(共56张PPT)
第二章
平面向量
2.2 平面向量的线性运算
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
自
主
预
习
探
新
知
向量
相同
相反
合
作
探
究
释
疑
难
向量的线性运算
向量共线定理
用已知向量表示未知向量
课
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类型3(共53张PPT)
第二章
平面向量
2.2 平面向量的线性运算
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
自
主
预
习
探
新
知
相等
相反
0
0
零向量
－b
相反向量
≤
≤
≤
≤
合
作
探
究
释
疑
难
向量减法的几何意义
向量减法的运算及简单应用
向量减法几何意义的应用
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第二章
平面向量
2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
自
主
预
习
探
新
知
两个向量和
a
0
a＋b
a＋(b＋c)
b＋a
合
作
探
究
释
疑
难
向量加法的三角形法则和平行四边形法则
向量加法运算律的应用
向量加法的实际应用
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第二章
平面向量
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
2.1.1 向量的物理背景与概念
2.1.2 向量的几何表示
2.1.3 相等向量与共线向量
自
主
预
习
探
新
知
大小
方向
大小
方向
带有方向
起点
方向
长度
有向线段
长度
1
相同或相反
平行
相等
相同
a∥b
合
作
探
究
释
疑
难
向量的有关概念
向量的表示及应用
相等向量和共线向量
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类型3(共52张PPT)
2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
必备知识·自主学习
1.向量加法的定义及其运算法则
导思
(1)两个向量相加有哪些运算法则?
(2)当两非零向量a,b共线时,向量加法的平行四边形法则还能用吗?三角形法则呢?
定义
求___________的运算,叫做向量的加法
法则
三角
形法
则
前提
已知非零向量a,b,在平面内任取一点A
作法
作
=a,
=b,再作向量
结论
向量
叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=
__________=____
图形
两个向量和
法则
平行
四边
形法
则
前提
已知不共线的两个向量a,b,在平面内任取一
点O
作法
以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边
作?OACB
结论
对角线____就是a与b的和
图形
规定
零向量与任一向量a的和都有a+0=____
0+a
【思考】
(1)向量求和的三角形法则中“非零”二字去掉可以吗?为什么?
提示:不可以.对于零向量与任一向量a,规定0+a=a+0=a,不需要应用三角形法则.
(2)向量求和的平行四边形法则中“不共线”是否多余,去掉可以吗?
提示:不能,因为如果两个向量共线,就无法以它们为邻边作出平行四边形,也不会产生和向量.
2.向量加法的运算律
交换律
结合律
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
【思考】
(a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c)成立吗?
提示:成立,向量的加法满足交换律和结合律,因此在进行多个向量的加法运算时,可以按照任意的次序和任意的组合去进行.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)
=0.
( )
(2)
( )
(3)a+(b+c)=c+(a+b).
( )
提示:(1)×.由向量加法的三角形法则知,
=0.
(2)√.
(3)√.由向量加法的交换律、结合律知,a+(b+c)=(a+b)+c=c+(a+b).
2.如图,D,E,F分别为△ABC的边AB,BC,CA的中点,
则
( )
【解析】选A.因为D,E,F分别为△ABC的边AB,BC,CA的中点,
所以
3.(教材二次开发:例题改编)若a表示“向东走8
km”,b表示“向北走8
km”,则|a+b|=________,a+b的方向是________.?
【解析】如图所示,作
=a,
=b,
则a+b=
+
=
.所以|a+b|=|
|=
=8
(
km),因为∠AOB=45°,
所以a+b的方向是东北方向.
答案:8
km 东北方向
关键能力·合作学习
类型一 向量的加法法则(数学抽象、直观想象)
角度1 利用加法法则作出向量的和?
【典例】(1)如图①,利用向量加法的三角形法则作出a+b;
(2)如图②,利用向量加法的平行四边形法则作出a+b.
【思路导引】
(1)利用相等向量与向量加法的三角形法则求解.
(2)利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则作图.
【解析】(1)如图?所示,设
=a,
因为a与b有公共点A,故过A点作
=b,连接OB,则
即为a+b.
(2)如图?,设
=a,过O点作
=b,则以OA,OB为邻边作?OACB,连接OC,
则
=
+
=a+b.
【变式探究】
如图,已知三个向量a,b,c,试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量a+b+c.
【解析】利用三角形法则作a+b+c,如图①所示,作
=a,以A为起点,作
=b,
再以B为起点,作
=c,则
=a+b+c.
利用平行四边形法则作a+b+c,如图②所示,作
=a,
=b,
=c,以
为
邻边作?OADB,则
=a+b,再以
为邻边作?ODEC,则
=a+b+c.
角度2 利用加法法则求向量的和?
【典例】如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填上一个向量):
①
=________;②
=________.?
【思路导引】利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则表示图中的向量,求出结果即可.
【解析】如题图,由已知得四边形DFCB为平行四边形,
由向量加法的运算法则可知:
①
②
答案:①
②
【解题策略】
1.向量求和的注意点.
(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用.
(2)两个向量的和向量仍是一个向量.
(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.
2.利用三角形法则时,要注意两向量“首尾顺次相连”,其和向量为“起点指向终点”的向量;利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”,其和向量为共起点的“对角线”向量.
【题组训练】
1.化简
的结果等于
( )
A.0
B.
C.
D.
【解析】选A.
=0.
2.在矩形ABCD中,|
|=4,|
|=2,则向量
的长度等于( )
A.2
B.4
C.12 D.6
【解析】选B.因为
+
=
,所以
+
+
的长度为
的模的2倍,
即4
.
【拓展延伸】
向量求和的多边形法则
(1)已知n个向量,依次首尾相接,则由起始向量的起点指向
末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和,这称为向量求
和的多边形法则.即
(2)首尾顺次相接的若干向量求和,若构成一个封闭图形,则它们的和为0.
【拓展训练】
若四边形ABCD为菱形,则下列等式中成立的是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为四边形ABCD为菱形,
所以
,
,
,
.
类型二 向量加法运算律的应用(数学抽象、直观想象)
【典例】1.向量
化简后等于( )
A.
B.
C.
D.
2.化简:(1)
(2)
【思路导引】利用向量加法运算律化简.
【解析】1.选C.
2.(1)
(2)
【解题策略】
向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义:
向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据,实现恰当利用向量加法法则运算的目的.
实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
(2)应用原则:
利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相接”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
【跟踪训练】
1.在平行四边形ABCD中(如图),对角线AC,BD交于点O,则
①
=________.?
②
=________.?
③
=________.?
④
=________.?
【解析】①
答案:①
②
③
④0
2.化简:(1)
(2)
【解析】(1)
(2)
类型三 向量加法的应用(数学建模、逻辑推理)
角度1 几何应用?
【典例】用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【思路导引】将互相平分利用向量表达,以此为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式成立.
【证明】如图,设四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
,
.AC与BD互相平分,
,
,
,
因此AB∥CD且AB=DC,即四边形ABCD是平行四边形.
【变式探究】
若将本例改为:
四边形ABCD中,
,且|
|=|
|,
试求证四边形ABCD为矩形.
【证明】因为四边形ABCD中,
,
所以四边形ABCD为平行四边形,如图
所以
,
,因为|
|=|
|,
所以|
|=|
|,即平行四边形对角线相等,故四边形ABCD为矩形.
角度2 实际应用?
【典例】一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300
km后到达B地,
然后向C地飞行,已知C地在A地北偏东60°的方向处,且A,C两地相距300
km,求
飞机从B地到C地飞行的方向及B,C间的距离.
【思路导引】根据题意画出图形,利用向量加法的三角形法则,用
表示
出
,进而求解问题.
【解析】如图所示,
=
+
,∠BAC=90°,|
|=|
|=300
km,
所以|
|=300
km.
由题可知∠ABC=45°,且A地在B地的南偏东30°的方向处,可知C地在B地的南偏
东75°的方向处.故飞机从B地向C地飞行的方向是南偏东75°,且B,C两地间的
距离为300
km.
【解题策略】利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
【题组训练】
1.在?ABCD中,|
|=3,|
|=4,则:
(1)|
|________7(填“>”“<”“≥”或“≤”);?
(2)若|
|=5,则此四边形为________.?
【解析】(1)三角形两边之和大于第三边.
(2)由|
|2+|
|2=|
|2,可知△ABC为直角三角形,则此四边形为矩形.
答案:(1)< (2)矩形
2.轮船从A港沿北偏东60°方向行驶了40
km到达B处,再由B处沿正北方向行驶40
km到达C处,求此时轮船与A港的相对位置.
【解析】如图所示.
设
、
分别是轮船的两次位移,
则
表示最终位移,且
=
+
.
在Rt△ABD中,|
|=20
km,|
|=20
km.
在Rt△ACD中,|
|=40
km,∠CAD=60°.
即此时轮船位于A港的北偏东30°方向上,且距离A港40
km处.
1.下列命题中正确的个数为
( )
(1)如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么(a+b)∥a;
(2)在平行四边形ABCD中,必有
=
;
(3)若
=
,则A,B,C,D为平行四边形的四个顶点;
(4)若a,b均为非零向量,则|a+b|≤|a|+|b|.
A.0
B.1
C.2
D.3
课堂检测·素养达标
【解析】选D.(1)正确;(2)在平行四边形ABCD中,BC∥AD,且BC=AD,所以
=
,正确;(3)A,B,C,D可能共线,所以错误;(4)为向量的三角不等式,所以正确.
2.
(教材二次开发:练习改编)如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,则
=( )
【解析】选B.
3.(2020·襄阳高一检测)已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足
则下列结论中正确的是( )
A.P在△ABC的内部
B.P在△ABC的边AB上
C.P在AB边所在的直线上
D.P在△ABC的外部
【解析】选D.已知
根据平行四边形法则,如图,则点P在△ABC外.
4.在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是
( )
【解析】选C.画出图象如图所示,对于A选项,
,
大小相等方向相反,
+
=0,结论正确,对于B选项,根据向量加法的平行四边形法则可知,
+
=
,结论正确,对于C选项,由于
+
=
,故结论错误,
对于D选项,
,
大小相等方向相反,
+
=0,结论正确.
5.设P1P2P3…Pn是圆内接正n边形,O为圆心,试用向量求:
【解析】设
=a,将正n边形绕圆心O旋转
角度,此时
变为
,
变为
,…,
变为
的位置,但正多边形的位置不变,仅各顶点的字
母变了,所以它们的和向量不变,a旋转
角度后没有改变,因此a只能是零向
量,所以
=0.
