数学人教A版（2019）必修第二册第八章 球的体积和表面积课件（共29张PPT）

球的体积和表面积
球体无处不在！
已知标准篮球的直径为24.6厘米，则制作和使用篮球往往需要考虑：
（1）制成一个篮球需要多少皮革？
（2）充满一个篮球需要多少气体？
如何计算球的表面积？
如何计算球的体积？
课前探究任务
请你观察一下生活中常见的球形物体，尝试测出其体积，你发现了什么规律？
回顾：球体的定义
回顾：球体的定义
探究一
已知半球的半径为R，圆柱和圆锥的底面半径为R，高也为R.
（1）请观察一下这三个几何体的体积之间有什么大小关系？
（2）设圆柱的体积为V，试猜想半球的体积为多少？
请各小组用实验的方法验证你的猜想是否正确.
祖暅原理
祖冲之
祖暅（geng）
幂势即同
积不容异
祖暅，字景烁，是著名数学家祖冲之的儿子，也是南北朝时代的伟大科学家。他于5世纪末提出祖暅原理。在欧洲直到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里提出相关结论，比西方国家的数学家早一千多年。
祖暅原理
祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体（它们的形状可以不同）,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面(阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等。
祖冲之父子是我们中华民族的骄傲和自豪！
R
探究二
用平行于半球底面且与半球底面的距离为h的平面去截两个几何体，所截得的面积分别为S1，S2，试用R和h表示S1，S2，并说明它们有什么关系。
半径为R的球的体积
O R
割之弥细，失之弥少
割之又割，以至于不可割
则与圆合体，而无所失矣
刘徽割圆术
学生活动：切橙子
把半球分割成n个薄片
把半球分割成n个薄片
把半球分割成n个薄片
分割→取近似→求和→取极限
探究三
O
o
球的体积V可以如何表示？试着推导出球的表面积公式.
分割越细密，即n越大，每一片的顶点和球心的连线构成的几何体接近什么几何体？其体积Vi可以如何近似求解？请列式表示出来.
经线圈和纬线圈将球面分割成n片，这n片的面积分别记为S1, S2,…, Sn，球的表面积S与S1, S2,…, Sn有什么关系？
都是以R为自变量的函数
已知标准篮球的直径为24.6厘米，请大家计算篮球的表面积和体积。
例题：如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？（假设冰淇淋融化前后体积不变）
12 cm
4 cm
课堂小结
通过本节课的学习，你有什么体会和收获呢？
作业布置
必做题：课本 P29 习题1.3 B组 第1题；
思考题：
1. 请查阅资料，试着用微积分的方法推导球的体积公式。你还能想到别的推导球的体积和表面积的方法吗？
2. （1）把钢球放入一个正方体的有盖
纸盒中，已知正方体的棱长为a,求钢球
的最大半径为多少? （2）正方体的各个顶点都在一个球
的球面上，已知正方体的棱长为a，求
该球的半径为多少?
谢谢大家