11.3探索三角形全等的条件
【基础演练】
一、选择题
1.如图所示，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则下列结论中错误的是（ ）．
A．PD=PE B．OD=OE C．∠DPO=∠EPO D．PD=OD
2.如图所示，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，作法的合理顺序是（ ）．
（1）作射线OC；
（2）在OA和OB上，分别截取OD，OE，使OD=OE；
（3）分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．
A．（1）（2）（3） B．（2）（1）（3） C．（2）（3）（1） D．（3）（2）（1）
3.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，则下列四个结论：①AD上任意一点到C，B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF，其中正确的个数是（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形（ ）.
A.不全等 B.不一定全等 C.全等 D.无法确定
二、填空题
5.如图所示，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是 .
6. 如图，点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE＝AD，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条件是____________________（只要写一个条件）.
7. 如图，点在的平分线上，若使，则需添加的一个条件
是 （只写一个即可，不添加辅助线）.
8.如图所示，直线L1、L2、L3表示三条相互交叉的公路．现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 处.
三、解答题
9.如图，已知∠AOB，求作射线OP，使∠AOP=∠BOP.
10.如图所示，有块三角形厚铁板，为了实际生产需要，工人师傅要把∠MAN平分，现在他手边只有一把尺子和一根细绳，你能帮工人师傅想个办法吗 并说说你的根据．
11．已知：在△ABC中，AB=AC．
（1）按照下列要求画出图形：
①作∠BAC的平分线交BC于点D；
②过D作DE⊥AB，垂足为点E；
③过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（2）根据上面所画的图形，可以得到哪些相等的线段（AB=AC除外）？说明理由．
12. 已知：是的角平分线，是上的一点，交于，交于，是上的另一点，连结、，你能说明吗
【能力提升】
13. 如图所示，∠B=∠D=90°，C是BD中点，CM平分∠AMD，判断AC是否平分∠MAB，说明理由．
14.如图（1）所示，△ABC中，∠BAC=90°AB =AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D， CE⊥AE于E．
（1）你能说明BD=DE+CE吗
（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD>CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何 请直接写出结果，不需证明；
参考答案
1. D．
2. C．
3. D．
4. C.
5.3.
6.AB＝AC.
7.AO=BO .
8.4处.
9～11.略.
12. 提示:根据角的平分线上一点到角的两边距离相等,可得PD=PE.再说明△DPF≌△EPF.
13. 提示:过点C作CN⊥AM,垂足为N,则CN=CD=CB. 再说明△ABC≌△ANC.
14.（1）提示: 先说明△ABD≌△CAE,从而得BD=AE=AD+DE=CE+DE.
（2）DE =CE+ BD,说理方法同(1).
（3）DE =CE+ BD,说理方法同(1).
第3题图
第2题图
第1题图
第8题图
第7题图
第6题图
第5题图
O
B
A
第9题图
第10题图
第12题图
第13题图
第14题图11.3探索三角形全等的条件
一、选择题
1. 如图，已知AB∥CD，AB=CD,AE=FD,则图中的全等三角形有（ ）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
2. 已知：如图，点A、E、F、D在同一条直线上，AE＝DF，AB=CD，BF⊥AD，CE⊥AD，垂足分别为F、E，则△ABF≌△DCE的依据是（ ）
A. SSS B. SAS C. ASA D. HL
3. 使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A. 一锐角对应相等 B. 两锐角对应相等 C. 一条边对应相等 D. 两条边对应相等
4. 在和中，已知，在下面判断中错误的是（ ）
A. 若添加条件，则≌
B. 若添加条件，则≌
C. 若添加条件，则≌
D. 若添加条件，则≌
二、填空题
5.如图，四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°，则∠BCD的度数为
____ ____．
6.如图所示的方格中，连接AB、AC，则∠1+∠2＝____ ____度．
7. 如图所示，AB=AC，AD=AE，AF⊥BC于F，则图中全等的三角形有____ ____.
8. 如图所示，AD⊥BC，AB=AC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，若要证DE=DF，先证_______≌________，依据是___________，再证______≌______，依据是________．
三、解答题
9. 如图，两根钢绳一端固定在地面两个铁柱上，另一端固定在电线杆上，已知两根钢绳的长度相等，则两个铁柱到电线杆底部的距离相等吗？为什么？请说明每一步的理由．
10. 如图，已知DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为B、C，且DB=DC ，则AD是否平分∠BAC？为什么？
11. 如图所示，已知PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，D是AP上一点，由以上条件可以得到∠BDP=∠CDP吗？为什么？
12. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF。
（1）图中有几对全等的三角形？请一一列出；
（2）选择一对你认为全等的三角形进行说理.
【能力提升】
13. 如图，已知AB=AC，E，D分别是AB，AC的中点，且AF⊥BD交BD的延长线于F，AG⊥CE交CE的延长线于G，试判断AF和AG的关系是否相等，并说明理由．
14. 如图，已知：在四边形中，，， 吗 为什么
15. 如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD，那么BE与CF相等吗？为什么？
16．如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD，∠B=∠E. F是CD的中点吗 为什么
17.已知：如图，AD是△ABC的高，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F，BE=AC，DE=DC，BE和AC垂直吗？说明理由．
18.阅读下列题目：
如图所示，已知△ABC中，AB=AC．你能说明∠B=∠C吗
解：作∠BAC的平分线AD，交BC于D．由∠BAD=∠CAD，AB=AC，AD=AD，得△BAD≌△CAD．所以∠B=∠C.
试问：（1）若作AD⊥BC于D，AB=AC是否成立 请说明理由；
（2）若作BC边上的中线AD，AB=AC是否成立 请说明理由；
（3）若∠B=∠C，则AB=AC是否成立 请说明理由．
参考答案
1. C.
2. D.
3. D.
4.B.
5. 110°．
6. 45°．
7. △ABF≌△ACF，△ADF≌△AEF，△ABD≌△ACE，△ABE≌△ACD.
8. △ABD≌△ACD，HL，△AED≌△AFD，AAS.
9. 解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.
∴BD≌CD.
10. 解：∵DB⊥AB，DC⊥AC，∴∠B=∠C=Rt∠.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.
∴∠BAD=∠CAD.
∴AD是否平分∠BAC.
11. 解：∵PB⊥AB，PC⊥AC，∴∠ABP=∠ACP=Rt∠.
在Rt△ABP和Rt△ACP中，
∴Rt△ABP≌Rt△ACP（HL）.
∴∠APB=∠APC.
在△BDP和△CDP中，
∴△BDP≌△CDP(SAS)．
∴∠BDP=∠CDP.
12.解：（1）△ABD≌△ACD，△AED≌△AFD，△BED≌△CFD.
（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=Rt∠.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）.
13. 解：AF=AG.
∵AB=AC，E，D分别是AB，AC的中点，∴ AD=AE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE (SAS)．
∴∠ABD≌∠ACE.
在△ABF和△ACG中，
∴△ABF≌△ACG (AAS)．
∴AF=AG.
14.解：连接AC.
在Rt△ADC和Rt△ABC中，
∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL）.
∴.
15.解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴ DE=DF.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴BE=CF.
16．解：连接AC、AD.
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED(SAS)．
∴AC=AD(全等三角形的对应边相等)．
因为AF⊥CD，所以∠AFC= ∠AFD=90°，即△ACF和△ADF都为直角三角形．
在Rt△ACF和 Rt△ADF中，
∴Rt△ACF≌Rt△ADF(HL)．
∴CF=DF(全等三角形的对应边相等)．
17.解：BE⊥AC.
在Rt△BDE和 Rt△ACD中，
∴Rt△BDE≌ Rt△ACD (HL)．
∴∠BDE=∠CAD.
∵AD是△ABC的高，∴∠CAD+∠C=90°.
∴∠BDE +∠C=90°.
∴∠BFD=90°.
∴BE⊥AC.
18.略.
第1题图
A
B
C
D
E
F
第2题图
第5题图
第8题图
第7题图
第6题图
第9题图
A
B
C
D
第10题图
第11题图
第12题图
第13题图
第14题图
D
C
B
A
第15题图
第16题图
第17题图
第18题图
