人教A版必修2第二章2.3.1 直线与平面垂直的判定 课件（共29张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教A版必修2第二章2.3.1 直线与平面垂直的判定 课件（共29张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-29 21:27:00 | ||
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文档简介
2.3.1直线与平面垂直的判定
生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？
实例引入
旗杆与底面垂直
（一）平面垂直定义的建构
桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象.
思考1.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系.
A
B
α
1.旗杆所在的直线始终与
影子所在的直线垂直.
C1
B1
思考2 旗杆AB与地面内任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置关系又是什么？由此可以得到什么结论？
2.垂直.直线垂直于平面内的
任意一条直线．
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直，
记作 ．
平面 的垂线
直线 l 的垂面
垂足
直线与平面垂直
?
L
P
直线和平面垂直的画法:
通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直。
深入理解“线面垂直定义”
辨析1判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例）
2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与平面垂直. （ )
1.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有的直线都垂直. （ ）
b
α
a
利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.
探索新知：
但是，直接考察直线与平面内所有直线都垂直是不可能的，这就有必要去寻找比定义法更简捷、更可行的直线与平面垂直的方法!
分析实例—猜想定理
问题①在长方体ABCD－A1B1C1D1模型中，棱BB1与底面ABCD垂直，观察BB1与底面ABCD内直线AB、BC有怎样的位置关系？由此你认为保证BB1⊥底面ABCD的条件是什么？
问题②如何将一张长方形贺卡直立于桌面？
（二）直线与平面垂直的判定定理的探究
做一做
想一想
A
B
C
D
1.折痕AD与桌面垂直吗？
2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）
分析实例—猜想定理
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面 垂直．
2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
分析实例—猜想定理
由刚才分析可以知道，直线与平面垂直的判定需要哪几个条件？
你能根据刚才的分析归纳出直线与平面垂
直判定定理吗
(1) 平面有两条直线
(2) 这两条直线要相交
(3) 平面外的直线要与这两条直线都垂直
分析实例—猜想定理
二、 直线与平面垂直的判定定理：
线线垂直 线面垂直
m
n
P
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
一相交两垂直
质疑反思—深化定理
辨析2：下列命题是否正确，为什么？
如果一条直线与平面内的两条平行直线都垂直，那么该直线垂直于这个平面。
例1 如图有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有两条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上)C、D。如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？
（三） 直线与平面垂直判定定理的初步应用
B
C
O
例2 求证：与三角形的两条边同时垂直的直线必与
第三条边垂直.
l
例3.如图，已知a∥b、a⊥α.
求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线，由直线与平面垂直的定义可知，直线a与这两条相交直线是垂直的，又由b平行a，可证b与这两条相交直线也垂直，从而可证直线与平面垂直。
a
b
例3.如图，已知a∥b、a⊥α.
求证：b⊥α.
（线面垂直 线线垂直）
（线线垂直 线面垂直）
（四）总结反思—提高认识
（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断
直线与平面垂直的方法？
（2）在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题？
（3）本节课涉及到哪些数学思想和方法？
（4）本节课你还有哪些问题？
直线与平面
垂直的判定
定义法
间接法
直接法
如果两条
平行直线中的
一条垂直于一
个平面，那么
另一条也垂直
于同一个平面。
如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线
此直线垂直于这个平面
判定定理
如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平面。
（1）
（2）数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
（五）布置作业—自主探究
必做题：如图（1），在三棱锥V-ABC中，VA=VC,
AB=BC,求证：VB⊥AC.
选做题：如图（2）：SA平面ABC,ABBC,过A作SB的
垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F.求证:AFSC.
(1) (2)
（1） （2）
V
不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果。
V
A
B
C
.
D
练习：
提示：找AC中点D,连接VD,BD
1.如图，在三棱锥V-ABC,VA=VC,AB=BC求证: VB⊥AC.
中
外
垂
3. 已知：如图 ，空间四边形 ABCD 中，
DB＝DC，取 BC 中点 E，连接 AE、DE，
求证：BC⊥平面 AED.
证明：∵AB＝AC，DB＝DC，E 为BC 中点，
∴AE⊥BC，DE⊥BC.
又∵AE 与DE 交于E，∴BC⊥平面AED.
由判定定理可知要证明直
线垂直平面，只需证明直线与平面内的任意两
条相交直线垂直即可．
4:如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC与BD的交点，且PA =PC ,PB =PD .
求证：PO⊥平面ABCD
C
A
B
D
O
P
=
ABCD
PO
O
BD
AC
平面
又
^
\
I
Q
BD
PO
BD
O
PD
PB
的中点
是
点
又
^
\
=
Q
,
AC
PO
AC
O
PC
PA
的中点
是
点
证明
^
\
=
Q
,
P
A
B
C
O
5.如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O 的直径，C 在圆周上, 且PA AC, PA AB,
求证：（1）PA BC
（2）BC 平面PAC
证明：∵PA ⊥⊙O 所在平面，
BC?⊙O 所在平面，∴PA ⊥BC，
∵AB 为⊙O 直径， ∴AC⊥BC，
又 PA ∩AC＝A， ∴BC⊥平面 PAC，
又 AE?平面 PAC，∴BC⊥AE，
∵AE⊥PC, PC∩BC＝C，
∴AE⊥平面 PBC.
6.如图 6，已知 PA ⊥⊙O 所在平面，
AB 为⊙O 直径，C 是圆周上任一点，
过 A 作 AE⊥PC 于 E，求证：AE⊥平面 PBC.
7. 已知：正方体中，AC是面对角线，BD′是与AC 异面的体对角线.求证：AC⊥BD′
A
B
D
C
A′
B′
C
D
′
′
生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？
实例引入
旗杆与底面垂直
（一）平面垂直定义的建构
桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象.
思考1.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系.
A
B
α
1.旗杆所在的直线始终与
影子所在的直线垂直.
C1
B1
思考2 旗杆AB与地面内任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置关系又是什么？由此可以得到什么结论？
2.垂直.直线垂直于平面内的
任意一条直线．
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直，
记作 ．
平面 的垂线
直线 l 的垂面
垂足
直线与平面垂直
?
L
P
直线和平面垂直的画法:
通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直。
深入理解“线面垂直定义”
辨析1判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例）
2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与平面垂直. （ )
1.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有的直线都垂直. （ ）
b
α
a
利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.
探索新知：
但是，直接考察直线与平面内所有直线都垂直是不可能的，这就有必要去寻找比定义法更简捷、更可行的直线与平面垂直的方法!
分析实例—猜想定理
问题①在长方体ABCD－A1B1C1D1模型中，棱BB1与底面ABCD垂直，观察BB1与底面ABCD内直线AB、BC有怎样的位置关系？由此你认为保证BB1⊥底面ABCD的条件是什么？
问题②如何将一张长方形贺卡直立于桌面？
（二）直线与平面垂直的判定定理的探究
做一做
想一想
A
B
C
D
1.折痕AD与桌面垂直吗？
2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）
分析实例—猜想定理
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面 垂直．
2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
分析实例—猜想定理
由刚才分析可以知道，直线与平面垂直的判定需要哪几个条件？
你能根据刚才的分析归纳出直线与平面垂
直判定定理吗
(1) 平面有两条直线
(2) 这两条直线要相交
(3) 平面外的直线要与这两条直线都垂直
分析实例—猜想定理
二、 直线与平面垂直的判定定理：
线线垂直 线面垂直
m
n
P
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
一相交两垂直
质疑反思—深化定理
辨析2：下列命题是否正确，为什么？
如果一条直线与平面内的两条平行直线都垂直，那么该直线垂直于这个平面。
例1 如图有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有两条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上)C、D。如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？
（三） 直线与平面垂直判定定理的初步应用
B
C
O
例2 求证：与三角形的两条边同时垂直的直线必与
第三条边垂直.
l
例3.如图，已知a∥b、a⊥α.
求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线，由直线与平面垂直的定义可知，直线a与这两条相交直线是垂直的，又由b平行a，可证b与这两条相交直线也垂直，从而可证直线与平面垂直。
a
b
例3.如图，已知a∥b、a⊥α.
求证：b⊥α.
（线面垂直 线线垂直）
（线线垂直 线面垂直）
（四）总结反思—提高认识
（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断
直线与平面垂直的方法？
（2）在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题？
（3）本节课涉及到哪些数学思想和方法？
（4）本节课你还有哪些问题？
直线与平面
垂直的判定
定义法
间接法
直接法
如果两条
平行直线中的
一条垂直于一
个平面，那么
另一条也垂直
于同一个平面。
如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线
此直线垂直于这个平面
判定定理
如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平面。
（1）
（2）数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
（五）布置作业—自主探究
必做题：如图（1），在三棱锥V-ABC中，VA=VC,
AB=BC,求证：VB⊥AC.
选做题：如图（2）：SA平面ABC,ABBC,过A作SB的
垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F.求证:AFSC.
(1) (2)
（1） （2）
V
不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果。
V
A
B
C
.
D
练习：
提示：找AC中点D,连接VD,BD
1.如图，在三棱锥V-ABC,VA=VC,AB=BC求证: VB⊥AC.
中
外
垂
3. 已知：如图 ，空间四边形 ABCD 中，
DB＝DC，取 BC 中点 E，连接 AE、DE，
求证：BC⊥平面 AED.
证明：∵AB＝AC，DB＝DC，E 为BC 中点，
∴AE⊥BC，DE⊥BC.
又∵AE 与DE 交于E，∴BC⊥平面AED.
由判定定理可知要证明直
线垂直平面，只需证明直线与平面内的任意两
条相交直线垂直即可．
4:如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC与BD的交点，且PA =PC ,PB =PD .
求证：PO⊥平面ABCD
C
A
B
D
O
P
=
ABCD
PO
O
BD
AC
平面
又
^
\
I
Q
BD
PO
BD
O
PD
PB
的中点
是
点
又
^
\
=
Q
,
AC
PO
AC
O
PC
PA
的中点
是
点
证明
^
\
=
Q
,
P
A
B
C
O
5.如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O 的直径，C 在圆周上, 且PA AC, PA AB,
求证：（1）PA BC
（2）BC 平面PAC
证明：∵PA ⊥⊙O 所在平面，
BC?⊙O 所在平面，∴PA ⊥BC，
∵AB 为⊙O 直径， ∴AC⊥BC，
又 PA ∩AC＝A， ∴BC⊥平面 PAC，
又 AE?平面 PAC，∴BC⊥AE，
∵AE⊥PC, PC∩BC＝C，
∴AE⊥平面 PBC.
6.如图 6，已知 PA ⊥⊙O 所在平面，
AB 为⊙O 直径，C 是圆周上任一点，
过 A 作 AE⊥PC 于 E，求证：AE⊥平面 PBC.
7. 已知：正方体中，AC是面对角线，BD′是与AC 异面的体对角线.求证：AC⊥BD′
A
B
D
C
A′
B′
C
D
′
′