天津市天津一中2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 PDF版含答案

天津 一中 2020－ 2021－ 2 高一 年级 数学 学科 期中 质量 调查 试卷
本试 卷分 为第 I 卷（ 选择 题） 、第 II 卷（ 非选 择题 ）两 部分 ，共 100 分， 考试 用时 90 分
钟。 考生 务必 将答 案涂 写在 答题 纸的 规定 位置 上， 答在 试卷 上的 无效 。
祝各 位考 生考 试顺 利!
参考 公式 ：
柱体 的体 积公 式V Sh? .其中S 表示 柱体 的底 面积 ，h表示 柱体 的高 .
1
锥体 的体 积公 式V ? Sh.其中 S 表示 锥体 的底 面面 积，h表示 锥体 的高 .
3
圆锥 的侧 面积 公式S= .其中r是底 面圆 的半 径，l是母 线长 .
球的 表面 积公 式S= ,体积 公式V= .其中r是球 的半 径.
第 Ⅰ卷
一． 选择 题： （每 小题 3 分， 共 30 分） 在每 小题 给出 的四 个选 项中 ，只 有一 项是 符合 题目 要求
的．
? ? ? ?
1．如 果a，b是两 个单 位向 量， 则a与b一定 （ ）
A ．相 等 B．平 行 C．方 向相 同 D ．长 度相 等
2．下 列命 题正 确的 是（ ）
A. 三点 确定 一个 平面 B. 一条 直线 和一 个点 确定 一个 平面
C. 梯形 可确 定一 个平 面 D. 圆心 和圆 上两 点确 定一 个平 面
2
3．若 复数z x x i? ? ? ?? ?1 1? ? 为纯 虚数 ，则 实数x的值 为（ ）
A ．-1 B． 0 C． 1 D ．-1 或 1
4．若P为两 条异 面直 线l m， 外的 任意 一点 ，则 （ ）
A．过 点P有且 仅有 一条 直线 与l m， 都平 行
B．过 点P有且 仅有 一条 直线 与l m， 都垂 直
C．过 点P有且 仅有 一条 直线 与l m， 都相 交
D．过 点P有且 仅有 一条 直线 与l m， 都异 面
5．设?ABC的内 角A，B，C所对 的边 分别 为a，b，c，若b C c B a Acos cos sin? ? ，则
?ABC的形 状为 （ ）
A ．锐 角三 角形 B．直 角三 角形 C．钝 角三 角形 D ．不 确定
? ? ? ? ?
6． 已知 向量 ?
a b x? ?(1, 1), ( 2, ),若a b? 与4 2b a? 平行 ，则 实数x的值 是（ ）
A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
???? ????
7． △ABC的三 边长 分别 为AB=7,BC=5,CA=6,则A B B C? 的值 为（ ）
A. -19 B. -14 C. 14 D. 19
2?z
8． 设复 数z ? ? ?1 i（i为虚 数单 位） ，z的共 轭复 数为z ，则 等于 （ ）
z
A. ? ?1 2i B. ? ?2 i C. ? ?1 2i D. 1 2? i
9． 已知 三棱 柱 的侧 棱垂 直于 底面 ，各 顶点 都在 同一 球面 上， 若该 棱柱 的体 积为
， ， ， ，则 此球 的表 面积 等于 （ ）
A. B. C. D.
10．如 图是 一个 正方 体的 平面 展开 图， 在这 个正 方体 中
①BM ED// ②EF CD/ /
③C N 与BM 为异 面直 线 ④DM BN?
以上 四个 命题 中， 正确 的序 号是 （ ）
A． ①② ③ B．②④ C ．③④ D ．②③ ④
第Ⅱ 卷
二． 填空 题： （本 大题 共 6 小题 ，每 小题 4 分， 共 24 分）
1?7i
11． 若i为虚 数单 位， 复数z ? ，则| |z ?_____ ___.
1?i
12． 在正 方体ABC A B C DD? 1 1 1 1中， 对角 线A C1与底 面ABCD所成 角的 正弦 值为 _____ _____ __.
13． 如图 ，在 四边 形 ABCD 中， AB⊥ BC， AB=6， BC=8， △AC D 是等 边三 角???? ????
形， 则AC BD? 的值 为_____ _____ ____ _．
14． 一艘 轮船 按照 北偏 东40?方向 ，以 18 海里 / 时的 速度 直线 航行 ，一 座灯 塔原 来在 轮船 的南 偏
东20?方向 上， 经过 20 分钟 的航 行， 轮船 与灯 塔的 距离 为6 3海里 ，则 灯塔 与轮 船原 来的 距离
为
15．若 将一 个圆 锥的 侧面 沿一 条母 线展 开， 其展 开图 是半 径为 5，面 积为1 5?的扇 形， 则与 该圆
锥等 体积 的球 的半 径为 _____ __.
16． 在△ABC中，AB AC BAC? ?4 3 = 90， ， ∠ ，? D在边BC上， 延长AD到P，使 得AP=9，若
???? ???? 3 ????
PA?mPB?( ?m)PC（m为常 数） ，则CD的长 度是 _____ ___ ．
2
三． 解答 题： 本大 题共 4 小题 共 46 分。 解答 应写 出文 字说 明， 证明 过程 或演 算步 骤．
1
17． 已知?A B C 的内 角A B C, , 的对 边分 别是a b c, , ，且a B b At a n t a n? ，cosC ? ，
4
c?3.
（1 ）求cosA的值 ；
（2 ）求?A B C 的面 积 .
18． 在正 方体ABC D A B C D? 1 1 1 1中，E为棱D D1的中 点， 底面 对角 线AC与B D相交 于点O.
（Ⅰ ）求 证：BD1/ /平面ACE；
（Ⅱ ）求 证：BD AC1 ? .
?
19． 在三 角形ABC中，A B ?2，AC ?1，?ACB? ，D是线 段BC上一 点， 且
2
???? 1????
BD ? DC ， F为线 段AB上一 点．
2
???? ???? ????
（1 ）若AD x AB y AC? ? ，求x y? 的值 ；
???? ????
（2 ）求CF FA? 的取 值范 围；
????? ????
（3 ）若F 为线 段A B的中 点， 直线CF 与A D相交 于点M ，求CM AB? ．
20．如 图， 在四 棱锥P ABCD? 中， 底面 是边 长为a的正 方形 ，侧 棱
PD ?a,PA? PC ? 2a，求 证：
（1 ）PD?平面ABCD；
（2 ）平 面PAC ?平面PBD；
（3 ）二 面角P B C D? ? 的平 面角 的大 小 .
参考 答案 ：
1．【答 案】 D
2．【答 案】 C
【解 析】
对于 A 选项 ，三 个不 在同 一条 直线 上的 点， 确定 一个 平面 ，故 A 选项 错误 .
对于 B 选项 ，直 线和 直线 外一 点， 确定 一个 平面 ，故 B 选项 错误 .
对于 C 选项 ，两 条平 行直 线确 定一 个平 面， 梯形 有一 组对 边平 行， 另一 组对 边不 平行 ，故 梯形 可
确定 一个 平面 ，所 以 C 选项 正确 .
对于 D 选项 ，圆 的直 径不 能确 定一 个平 面， 所以 若圆 心和 圆上 的两 点在 直径 上， 则无 法确 定一
个平 面.所以 D 选项 错误 .
故选 ：C
3．【答 案】 A
4．【答 案】 B
【解 析】
解： 因为 若点P是两 条异 面直 线l m， 外的 任意 一点 ，则 过点P有且 仅有 一条 直线 与l m， 都垂
直， 选 B
5．【答 案】 B
6．【答 案】 D
【解 析】 ? ? ? ? ? ? ? ?
【 详 解 】 因 为 a b x? ?(1, 1), ( 2, ) ， 所 以 a b x b a x? ? ? ? ? ?(3, 1), 4 2 ( 6, 4 2), 由 于 a b? 与
? ?
4 2b a? 平行 ，得6( 1) 3( 4 2) 0x x? ? ? ? ，解 得x?2.
7．【答 案】 A
【解 析】
【详 解】 解： 由于AB?7，BC ?5，CA?6，
25?49?36 19
则cosB? ? ，
2?5?7 35
???? ???? ???? ????
则AB BC AB BC B? ? ??| | | | cos( )??
19
?7?5?(? )??19．
35
故选 ：A ．
8．【答 案】 C
【解 析】
2?z 3?i ?2?4i
【详 解】 因为 ? ? ??1?2i，
z ?1?i 2
故选 C．
9．【答 案】 A
10．【答 案】 D
【解 析】
作出 正方 体得 到直 观图 如图 所示 :
由直 观图 可知 ,BM 与DE为互 相垂 直的 异面 直线 , 故① 不正 确;
EF AB CD/ / / / ,故② 正确 ;
C N 与BM 为异 面直 线,故 ③正确 ;
由正 方体 性质 可知BN ?平面DEM ,故BN DM? , 故④ 正确 .
故选 :D
11．【答 案】 5
【解 析】
1?7i (1?7i)(1?i) ?6?8i
解：z? ? ? ??3? 4i 2 2
，则|z|? (?3) ?(?4) ?5．
1?i (1?i)(1?i) 2
故答 案为 ：5 ．
3
12．【答 案】 3
【解 析】
连结AC，
则AC是A1C在平 面ABCD上的射影 ，
则∠A1CA即为 直线A1C与平 面ABCD所成 角的正弦 值，
设正 方体 的棱 长为 1，
则 ，
则 ，
13．【答 案】 14.
【解 析】
3
【 详 解 】 AB ⊥ BC ， AB=6 ， BC=8 ， ∴ AC=10 ， ∴ cos ∠ BAC= ； 又 △ ACD 是
5
1 ???? ???? ???? ????
等 边 三 角 形 ， ∴ AD =AC=10 ， cos ∠ CA D= ， ∴ AC ?B D= AC ? （ A D﹣
2
???? ???? ???? ???? ????
A B）=AC?A D﹣AC?A B
1 3
=10×10 × ﹣10 ×6× =14．
2 5
14．【答 案】 6 海里
【分 析】
根据 方位 角可 知 ?
? ?C A B 1 2 0 ，利 用余 弦定 理构 造方 程可 解得 结果 .
【 详 解 】 记 轮 船 最 初 位 置 为 A， 灯 塔 位 置 为B，20分 钟 后 轮 船 位 置 为C，
如下 图所 示：
1
由题 意得 ： ? ? ? ?
AC ?18? ?6，? ? ? ? ?C A B 1 8 0 4 0 2 0 1 2 0 ，
3
BC ?6 3
2 2 2 2
AC ?AB ?BC 36? AB ?108 1
则cos?CAB? ，即 ： ?? ，解 得：
2AC?AB 12AB 2
AB?6
即灯 塔与 轮船 原来 的距 离为6海里
15．【答 案】3 9
【解 析】
1
由扇 形面 积和 半径 ，设 扇形 的半 径为r，弧 长为l，则 可得S ? lr，
2
1
由题 意：15?? ?5?l, ?l ?6?，
2
设圆 锥的 底面 半径 为r?，则2 6 , 3? ?r r? ?? ? ? ，该 圆锥 的高 2 2
h? 5 ?3 ?4，
1 2 1 2
圆锥 体积V ? ?r? ?h? ?3 ?4?12?，
3 3
4 3
设球 的半 径为R，由 题意 得 ?R ?12?，
3
3
?R? 9，
故答 案为 ：3 9.
16．
18
【答 案】 0 或 5 ???? ????
【解 析】 ∵A D P, , 三点 共线 ，∴ 可设PA PD? ?? ?? ?0 ，
???? ???? ?3 ????? ???? ???? ?3 ?
?3 ????? ? ?m?
∵PA?mPB?? ?m?PC ，∴?PD?mPB?? ?m?PC，即???? m???? ?2 ?????，
?2 ? ?2 ? PD? PB? PC
? ?
3
若m?0且m? ，则B D C, , 三点 共线 ，
2
?3 ?
? ?m? 3
∴m ?2
? ? ，即?? ，
?1
? ? 2
∵AP?9， ∴AD?3，
∵A B ?4，AC ?3，? ? ?BAC 90 ，∴BC ?5，
设CD x? ，? ?CDA ?，则BD x? ?5 ，? ? ?BDA ? ?．
2 2 2 2 2 2 2
AD ?CD ?AC x AD BD AB? ? ? ?5 7? ?x
∴根据 余弦 定理 可得cos?? ? ，cos? ?? ?? ? ? ，
2AD?CD 6 2AD BD? 6 5? ??x
∵cos cos 0? ? ?? ? ?? ? ，
2
x ?5?x? ?7 18
∴ ? ?0，解 得x? ，
6 6?5?x? 5
18
∴C D的长 度为 ．
5
???? 3????
当m?0时， PA? PC，C D, 重合 ，此 时C D的长 度为0，
2
3 ???? 3????
当m? 时，PA? PB，B D, 重合 ，此 时P A?1 2，不 合题 意， 舍去 ．
2 2
18
故答 案为 ：0 或 ．
5
17．
asinB bsinA
【解 析】（ 1）因 为a B b At a n t a n? ，则 ? ，
cosB cosA
由正 弦定 理可 得cosA cosB? ，又A B, 0,?? ?? ，故 可得A B? ；
2
又因 为cosC A B cos A A? ? ? ? ? ? ?cos? ? 2 1 2 cos ，
2 3 6
代值 可得cos A? ，解 得cosA?? .
8 4
? ?? 6
又A B? ，由 内角 和定 理可 知A??0,? ?，故cosA? .
? 2 ? 4
1 15 6 10
（2 ）因 为cosC ? ，故 可得sinC ? ；cosA? ，故 可得sinA? .
4 4 4 4
csinA
由正 弦定 理可 得a ? ? 6 ?b，
sinC
1 1 15 3 15
故可 得三 角形ABC面积S ? absinC ? ?6? ? .
2 2 4 4
18．
【解 析】
（Ⅰ ）连 结OE，在 正方 体ABC D A B C D? 1 1 1 1中，
因为OB OD? ，E为棱D D1的中 点， 所以B D O E1/ / ，
又因 为OE?平面ACE，BD1? 平面ACE，
所以BD1/ /平面ACE；
（Ⅱ ）在 正方 体ABC D A B C D? 1 1 1 1中，
由AC BD? ，D D1 ?面ABCD，AC ?面ABCD，所 以
DD AC1 ? ，
又因 为B D?面BDD1，DD1 ?面BDD1，BD DD D? 1 ? ，所 以A C ?面BDD1，
又由BD1 ?面BDD1，所 以BD AC1 ? .
1 ? 1 ? 4
19． 【答 案】（1 ） ；（2）??3, ?；（ 3） .
3 ? 16? 5
【解 析】
???? 1???? ???? ???? 1 ???? ???? 3???? ???? 1????
（1 ）因 为BD ? DC ，所 以AD? AB ? ?AC? AD?，即 AD ? AB? AC，
2 2 2 2
uuur 2uuur 1uuur ???? ???? ???? 2 1
所以AD ? AB? AC ，又AD x AB y AC? ? ，所 以x? ,y ? ，
3 3 3 3
1
因此x? y ? ；
3
?
（2 ）因 为在 三角 形ABC中，A B ?2，AC ?1，?ACB ? ，
2
? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ????
所以?CAB ? ，BC ? 3，因 此C F FA C A AF FA C A FA AF FA? ? ? ? ? ? ? ?? ? ，
3
????
设 AF ? x，由 题意 ，x?? ?0, 2 ，
所以
2
???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? 2 1 2 ? 1? 1
CF?FA?CA?FA?AF?FA? CA ? FA cos?CAB? AF ? x?x ???x? ? ? ，
2 ? 4? 16
2
? 1? 1 ? 1 ?
因为x?? ?0, 2 ，所 以??x? ? ? ???3, ?；
? 4? 16 ? 16?
???? ???? 1???? 1???? 1????
（3 ）因 为F 为线 段A B 的中 点， 所以CF ?CA? AB ? CA? CB，
2 2 2
????? ???? ????? ????
因为 直线CF 与A D相交 于点M ，不 妨设C M C F? ? ?? ?? ?0 1 ，AM AD? ? ?? ?? ?0 1 ，
????? ????? ?????
所以CM ? CA? CB，
2 2
????? ????? ???? ?? ????? ?????
因此AM ?CM ?CA?? ?1?CA? CB，
? 2 ? 2
???? ???? ???? 2???? ???? ????? ?2???? ?????
又 AD ?CD?CA? CB?CA，所 以AM ??? CB?CA?，
3 ?3 ?
?? ????? ????? ?2???? ?????
因此? ?1?CA? CB ??? CB?CA?，
? 2 ? 2 ?3 ?
??
? ?1???
?2 4
所以? ，解 得：?? ，
?? 2 5
? ?
??2 3
????? ???? ?2???? 2????? ???? ???? 2????2 2????2 4
所以CM ?AB ?? CA? CB???CB?CA?? CB ? CA ? .
?5 5 ? 5 5 5
20．【答 案 】（ 1）见 解析 ；（2 ）见 解析 ；（ 3） ?
45
2 2 2
【解 析】（ 1）?PD ?a,DC ?a,PC ? 2a，? ? ?P C P D D C .
? ?P D D C .
同理 可证P D A D? .Q AD DC D? ? ,
? ?P D 平面ABCD.
（2 ）由 （1）知PD?平面ABCD，?AC ?平面
ABCD，? ?P D A C.
∵四边 形ABCD是正 方形 ，? ?AC BD.
又Q BD PD D? ? ，? ?AC 平面PBD.
又?AC ?平面PAC，∴平面PAC ?平面PBD.
（3 ）由 （1）知PD?平面ABCD，BC?平面
ABCD，? ?P D B C .
又Q B C DC P D DC D? ? ?, ，? ?BC 平面P D C .
?PC?平面P D C ，? ?BC PC.
? ?PCD为二 面角P B C D? ? 的平 面角 .
在Rt?PDC中，PD DC a PC D? ? ? ? ? ?, 45 .
∴二面 角P B C D? ? 的平 面角 的大 小为 45 °.