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9.3用正多边形铺设地面导学案
课题
9.3用正多边形铺设地面
单元
9
学科
数学
年级
七年级
知识目标
1.通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形的内角和与外角和公式.
2.探索用多种正多边形拼地板的过程和原理.
重点难点
重点：通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象等能力.
难点：通过操作使学生发现能拼成一个平面图形的关键.
教学过程
知识链接
1.多边形的内角和是多少？
2.多边形的外角和是多少？
合作探究
一、教材第88页
1.使用给定的某种正多边形，它能否拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不相互重叠？（请同学们拿出预先准备好的若干张正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形）
二、教材第89页
1.下面再通过计算，看看哪些正多边形能拼成符合以上条件的图形.完成下表：
正多边形的边数34567…
n正多边形的内角和…
正多边形每个内角度数
2.每个内角为多少度时能拼成符合以上条件的平面图形呢？
3.为什么用正五边形瓷砖不能铺满地面呢？正八边形也不行？
归纳：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个
时，就可以拼成一个平面图形.
三、教材第90页
1.用正三角形和正六边形能铺满地面吗？为什么？
2.能不能用其他两种或两种以上的正多边形铺地板呢？
3.归纳：若几个正多边形的一个内角的和等于
，那么这几个正多边形可铺满地面.
自主尝试
1.
不能进行密铺的图形是（
）
A.正三边形
B.正四边形
C.正五边形
D.正六边形
2.只用一种大小完全相同的正多边形地砖铺地时，判断能否作平面镶嵌（无缝不重叠）的依据是（
）
A.正多边形的材料
B.正多边形的边长
C.正多边形的对角线长
D.正多边形的内角度数?
3.不能用下列一种图形进行密铺的是（
）
A.正三角形
B.正方形
C.正八边形
D.三角形?
【方法宝典】
根据平面镶嵌解题即可.
当堂检测
1.用下列的一样多边形不能铺满地面的是（
）
A.平行四边形
B.正十边形
C.直角梯形
D.任意三角形
2.下列多边形的组合中，能够铺满地面的是（
）
A.正方形与正六边形
B.正八边形和正方形
C.正五边形和正八边形
D.正五边形和正十边形
3.用三种正多边形拼地板，其中的两种是正四边形和正五边形，则第三种正多边形的边数是（
）
A.12
B.15
C.18
D.20
4.用m个正方形和n个正八边形铺满地面，则m、n满足的关系是（
）
A.2m+3n=8
B.3m+2n=8
C.m+n=4
D.m+2n=6
5.我们知道用正三角形、正方形、正六边形合在一起可以铺满平面，若用正十边形、正八边形、正九边形合在一起，能不能铺满地面，为什么？
6.用正三角形、正方形、正六边形中至少一种铺满地面，有几种不同的选法？请写出来.
7.现有一批边长相等的正多边形瓷砖（如图所示），设计能铺满地面的瓷砖图案.
（1）能用相同的正多边形铺满地面的有
.
（2）从中任取两种来组合，能铺满地面的正多边形组合是
.
（3）从中任取三种来组合，能铺满地面的正多边形组合是
.
（4）你能说出其中的数学道理吗？
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1.B
2.B
3.D
4.A
5.解：正十边形，正八边形，正九边形合在一起不能铺满地面，因为正十边形，正八边形，正九边形的内角分别为144°，135°，140°，它们的和144°+135°+140°>360°.
6.解：单独用一种正多边形铺满地面的有三种，即正三角形，正方形，正六边形；用两种组合来拼有正三角形与正方形，正三角形与正六边形两种，用这三种正多边形组合也能铺满，故共有6种不同的选法.
7.解：（1）①②③
（2）①和②，①和③，①和⑤，②和④
（3）①②③，②③⑤，①②⑤
（4）铺满地面的正多边形的边长都相等，且这些正多边形满足在同一顶点交接处各角之和恰好360°.
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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华师大版
七下数学
9.3用正多边形铺设地面
情景导入
全世界都买不到正五边形的瓷砖.
我家金砖银砖都能买到，何况你这个正五边形的地砖
.
说亮亮家在装修房屋时，发现许多人都是用正方形的瓷砖铺地板，他就想与众不同用正五边形地板砖铺，同学们想一下他能做到吗？
探究新知
①
n边形的内角和公式：
②
正多边形每个内角＝
(n-2)
×180°
(n-2)
×180°
n
如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形。
外角和
360°
探究新知
正三角形能否铺满地面？
60°
60°
60°
60°
60°
60°
由图可知，6个正三角形可以无缝拼接，所以正三角形能铺满地面.
探究新知
正方形能否铺满地面？
90°
由图可知，4个正方形可以无缝拼接，所以正方形能铺满地面.
探究新知
120
°
120
°
120
°
正六边形能否铺满地面？
由图可知，3个正六边形可以无缝拼接，所以正六边形能铺满地面.
使用给定的某种正多边形，它能否铺满地面，既不能留一下一丝空白，又不相互重叠呢？
正多边形的边数
3
4
5
6
7
┅
n
正多边形的内角和
180°
360°
┅
正多边形每个内角的大小
60°
90°
┅
540°
720°
900°
(n-2)
180°
120°
°
探索
归纳总结
为什么有的正多边形可以拼满地板，但有的又不可以呢？关键在哪里？
规律：
使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角(
360°)时，就可以铺满地面。
练一练
1.只用下列哪一种正多边形可以进行镶嵌（
）
A.正五边形
B.正六边形
C.正八边形
D.正十边形
B
2.用下列一种多边形不能铺满地面的是（
）
A.正方形
B.正十边形
C.正六边形
D.等边三角形
B
探究新知
从正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形中任取两种进行组合是否能铺满地面呢？
正方形、正三角形
正六边形、正三角形
正六边形、正方形、正三角形
正十二边形、正三角形
正八边形、正方形
正五边形、正十边形
围绕一点能拼成360?，但能扩展到整个平面，即铺满地面吗？
尽管能围绕一点拼成360?，但不能扩展到整个平面。
多种正多边形拼地板：
围绕一点拼在一起的多种正多边形的内角之和为360?。
关键：
注：有时几种正多边形的组合能围绕一点拼成周角，但不能扩展到整个平面，即不能铺满平面。如：正五边形与正十边形的组合。
模型：
归纳总结
正多边形1的个数×正多边形1的内角度数
+
正多边形2的个数×正多边形2的内角度数+…=360
?
例、用正三角形和正六边形作平面镶嵌，在一个顶点周围，正三角形与正六边形各需要多少个？
解：设在一个顶点处有m个正三角形的角，
有n个正六边形的角，则:
60m+120n=360
即
m+2n=6
所以
当m=2时，n=2；当m=4时，n=1.
答：需正三角形2个，正六边形2个或正三角形4个，正六边形1个.
典例精析
一幅美丽的几何图案，在每个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中三个分别是正三角形、正方形和正六边形，那么第四个是（
）
A.正三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形
B
练一练
课堂练习
1.下列正多边形地砖中，用同一种正多边形地砖不能铺满地面的是( )
A．正三角形
B．正四边形
C．正六边形
D．正八边形
2.现要选用两种不同的正多边形地砖铺设地面，若已选择正方形地砖，则可以再选择的地砖的形状是( )
A．正七边形
B．正五边形
C．正六边形
D．正八边形
D
D
3.用边长为a的正三角形和正方形地砖铺设地面，若每一个顶点周围有2个正方形，则还需________个正三角形才可以铺满地面．
4.一幅图案在某个顶点周围由三个边长相等的正多边形铺设而成．其中的两个分别是正六边形和正十二边形，则第三个正多边形的边数是________．
3
4
5.某学校艺术馆的地面由三种正多边形的小木板铺成，且每个顶点处有三种小木板各一块，设这三种正多边形的边数分别为x，y，z，求的值．
解：由题意，知这三种正多边形的3个内角之和为360°，
已知正多边形的边数为x，y，z，由题意可得
＋＋＝360，
两边都除以180得1-＋1－＋1－＝2，整理得＋＋＝.
课堂小结
用正多边形铺设地面
正多边形内、外角计算公式
正多边形的每个内角都能被360o
整除.
相同正多
边形铺满地面条件
内角=
，外角=
围绕一点拼在一起的多种正多边形的内角之和为360?。
多种正多边形拼成平面条件
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