为（a,a-3）,
则D（a,）
∴CD=a+3,
当四边形OCAD的面积等于24时，
∴=24，
整理得，
解得a=2或-8(舍去),
∴C(2,-2)
（3）由平移性质可得OO`//AB，
则直线OO`的解析式为y=x，
联立方程，
解得x=4或-4（舍去），
则O`坐标为（4，2）,
则△OCD向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到△O`C`D`，
由（2）可知D（2，4）,
∴D`(6,6)
23.如图，直线y=3x+b经过点A(-1,0),与y轴正半轴交于点B，与反比例函数(x>0)交于点C，且BC=2AB，BD//x轴交反比例函数于点D，连接AD.
（1）b=_____,k=______；
（2）求△ABD的面积；
（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF//BD，交反比例函数的图像于点F，且EF=BD.,求m的值。
【解析】
(1)将A点坐标代入y=3x+b中，可得b=3，
∴B(0,3),OB=3,
作CG⊥y轴于点G，
由CG//OA
可得，
可得CG=2,BG=6,
∴OG=9，
∴C(2,9)，
∴k=2×9=18；
(2)由BD//x轴可得D点纵坐标为3,
由D点横坐标为18÷3=6,
∴D(6,3),BD=6,
∴=9
(3)由EF=BD.,BD=6,
可得EF=2，
设E(m,3m+3)，
①当F点在E点右侧时，
由EF//BD可得F（m+2,
3m+3）,
∵F点在反比例函数图像上，
∴(m+2)(
3m+3)=18,
解得m=1或m=-4(舍去)；
②当F点在E点左侧时，
由EF//BD可得F（m-2,
3m+3）,
∵F点在反比例函数图像上，
∴(m-2)(
3m+3)=18,
解得m=或m=
(舍去)；
综上所述，m=1或