8.6.3（2）平面与平面垂直的性质-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册复习巩固训练Word含答案

8.6.3(2) 平面与平面垂直的性质
一、知识梳理
1.平面与平面垂直的性质的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线______这两个平面的_____，那么这条直线与另一个平面垂直。
二、重要题型
知识点一：平面与平面垂直的性质
1.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：
①若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，则n⊥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α；
④若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α；
⑤若α⊥β，m∥α，则m⊥β.
其中正确命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，现将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则三棱锥A－BCD的体积为________．
知识点二：平面与平面垂直的应用
3.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A?l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是(　　)
A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β
4.在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是________.?
5.如图所示,△ABC是边长为2的正三角形.若AE=1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD=CD,且BD⊥CD.
(1)求证:AE∥平面BCD;
(2)求证:平面BDE⊥平面CDE.
三、巩固练习
1.下列说法错误的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.若α⊥β,则α内所有直线都垂直于β
B.如果α不垂直于β,那么α内不存在直线垂直于β
C.若α⊥β,则α内一定存在直线平行于β
D.若α⊥β,则经过α内一点与β垂直的直线在α内
2.(多选题)用a,b,c表示空间中三条不同的直线,γ表示平面,下列命题中是真命题的是(　　)
A.若a⊥b,b⊥c,则a∥c B.若a∥b,a∥c,则b∥c
C.若a∥γ,b∥γ,则a∥b D.若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b
3. 如图，在三棱锥P－ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.
4.如图所示,等边三角形ABS所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直,则直线SC与平面ABS所成的角为________.?
5．如图，四面体P－ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，
BC＝6，则PC＝________.
6. 如图，三棱锥P－ABC中，∠ABC＝90°，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.
求证：平面PAB⊥平面PBC.
7.如图,已知△ABC为等边三角形,△ABD为等腰直角三角形,AB⊥BD.平面ABC⊥平面ABD,点E与点D在平面ABC的同侧,且CE∥BD,BD=2CE.点F为AD中点,连接EF.求证:平面AED⊥平面ABD.
8.如图,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E为垂足.
(1)求证:PA⊥平面ABC;
(2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角形.
9.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：
(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.
8.6.3（2）　平面与平面垂直的性质 答案
一、知识梳理
1. 垂直于, 交线.
二、重要题型
1.B 根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；③中，m还可能在α内或m∥α或m与α斜交，不正确；④中，α⊥β，m⊥β，m?α时，只可能有m∥α，正确；⑤中，m与β的位置关系可能是m∥β或m?β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.
2. 作AH⊥BD于H，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AH⊥平面BCD.易得∠BDC＝90°.
由AB＝AD＝1，得BD＝，则CD＝.AH＝ABsin45°＝，∴VA－BCD＝S△BCD·AH
＝××××＝.
3.D. 如图,AB∥l∥m,AC⊥l,m∥l?AC⊥m,AB∥l?AB∥β.故选D.
4. 45° 过A作AO⊥BD于O点,因为平面ABD⊥平面BCD,所以AO⊥平面BCD,则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.因为∠BAD=90°,AB=AD,所以∠ADO=45°.
5.证明：(1)取BC的中点M,连接DM, 因为BD=CD且BD⊥CD,BC=2. 所以DM=1,DM⊥BC.
又因为平面BCD⊥平面ABC,平面BCD∩平面ABC=BC,所以DM⊥平面ABC,又AE⊥平面ABC,
所以AE∥DM.又因为AE平面BCD,DM平面BCD,所以AE∥平面BCD.
(2)连接AM,由(1)知AE∥DM,又AE=1,DM=1所以四边形DMAE是平行四边形,所以DE∥AM.
又△ABC是正三角形,M为BC的中点,所以AM⊥BC,因为平面BCD⊥平面ABC,
平面BCD∩平面ABC=BC,所以AM⊥平面BCD,所以DE⊥平面BCD.又CD平面BCD,
所以DE⊥CD.因为BD⊥CD,BD∩DE=D,所以CD⊥平面BDE.
因为CD平面CDE,所以平面BDE⊥平面CDE.
三、巩固练习
1.A. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AA1B1B⊥平面ABCD,直线AB1?平面AA1B1B,但AB1与平面ABCD不垂直,故A错.
2.BD. 对于A,正方体从同一顶点引出的三条直线a,b,c,满足a⊥b,b⊥c,但是a⊥c,所以A错误;对于B,若a∥b,a∥c,则b∥c,满足平行线公理,所以B正确;对于C,平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面,所以C错误;对于D,由垂直于同一平面的两条直线平行,知D正确.
3. ∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，
∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝＝＝.
4. 45° 因为平面ABS⊥平面ABCD,平面ABS∩平面ABCD=AB,CB?平面ABCD,CB⊥AB.
所以CB⊥平面ABS.所以∠BSC是直线SC与平面ABS所成的角.因为SB=AB=BC,CB⊥SB,
所以∠BSC=45°,所以直线SC与平面ABS所成的角为45°.
5.13 取AB的中点E，连接PE，EC.∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，
∴CE＝5.∵PA＝PB＝13，E是AB的中点，∴PE⊥AB，PE＝12.∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴PE⊥平面ABC.∵CE?平面ABC，∴PE⊥CE.在Rt△PEC中，
PC＝＝13.
6.证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.
又BC?平面ABC，∴PA⊥BC.又AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.又BC?平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC.
7.证明：取AB的中点O,连接FO,CO,因为点F为AD中点,所以FO∥BD且FO=BD,
因为CE∥BD,BD=2CE,所以FO∥CE且FO=CE,所以四边形FOCE为平行四边形,所以CO∥EF.
因为点O为AB的中点,且△ABC为等边三角形,所以CO⊥AB,又因为AB⊥BD.平面ABC⊥平面ABD,所以BD⊥平面ABC,所以BD⊥CO,又AB∩BD=B,所以CO⊥平面ABD,又CO∥EF,
所以EF⊥平面ABD,因为EF?平面AED,所以平面AED⊥平面ABD.
8.证明：(1)在平面ABC内任取一点D,作DF⊥AC于点F,作DG⊥AB于点G.
因为平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,所以DF⊥平面PAC.因为PA平面PAC,所以DF⊥PA.
同理可证,DG⊥PA.因为DG∩DF=D,所以PA⊥平面ABC.
(2)连接BE并延长交PC于点H.
因为E是△PBC的垂心,所以PC⊥BH.又因为AE是平面PBC的垂线,所以PC⊥AE.
因为BH∩AE=E,所以PC⊥平面ABE,所以PC⊥AB.又因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB.
因为PA∩PC=P,所以AB⊥平面PAC.所以AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.
9.证明　(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA?平面PAD，PA⊥AD，∴PA⊥底面ABCD.
(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形，∴BE∥AD.又BE?平面PAD，AD?平面PAD，∴BE∥平面PAD.
(3)∵AB⊥AD，四边形ABED为平行四边形，∴BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD.∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，
∴PD∥EF，∴CD⊥EF.∵CD⊥BE，EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF.∵CD?平面PCD，
∴平面BEF⊥平面PCD.