人教版八年级数学下册 17.1 勾股定理的应用--最短路径问题综合题型 课件（43张）

(共43张PPT)
勾股定理的几何应用
—最短路径问题
知识框架
1.掌握由立体图形展开成平面图形的方法，运用建模思想构造直角三角形，利用勾股定理求最短路径问题；
2.进一步理解“在同一平面内，两点之间，线段最短”在勾股定理几何图形中的运用.
课程目标
确定长方体上的最短路线
图为长方体，小蚂蚁从A点走到B点怎样走才最近？
利用长方体展开图求最短距离
如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点处，若，，，问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？这时蜘蛛走过的路程是多少厘米？
解：（1）如图（1）当蚂蚁从A出发先到EF上再到点G时，∵BC＝5cm，?∴FG＝BC＝5cm，∴BG＝5＋6＝11cm，在Rt△ABG中，AG＝
（2）如图（2）当蚂蚁从A出发先到BF上再到点G时，∵AB＝3cm，BC＝5cm，∴AC＝AB＋BC＝3＋5＝8cm，∵BF＝6cm，∴CG＝BF＝6cm，在Rt△ABG中，AG＝＝10cm；
（3）如图（3）当蚂蚁从A出发先到BC上再到点G时，∵AB＝3cm，BF＝6cm，∴AF＝AB＋BF＝3＋6＝9cm，∵BC＝5cm，∴FG＝BC＝5cm，在Rt△AFG中，AG＝＝cm；∵＞
＞10，∴第二种方案最近，这时蜘蛛走过的路程是10cm．
如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是多少cm？
跟踪练习
如图，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面上向上爬，请你计算出它从处爬到处的最短路线长为多少？
跟踪练习
确定长方体上的最短路线
当是选填题时，可选择“两条短边和的平方+最长边的平方，结果开根号得到；
当是解答题时，需要分三种情况进行讨论，比较哪边边最短.
如图是长为5，宽为4，高为3的长方体，一只蚂蚁从顶点A沿长方体的表面爬行到顶点B的最短距离是（　　）
A.12
B.3
C.4
D.
跟踪练习
如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是_______.
跟踪练习
如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm，在FB中点P处有一滴蜜糖，一只小虫从H处爬到P处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？
跟踪练习
如图，长方体的高是9厘米，底面是边长为4厘米的正方形，一只蚂蚁沿着长方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，蚂蚁爬行的最短距离是多少?
跟踪练习
如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（
）
A.13cm
B.12cm
C.10cm
D.8cm
跟踪练习
如图，一个上方无盖的长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由盒外处出发，沿着盒子面爬行到盒内的点处，已知，，，，这只蚂蚁爬行的最短距离是________．
跟踪练习
如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝60
cm，水深为AE＝40
cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60
cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵，则小动物爬行的最短路线长为（　　）
A、40
cm
B、60
cm
C、80
cm
D、100
cm
如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、3dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为_____dm.
确定正方体上的最短路线
图为正方体，小蚂蚁从A点走到B点怎样走才最近？
利用正方体展开图求最短距离
如图一只蚂蚁要从正方体一个顶点爬到另一个顶点，如果正方体棱长是，求最短路线长．
在棱长为厘米的正方体的一个顶点处，有只蚂蚁，现要向顶点处爬行，已知蚂蚁的爬行速度每秒厘米蚂蚁，能否在秒内从点爬到点？
如图是一个棱长为的正方体盒子，一只蚂蚁从棱上的中点出发，沿盒的表面爬到棱上后，接着又沿盒子的表面爬到盒底的处，那么，整个爬行中，蚂蚁要爬行的最短路程为________．
B
A
C
A
C
B
B’
图为圆柱体，小蚂蚁从A点走到B点怎样走才最近？
确定圆柱上的最短路线
易错点：
圆柱展开为底面圆周长（或倍数关系），而非直径或半径，找点的位置时，注意是走半个底面圆周长，还是整个底面圆周长。
化“立体”为“平面”，将求立体图形上两点间的距离转化为求平面内两点间的距离.
利用圆柱展开图直接求最短距离
如图，一圆柱高，底面周长为，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（
）
A..8
B.10
C.12
D.20
例题讲解
展：如图展开是一个长方形，长方形的长为圆柱的底面周长等于12cm，半个底面圆周长为6cm，长方形的宽为圆柱体的高等于8cm；
找：找点A、点B；
连：连接AB，过B点往对边作垂线交于点C；
算：在Rt△ACB中，AB==
=10cm；
答：爬行的最短路径为10cm，故选B.
如图，有一个圆柱，它的高等于，底面半径等干，在圆柱下底面的点有一只壁虎，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，需要爬行的最短路程是________．取
跟踪练习
有一圆形油罐底面圆的周长是，高，一只蚂蚁从距底面到的对角处吃食物，它爬行的最短路线长为多少．
跟踪练习
如图，有一圆柱油罐，已知油罐的底面圆的周长是米，高是米，要从点起环绕油罐建梯子，梯子的顶端正好到达点的正上方点，则梯子最短需多长？
跟踪练习
有一圆柱形油罐，如图所示，要从A点环绕油罐建梯子到B点，正好B点在A点的正上方，已知油罐的周长为12m，高AB为5m，问：所建梯子最短需多少米？
跟踪练习
求多圈最短距离
为了庆祝国庆，学校准备在教学楼大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为，高为．如果要求彩带从柱子底端的处绕柱子圈后到达柱子顶端的处，那么至少应购买彩带________米．
解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则有螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，
∵
圆柱高，底面周长，
，
所以，彩带长至少是．
故答案为：．
求多圈最短距离，可采用两种方法：
①先求多圈之后的底面周长，和高构成直角三角形，求斜边长；
②先求一圈的底面周长，和一圈的高构成直角三角形求斜边长，再乘以圈数，得到总斜边长.
如图，为了庆祝“五?一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为，高为．如果要求彩带从柱子底端的处均匀地绕柱子圈后到达柱子顶端的处（线段与地面垂直），那么应购买彩带的长度为_______
.
跟踪练习
如图，圆柱底面圆的半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，那么这根棉线的长度最短是多少？
跟踪练习
如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
跟踪练习
求由外到内最短距离
如图，圆柱形玻璃板，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离
．
A.14
B.15
C.16
D.17
解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP＋PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE＝A′E，A′P＝AP，∴AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C，∵CQ＝12×18cm＝9cm，A′Q＝12cm?4cm＋4cm＝12cm，在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝＝15cm，故选：B．
由外到内最短距离，其实是指两条线段和最短，牵扯到将军饮马问题，需要做点关于直线的对称点，运用到“两点之间线段最短”的知识.
结论：PA+PB的最小值为线段AB'的长度；
关键点：构造对称，转换线段，利用两点之间线段最短确定所求点位置.
如图，圆柱形容器高为，底面周长为．在容器内壁距离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距离为________（不计壁厚）．
跟踪练习
解题步骤：展—找—连—算—答
注意点：
长方体：展开不同的两面，得到的长方形的长和宽不相同，所以要通过比较才能得出最短路径.
正方体：因为每个面的大小相同，展开后长方形的长宽不变，所以结果相同。
圆柱体：圆柱体的展开图是一个长方形，但需要注意展开后点的位置的确定；
课堂小结