浙江省宁波市初中数学几何模型汇总版（Word版，附答案）

目录
TOC
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8字模型与飞镖模型
2
角平分线四大模型
11
截长补短辅助线模型
21
手拉手模型
29
三垂直全等模型
36
中考复习专题(将军饮马问题题型归纳)
45
蚂蚁行程
51
中点四大模型
59
半角模型
75
相似模型
82
圆中的辅助线
109
第十二章
辅助圆
120
几何秘籍
8字模型与飞镖模型
模型1：角的8字模型
如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC．
结论：∠A＋∠D＝∠B＋∠C．
模型分析
证法一：
∵∠AOB是△AOD的外角，∴∠A＋∠D＝∠AOB．∵∠AOB是△BOC的外角，
∴∠B＋∠C＝∠AOB．∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C．
证法二：
∵∠A＋∠D＋∠AOD＝180°，∴∠A＋∠D＝180°－∠AOD．∵∠B＋∠C＋∠BOC＝180°，
∴∠B＋∠C＝180°－∠BOC．又∵∠AOD＝∠BOC，∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C．
（1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型．
（2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．
模型实例
观察下列图形，计算角度：
（1）如图①，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________；
解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD．∵∠BOC是△BOE的外角，
∴∠B＋∠E＝∠BOC．∵∠BOC是△COD的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC．
∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E
＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋∠1＋∠2＝∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°．
解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE的外角，∴∠1＝∠C＋∠E．
∵∠2是△GBD的外角，∴∠2＝∠B＋∠D．
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠A＋∠1＋∠2＝180°．
（2）如图②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________．
（2）解法一：
如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP是△AOB的外角，∴∠A＋∠B＝∠AOP．
∵∠AOP是△OPQ的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP．∴∠A＋∠B＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C＋∠D＝∠1＋∠2．②
，∠E＋∠F＝∠2＋∠3．③
由①＋②＋③得：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°．
解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE．∵∠AOE是△AOB的外角，
∴∠A＋∠B＝∠AOE．∵∠AOE是△OED的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE．
∴∠A＋∠B＝∠1＋∠2．（角的8字模型）
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F＝∠1＋∠2＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F
＝360°．（四边形内角和为360°）
练习：
1．（1）如图①，求：∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝
；
解：如图，∵∠1=∠B+∠D，∠2=∠C+∠CAD，
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°．
故答案为：180°
解法二：
（2）如图②，求：∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝
．
解：由三角形的外角性质，知∠BAC=∠E+∠ACE，∠EAD=∠B+∠D，
又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°，∴∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝180°
解法二：
2．如图，求：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝
．
解：∵∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2，∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2，
∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°
解法二：
模型2：角的飞镖模型
如图所示，有结论：∠D＝∠A＋∠B＋∠C．
模型分析
解法一：如图①，作射线AD．
∵∠3是△ABD的外角，∴∠3＝∠B＋∠1，∵∠4是△ACD的外角，∴∠4＝∠C＋∠2
∴∠BDC＝∠3＋∠4，∴∠BDC＝∠B＋∠1＋∠2＋∠C，∴∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C
解法二：如图②，连接BC．
∵∠2＋∠4＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－（∠2＋∠4）
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A＝180°，∴∠A＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4）
∴∠D＝∠A＋∠1＋∠3.
（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型．
（2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用．
模型实例
如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M，探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系．
解答：利用角的飞镖模型
如图所示，连接DM并延长．∵∠3是△AMD的外角，∴∠3＝∠1＋∠ADM，
∵∠4是△CMD的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM，∵∠AMC＝∠3＋∠4
∴∠AMC＝∠1＋∠ADM＋∠CDM＋∠2，∴∠AMC＝∠1＋∠2＋∠ADC．（角的飞镖模型）
∵AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，∴，，
∴，∴（四边形内角和360°），∴，∴2∠AMC＋∠B－∠ADC＝360°.
练习：
1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
.
【答案】230°
提示：∠C+∠E+∠D=∠EOC=115?.（飞镖模型），∠A+∠B+∠F=∠BOF=115?.
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115?+115?=230?
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D=
.
【答案】220°
提示：如图所示，连接BD.
∠AED=∠A+∠3+∠1，∠BFC=∠2+∠4+∠C，
∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220?
模型3
边的“8”字模型
如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC．结论AC+BD>AD+BC．
模型分析
∵OA+OD>AD①，
OB+OC>BC②，
由①+②得：
OA+OD+OB+OC>BC+AD
即：AC+BD>AD+BC.
模型实例
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。
求证：(1)
AB+BC+CD+AD>AC+BD；
(2)
AB+BC+CD+AD
<2AC+2BD.
证明：(1)∵AB+BC>AC①，
CD+AD>AC②，
AB+AD>BD③，
BC+CD>
BD④
由①+②+③+④得：
2
(AB+BC+CD+AD)>2(AC+BD).
即AB+BC+CD+AD
>AC+BD.
(2)
∵AD，BC由①+②得：
AD+BC<
OA+OD+OB+OC．
∴AD+BC同理可证：AB+CD
∴AB+BC+CD+AD<
2AC+2BD.
模型4
边的飞镖模型
如图所示有结论：AB+AC>
BD+CD.
模型分析
如图，延长BD交AC于点E。
∵AB+AC=AB+AE+EC，AB+AE>BE，∴AB+A
C>BE+EC.①
，∵BE+EC=BD+DE+EC，
DE+EC>
CD，∴BE+EC>BD+CD.
②
，由①②可得：AB+AC>BD+CD.
模型实例
如图，点O为三角形内部一点．
求证：(1)
2
(AO+BO+CO)>AB+BC+AC；
(2)
AB+BC+AC>AO+BO+CO.
证明：(1)∵OA+OB>AB①，
OB+OC>BC②，
OC+OA>AC③
由①+②+③得：
2
(AO+BO+CO)>AB+BC+AC
(2)如图，延长BO交AC于点E，
∵AB+AC=AB+AE+EC，
AB+AE>BE，
∴AB+AC>BE+EC.
①
∵BE+EC=BO+OE+EC，
OE+EC>CO，∴BE+EC>BO+CO，②
由①②可得：
AB+AC>BO+CO.③（边的飞镖模型）
同理可得：
AB+BC>OA+OC.④
，BC+AC>OA+OB.⑤
由③+④+⑤得：
2
(AB+BC+AC)>2
(AO+BO+CO).
即
AB+BC+AC>AO+BO+CO.
1．如图，在△ABC中，D、E在BC边上，且BD=CE。求证：AB+AC>AD+AE.
【答案】
证法一：如图①，将AC平移至BF，AD延长线与BF相交于点G，连接DF。
由平移可得AC=BF
，∵AC∥BF
，∴∠ACE=∠BFD
，∵BD=CE
∴△AEC≌△FDB
，∴DF=AE
如图，延长AD交BF于点G，∵AB+BF=AB+BG+GF.
∵AB+BG>AG，
∴AB+BF>AG+GF①
，∵AG+GF=AD+DG+GF，
∵DG+GF>DF，
∴AG+GF>AD+DF②
，由①②可得：AB+BF>AD+DF.（飞镖模型）
∴AB+AC=AB+BF>AD+DF=AD+AE.
∴AB+AC>AD+AE.
证法二：如图②，将AC平移至DF，连接BF
，则AC=DF
，∵AC∥DF，∴∠ACE=∠FDB.
∵BD=CE，∴△AEC≌△FBD.
∴BF=AE.
∵OA+OD>AD①，
OB+OF>BF②
由①+②得：OA+OD+OB+OF>BF+AD.
∴AB+DF>BF+AD.（8字模型）
∴AB+AC=AB+DF>BF+AD=AE+AD.
∴AB+AC>AD+AE.
2．观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．
(1)如图①，△ABC中，P为边BC一点，请比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由．
(2)如图②，将(1)中的点P移至△ABC内，请比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
(3)图③将(2)中的点P变为两个点、，请比较四边形的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由.
【答案】
（1）如图①，BP+PC理由：三角形两边之和大于第三边。（或两点之间线段最短）
（2）△BPC的周长小于△ABC的周长。
证明：如图②，延长BP交AC于M。在△ABM中，BP+PM在△PMC中，PC，由①+②得：BP+PC∴△BPC的周长小于△ABC的周长。
（3）四边形的周长小于△ABC的周长。
证法一：如图③，分别延长、交于M，由（2）知，BM+CM又∵<，∴++∴四边形的周长小于△ABC的周长.
证法二：如图④，做直线分别交AB、AC于M、N。在△BM中，在△AMN中，++，在△中，<+NC③
由①+②+③得：∴++∴四边形的周长小于△ABC的周长.
角平分线四大模型
模型1
角平分线的点向两边作垂线
如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，则PB＝PA
模型分析
利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口
模型实例
（1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6,BD＝4,那么点D到直线AB的距离是
解答：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠CAB,∴CD＝DE.
∵CB＝6,BD＝4,∴DE＝CD＝2，即点D到直线AB的距离是2.
（2）如图②，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC
证明：如图，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，
∵∠1＝∠2，∴PD＝PE,∵∠3＝∠4,
∴PE＝PF，∴PD＝PF
又∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC（角平分线的判定）
练习
如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC,BD平分∠ABC
，
求证：∠BAD＋∠BCD＝180°
证明：作DE⊥BC于E，作DF⊥BA的延长线于F，∴∠F＝∠DEC＝90°,
∵BD平分∠ABC,∴DF＝DE，又∵AD＝DC，∴△DFA≌DEC,∴∠FAD＝∠C
∵∠FAD＋∠BAD＝180°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°
2.如图，△ABC的外角∠ACD∠的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝
.
解答：如图所示，作PN⊥BD于N，作PF⊥BA，交BA延长线于F，作PM⊥AC于M
∵BP、CP分别是∠CBA和∠DCA的角平分线，∴∠ABP＝∠CBP,∠DCP＝∠ACP，
PF＝PN＝PM，∵∠BAC＝∠ACD－∠ABC，∠BPC＝∠PCD－∠PBC(外角性质)
∴∠BAC＝2∠PCD－2∠PBC＝2(∠PCD－∠PBC)＝2∠BPC＝80°
∴∠CAF＝180°－∠BAC＝100°，∵PF＝PM
∴AP是∠FAC的角平分线，∴∠CAP＝∠PAF＝50°
模型2
截取构造对称全等
如图，P是∠MON的平分线上的一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA,连接PB，则△OPB≌△OPA
模型分析
利用角平分线图形的对称性，在铁的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边，对应角相等，利用对称
性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧
模型实例
（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由
解题：PB+PC＞AB+AC
证明：在BA的延长线上取点E,
使AE＝AB,连接PE，∵AD平分∠CAE
∴∠CAD＝∠EAD，在△AEP与△ACP中，∵AE＝AB，∠CAD＝∠EAD,
AP＝AP，∴△AEP≌△ACP
（SAS），∴PE＝PC
∵在△PBE中：PB+PE＞BE,BE＝AB+AE＝AB+AC，∴PB+PC＞AB+AC
（2）如图②所示，AD是△ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC－PB与AC－AB的大小，并说明理由
解答：AC-AB>PC-PB
证明:在△ABC中,
在AC上取一点E,使AE=AB
，∴AC-AE=AB-AC=BE
∵AD平分∠BAC
，∴∠EAP=∠BAP
，在△AEP和△ACP中
∴△AEP≌△ABP
(SAS)
，∴PE=PB
，∵在△CPE中
CE>CP-PE
，∴AC-AB>PC-PB
练习
已知，在△ABC中，∠A＝2∠B,CD是∠ACB的平分线，AC＝16,AD＝8,
求线段BC的长
解：如图在BC边上截取CE＝AC，连结DE，在△ACD和△ECD中
∴△ACD≌△ECD(SAS)
∴AD＝DE
，
∠A＝∠1
，∵∠A＝2∠B，∴∠1＝2∠B，
∵∠1＝∠B＋∠EDB
，
∴∠B＝∠EDB，
∴EBB＝ED
，
∴EB＝DA＝8，BC＝EC＋BE＝AC＋DA＝16＋8＝24
在△ABC中，AB＝AC,∠A＝108°,BD平分∠ABC，
求证：BC＝AB＋CD
证明：在BC上截取BE＝BA，连结DE，∵BD平分∠ABC,BE＝AB,BD＝BD
∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠DEB＝∠A＝108°，∴∠DEC＝180°－108°＝72°
∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝(180°－108°)＝36°，∴∠EDC＝72°
，
∴∠DEC＝∠EDC，∴CE＝CD
，∴BE＋CE＝AB＋CD，∴BC＝AB＋CD
3.如图所示，在△ABC中，∠A＝100°,∠ABC＝40°,BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，求证：BC＝AB＋CE
证明：在CB上取点F，使得BF＝AB,连结DF，∵BD平分∠ABC，BD＝BD
∴△ABD≌△FBD，∴DF＝AD＝DE,∠ADB＝∠FDB，∴BD平分∠ABC
∴∠ABD＝20°,则∠ADB＝180°－20°－100°＝60°＝∠CDE
∠CDF＝180°－∠ADB－∠FDB＝60°，∴∠CDF＝∠CDE，在△CDE和△CDF中
∴△CDE≌CDF，∴CE＝CF，∴BC＝BF＋FC＝AB＋CE
模型3
角平分线+垂线构造等腰三角形
如图，P是∠MON的平分线上一点，AP丄OP于P点，延长AP交ON于点.B,则△AOB是等腰三角形.
模型分析
构造此模型可以利用等腰三角形的"三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形.进而得到对应边.对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来.
模型实例
如图.己知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°,
AB=AC,
BD平分∠ABC,
C?丄BD.垂足为E.求证：BD=2C?.
解答：如图，延长CE、BA交于点F,∵CE丄BD于E,
∠BAC=90°，∴∠BAD=∠CED.
∴∠ABD=∠ACF.又∵AB=AC,
∠BAD=∠CAF=90°,
∴△ABD≌△ACF.∴
BD=CF.
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBE=∠FBE.
又BE=BE,∴△BCE≌△BFE.
∴CE=EF.
∴BD=2CE.
练习
1.如图.在△ABC中.BE是角平分线.AD丄BE.垂足为D.求证：∠2=∠1+∠C.
证明：延长AD交BC于F,∵AD⊥BE,
∴∠ADB=∠BDF=90°,
∵∠ABD=∠FBD,
∴
∠2=∠BFD.
∵∠BFD=∠1+∠C,∴∠2=∠1+∠C.
2.如图.在△ABC中.
∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线,
BE丄AD于点E.
求证:.
(2)证明:延长BE交AC于点F.∵AD为∠BAC的角平分线,∴∠BAD=∠CAD.∵AE=AE,
∴∠BAE=∠FAE,则△AEB≌△AEF，∴AB=AF,
BE=EF,
∠
2=∠3.∴AC-AB=AC-AF=FC.
∵∠ABC=3∠C,∴∠2+∠1=∠3+∠1=∠1+∠C+∠1=3∠C.∴2∠1=2∠C
即∠1=∠C
∴BF=FO=2BE.∴
模型4
角平分线+平行线
模型分析
有角平分线时.常过角平分线上一点作角的一边的平行线.
构造等腰三角形.为证明结论提供更多的条件.体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.
模型实例
解答下列问题：
(1)如图①.△ABC中，EF∥BC,点D在EF上,BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB.写出线段EF与BE、CF有什么数量关系？
(2)如图②，BD平分∠ABC,CD平分外角∠ACG.
DE//BC交AB于点E,交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由.
(3)如图③，BD、CD为外角∠CBM、∠BCN的平分线，DE//BC交AB延长线于点E.交AC延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么数关系？
解答：(1)
∵EF//BC,∴∠EDB=∠DBC.∴BD平分∠EBC，∴∠EBD=∠DBC=EDB.
∴EB=ED.
同理：DF=FC.
∴EF=ED+DF=BE+CF.
(2)图②中有EF=BE=CF，BD平分∠BAC,∴∠ABD=∠DBC.又DE//BC、∴∠EDB=∠DBC.
∴DE=EB.同理可证：CF=DF
∴EF=DE-DF=BE-CF.
(3)
EF=BE+CF.
练习
1.如图.
在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.过点E作MN∥BC交AB于M点.
交AC于N点.若BM+CN=9，则线段MN的长为
.
解答：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E,∴MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB.∵MN//BC,
∴∠EBC=∠MEB,
∠NEC=∠ECB.
∴∠MBE-∠MEB,
∠NEO=∠ECN.∴BM=ME,
EN=CN.
∴MN=ME+EN,即MN=BM+CN.∵BM+CN=9,∴MN=9.
2.
如图.
在△ABC中,AD平分∠BAC.点E、F分別在BD，AD上,EF∥AB.且DE=CD,求证：EF=AC.
证明：如图，过点C作CM∥AB交AD的延长线于点M,∵AB∥EF,∴CM∥EF.∴∠3=∠4.
∵DE=CD,
∠5=∠6,
∴△DEF≌△DCM.∴EF=CM.
∵AB//CM,∴∠2=∠4.
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠4.∴CM=AC.∴EF=AC
3.如图.梯形ABCD中,AD∥BC,点E在CD上,且AE平分∠BAD.BE平分∠ABC.求证：AD=AB-BC.
证明：延长AD、BE交于点F.∵AD∥BC,∴∠2=∠F.
∵∠1=∠2,∴∠1=∠F.∴AB=AF.
∵AE平分∠BAD∴BE=EF.
∵∠DEF=∠CEB,
∴△DEF≌△CEB.∴DF=BC.∴AD=AF-DF=AB-BC.
截长补短辅助线模型
模型：截长补短
如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短法.
截长法：如图②，在EF上截取EG＝AB，再证明GF＝CD即可.
补短法：如图③，延长AB至H点，使BH＝CD，再证明AH＝EF即可.
模型分析
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系.
截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段.
该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.
模型实例
例1：如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2
.
求证：AB＝AC＋CD
.
证法一，截长法：
如图①，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE.
∵AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，
∴△ACD≌△AED
，
∴CD＝DE，∠C＝∠3
.
∵∠C＝2∠B，
∴∠3＝2∠B＝∠4＋∠B
，
∴∠4＝∠B
，
∴DE＝BE
，
∴CD＝BE.
∵AB＝AE＋BE，
∴AB＝AC＋CD
.
证法二，补短法：
如图②，延长AC到点E，使CE＝CD，连接DE
.
∵CE＝CD，∴∠4＝∠E
.
∵∠3＝∠4＋∠E，∴∠3＝2∠E
.
∵∠3＝2∠B，∴∠E＝∠B
.
∵∠1＝∠2，AD＝AD，
∴△EAD≌△BAD，∴AE＝AB.
又∵AE＝AC＋CE，
∴∴AB＝AC＋CD
.
例2：如图，已知OD平分∠AOB，DC⊥OA于点C，∠A＝∠GBD
.
求证：AO＋BO＝2CO
.
证明：在线段AO上取一点E，使CE＝AC，连接DE
.
∵CD＝CD，DC⊥OA，
∴△ACD≌△ECD，
∴∠A＝∠CED
.
∵∠A＝∠GBD
，
∴∠CED＝∠GBD
，
∴1800－∠CED＝1800－∠GBD
，
∴∠OED＝∠OBD
.
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠BOD
.
∵OD＝OD，
∴△OED≌△OBD
，
∴OB＝OE，
∴AO＋BO＝AO＋OE＝OE＋2CE＋OE＝OE＋CE＋OE＋CE＝2（CE＋OE）＝2CO
.
跟踪练习
1.
如图，在△ABC中，∠BAC＝600，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB＋BD
.
求∠ABC的度数
.
【答案】
证法一：补短
延长AB到点E，使BE＝BD
.
在△BDE中，
∵BE＝BD，∴∠E＝∠BDE，
∴∠ABC＝∠BDE＋∠E＝2∠E
.
又∵AC＝AB＋BD，
∴AC＝AB＋BE，∴AC＝AE
.
∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝600，
∴∠EAD＝∠CAD＝600÷2＝300
.
∵AD＝AD，
∴△AED≌△ACD，∴∠E＝∠C
.
∵∠ABC＝2∠E，∴∠ABC＝2∠C
.
∵∠BAC＝600，
∴∠ABC＋∠C＝1800－600＝1200，
∴∠ABC＝1200，∴∠ABC＝800
.
证法二：在AC上取一点F，使AF＝AB，连接DF.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠FAD
.
∵AD＝AD，
∴△BAD≌△FAD，
∴∠B＝∠AFD，BD＝FD
.
∵AC＝AB＋BD，AC＝AF＋FC
∴FD＝FC
，∴∠FDC＝∠C
.
∵∠AFD＝∠FDC＋∠C，
∴∠B＝∠FDC＋∠C＝2∠C
.
∵∠BAC＋∠B＋∠C＝1800，
∴∠ABC＝1200，∴∠ABC＝800
.
2.
如图，在△ABC中，∠ABC＝600，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB
.
求证：AC＝AE＋CD
.
【答案】如图，在AC边上取点F，使AE＝AF，连接OF
.
∵∠ABC＝600，∴∠BAC＋∠ACB＝1800－∠ABC＝1200
.
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，
∴∠OAC＝∠OAB＝，∠OCA＝∠OCB＝，
∴∠AOE＝∠COD＝∠OAC＋∠OCA＝＝600，
∴∠AOC＝1800－∠AOE＝1200
.
∵AE＝AF，∠EAO＝∠FAO，AO＝AO，
∴△AOE≌△AOF（SAS），
∴∠AOF＝∠AOE＝600，
∴∠COF＝∠AOC－∠AOF＝600，
∴∠COF＝∠COD
.
∵CO＝CO，CE平分∠ACB，
∴△COD≌△COF（ASA），
∴CD＝CF
.
∵AC＝AF＋CF，
∴AC＝AE＋CD，
3.
如图，∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB
.求证：AB＋CD＝BC
.
【答案】证法一：截长
如图①，在BC上取一点F，使BF＝AB，连接EF
.
∵∠1＝∠ABE，BE＝BE，
∴△ABE≌△FBE，∴∠3＝∠4
.
∵∠ABC＋∠BCD＝1800，
BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，
∴∠1＋∠2＝∠ABC＋∠DCB
＝×1800＝900
，
∴∠BEC＝900
，
∴∠4＋∠5＝900，∠3＋∠6＝900
.
∵∠3＝∠4
，∴∠5＝∠6
.
∵CE＝CE，
∠2＝∠DCE
，
∴△CEF≌△CED，∴CF＝CD
.
∵BC＝BF＋CF，AB＝BF，∴AB＋CD＝BC
证法二：补短
如图②，延长BA到点F，使BF＝BC，连接EF
.
∵∠1＝∠ABE，BE＝BE，
∴△BEF≌△BEC，
∴EF＝EC，∠BEC＝∠BEF
.
∵∠ABC＋∠BCD＝1800，
BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，
∴∠1＋∠2＝∠ABC＋∠DCB
＝×1800＝900
，
∴∠BEC＝900
，
∴∠BEF＝∠BEC＝900，
∴∠BEF＋∠BEC＝1800，
∴C、E、F三点共线
.
∵AB∥CD，∴∠F＝∠FCD
.
∵EF＝EC，∠FEA＝∠DEC，
∴△AEF≌△DEC，
∴AF＝CD
.
∵BF＝AB＋AF，
∴BC＝AB＋CD
.
4.
如图，在△ABC中，∠ABC＝900，AD平分∠BAC交BC于D，∠C＝300，BE⊥AD于点E
.
求证：AC－AB＝2BE
.
【答案】延长BE交AC于点M
.
∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEM＝900
.
∵∠3＝900－∠1，∠4＝900－∠2，∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，∴AB＝AM
.
∵BE⊥AE，∴BM＝2BE
.
∵∠ABC＝900，∠C＝300，
∴∠BAC＝600
.
∵AB＝AM，∴∠3＝∠4＝600，
∴∠5＝900－∠3＝300，
∴∠5＝∠C，∴CM＝BM，
∴AC－AB＝CM＝BM＝2BE
.
5.
如图，Rt△ACB中，A＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于点F，交AB于点E
.
求证：AD＝2DF＋CE
.
【答案】在AD上取一点G，使AG＝CE，连接CG
.
∵CE⊥AD，
∴∠AFC＝900，∠1＋∠ACF＝900
.
∵∠2＋∠ACF＝900，∴∠1＝∠2
.
∵AC＝BC，AG＝CE，
∴△ACG≌△CBE，∴∠3＝∠B＝450，
∴∠2＋∠4＝900－∠3＝450
.
∵∠2＝∠1＝∠BAC＝22.50，
∴∠4＝450－∠2＝22.50，
∴∠4＝∠2＝22.50
.
又∵CF＝CF，DG⊥CF，
∴△CDF≌△CGF，∴DF＝GF
.
∵AD＝AG＋DG，∴AD＝CE＋2DF
.
6.
如图，五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＋DE＝CD，∠B＋∠E＝1800
.
求证：AD平分∠CDE
.
【答案】如图，延长CB到点F，使BF＝DE，连接AF、AC
.
∵∠1＋∠2＝1800，∠E＋∠1＝1800，∴∠2＝∠E
.
∵AB＝AE，∠2＝∠E，BF＝DE，
∴△ABF≌△AED，∴∠F＝∠4，AF＝AD
.
∵BC＋DE＝CD，∴BC＋BF＝CD，即FC＝CD
.
又∵AC＝AC，∴△ACF≌△ACD，
∴∠F＝∠3
.
∵∠F＝∠4，
∴∠3＝∠4，
∴AD平分∠CDE
.
手拉手模型
模型　手拉手
如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝．
结论：连接BD、CE，则有△BAD≌△CAE．
模型分析
如图①，
∠BAD＝∠BAC－∠DAC，∠CAE＝∠DAE－∠DAC．
∵∠BAC＝∠DAE＝，
∴∠BAD＝∠CAE．
在△BAD和△CAE中，
图②、图③同理可证．
（1）这个图形是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．
（2）如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，所以把这个模型称为手拉手模型．
（3）手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现．
模型实例
例1　如图，△ADC与△EDG都为等腰直角三角形，连接AG、CE，相交于点H，问：
（1）AG与CE是否相等？
（2）AG与CE之间的夹角为多少度？
解答：
（1）AG＝CE．理由如下：
∵∠ADG＝∠ADC＋∠CDG，∠CDE＝∠GDE＋∠CDG，∠ADC＝∠EDG＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE．
在△ADG和△CDE中，
∴△ADE≌△CDE．
∴AG＝CE．
（2）∵△ADG≌△CDE，
∴∠DAG＝∠DCE．
∵∠COH＝∠AOD，
∴∠CHA＝∠ADC＝90°．
∴AG与CE之间的夹角是90°．
例2　如图，在直线AB的同一侧作△ABD和△BCE，△ABD和△BCE都是等边三角形，连接AE、CD，二者交点为H．
求证：（1）△ABE≌△DBC；
（2）AE＝DQ；
（3）∠DHA＝60°；
（4）△AGB≌△DFB；
（5）△EGB≌△CFB；
（6）连接GF，GF∥AC；
（7）连接HB，HB平分∠AHC．
证明：（1）∠ABE＝120°，∠CBD＝120°，
在△ABE和△DBC中，
∴△ABE≌△DBC．
（2）∵△ABE≌△DBC，
∴AE＝DC．
（3）△ABE≌△DBC，
∴∠1＝∠2．
∴∠DGH＝∠AGB．
∴∠DHA＝∠4＝60°．
（4）∵∠5＝180°－∠4－∠CBE＝60°，
∴∠4＝∠5．
∵△ABE≌△DBC，
∴∠1＝∠2．
又∵AB＝DB，
∴△AGB≌△DFB（ASA）．
（5）同（4）可证△EGB≌△CFB（ASA）．
（6）如图①所示，连接GF．
由（4）得，△AGB≌△DFB．
∴BG＝BF．
又∵∠5＝60°，
∴△BGF是等边三角形．
∴∠3＝60°．
∴∠3＝∠4．
∴GF∥AC．
（7）如图②所示，过点B作BM⊥DC于M，过点B作BN⊥AE于点N．
∵△ABE≌△DBC，
∴S△ABE＝S△DBC．
∴×AE×BN＝×CD×BM．
∵AE＝CD，
∴BM＝BN．
∵点B在∠AHC的平分线上．
∴HB平分∠AHC．
跟踪练习：
1．
在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：BE＝BF；
（2）若∠CAE＝30°，求∠ACF度数．
答案：
（1）证明：∠ABC＝90°．
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．
∴BE＝BF．
（2）∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°．
∴∠CAE＝30°．
∴∠BAE＝45°－30°＝15°．
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°．
∴∠ACF＝∠BCF＋∠BCA＝15°＋45°＝60°．
2．如图，△ABD与△BCE都为等边三角形，连接AE与CD，延长AE交CD于点H．
求证：（1）AE＝DC；
（2）∠AHD＝60°；
（3）连接HB，HB平分∠AHC．
答案：
（1）∵∠ABE＝∠ABD－∠EBD，∠DBC＝∠EBC－∠EBD，∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC．
在△ABE和△DBC中，
∴△ABE≌△DBC．
∴AE＝DC．
（2）∵△ABE≌△DBC
，
∴∠EAB＝∠CDB．
又∵∠OAB＋∠OBA＝∠ODH＋∠OHD，
∴∠AHD＝∠ABD＝60°．
（3）过B作AH、DC的垂线，垂足分别为点M、N．
∵△ABE≌△DBC，
∴S△ABE＝S△DBC．
即AE·BM＝CD·BN．
又∵AE＝CD，
∴BM＝BN．
∴HB平分∠AHC．
3．在线段AE同侧作等边△ABC和等边△CDE（∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点．
求证：△CPM是等边三角形．
答案：
证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE．
∴∠ACB＝∠ECD＝60°．
∴∠BCE＝∠ACD．
∴△BCE≌△ACD．
∴∠CBE＝∠CAD，BE＝AD．
又∵点P与点M分别是线段BE和AD的中点，
∴BP＝AM．
在△BCP和△ACM中，
∴△BCP≌△ACM．
∴PC＝MC，∠BCP＝∠ACM．
∴∠PCM＝∠ACB＝60°．
∴△CPM是等边三角形．
4．
将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图①方式放置，∠A＝90°，AD边与AB边重合，AB＝2AD＝4．将△ADE绕A点逆时针方向旋转一个角度（0°＜＜180°），BD的延长线交CE于P．
（1）如图②，求明：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）如图③，在旋转的过程中，当AD⊥BD时，求CP长．
答案：
（1）∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．
∵∠DAB＝90°－∠CAD，∠CAE＝90°－∠CAD，
∴∠DAB＝∠CAE．
∴△ABD≌△ACE．
∴BD＝CE．
∴∠DBA＝∠ECA．
∴∠CPB＝∠CAB．（8字模型）
∴BD⊥CE．
（2）由（1）得BP⊥CE．
又∵AD⊥BD，∠DAE＝90°，AD＝AE，
∴四边形ADPE为正方形．
∴AD＝PE＝2．
∴∠ADB＝90°，AD＝2，AB＝4，
∴BD＝CE＝．
∴CP＝CE－PE＝．
三垂直全等模型
模型
三垂直全等模型
如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC.
结论：Rt△BCD≌Rt△CAE.
模型分析
说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.
三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的.
例1
如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：AB＋CD＝BC.
证明：∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠AED＝∠B＝∠C＝90°.
∴∠A＋∠AEB＝∠AEB＋∠CED＝90°.
∴∠BAE＝∠CED.
在△ABE和△ECD中，
∴△ABE≌△ECD.
∴AB＝EC，BE＝CD.
∴AB＋CD＝EC＋BE＝BC.
例2
如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，BE＝0.8cm，则DE的长为多少？
解答：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°.
∴∠EBC＋∠BCE＝90°.
∵∠BCE＋∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA.
在△CEB和△ADC中，
∴△CEB≌△ADC.
∴BE＝DC＝0.8cm，CE＝AD＝2.5cm.
∴DE＝CE－CD＝2.5－0.8＝1.7cm.
例3
如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.
解答：（1）如图③，过点B作BD⊥x轴于点D.
∴∠BCD＋∠DBC＝90°.
由等腰Rt△ABC可知，BC＝AC，∠ACB＝90°，
∴∠BCD＋∠ACO＝90°.
∴∠DBC＝∠ACO.
在△BCD和△CAO中，
∴△BCD≌△CAO.
∴CD＝OA，BD＝OC.
∵OA＝3，OC＝2.
∴CD＝3，BD＝2.
∴OD＝5.
∴B（－5，2）.
（2）如图④，过点A作AD⊥y轴于点D.
在△ACD和△CBO中，
∴△ACD≌△CBO.
∴CD＝OB，AD＝CO.
∵B（－1，0），C（0，3）
∴OB＝1，OC＝3.
∴AD＝3，OD＝2.
∴OD＝5.
∴A（3，2）.
跟踪练习
1．如图，正方形ABCD，BE＝CF.求证：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF.
证明：
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BD，∠ABC＝∠BCD＝90°.
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF.
∴AE＝BF.
（2）∵△ABE≌△BCF.
∴∠BAE＝∠CBF.
∵∠ABE＝90°，
∴∠BAE＋∠AEB＝90°.
∴∠CBF＋∠AEB＝90°.
∴∠BGE＝90°，
∴AE⊥BF.
2．直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别是5和11，则b的面积是_____.
解答：∵a、b、c都是正方形，
∴AC＝CD，∠ACD＝90°.
∵∠ACB＋∠DCE＝∠ACB＋∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠DCE.
在△ABC和△CBE中，
∴△ACB≌△CDE.
∴AB＝CE，BC＝DE.
在Rt△ABC中，＝＋＝＋
即＝＋＝5＋11＝16.
3．已知，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC上一动点（BP（1）求证：EF＝CF－BE；
（2）若P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.
解答：∵BE⊥AP，CF⊥AP，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°.
∴∠FAC＋∠ACF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE＋∠FAC＝90°，
∴∠BAE＝∠ACF.
在△ABE和△CAF中，
∴△ABE≌△CAF.
∴AE＝CF，BE＝AF.
∵EF＝AE－AF，
∴EF＝CF－BE.
（2）如图，EF＝BE＋CF.
理由：同（1）易证△ABE≌△CAF.
∴AE＝CF，BE＝AF.
∵EF＝AE＋AF，
∴EF＝
BE
＋
CF.
4．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，设∠BCD＝α，以D为旋转中心，将
腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.
（1）当α＝45°时，求△EAD的面积；
（2）当α＝45°时，求△EAD的面积；
（3）当0°<α<90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系？若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式；若无关，请证明结论.
解答：
（1）1；
（2）1；
（3）过点D作DG⊥BC于点G，过点E作EF⊥AD交AD延长线于点F.
∵AD∥BC，DG⊥BC，
∴∠GDF＝90°.
又∵∠EDC＝90°，
∴∠1＝∠2.
在△CGD和△EFD中，
∴△DCG≌△DEF
∴EF＝CG，
∵AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，
∴BG＝AD＝2，
∴CG＝1.
∴＝AD·EF＝1.
∴△EAD的面积与α大小无关.
5．向△ABC的外侧作正方形ABDE、正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG交于点P.
求证：BC＝2AP.
解答：过点G作GM⊥AP于点M，过点E作EN⊥AP交AP延长线于点N.
∵四边形ACFG是正方形，
∴AC＝AG，∠CAG＝90°.
∴∠CAH＋∠GAM＝90°.
又∵AH⊥BC，
∴∠CAH＋∠ACH＝90°.
∴∠ACH＝∠GAM.
在△ACH和△GAM中，
∴△ACH≌△GAM
∴CH＝AM，AH＝GM.
同理可证△ABH≌△EAN
∴BH＝AN，AH＝EN.
∴EN＝GM.
在△EPN和△GPM中，
∴△EPN≌△GPM.
∴NP＝MP，
∴BC＝BH＋CH
＝AN＋AM
＝AP＋PN＋AP－PM
＝2AP.
中考复习专题(将军饮马问题题型归纳)
一、求线段和最值
(一)两定一动型
例1:如图,AM⊥EF,BN⊥EF,垂足为M、N,
MN=12m,AM=5m,BN=4m,P是EF上任意一点,则PA+PB的最小值是________
m
分析:这是最基本的将军饮马问题,A、B是定点,P是动点,属于两定一动将军饮马型,根据常见的“定点定线作对称”,可作点A关于EF的对称点A/,根据两点之间,线段最短,连接A/B,此时A/P+PB即为A/B,最短.而要求A/B,则需要构造直角三角形,利用勾股定理解决
解答:
作点A关于EF的对称点A/,过点A作A/C⊥BN的延长线于C.易知A/M=AM=NC=5m,BC=9m,A/C=MN=12m,在Rt△A/BC中,A/B=15m,即PA+PB的最小值是15m
变式:如图,在边长为2的正三角形ABC中,E,F,G为各边中点,P为线段EF上一动点,则△BPG周长的最小值为_________
分析:考虑到BG为定值是1,则△BPG的周长最小转化为求BP+PG的最小值,又是两定一动的将军饮马型,考虑作点G关于EF的对称点,这里有些同学可能看不出来到底是哪个点,我们不妨连接AG,则AG⊥BC,再连接EG,根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”,可得AE=EG,则点A就是点G关于EF的对称点.最后计算周长时,别忘了加上BG的长度
解答:
连接AG,易知PG=PA,BP+PG=BP+PA,当B,P,A三点共线时,BP+PG=BA,此时最短,BA=2,BG=1,即△BPG周长最短为3
（二）、一定两动型
例2:如图,在△ABC中,AB=AC=5,D为BC中点,AD=5,P为AD上任意一点,E为AC上任意一点,求PC+PE的最小值.
分析:这里的点C是定点，P、E是动点，属于一定两动的将军饮马模型,由于△ABC是等腰三角形，AD是BC中线，则AD垂直平分BC，点C关于AD的对称点是点B，PC+PE=PB+PE，显然当B、P、E三点共线时，BE更短。但此时还不是最短，根据“垂线段最短”只有当BE⊥AC时，BE最短，求BE时，用面积法即可.
解答：
作BE⊥AC交于点E,交AD于点P,易知AD⊥BC,BD=3,BC=6,
则AD·BC=BE·AC,
4×6=BE·5，
BE=4.8
变式：如图,BD平分∠ABC,E,F分别为线段BC,BD上的动点,AB=8,△ABC的周长为20,求EF+CF的最小值__________
分析:
这里的点C是定点,F,E是动点,属于一定两动的将军饮马模型,我们习惯于“定点定线作对称”,但这题这样做,会出现问题.因为点C的对称点C/必然在AB上,但由于BC长度未知,BC/长度也未知,则C/相对的也是不确定点,因此我们这里可以尝试作动点E关于BD的对称点.
解答:
如图,作点E关于BD的对称点E/,连接E/F,则EF=E/F+CF,当E/
、F、C三点共线时,E'F+CF=E'C，此时较短.过点C作CE"⊥AB于E",当,E'与E"重合时,E"C最短,E"C为AB边上的高,E"C=5.
(三)、两点两动型
例3:如图,∠AOB=30°,0C=5,OD=12,点E,F分别是射线OA,OB上的动点,求CF+EF+DE的最小值.
分析：这里的点C,点D是定点,F,E是动点,属于两定两动的将军饮马模型,依旧可以用“定点定线作对称来考虑.作点C关于OB的对称点,点D关于OA的对称点.
解答:作点C关于OB的对称点C′,点D关于0A的对称点D′,连接C′D′.CF+EF+DE=C′F+EF+D′E,当C′,F,E,D′四点共线时,CF+EF+DE=C′D′最短.易知∠D'OC′=90°,OD′=12,OC′=5,C′D'=13,CF+EF+DE最小值为13.
变式：如图,斯诺克比赛桌面AB宽1.78m,白球E距AD边0.22m,距CD边1.4m,有一颗红球F紧贴BC边,且距离CD边0.1m,若要使白球E经过边AD,DC,两次反弹击中红球F,求白球E运动路线的总长度.
分析:本题中,点E和点F是定点,两次反弹的点虽然未知,但我们可以根据前几题的经验作出,即分别作点E关于AD边的对称点E',作点F关于CD边的对称点F',即可画出白球E的运动路线,化归为两定两动将军饮马型.
解答:作点E关于AD边的对称点E′,作点F关于CD边的对称点F′,连接E′F',交AD于点G,交CD于点H,则运动路线长为EG+GH+HF长度之和,即E′F′长,延长E′E交BC于N,交AD于M,易知E′M=EM=0.22m,E′N=1.78+0.22=2m,NF′=NC+CF'=1.4+0.1=1.5m,
则Rt△E′NF′中,E′F′=2.5m,即白球运动路线的总长度为2.5m.
小结:以上求线段和最值问题,几乎都可以归结为“两定一动”、”一定两动”、“两定两动”类的将军饮马型问题,基本方法还是“定点定线作对称”,利用“两点之间线段最短“垂线段最短"的2条重要性质,将线段和转化为直角三角形的斜边,或者一边上的高,借助勾股定理,或者面积法来求解.
当然,有时候,我们也需学会灵活变通,定点对称行不通时,尝试作动点对称.
(二)求角度
例4：P为∠AOB内一定点,M、N分别为射线OA、OB上一
点,当△PMN周长最小时,∠
MPN=80°.
(1)∠AOB=_________°
(2)求证:OP平分∠
MPN
分析:这又是一定两动型将军饮马问题,我们应该先将M,N的位置找到,再来思考∠AOB的度数,显然作点P关于OA的对称点P′,关于OB的对称点P”,连接P′P",其与OA交点即为M,
与OB交点即为N,如下图,易知∠DPC与∠AOB互补,则求出∠DPC的度数即可解答:(1)法1:如图,∠1+∠2=100°,∠1=∠MP′P+∠3=2∠3,∠2=∠NP"P+∠4=2∠4,
则∠3+∠4=50°,∠DPC=130°,∠AOB=50°
再分析:考虑到第二小问要证明OP平分∠MPN,我们就连接OP,则要证∠5=∠6,显然很困难,这时候,考虑到对称性,我们再连接OP',OP",则∠5=∠7,∠6=∠8,问题迎刃而解.
解答:(1)法2易知OP′=0P",∠7+∠8=∠5+∠6=80°,∠P′OP”=100°,由对称性知,∠9=∠11,∠10=∠12,∠AOB=∠9+∠10=50°
(2)由OP′=OP",∠P′OP"=100°知,∠7=∠8=40°∠5=∠6=40°,OP平分∠MPN
变式:如图,在五边形
ABCDE中,∠BAE=136°,∠B=∠E=90°,在BC、DE上分别找一点M、N,使得△AMN的周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为_______
分析:这又是典型的一定两动型将军饮马问题,必然是作A点关于BC、DE的对称点A/、A",连接A/A",与BC、DE的交点即为△AMN周长最小时M、N的位置.
解答:如图
∵∠BAE=136°,
∴∠MA/A+∠NA"A=44°
由对称性知,
∠MAA/=∠MA/A,
∠NAA"=∠NA"A
∠AMN+∠ANM=2∠MA/A+2∠NA"A=88°
本讲思考题:
1.如图所示,正方形ABCD的边长为6,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为_____
2.如图,在矩形ABCD中
AB=4,AD=3.P为矩形ABCD内一点,若矩形ABCD
面积为△PAB面积的4倍,则点P到A,B两点距离之和PA+PB的最小值为________
蚂蚁行程
模型
立体图形展开的最短路径
模型分析
上图为无底的圆柱体侧面展开图，如图蚂蚁从点A沿圆柱表面爬行一周。到点B的最短路径就是展开图中AB′的长，。做此类题日的关键就是，正确展开立体图形，利用“两点之间线段最短”或“两边之和大于第三边”准确找出最短路径。
模型实例
例1．有一圆柱体油罐，已知油罐底面周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周建造房子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有
多长？
例2．如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径，
若一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短
路线长是
。
例3．已知长方体的长、宽、高分别为30cm、20cm、10cm，一只蚂蚁从A处出发到B处觅食，求它所走的最短路径。（结果保留根号）
跟踪练习
1．有一个圆锥体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲沿侧面爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离。
2．如图，圆锥体的高为8cm，底面周长为4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路线如图，则最短路程为
。
3．桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口距离3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫22
杯子外壁，当它正好在蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。
4．已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB的中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁也从C点出发绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如图所示，若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为
（
）
A
B
C
D
5．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬行到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短距离为
。
6．如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q
在上底面的棱上，AQ=2，一只
蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路线。
7．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm、3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？
中点四大模型
模型1
倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形
模型分析
如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E使DE＝AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）．
如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE＝FD，易证：△FDB≌△EDC（SAS）
　　当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移．
模型实例
如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE．
1．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝20，求BC边上中线AD的范围．
解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB＝AC＝20，
根据三角形的三边关系定理：20－12＜AE＜20＋12，
∴4＜AD＜16，
故AD的取值范围为4＜AD＜16．
2．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2．
求证：AD2＝(AB2＋AC2)．
证明：如图，过点B作AC的平行线交ND的延长线于E，连ME．
∵BD＝DC，
∴ED＝DN．
在△BED与△CND中，
∵
∴△BED≌△CND（SAS）．
∴BE＝NC．
∵∠MDN＝90°，
∴MD为EN的中垂线．
∴EM＝MN．
∴BM2＋BE2＝BM2＋NC2＝MD2＋DN2＝MN2＝EM2，
∴△BEM为直角三角形，∠MBE＝90°．
∴∠ABC＋∠ACB＝∠ABC＋∠EBC＝90°．
∴∠BAC＝90°．
∴AD2＝(BC)2＝（AB2＋AC2）．
模型2
已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”．
模型分析
等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：
“边等、角等、三线合一”．
模型实例
如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN的长度．
解答：
连接AM．
∵AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC中点，
∴AM⊥BC，BM＝CM＝BC＝3．
∵AB＝5，
∴AM＝．
∵MN⊥AC，
∴S△ANC＝MC·AM＝AC·MN．
即：×3×4＝×5×MN．
∴MN＝
跟踪练习
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AE⊥DE，AF⊥DF，且AE＝AF，求证：∠EDB＝∠FDC．
证明：连结AD，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∠ADB＝∠ADC＝90°
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD．（HL）
∴∠ADE＝∠ADF，
∵∠ADB＋∠ADC＝90°，
∴∠EDB＝∠FDC．
2．已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．
（1）当∠EDF绕D点旋转到DF⊥AC于E时（如图①），求证：S△DEF＋S△CEF＝S△ABC；
（2）当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，
S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．
解：（1）连接CD；如图2所示：
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，
∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴S△DEF＋S△CEF＝S△ADE＋S△BDF＝S△ABC；
（2）不成立；S△DEF?S△CEF＝S△ABC；理由如下：连接CD，如图3所示：
同（1）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°
∴S△DEF＝S五边形DBFEC，
＝S△CFE＋S△DBC，
＝S△CFE＋S△ABC，
∴S△DEF－S△CFE＝S△ABC．
∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF－S△CEF＝S△ABC．
模型3
已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理
模型分析
在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：
DE∥BC，且DE＝BC来解题．中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题．
模型实例
如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M，N．求证：∠BME＝∠CNE．
解答
如图，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF．
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴FH＝AB，FH∥AB，HE＝DC，HE∥NC．
又∵AB＝CD，
∴HE＝HF．
∴∠HFE＝∠HEF．
∵FH∥MB，HE∥NC，
∴∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠FEH．
∴∠BME＝∠CNE．
练习：
1.（1）如图1，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AD⊥BD，AE⊥CE，垂足分别为D，E，连接DE，求证：DE∥BC，DE=（AB+BC+AC）；
（2）如图2，BD，CE分别是△ABC的内角平分线，其他条件不变，上述结论是否成立？
（3）如图3，BD是△ABC的内角平分线，CE是△ABC的外角平分线，其他条件不变，DE与BC还平行吗？它与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明.
1.解答
（1）如图①，分别延长AE，AD交BC于H，K.
在△BAD和△BKD中，
∴△BAD≌
△BKD（ASA）
∴AD=KD，AB=KB.
同理可证，AE=HE，AC=HC.
∴DE=HK.
又∵HK=BK+BC+CH=AB+BC+AC.
∴DE=（AB+AC+BC）.
（2）猜想结果：图②结论为DE=（AB+AC-BC）
证明：分别延长AE，AD交BC于H，K.
在△BAD和△BKD中
∴△BAD≌△BKD（ASA）
∴AD=KD，AB=KB
同理可证，AE=HE，AC=HC.
∴DE=HK.
又∵HK=BK+CH-BC
=AB+AC-BC
∴DE=（AB+AC-BC）
（3）图③的结论为DE=（BC+AC-AB）
证明：分别延长AE，AD交BC或延长线于H，K.
在△BAD和△BKD中，
∴△BAD
≌△BKD（ASA）
∴AD=KD，AB=KB.
同理可证，AE=HE，AC=HC.
∴DE=KH.
又∵HK=BH-BK
=BC+CH-BK
=BC+AC-AB
∴DE=（BC+AC-AB）.
2.问题一：如图①，在四边形ABCD中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状，请直接写出结论.
问题二：如图②，在△ABC中，AC>AB，D点在AC上，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明.
2.证明
（1）等腰三角形（提示：取AC中点H，连接FH，EH，如图①）
（2）△AGD是直角三角形
如图②，连接BD，取BD的中点H，连接HF，HE.
∵F是AD的中点，
∴HF∥AB，HF=AB.
∴∠1=∠3.
同理，HE∥CD，HE=CD，
∴∠2=∠EFC，
∴AB=CD，
∴HF=HE.
∴∠1=∠2.
∵∠EFC=60°，
∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°.
∴△AGF是等边三角形.
∴AF=FG.
∴GF=FD.
∴∠FGD=∠FDG=30°.
∴∠AGD=90°，即△AGD是直角三角形.
模型4
已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线
模型分析
在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD=AB，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD和△BCD，该模型经常会与中位线定理一起综合应用.
模型实例
如图，在△ABC中，BE，CF分别为AC，AB上的高，D为BC的中点，DM⊥
EF于点M，求证：FM=EM.
证明
连接DE，DF.
BE，CF分别为边AC，AB上的高，D为BC的中点，
DF=BC，DE=BC.
DF=DE，即△DEF是等腰三角形.
DM⊥EF，
点M是EF的中点，即FM=EM.
练习：
1.如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB=10，求DM的长度.
1.解答
取AB中点N，连接DN，MN.
在Rt△ADB中，N是斜边AB上的中点，
∴DN=AB=BN=5.
∴∠NDB=∠B.
在△ABC中，M，N分别是BC，AB的中点，
∴MN∥AC
∴∠NMB=∠C，
又∵∠NDB是△NDM的外角，
∴∠NDB=∠NMD+∠DNM.
即∠B=∠NMD+∠DNM=∠C+∠DNM.
又∵∠B=2∠C，
∴∠DNM=∠C=∠NMD.
∴DM=DN.
∴DM=5.
2.已知，△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°，连接DE，M为DE的中点，连接MB，MC，求证：MB=MC.
2.证明
延长BM交CE于G，
∵△ABD和△ACE都是直角三角形，
∴CE∥BD.
∴∠BDM=∠GEM.
又∵M是DE中点，即DM=EM，
且∠BMD=∠GME，
∴△BMD
≌△GME.
∴BM=MG.
∴M是BG的中点，
∴在Rt△CBG中，BM=CM.
3.问题1：如图①，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥
BC，BF
⊥AC，垂足分别为点E，F.AE、BF交于点M，连接DE，DF，若DE=kDF，则k的值为
.
问题2：如图②，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME
⊥BC，MF⊥
AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF，求证：DE=DF.
问题3：如图③，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB
≠CA”，其他
条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论.
3.解答
∵（1）AE⊥BC，BF⊥AC，
∴△AEB和△AFB都是直角三角形，
∵D是AB的中点，
∴DE=AB，DF=AB.
∴DE=DF.
∵DE=KDF，
∴k=1.
（2）∵CB=CA，
∴∠CBA=∠CAB.
∵∠MAC=∠MBC，
∴∠CBA-∠MBC=∠CAB-∠MAC，即∠ABM=∠BAM.
∴AM=BM.
∵ME⊥BC，MF⊥AC，
∴∠MEB=∠MFA=90°.
又∵∠MBE=∠MAF，
∴△MEB
≌△MFA（AAS）
∴BE=AF.
∵D是AB的中点，即BD=AD，
又∵∠DBE=∠DAF，
∴△DBE
≌△DAF（SAS）
∴DE=DF.
（3）DE=DF.
如图，作AM的中点G，BM的中点H，连DG，FG，DH，EH.
∵点D是边AB的中点，
∴DG∥BM，DG=BM.
同理可得：DH∥AM，DH=AM.
∵ME⊥BC于E，H是BM的中点.
∴在Rt△BEM中，HE=BM=BH.
∴∠HBE=∠HEB.
∴∠MHE=2∠HBE.
又∵DG=BM，HE=BM，
∴DG=HE.
同理可得：DH=FG.
∠MGF=2∠MAC.
∵DG∥BM，DH∥GM，
∴四边形DHMG是平行四边形.
∴∠DGM=∠DHM.
∵∠MGF=2∠MAC，
∠MHE=2∠MBC，
∠MBC=∠MAC，
∴∠MGF=∠MHE.
∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE.
∴∠DGF=∠DHE.
在△DHE与△FGD中
∴△DHE≌
△FGD（SAS）
∴DE=DF.
半角模型
模型概述：
过多边形的某个顶点引两条射线，使这两条射线的夹角为该顶角的一半
思想方式：
通过旋转变换构造全等三角形，实现线段的转化
基本模型：
一、正方形含半角
如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=45°，证明以下结论：
⑴EF=BE+DF；
⑵△CEF的周长是正方形边长的2倍；
⑶FA平分∠DFE，EA平分∠BEF；
⑷
【小结】
变式训练1-1
如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的点,∠EAF=45?.
(1)如图(1)，试判断EF，BE，DF间的数量关系，并说明理由；
(2)如图(2)，若AH⊥EF于点H，试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由。
变式训练1-2
探究：
(1)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45?，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：___；
(2)如图2,若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180?,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD”,则(1)问中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
(3)在(2)问中,若将△AEF绕点A逆时针旋转,当点分别E.?F运动到BC、CD延长线上时,如图3所示,其它条件不变,则(1)问中的结论是否发生变化?若变化，请给出结论并予以证明。
二、等腰直角三角形含半角
如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作∠DCE=45°，交AB边于D，E两点。
证明：⑴△ACE∽△BDC；
⑵
【小结】
变式训练2-1
如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作∠DCE=45°，交AB边于D，E两点。
⑴若AD=6，AE=16，则BE=
⑵若AB=12，DE=5，AD＜BE，则BE=
⑶若，BD=5，则AE=
变式训练2-2
在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为△ABC外一点,且∠MDN=60?,∠BDC=120?，BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系。
(1)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是___;此时QL=___；
(2)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DM≠DN时,猜想(1)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明；
(3)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,若AN=x,则Q=___(用x、L表示).
变式训练2-3
(1)如图1,点E.?F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,∠EAF=45?，连接EF，
则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD.连结BD,交AE、AF于点M、N,且MN、BM、DN满足，请证明这个等量关系；
(2)在△ABC中，AB=AC，点D.?E分别为BC边上的两点。
①如图2,当∠BAC=60?,∠DAE=30?时，BD、DE、EC应满足的等量关系是___；
②如图3,当∠BAC=α,(0?<α<90?),∠DAE=α时,BD、DE、EC应满足的等量关系是___.[参考：】
中考真题
如图,已知△ABC,∠ACB=90?,AC=BC,点E.?F在AB上,∠ECF=45?.
(1)求证：△ACF∽△BEC；
(2)设△ABC的面积为S，求证：AF?BE=2S；
(3)试判断以线段AE、EF、FB为边的三角形的形状并给出证明。
已知：如图,正方形ABCD,BM、DN分别平分正方形的两个外角,且满足∠MAN=45?，连接MN.
(1)若正方形的边长为a，求BM?DN的值。
(2)若以BM，DN，MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论。
已知：正方形ABCD中,∠MAN=45?,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M，N.
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(图2)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明。
(2)当∠MAN绕点A旋转到(图3)的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系?证明你的猜想。
(3)若正方形的边长为4，当点N运动到DC边的中点处时，求BM的长。
问题背景：
(1)如图1:在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120?,∠B=∠ADC=90?.E,F分别是BC,CD上的点。且∠EAF=60?.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系。小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是___.
探索延伸：
(2)如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180?.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由。
如图,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30?的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70?的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50?的方向以80海里/时的速度前进,1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E.?F处,且两舰艇之间的夹角为70?，试求此时两舰艇之间的距离。
问题：如图(1),点E.?F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45?，试判断BE、EF、FD之间的数量关系。
【发现证明】
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90?至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图(1)证明上述结论。
【类比引申】
如图(2),四边形ABCD中,∠BAD≠90?,AB=AD,∠B+∠D=180?，点E.?F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足___关系时，仍有EF=BE+FD.
【探究应用】
如图(3),在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60?,∠ADC=120?,∠BAD=150?,道路BC、CD上分别有景点E.?F,且AE⊥AD,DF=40()米,现要在E.?F之间修一条笔直道路,求这条道路EF的长
相似模型
模型1：A、8模型
已知∠1＝∠2
结论：△ADE∽△ABC
模型分析
如图，在相似三角形的判定中，我们通过做平行线，从而得出A型或8型相似．在做题使，我们也常常关注题目由平行线所产生的相似三角形．
模型实例
【例1】如图，在ABC中，中线AF、BD、CE相交于点O，求证：．
解答：证法一：如图①，连接DE．∵D、E是中点，∴．，DE//BC
∴△EOD∽△COB（8模型）∴．同理：，．
∴．
证法二：如图②，过F作FG//AC交BD于点G，∵F是中点，∴．
∵AD＝CD，∴．∵FG//AD，∴△GOF∽△DOA（8模型）
∴．同理，．∴．
【例2】如图，点E、F分别在菱形ABCD的边AB、AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若＝2，求的值．
解答：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD．
设DF＝a，则DF＝AE＝a，AF＝EB＝2a．∵HD//AB，∴△HFD∽△BFA
∴，∴HD＝1．5a，，∴FH＝BH
∵HD//EB，∴△DGH∽△EGB，∴，∴
∴BG＝HB，∴
跟踪练习：
1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE//AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25．则S△BDE与S△CDE的比是____________．
解答：∵DE//AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA＝1：25，∴
∵DE//AC，∴，∴，∴的比是1：4.
2．如图所示，在ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有___________对．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD
∴（1）△ABD∽△CDB；（2）△ABE∽△FDE；（3）△AED∽△GEB；
（4）△ABG∽△FCG∽△FDA，可以组成3对相似三角形.∴图形中一共有6对相似三角形.
3．如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，连接AO并延长，交BC于点F，求证：F是BC的中点．
证明：连接DE交AF于点G，则DE//BC，DE=BC，∴G为AF中点
∴，，∴BF=FC，即点F是BC的中点
4．在△ABC中，AD是角平分线，求证：．
方法一：过点C?CE//AB交AD延长线于点E，∴∠1=∠3，∴△ABD∽△ECD，∴
∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，AC=CE，∴
方法二：设ABC中BC边上的高为h，则，，
过D分别作DEAB，于E，DFAC于F，则，
，又∵1=2，∴DE=DF，∴
5．如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB＝2:1，求证：CE⊥AD．
证明：过点B做BF//AC，交CE延长线于点F，则∠CBF=90°，△AEC∽△BEF
∵AE：EB=2：1，∴BF=AC=BC=CD，又AC=CB，∠ACD=∠CBF=90°
∴△ACD≌△CBF，∴∠1=∠2，∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3-90°
∴∠4=90°，∴CE⊥AD
模型2
共边共角型
已知：∠
1=∠2
结论：△ACD
∽△ABC
模型分析
上图中，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时候题目中会给出三角形边的乘积关系或者比例关系，我们要能快速判断题中的相似三角形，模型中由△ACD
∽△ABC进而可以得到：AC2=ADAB
模型实例
例1
如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B，如果△ABD的面积为15．那么△ACD的面积为
．
解答：
∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD
∽△BCA．∵AB=4，AD=2，
∴，∴，∵S△ABD=15，∴S△ACD=5
例2
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AD⊥BC于D．
（1）图中有多少对相似三角形？
（2）求证：AB2=BDBC，AC2=CDCB，AD2=BDCD
（3）求证：ABAC=BCAD
解答
（1）三对．分别是：△ABD
∽△CBA；△ACD
∽△BCA；△ABD
∽△CAD
（2）∵△ABD
∽△CBA，∴．∴AB2=BDBC，∵△ACD
∽△BCA
∴．∴AC2=CDCB，∵△ABD
∽△CAD，∴，∴AD2=BCCD
（3），∴ABAC=BCAD
跟踪练习：
1．如图所示，能判定△ABC∽△DAC的有
．
①∠B=∠DAC
②∠BAC=∠ADC
③AC2=DCBC
④AD2=BDBC
【答案】①②③
2．已知△AMN是等边三角形，∠BAC=120o．求证：
（1）AB2=BMBC；
（2）AC2=CNCB；
（3）MN2=BMNC．
【答案】证明：∵∠BAC=120o，∴∠B+∠C=60o.∵△AMN是等边三角形，
∴∠B+∠1=∠AMN=60o，∠C+∠2=∠ANM=60o.∴∠1=∠C，∠2=∠B.
(1)∵∠1=∠C，∠B=∠B，∴△BAM
∽△BCA.∴.∴AB2=BMBC
（2）∵∠2=∠B，∠C=∠C，∴△CAN
∽△CBA.∴.∴AC2=CNCB
（3）∵∠1=∠C，∠2=∠B，∴△BAM
∽△ACN.∴.
∴BMCN=ANAM∵AN=AM=MN，∴AB2=BMBC
3．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，过C作CD⊥AB于D，AC=，AD:DB=4:1．求CD的长．
【答案】连接BC，设AD=4x，则DB=x.∴AB=5x.∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90o
又∵CD⊥AB.∴△ACD∽△ABC.∴AC2=ADAB，即，解得：x=（舍负）.
∴AD=.∴CD=
4．如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB，我们可以利用△ABC∽△ACD证明AC2=ADAB，这个结论我们称之为射影定理，结论运用：如图②，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF．
（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；
（2）若DE=2CE，求OF的长．
【答案】（1）∵四边形ABCD为正方形，∴OC⊥BO，∠BCD=90o.∴BC2=BOBD.
∵CF⊥BE，∴BC2=BFBE.∴BOBD=BFBE.即，
又∵∠OBF=∠EBD，∴△BOF
∽△BED.
（2）∵BC=CD=6，而DE=2CE，∴DE=4，CE=2.在Rt△BCE中，BE==，
在Rt△OBC中，OB=，∵△BOF∽△BED，
∴，即，∴.
模型3
一线三等角型
已知，如图①②③中：∠B=∠ACE=∠D
结论：△ABC∽△CDE
模型分析
如图①，∵∠ACE＋∠DCE=∠B＋∠A，又∵∠B=∠ACE，∴∠DCE=∠A．
∴△ABC∽△CDE．图②③同理可证△ABC∽△CDE．
在一线三等角的模型中，难点在于当已知三个相等的角的时候，容易忽略隐含的其他相等的角，此模型中的三垂直相似应用较多，当看见该模型的时候，应立刻能看出相应的相似三角形．
模型实例
例1
如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60o，BP=1，CD=．则△ABC的边长为
．
解答
∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60o．∵∠APC=∠B＋∠BAP，
即∠APD＋∠DPC=∠B＋∠BAP，又∵∠APD=∠B=60o，∴∠DPC=∠BAP．
又∵∠B=∠C，∴△PCD∽△ABP．∴．
设AB=x，则PC=x－1，，解得x=3．
例2
如图，∠A=∠B=90o，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取一点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有
个．
解答
设AP＝，则有PB＝AB－AP＝7－，当△PDA∽△CPB时，，即，
解得：或，当△PDA∽△PCB时，，即，
解得：，则这样的的点P共有3个．
练习：
1．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上一动点（不与B、C点重合），∠ADE＝45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设，，求关于的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
1.解答：
（3）当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD=DE.
当△ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED=EA.
即△ADE为等腰直角三角形.
当AD=EA时，点D与点B重合，不合题意，所以舍去.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝a，DE交AC于点E，且．下列结论：
①△ADE∽△ACD；
②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；
③△DCE为直角三角形时，BD等于8或；
④
其中正确的结论是
．（把你认为正确的序号都填上）
2.解答：
故①正确.
故②正确.
（3）当∠AED=900时，由可知：△ADE∽△ACD.
∴
∠ADC=∠AED.
∵
∠AED=900，
∴
∠ADC=900.
即
AD⊥BC.
∵
AB=AC，
∴
BD=CD.
当∠CDE=900时，易得△CDE∽△BAD.
故③正确.
（4）易证△CDE∽△BAD，由②可知BC=16，
故④正确，故答案为：①②③④.
3．如图，已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，折叠与边BC交于O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：△OCP∽△PDA；
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1∶4，求边AB的长．
3.解答
模型4
倒数型
条件：AF∥DE∥BC
结论：
模型分析
∵AF∥DE∥BC，
∴△BDE∽△BAF，△ADE∽ABC
∴，．
∴
即
∴（两边同时除以DE）
仔细观察，会发现模型中含有两个A型相似模型，它的结论是由两个A型相似的结论相加而得到的，该模型的练习有助于提高综合能力水平．
模型实例
如图，AF∥BC，AC、BF相交于E，过E作ED∥AF交AB于D．
求证：．
证明：
分别过点C、E、F作直线AB的垂线，垂足分别是K、H、G
则（模型结论）．
跟踪练习
如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，正方形EFGH的四个顶点都在△ABC的边上.求证：
答案：1、证明：
方法一：如图①
∵
四边形EFGH是正方形，
∴
EF⊥AB
∵
CD⊥AB，
∴
EF∥CD，
∴
△AEF∽△ACD.
∴
①
∵
EH∥AB，
∴
△CEH∽△CAB
∴
∵
EH=EF，
∴
②
①+②得，
∴
方法二：如图②，构造模型4
过点C作AB的平行线交AH的延长线于点K，
依题意有，CK∥EH∥AB，
∴
∵
∴
CK=CD.
∴
2．正方形ABCD中，以AB为边作等边三角形ABE，连接DE交AC于F，交AB于G，连接BF．求证：
(1)
AF+BF=EF；
(2)
答案：（1）如图①，在EF上截取FH=AF.
∵
∠EAB=600，∠BAD=900，AE=AD，
∴
∠1=∠2=150.
∠3=∠2+∠4=600.
∴
△AFH为等边三角形.
∴
∠EAH=∠BAF.
∴
△EAH≌△BAF.
∴
EH=BF.
∴
AF+BF=FH+EH=EF.
（2），如图②，过点G作GK∥BF交AC于点K.
由①可得∠BFC=600，
∴
AH∥GK∥BF.
∴
由模型4，得
∵
AH=AF，GK=GF，
∴
模型5
与圆有关的简单相似
模型分析
图①中，由同弧所对的圆周角相等，易得△PAC∽△PDB.
图②中，由圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角，易得△ABD∽△AEC.
图③中，已知AB切⊙O于点A，如下图，
过A作直径AE，连接DE，则有∠EAD+∠E=900.
又∠BAD+∠EAD=900，∠BAD=∠E=∠C.
从而△BAD∽△BCA.
模型实例
如图，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O于D、C两点．
求证：PA﹒PB=PD﹒PC.
答案：证明：作直线OP交⊙O于C、D两点，连接BC、AD.
∵
∠B=∠D，∠C=∠A，
∴
△PBC∽△PDA.
∴
∴
PA﹒PB=PD﹒PC=（r+d）（r-d）=
r2-d2
证明：
连接AD、BC．
∵四边形ADCB内接于⊙O，
∴∠1＝∠2．
又∵∠P＝∠P，
∴△PAD∽△PCB．
∴．
∴．
练习1．如图，P是⊙O内的一点，AB是过点P的一条弦，设圆的半径为，．
求证：．
答案
证明：作直线OP交⊙O于C、D两点，连接BC、AD．
∵∠A＝∠D，∠C＝∠A，
∴△PBC∽△PDA．
∴．
∴
2．如图，已知AB为⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，延长AC、BD交于点E．
（1）求∠E的度数；
（2）点M为BE上一点，且满足，连接CM，求证：CM是⊙O的切线．
答案
解：
（1）连接OC、OD．
∵C、D是半圆的三等分点，
∴．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°．
∴OA＝OC＝OD＝OB，
∴△AOC、△DOB为等边三角形．
∴∠EAB＝∠EBA＝60°．
∴∠E＝60°．
（2）连接BC，
∵，
∴．
∵∠E＝∠E，
∴△CEM∽△BEC．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴∠ECB＝90°，
∴∠EMC＝∠ECB＝90°．
∵C、D是半圆三等分点，
∴∠AOC＝∠DOB＝60°，
∴OC∥BE．
∴∠OCM＝∠EMC＝90°．
∴OC⊥CM．
∴CM为⊙O的切线．
模型6
相似和旋转
如图①，已知DE∥BC，将△ADE绕点A旋转一定的角度，连接BD、CE，得到如图②．
结论：△ABD∽△ACE．
模型分析
∵DE∥BC，
∴，
如图②，∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE
∴△ABD∽△ACE．
该模型难度较大，常出现在压轴题中，以直角三角形为背景出题，对学生的综合能力要求较高，考察知识点有相似、旋转、勾股定理、三角函数等，是优等生必须掌握的—种题型．
模型实例
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，点P在△ABC内，且，PB＝5，PC＝2．
求．
解答：
如图，作△ABQ，使得∠QAB＝∠PAC，∠ABQ＝∠ACP，
则△ABQ∽△ACP．
∴，即．
又∠QAP＝∠BAC＝60°，
∴△AQP∽△ACB
∴∠APQ=∠ACB＝90°．
∴AQ＝2AP＝，PQ＝AP＝3．
∴△APQ与△APC的相似比为．
∴．
∴．
∴∠BQP＝90°．
过A点作AM∥PQ，延长BQ交AM于点M．
∴AM＝PQ，MQ＝AP．
∴
故．
练习
1．如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，E在△ABC内，∠CA
E＋∠
CBE＝90°，连接BF．
（1）求证：△CAE∽△CBF；
（2）若BE＝1，AE＝2，求CE的长．
解：
（1）∵△ABC和△CEF均为等腰直角三角形．
∴
∴∠ACB＝∠ECF＝45°．
∴∠ACE＝∠BCF．
∴△CAE∽△CBF．
∴∠ACB＝∠ECF＝45°．
∴∠ACE＝∠BCF．
∴△CAE∽△CBF．
（2）∵△CAE∽△CBF，
∴∠CAE＝∠CBF，
又∵，AE＝2．
∴，∴BF＝
又∵∠CAE＋∠CBE＝90°．
∴∠CBF＋∠CBE＝90°．
∴∠EBF＝90°．
∴．
∴．
∵，
∴．
2．已知，在△ABC中，∠BAC＝60°．
（1）如图①．若AB＝AC，点P在△ABC内，且∠APC＝150°，PA＝3，PC＝4，把△APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B处，得到△ADB，连接DP．
①依题意补全图1；
②直接写出PB的长；
（2）如图②，若AB＝AC，点P在△ABC外，且PA＝3，PB＝5，PC＝4，求∠APC
的度数；
（3）如图③，若AB＝2AC，点P在△ABC内，且PA＝，PB＝5，∠APC＝120°，请直接写出PC的长．
解：
（1）如图，由旋转有，AD＝AP，BD＝PC，∠DAB＝∠PAC，
∴∠DAP＝∠BAC＝60°．
∴△ADP为等边三角形．∴DP＝PA＝3，∠ADP＝60°．
∴∠ADB＝∠APC＝150°，
∴∠BDP＝90°，在Rt△BDP中，BD＝4，DP＝3．
根据勾股定理得：PB＝5．
（2）把△APC绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，得到△ADB，连接PD，
∴△APC≌△ADB．
∴AD＝AP＝3，DB＝PC＝4，∠PAC＝∠DAB，∠APC＝∠2．
∴∠DAP＝∠BAC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠DAP＝60°，
∴△DAP是等边三角形．
∴PD＝3，∠1＝60°，
∴．
∴∠PDB＝90°．
∴∠2＝30°．
∴∠APC＝30°．
（3）作△ABQ，使得∠QAB＝∠PAC，∠ABQ＝∠ACP，则△ABQ∽△ACP，
∴∠AQB＝∠APC＝120°．
∵AB＝2AC，
∴△ABQ与△ACP的相似比为2．
∴AQ＝2AP＝2，BQ＝2CP，
∠QAP＝∠QAB＋∠BAP＝∠PAC＋∠BAP＝∠BAC＝60°．
取AQ中点D，连接PD，
∵AQ＝2AP，∴AD＝AP．
∴△APD是等边三角形．∴DP＝DQ．
∴∠DPQ＝∠DQP＝30°．∴∠APQ＝90°．
∴PQ＝3．∴∠BQP＝∠AQB－∠AQP＝120°－30°＝90°．
根据勾股定理得，．∴．
圆中的辅助线
模型1
连半径构造等腰三角形
已知AB是⊙O的一条弦，连接OA，OB，则∠A＝∠B．
模型分析
在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件．我们通常可以连接半径构造等腰三角形，
利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理，解决角度的计算问题
模型实例
如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求∠A．
解答：如图，连接OB，∵AB＝OC，OC＝OB，∴AB＝BO．∴∠BOC＝∠A．
∴∠EBO＝∠BOC＋∠A＝2∠A．而OB＝OE，得∠E＝∠EBO＝2∠A．
1．如图，AB经过⊙O的圆心，点B在⊙O上，若AD＝OB，且∠B＝54°．试求∠A的度数．
解答：如图，连接OC、OD．∵∠B＝54°，OC＝OB，∴∠AOC＝2∠B＝108°．
又∵AD＝OB＝OD，∴∠A＝∠AOD．∵OC＝OD，
∴∠OCA＝∠ODC＝∠A＋∠AOD＝2∠A．
∴∠A＋∠OCA＋∠AOC＝∠A＋2∠A＋108°＝180°．
∴∠A＝24°．
2．如图，AB是⊙O的直径，弦PQ交AB于M，且PM＝MO，求证：则＝．
证明：如图，连接OP、OQ．
∵PM＝OM，
∴∠P＝∠MOP．
∵OP＝OQ，
∴∠P＝∠Q．
∵∠QMO＝2∠MOP，
∴∠BOQ＝3∠MOP．
∴∠AOP＝∠BOQ．
∴＝．
模型2
构造直角三角形
如图①，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o.
如图②，已知AB是⊙O的一条弦，过点O作OE⊥AB，则OE2+AE2=OA2.
模型分析
(1)
如图①,当图形中含有直径时,构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路,在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造.
(2)如图②，在解决求弦长、弦心距、半径问题时，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，再利用勾股定理进行计算.
模型实例
例1
已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，BE=6，∠DEB=60o.求CD的长.
解答:
如图,过O作ＯＦ⊥ＣＤ于点Ｆ，连接ＯＤ．∵ＡＢ＝ＡＥ＋ＥＢ，ＡＥ＝２，ＥＢ＝６，
∴ＡＢ＝８．∴ＯＡ＝ＡＢ＝４．∴ＯＥ＝ＯＡ－ＡＥ＝４－２＝２
在Ｒｔ△ＯＥＦ中,∠DEB=60?,OE=2,∴EF=1,OF=.
在Rt△ODF中,,∴.∴.
∵OF⊥CD,∴CD=2DF=
例2
如图,AB是⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E,∠BAC=45?.
(1)求∠EBC的度数;
(2)求证:BD=CD.
解答
（1）∵AB＝AC，∠BAC＝45°，
∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EBC＝90°－67.5°＝22.5°．
（2）连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°．
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD(等腰三角形三线合一性质)．
练习
1．如图，⊙O的弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AE＝5，BE＝13，点O到AB的距离为2．求点O到CD距离，线段OE的长即⊙O的半径．
解答：如图，连接OB，过O分别作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N．
∵AB＝AE＋BE＝5＋13＝18，
∴AM＝AB＝9．
又∵OM＝2，
∴在Rt△OBM中，
BO＝＝＝11，
由图知，四边形ONEM是矩形，
∴ON＝EM＝AM－AE＝9－5＝4，
∴OE＝＝＝2．
2．已知，AB和CD是⊙O的两条弦，且AB⊥CD于点H，连接BC、AD，作OE⊥AD于点E．求证：OE＝BC．
证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点F，连接DF、BD．
∵OE⊥AD，
∴AE＝DE．
∵OA＝OF，
∴OE是△ADF的中位线．
∴OE＝DF．
∵AB⊥CD，
∴∠ABD＋∠CDB＝90°．
∵AF是直径，
∴∠ADF＝90°．
∴∠DAF＋∠F＝90°．
∵∠ABD＝∠F，
∴∠CDB＝∠DAF．
∴DF＝BC．
∴OE＝BC．
3．如图，直径AB＝2，AB、CD交于点E且夹角为45°．则CE2＋DE2＝__________．
解答：如图，过点O作OF⊥CD于点F，连接OD．
设OF＝a，DF＝b，
则在Rt△OFD中，a2＋b2＝1．
∴CF＝DF＝b．
∵∠BED＝45°，
∴OF＝EF＝a．
∴CE2＋DE2＝(b－a)2＋(a＋b)2＝2(a2＋b2)＝2．
模型3
与圆的切线有关的辅助线
模型分析
（1）已知切线：连接过切点的半径；如图，已知直线AB是⊙O的切线，点C是切点，连接OC，则OC⊥AB．
（2）证明切线：①当已知直线经过圆上的一点时，连半径，证垂直；
如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线．
②如果不知直线与圆是否有交点时，作垂直，证明垂线段长度等于半径；
如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线．
模型实例
例1
如图，OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q点的切线交OA的延长线于R．求证：RP＝PQ．
证明
连接OQ．
∵OQ＝OB，
∴∠OQB＝∠OBQ．
∵RQ为⊙O的切线，OA⊥OB，
∴∠BPO＝90°－∠OBQ，∠BQR＝90°－∠OQB．
∴∠BPO＝∠QPB＝∠BQR．
∴RP＝RQ．
例2
如图，△ABC内接于⊙O，过A点作直线DE，当∠BAE＝∠C时，试确定直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
解答
直线DE与⊙O相切，理由如下：
连接AO并延长，交⊙O于点F，连接BF．
∵∠BAE＝∠C，∠C＝∠F，
∴∠BAE＝∠F
∵AF为直径，
∴∠ABF＝90°．
∴∠F＋∠BAF＝90°．
∴∠BAE＋∠BAF
∴FA⊥DE．
又∵AO是⊙O的半径，
∴直线DE与⊙O相切．
小猿热搜
1．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC相交于点D、E，BD＝CD，过点D作⊙O的切线交AC于点F．求证：DF⊥AC．
证明：如图，连接OD．
∵DF是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥DF．
∴∠ODF＝90°．
∵BD＝CD，OA＝OB，
∴OD是△ABC的中位线．
∴OD∥AC．
∴∠CFD＝∠ODF＝90°．
∴DF⊥AC．
2．如图，AB是⊙O的直径，AC是它的切线，CO平分∠ACD．求证：CD是⊙O的切线．
证明：
如图，过O点作OE⊥CD于点E．
∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC．
∵CO平分∠ACD，OE⊥CD，
∴OA＝OE．
∴CD是⊙O的切线．
3．如图，直线AC与⊙O相交于B、C两点，E是的中点，D是⊙O上一点，若∠EDA＝∠AMD．求证：AD是⊙O的切线．
证明：如图，连接OE交BC于点F，连接OD．
∵E是是的中点，
∴OE⊥BC．
∴∠E＋∠EMF＝90°．
∵∠EDA＝∠AMD，∠AMD＝∠EMF，
∴∠ADM＋∠E＝90°．
∵OE＝OD，
∴∠E＝∠ODE．
∴∠ODE＋∠ADM＝90°，即∠ODA＝90°．
∴OD⊥AD．
∴AD是⊙O的切线．
第十二章
辅助圆
模型1
共端点，等线段模型
如图①，出现“共端点，等线段”时，可利用圆定义构造辅助圆．
如图②，若OA＝OB＝OC，则A、B、C三点在以O为圆心，OA为半径的圆上．
如图③，常见结论有：∠ACB＝∠AOB，∠BAC＝∠BOC.
模型分析
∵OA＝OB＝OC.
∴A、B、C三点到点O的距离相等．
∴A、B、C三点在以O为圆心，OA为半径的圆上．
∵∠ACB是的圆周角，∠AOB是的圆心角，
∴∠ACB＝∠AOB.
同理可证∠BAC＝∠BOC.
（1）若有共端点的三条线段，可考虑构造辅助圆．
（2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题．
模型实例
如图，△ABC和△ACD都是等腰三角形，AB＝AC，AC＝AD，连接BD．
求证：∠1＋∠2＝90°.
证明
证法一：如图①，
∵AB＝AC＝AD．∴B、C、D在以A为圆心，AB为半径的⊙A上．　∴∠ABC＝∠2.
在△BAC中，∵∠BAC＋∠ABC＋∠2＝180°,∴2∠1＋2∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝90°.
证法二：如图②，
∵AB＝AC＝AD．∴∠BAC＝2∠1．∵AB＝AC，
∴B、C、D在以A为圆心，AB为半径的⊙O上．
延长BA与圆A相交于E，连接CE．
∴∠E＝∠1．（同弧所对的圆周角相等．）
∵AE＝AC，∴∠E＝∠ACE.
∵BE为⊙A的直径，∴∠BCE＝90°．
∴∠2＋∠ACE＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.
小猿热搜
1．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，在△ABC的外侧作直线AP，点B与点
D关于AP轴对称，连接BD、CD，CD与AP交于点E．求证：∠1＝∠2．
证明
∵A、D关于AP轴对称，∴AP是BD的垂直平分线．
∴AD＝AB，ED＝EB．又∵AB＝AC.
∴C、B、D在以A为圆心，AB为半径的圆上．
∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD.
∴∠2＝2∠EDB.又∵∠1＝2∠CDB.
∴∠1＝∠2.
2．己知四边形ABCD，AB∥CD，且AB＝AC＝AD＝a，BC＝b，且2a＞b，求BD的长．
解答
以A为圆心，以a为半径作圆，延长BA交⊙A于E点，连接ED．
∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∠DAE＝∠CDA.
∵AC＝AD，
∴∠DCA＝∠CDA.
∴∠DAE＝∠CAB.在△CAB和△DAE中．
∴△CAB≌△DAE.
∴ED＝BC＝b
∵BE是直径，∴∠EDB＝90°.
在Rt△EDB中，ED＝b，BE＝2a，
∴BD＝＝＝．
模型2
直角三角形共斜边模型
模型分析
如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得：OC=OD=OA=OB，
∴A、B、C、D四点共圆．
共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；
四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一．
模型实例
例1　如图，AD、BE、CF为△ABC的三条高，H为垂线，问：
图中有多少组四点共圆？
求证：∠ADF＝∠ADE．
解答
６组
①C、D、H、E四点共圆，圆心在CH的中点处；
②D、B、F、H四点共圆，圆心在BH的中点处；
③A、E、H、F四点共圆，圆心在AH的中点处；
④C、B、F、E四点共圆，圆心在BC的中点处；
⑤B、A、E、D四点共圆，圆心在AB的中点处；
⑥C、D、F、A四点共圆，圆心在AC的中点处．
（２）如图，由B、D、H、F四点共圆，得∠ADF=∠1.
同理：由A、B、D、E四点共圆，得∠ADE=∠１.
∴∠ADF＝∠ADE．
例2　　如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外
角平分线于点F，求证：FE=DE.
解答
如图，连接DB、DF.
∵四边形ABCD是正方形，且BF是∠CBA的外角平分线，
∴∠CBF=45°，∠DBC=45°，
∴∠DBF=90°．
又∵∠DEF=90°，
∴D、E、B、F四点共圆．
∴∠DFE=∠DBE=45°（同弧所对的圆周角相等）．
∴△DEF是等腰直角三角形．
∴FE=DE．
1.如图，锐角△ABC中，BC.CE是高线，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F，求证：
证明：由于Rt△BCE与Rt△BCD共斜边BC，
∴B、C、D、E四点共圆．
∴∠DBC=∠DEG，
同理，Rt∠EDF与Rt△DGE共斜边DE，
∴D、E、F、G四点共圆．
于是∠DEG=∠DFG，
因此，∠DBC=∠DFG．
于是FG∥BC
2.
如图，
BE.CF为△ABC的高，且交于点H,连接AH并延长交于BC于点D,求证：AD⊥BC.
3.如图，等边△PQR内接于正方形ABCD,其中点P,Q,R分别在边AD,AB,DC上，M是QR的中点.求证：不论等边△PQR怎样运动，点M为不动点.
4.如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB,TE⊥AC.求证：∠AHD=∠AHE.
补充：
图①
图②
图③
图①
图②
图①
图②
图③
A
B
O
C
D
A
B
O
Q
M
P
A
B
O
D
F
C
E
C
B
O
A
D
E
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
H
O
A
B
C
D
E
O
A
B
C
O
R
B
O
Q
A
P
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
E
M
O