陕西省兴平市秦岭中学2012届高三上学期期末练习数学试题

姓名
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．
1．设，是向量，命题“若，则”的逆命题是 （ ）
（A）若，则 （B）若，则
（C）若，则 （D）若，则
2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
3．设函数（R）满足，，则函数的图像是 （ ）
4．（R）展开式中的常数项是 （ ）
（A） （B） （C）15 （D）20
5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
6．函数在内 （ ）
（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点
（C）有且仅有两个零点 （D）有无穷多个零点
7．设集合，，为虚数单位，R，则为（ ）
（A）（0，1） （B）， （C）， （D），
8．右图中，，，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当，，时，等于（ ）
（A）11 （B）10 （C）8 （D）7
9．设，…，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是 （ ）
（A）和的相关系数为直线的斜率
（B）和的相关系数在0到1之间
（C）当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同
（D）直线过点
10．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．设，若，则 ．
12．设，一元二次方程有整数根的充要条件是 ．
13．观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律，第个等式为 .
14．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）．
15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A．（不等式选做题）若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是 ．
B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，，，且AB=6，AC=4，AD=12，则BE= ．
C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线：（为参数）和曲线：上，则的最小值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）
16．（本小题满分12分）
如图，在△ABC中，∠ABC=，∠BAC，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC．
（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（2）设E为BC的中点，求与夹角的余弦值．
17．（本小题满分12分）
如图，设Ｐ是圆上的动点，点Ｄ是Ｐ在轴上投影，
Ｍ为PD上一点，且．
（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度．
18．（本小题满分12分）
叙述并证明余弦定理．
19．（本小题满分12分）
如图，从点P1（0，0）作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点．再从做轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：；；…；，记点的坐标为（）．
（1）试求与的关系（）；
（2）求．
20．（本小题满分13分）
如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表：
时间（分钟） 1020 2030 3040 4050 5060
的频率
的频率 0
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．
（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望 .
21．（本小题满分14分）
设函数定义在上，，导函数，．
（1）求的单调区间和最小值；
（2）讨论与的大小关系；
（3）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
2011-2012学年秦岭中学高三数学试题
答案
一、选择题： 1． D 2． B 3． B 4． C 5．A 6． B 7． C
8． C 9． D10． D
二、填空题：
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）
16．（本小题满分12分）
【解】（1）∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后， AD⊥DC，AD⊥DB，
又，∴AD⊥平面BDC，
∵AD平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC．
（2）由∠BDC及（1）知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|=1，以D为坐标原点，以，，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得：
D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,),E(,,0)，
所以，，
∴
所以与夹角的余弦值是．
17．（本小题满分12分）
【解】（1）设点M的坐标是，P的坐标是，
因为点Ｄ是Ｐ在轴上投影，
Ｍ为PD上一点，且，所以，且，
∵P在圆上，∴，整理得，
即C的方程是．
18．（本小题满分12分）
【解】叙述:
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有
，
，
.
证明：（证法一） 如图，
即
同理可证 ，
（证法二）已知中，所对边分别为，以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则，
∴
，
即
同理可证 ，
20．（本小题满分13分）
【解】（1）表示事件“甲选择路径时，40分钟内赶到火车站”， 表示事件“甲选择路径时，50分钟内赶到火车站”，，．
用频率估计相应的概率，则有：
，；
∵，∴甲应选择路径；
，；
∵，∴乙应选择路径．
（2）用A，B分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（1）知，，又事件A，B相互独立，的取值是0，1，2，
∴，
，
∴X的分布列为
0 1 2
P 0.04 0.42 0.54
∴．
21．（本小题满分14分）
【解】（1）∵，∴（为常数），又∵，所以，即，
∴；，
∴，令，即，解得，
当时，，是减函数，故区间在是函数的减区间；
当时，，是增函数，故区间在是函数的增区间；
所以是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，
所以的最小值是．
（2），设，
则，
当时，，即，
当时，，，
因此函数在内单调递减，
当时，=0，∴；
当时，=0，∴．