第3课 整式及运算

第2课 整式及运算
一、课标要求
1、了解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，会进行简单的整式加法和减法运算；会进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）。
2、会推导乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;(a+b)2=a2+2ab+b2,了解公式的几何背景，并能进行简单计算（参见例5）。
3、会用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。
二、知识要点
1、代数式的有关概念
2、整式的有关概念
3、同类项、合并同类项
4、整式的运算
①整式的加减
②幂的运算
③整式的乘法
④乘法公式
三、考点（型）精讲
1、整式的运算
例1、（2011江苏常州，2，2分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C．3m+3n=6mn D．
分析：本题考查幂的有关运算法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
例2、（2011江苏南通，19（2）,5分）（2）先化简，再求值：（4ab3－8a2b2）÷4ab＋(2a＋b) (2a－b)，其中a＝2，b＝1.
分析：先化简时用到整式的乘除与平方差公式，要注意的是先化简然后再求值
2、整式的规律探索
例3、（2011黑龙江大庆，12，3分）根据以下等式：1=12，1+2+1=22，1+2+3+2+1=32，….
对于正整数n（n≥4），猜想1+2+…+（n－1）+n+（n－1）+…+2+1= .
分析：根据已知条件归纳可得1+2+…+（n－1）+n+（n－1）+…+2+1= n2.
例4、（2011湖南益阳，16，8分）观察下列算式：
① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1
② 2 × 4 - 32 = 8 - 9 = -1
③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1
④
……
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
分析：列表分析
算式 算式的左边 算式的右边
① 1 × 3 - 22 1 ×（1+2）-（1+1）2 －1
② 2 × 4 - 32 2 ×（2+2）-（2+1）2 －1
③ 3 × 5 - 42 3 ×（3+2）-（3+1）2 －1
④ 4 × 6 - 52 4 ×（4+2）-（4+1）2 －1
…
n n ×（n+2）-（n+1）2 －1
四、真题演练
一、选择题
1、(2011山东淄博，2，3分)计算2m2n－3m2n的结果为（ ）
A．－1 B． C．－m2n D．－6m4n2
2、（2011广东深圳，4,3分）下列运算正确的是( ).
A. x2 + x3 = x5 B. (x + y)2 = x2 + y2 C. x · x3 = x6 D. (x2) 3 = x6
3、（2011福建龙岩，4，4分）的计算结果是（ ）
A． B． C． D．
4、（2011黑龙江绥化，12，3分）下列各式：①；②；③；④；⑤.其中正确的是（ ）
A、①②③ B、①③⑤ C、②③④ D、②④⑤
5、（2011云南玉溪，2，3分）若是完全平方式，则k=（ ）
A. 9 B. -9 C. 9 D. 3
二、填空题
6、（2011广东湛江，17,4分）多项式是 次 项式
7、（2011贵州遵义，17，4分）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5,可发现第一次输出的结果是8,第二次输出的结果是4,……，请你探索第2011次输出的结果是 ▲ 。
8、（2011山东枣庄，13，4分）若，且，则　　．
9、（2011浙江省，15，3分）定义新运算“ ”如下：当a≥b时，a b=ab+b,当a三、解答题
10、（2011浙江金华，18，6分）（本题6分）已知2x－1=3，求代数式（x－3）2+2x(3+x) －7的值.
11、（2011浙江温州，17（2），5分）化简：．
12、（2011湖南衡阳，19，6分）先化简，再求值．，其中．
13、（2011四川凉山州，19，6分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例。如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律。例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等。
（1）根据上面的规律，写出的展开式。
（2）利用上面的规律计算：
真题演练答案
1. 【答案】C
【思路分析】2m2n－3m2n＝(2－3)m2n＝－m2n。故选C。
2. 【答案】D
【思路分析】根据整式的运算法则中幂的运算法则，可得出结果.
3.【答案】A
【思路分析】本题主要考查整式的加、减、乘、除、幂的乘方运算法则，只有深刻理解这些法则才能正确解答，
4. 【答案】D
【思路分析】a＝0时，a0没有意义，所以①错；②正确；③错误，应为；④正确；⑤正确，∴选D
5.【答案】A.
【思路分析】由±2ab+=可得，k=9；
6. 【答案】二；三
【思路分析】多项式含3个单项式，次数最高项2x2的次数为2，所以是二次三项式
7. 【答案】2
【思路分析】按照要求完成即可
8. 【答案】3
【思路分析】因为，所以；因为，所以3.
9. 【答案】-1或
10.【解】由2x－1=3得，x=2，所以代数式（x－3）2+2x(3+x) －7=（2－3）2+2×2 (3+2) －7=14.
【思路分析】先解一元一次方程，得出x的值，直接代入代数式求值。
11. 【答案】解：
【思路分析】利用实数的运算法则和多项式的运算法则计算。
12.【解】原式==，
当时，原式==+1=．
【思路分析】先化简，运用完全平方公式及单项式乘多项式法则得，再将代入求值即可．
13. 【答案】解：⑴
⑵原式=
=
=1
注：不用以上规律计算不给分.
【思路分析】（1）由（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）n-1的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1；因此（a+b）5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1．
（2）将25-5×24+10×23-10×22+5×2-1写成“杨辉三角”的展开式形式，逆推可得结果．
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
…………………………（a+b）1
…………………………（a+b）2
…………………………（a+b）3
……………………