8.6.3（1）平面与平面垂直的判定-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册复习巩固训练Word含答案

8.6.3（1）平面与平面垂直的判定
一、知识梳理
1.二面角及平面角：
⑴二面角：从一条直线出发的两个_________所组成的图形叫做二面角。二面角的范围是___.
⑵平面角：在二面角的棱上任取一点O,以点O为垂足，在半平面和内分别作____于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的叫做二面角的平面角。
2.两个平面互相垂直的定义：
两个平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直。
3.两个平面互相垂直的判定定理：
如果一个平面过另一个平面的____，那么这两个平面垂直。
二、重要题型
知识点一：二面角
1.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P?BC?A的大小为(　　)
A．60° B．30° C．45° D．15°
2.三棱锥的顶点在底面的射影为底面正三角形的中心,高是,侧棱长为,那么侧面与底面所成的二面角是(　　)
A.60° B.30° C.45° D.75°　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点二：平面与平面垂直的判定
3．如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，则图中互相垂直的平面共有(　　)
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
4．设有直线m，n和平面α，β，则下列结论中正确的是(　　)
①若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β；②若m∥n，n⊥β，m?α，则α⊥β；
③若m⊥n，α∩β＝m，n?α，则α⊥β；④若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
知识点三：平面与平面垂直的证明
5．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：平面EFG⊥平面EMN.
6.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,
(1)求证:DB1⊥AC;
(2)求证:平面A1B1CD⊥平面ACD1.
三、巩固练习
1.设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l?α,m?β(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.若l⊥β,则α⊥β B.若α⊥β,则l⊥m
C.若l∥β,则α∥β D.若α∥β,则l∥m
2．在正三角形 ABC 中，AD⊥BC 于点 D，沿 AD 折成二面角B?AD?C后，BC＝AB，这时二面角B?AD?C的大小为(　　)
A．60° B．90° C．45° D．120°
3.将锐角A为60°,边长为a的菱形沿BD折成60°的二面角,则折叠后A与C之间的距离为(　　)
A. B. C. D.
4.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为菱形,M是PC上的一个动点,若要使得平面MBD⊥平面PCD,则应补充的一个条件可以是(　　)
A.MD⊥MB B.MD⊥PC C.AB⊥AD D.BM⊥PC
5．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝________.
6．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于点B，BC⊥平面α于点C.若AB＝6，
BC＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为________．
7．如图，P是二面角α－AB－β的棱AB上一点，分别在α，β上引射线PM，PN，截PM＝PN.若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，则二面角α－AB－β的大小是________．
8．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且CD＝2AB.
(1)若AB＝AD，直线PB与CD所成的角为45°，求二面角P－CD－B的大小；
(2)若E为线段PC上一点，试确定点E的位置，使得平面EBD⊥平面ABCD，并说明理由．
9.如图,在三棱台DEF-ABC中, AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
(1)求证:BD∥平面FGH;
(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.
8.6.3（1）平面与平面垂直的判定 答案
一、知识梳理
1. ⑴半平面, .⑵垂直.
2. 直二面角。
3. 垂线
二、重要题型
1.C　 由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P?BC?A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．
2.A. 如图,设O为底面正三角形的中心,则PO⊥平面ABC,所以.
过O作OM⊥BC于M,连接PM,则有PM⊥BC,所以∠PMO即为侧面与底面所成的二面角.
在直角△CMO中, ,所以在直角△MPO中, ,
所以,所以∠PMO=60°. .
3.B 如图所示．
因为PA⊥平面ACB，PA?平面PAC，PA?平面PAB，所以平面PAC⊥平面ACB，
平面PAB⊥平面ACB.因为PA⊥平面ACB，CB?平面ACB，所以PA⊥CB.又AC⊥CB，
且PA∩AC＝A，所以CB⊥平面PAC.又CB?平面PCB，所以平面PAC⊥平面PCB.
共有：平面PAC⊥平面ACB，平面PAB⊥平面ACB，平面PAC⊥平面PCB.故选B.
4.B ①错误，当两平面不垂直时，也能在两个平面内找到互相垂直的直线；③错误，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两平面的交线垂直.
5.证明：∵E，F分别为PB，AB的中点，∴EF∥PA.∵AB⊥PA，∴AB⊥EF.同理，AB⊥FG.
∵EF∩FG＝F，EF?平面EFG，FG?平面EFG，∴AB⊥平面EFG.∵M，N分别为PD，PC的中点，∴MN∥CD.∵AB∥CD，∴MN∥AB，∴MN⊥平面EFG.∵MN?平面EMN，∴平面EFG⊥平面EMN.
6.证明:(1)连接BD、B1D1, 因为DD1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,
所以DD1⊥AC,又AC⊥BD,BD∩DD1=D,BD、DD1?平面DBB1D1,所以AC⊥平面DBB1D1,
又DB1?平面DBB1D1,所以DB1⊥AC.
(2)由(1)同理可得DB1⊥AD1,又AD1∩AC=A,AD1,AC?平面ACD1,
所以DB1⊥平面ACD1,又DB1?平面A1B1CD,所以平面A1B1CD⊥平面ACD1.
三、巩固练习
1.A. 因为l⊥β,l?α,所以α⊥β(面面垂直的判定定理),故A正确.
2.A　 ∠BDC为二面角B?AD?C的平面角，设正三角形ABC的边长为m，则折叠后，BC＝m，BD＝DC＝m，所以∠BDC＝60°.
3.C. 设折叠后点A到A1的位置,取BD的中点E,连接A1E,CE. 则BD⊥CE,BD⊥A1E.
于是∠A1EC为二面角A1-BD -C的平面角.故∠A1EC.因为,所以△A1EC是等边三角形.所以.
4.BD. 连接AC,BD,BM,MD.因为在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,
且底面各边都相等,M是PC上的一动点,所以BD⊥PA,BD⊥AC,因为PA∩AC=A,
所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,
即有PC⊥平面MBD.而PC属于平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.
5.1　因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B?AD?C的平面角，
因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中∠BDC＝90°，又AB＝AC＝1，
所以BD＝CD＝，所以BC＝＝1.
6.60°或120° 如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l.
∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC.设平面ABC∩l＝D，则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角．∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角α－l－β的平面角的大小为60°或120°.
7.90° 在α内过点M作MO⊥AB于点O，连接NO，设PM＝PN＝a.∵∠BPM＝∠BPN＝45°，∴△OPM≌△OPN，∴NO⊥AB，∴∠MON为二面角α－AB－β的平面角．连接MN.
∵∠MPN＝60°，∴MN＝a.又MO＝NO＝a，∴MO2＋NO2＝MN2，∴∠MON＝90°.
8.解：(1)∵AB⊥AD，CD∥AB，∴CD⊥AD，又PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.
又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴CD⊥PD，∴∠PDA即是二面角P－CD－B的平面角．又直线PB与CD所成的角为45°，∴∠PBA＝45°，∴PA＝AB.∴在Rt△PAD中，PA＝AD，∴∠PDA＝45°，即二面角P－CD－B的大小为45°.
(2)当点E在线段PC上，且满足PE∶EC＝1∶2时，平面EBD⊥平面ABCD.理由如下：
连接AC交BD于点O，连接EO.由△AOB∽△COD，且CD＝2AB，得CO＝2AO，
∴PE∶EC＝AO∶CO＝1∶2，∴PA∥EO.∵PA⊥底面ABCD，∴EO⊥底面ABCD.
又EO?平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.∴在线段PC上存在点E，满足PE∶EC＝1∶2时，平面EBD⊥平面ABCD.
9.证明:(1)如图所示,连接DG,设CD∩GF=M,连接MH. 在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,
所以AC=2DF.因为G是AC的中点,所以DF∥GC,且DF=GC,所以四边形CFDG是平行四边形,
所以DM=MC.因为BH=HC,所以MH∥BD.又BD?平面FGH,MH?平面FGH,所以BD∥平面FGH.
(2)因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GH∥AB.因为AB⊥BC,所以GH⊥BC.又H为BC的中点,所以EF∥HC,EF=HC,所以四边形EFCH是平行四边形,所以CF∥HE.因为CF⊥BC,所以HE⊥BC.
又HE,GH?平面EGH,HE∩GH=H,所以BC⊥平面EGH.又BC?平面BCD,
所以平面BCD⊥平面EGH.