1.4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 课件（共28张PPT）-北师大版（2019）必修第二册第一章第四节

单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
授课教师：
温故知新
学习目标
1. 通过单位圆研究正弦函数、余弦函数的基本性质. （重点）
2. 掌握正弦函数、余弦函数的基本性质(定义域、最大(小)值，值域、周期性、单调性).（难点）
3. 掌握正弦函数值域余弦函数值的符号.（重点）
课文精讲
观察图，设任意角α的终边与单位圆交于点P(u，v) ，当自变量α变化时，点P的横坐标、纵坐标也在变化.因此.根据正弦函数v =sinα和余弦函数u=cosα的定义.不难看出它们具有以下基本性质.
导入
课文精讲
正弦函数、余弦函数的定义域均是R.
定义域
课文精讲
当自变量α∈R时，0≤|sinα| ≤ 1，0 ≤|cosα| ≤1.
当α=2kπ+ ，k∈Z时，正弦函数v=sinα取得最大值1；
当α=2kπ- ，k∈Z时，正弦函数取得最小值-1.
最大(小)值、值域
????????
?
????????
?
课文精讲
当自变量α∈R时，0≤|sinα| ≤ 1，0 ≤|cosα| ≤1.
当α=2kπ，k∈Z时，余弦函数u=cosα取得最大值1；
当α=(2k+1) π， k∈Z时，余弦函数取得最小值-1.
最大(小)值、值域
课文精讲
因为函数v =sinα，u=cosα均能取到-1和1之间的任意值，所以它们的值域均为[-1，1].
最大(小)值、值域
课文精讲
根据正弦函数、余弦函数的定义(如图).有
终边相同的角的正弦函数值相等，即对任意k∈Z，sin(α+2kπ)=sinα，α∈R；
终边相同的角的余弦函数值相等，即对任意k∈Z，cos(α+2kπ)=cosα，α∈R.
周期性
课文精讲
上述两个等式说明：对于任意一个角α，每增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变，所以正弦函数v= sinα和余弦函数u=cosα均是周期函数.对任何k∈Z且k≠0，2kπ均是它们的周期，最小正周期为2π.
周期性是正弦函数、余弦函数最重要的性质.
周期性
课文精讲
根据正弦函数的定义，在单位圆中，如图①，当角α由 增加到 时，sinα的值由
-1增加到1；
单调性
-?????????
?
?????????
?
图①
课文精讲
如图②，当角α由sinα的值由1减小到-1.因此正弦函数在区间[ ， ]上单调递增，在区间[ ， ]上单调递减.
单调性
-?????????
?
?????????
?
图②
?????????
?
?????????????
?
课文精讲
由正弦函数的周期性可知，对任意的k∈Z ，正弦函数在区间[2kπ- ， 2kπ+ ]上单调递增，在区间[2kπ+ ， 2kπ+ ]上单调递减.
单调性
????????
?
????????
?
?????????????
?
????????
?
课文精讲
请借助单位圆，讨论余弦函数的单调性.
单调性
由余弦函数的周期性可知，对任意的k∈Z ，余弦函数在区间[2kπ-π， 2kπ]上单调递增，其值从-1增大到1；在区间[2kπ， 2kπ+π]上单调递减，其值从1减到-1.
课文精讲
正弦函数值和余弦函数值的符号
根据正弦函数和余弦函数的定义，如图，在平面直角坐标系中，当点P(u，v)在上
半平面时，正弦函数(v= sinα)值为正，即点P在第一、第二象限或y轴的正半轴时，正弦函
数值为正；
课文精讲
正弦函数值和余弦函数值的符号
当点P在x轴上时，正弦函数值为零；当点P在平面直角坐标系的下半平面时，正弦函数值为负，即点P在第三、第四象限或y轴的负半轴时，正弦函数值为负.
课文精讲
正弦函数值和余弦函数值的符号
同理，当点P在平面直角坐标系的右半平面时，余弦函数值为正，即点P在第一、第四象限或x轴的正半轴时，余弦函数值为正；当点P在y轴上时，余弦函数值为零；当点P在左半平面时，余弦函数值为负，即点P在第二、第三象限或x轴的负半轴时，余弦函数值为负.
课文精讲
正弦函数值和余弦函数值的符号
x
y
O
(-)
(-)
(+)
(+)
sinα
x
y
O
(+)
(-)
(-)
(+)
cosα
正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号如图所示：
典型例题
例1：借助单位圆，讨论函数v=sinα在给定区间上的单调性.
(1) ( ， ]； (2) [ ， ].
解：画出图，可知：
(1)函数v=sinα在区间( ， ]上单调递增；
-?????????
?
?????????
?
-?????????
?
?????????????
?
-????????
?
????????
?
典型例题
例1：借助单位圆，讨论函数v=sinα在给定区间上的单调性.
(1) ( ， ]； (2) [ ， ].
解：画出图，可知：
(2)函数v=sinα在区间) [ ， ]上单调递增，
在区间[ ， ]上单调递减.
-?????????
?
?????????
?
-?????????
?
?????????????
?
-????????
?
?????????
?
?????????
?
?????????????
?
典型例题
例2：求函数v=cosα在区间[ ， ]上的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时自变量α的值.
解：画出图，可知：
当α= 时，函数v=cosα取得最大值，最大值为 ；
?????????????
?
?????????????????
?
?????????????????
?
cos ?????????????????=?????????
?
当α=π时，函数v=cosα取得最小值，最小值为cosπ=-1.
设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则
课文精讲
sinα=????????， cosα =????????.
?
其中
r=?????????+?????????.
?
例3：在单位圆中，
(1)画出角α；
(2)求角α的正弦函数值和余弦函数值.
典型例题
α=-???????? .
?
解：(1)如图，以原点为角的顶点，以x轴的非
负半轴为始边，顺时针旋转 ，与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线交x轴于
点M.于是α=∠MOP=- 即为所作
的角.
????????
?
????????
?
例3：在单位圆中，
(1)画出角α；
(2)求角α的正弦函数值和余弦函数值.
典型例题
α=-???????? .
?
解：(2)设点P(u，v)，则
u=???????? ，
?
v =-????????，
?
sin ????????=v=-????????
?
，cos ????????=u=????????.
?
已知角α的终边与单位圆的交点的坐标为(a，b)，若?????= ?????，则cosα的值为( )
A. ???????? B. ????????? C. D.
?
综合练习
解：∵角α的终边与单位圆的交点的坐标为(a，
b)，若?????= ?????，
∴????= ?????，r=(?????)????+????????=????b，
cosα= ????????=?????????????=?????????.故选B.
?
±????????
?
????????
?
B
不等式sinx＜0，x∈[ ， ]的解集为__________________.
综合练习
解：根据函数y= sinx的图象，得
sinx＜0的解集为[-?????????，0)∪(????， ????????????].
?
?????????
?
[-?????????，0)∪(????， ????????????]
?
????????????
?
本课小结
再 见