18.1.1勾股定理
第一课时
一跃教材知能提炼
【题组练习1】
1. 下列说法正确的是（ ）
A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；
B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；
C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2；
D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2。
2. 已知直角三角形的两直边分别为3cm，4cm，则正确的组合为（ ）
①斜边边长为25cm ②斜边边长为5cm ③周长为12cm ④面积为6cm2
⑤面积为12cm2
A.①② B.②③④ C.②③⑤ D.①④
3. 20世纪末，数学家怀尔斯解决了困扰人们300多年的数学难题“费尔马大定理”，而“费尔马大定理”的提出可追溯于对“勾股定理”的探索，如果a、b表示直角三角形的直角边长，c为斜边长，勾股定理可表述为_________________________．
4．（1）在△ABC中，∠C=90°，若a=5，b=6，则c=_______；
（2）在△ABC中，∠C=90°，若a=8，c=17，则b=_______；
（3）在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2cm，则AB=_____cm，AC=______cm．
5．写出图18-1-1中字母表示的值：a=______，b=______，c=_______，d=_____．
6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AC=16cm，则AB=________．
7.在直角三角形中，两直角边的长分别为33cm、44cm，求斜边的长．
【知识点1小结】
勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
【题组练习2】
8 如图18-1-2,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．
9.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图18-1-1-3所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，验证：c2＝a2＋b2.
【知识点2小结】
关于勾股定理的证明方法有很多．赵爽的证法是一种面积证法，其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。
二跃学科能力内化
10．【易错题】如图18-1-1-4所示，可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形．借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？
11．【易错题】在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直？
12．【变式题】根据如图18-1-1-5所示，利用面积法证明勾股定理.
13．【情景题】4个全等的直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c．现把它们适当拼合，可以得到如图18-1-1-6所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．
三跃课标能力升华
14. 【生活应用题】某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图18-1-1-7所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？
15.【开放题】下面是数学课堂的一个学习片段, 阅读后, 请回答下面的问题:
学习勾股定理有关内容后, 张老师请同学们交流讨论这样一个问题: “已知直角三角形ABC的两边长分别为3和4, 请你求出第三边.”
同学们经片刻的思考与交流后, 李明同学举手说: “第三边长是5”; 王华同学说: “第三边长是.” 还有一些同学也提出了不同的看法……
（1）假如你也在课堂上, 你的意见如何 为什么
（2）通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受 (用一句话表示)
16.【探究题】一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图18-1-1-8，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB=a,BC=b,AC=c，请利用四边形BCCD′的面积验证勾股定理：a2+b2=c2.
一链中考典题实战
17．【2011·湖州市】利用图18-1-1-9（1）或图18-1-1-9（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 ．
二链课外空间遨游
勾股定理证明
从课本上，我们已经知道，中国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”（弦图），由形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．他利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．
传说，毕达哥拉斯利用如图18-1-1-10的拼图证明了勾股定理．他是如何证明的呢？
试一试，看看你能否对此作出解释．
一个目标发展是硬道理
成长记录宝库追求目标：题不二错、团队带动
错题题号 错解分析 正确解法 互助记录 规律总结
参考答案
1.D 2. B 3．a2+b2=c2 4．（1） （2）15 （3）4，2 5．12；；；26
6. 20cm 7. 55cm 8. 169
9.中间正方形的面积为，也可表示为，
∴=，整理得.
10.解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为ab，ab和c2．还有一个直角梯形，其面积为(a＋b)(a＋b)．
由图形可知： (a＋b)(a＋b)＝ ab＋ab＋c2
整理得(a＋b)2＝2ab＋c2， a2＋b2＋2ab＝2ab＋c2， ∴ a2＋b2＝c2 .
11. 5秒或10秒.
12. 提示：因为S梯形ABCD = S△ABE+ S△BCE+ S△EDA，
又因为S梯形ACDG=（a+b）2，
S△BCE= S△EDA=ab，S△ABE=c2,
（a+b）2=2×ab＋c2.
化简得.
13. 由图可知，边长为a、b的正方形的面积之和等于边长为c的正方形的面积
14. 当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最价
∵CD·AB=AC·BC ∴CD==48米
∴AD==64米
所以，D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为480元．
15. （1）分两种情况:当4为直角边长时，第三边长为5；当4为斜边长时，第三边长为.（2）略
16. ∵ 四边形BCC′D′为直角梯形，
∴S梯形BCC′D′=(BC+C′D′)·BD′=.
∵Rt△ABC≌Rt△AB′C′，
∴∠BAC=∠BAC′.
∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=∠CAB′+∠BAC=90°.
∴S梯形BCC′D′=S△ABC+S△CAC′+S△D′AC′= ab+c2+ab=.
∴=.
∴a2+b2=c2.
17.勾股定理，a2+b2=c2.
二链课外空间遨游
如图所示，作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即
， 整理得 .
24
10
d
1
1
1
b
c
a
9
15
图18-1-1
图18-1-1-2
S1
S2
S3
c
c
c
c
b
a
b
b
a
a
a
图18-1-1-3
a
c
c
b
b
a
图18-1-1-4
图18-1-1-5
D
A
B
C
b
a
b
a
c
c
E
图18-1-1-6
图18-1-1-7
图18-1-1-8
图18-1-1-9
（1）
（2）
（1）
（2）
图18-1-1-1018.1.2勾股定理
第二课时
一跃教材知能提炼
【题组练习1】
1．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是cm，则另一条直角边的长是（ ）
A. 4cm B. cm C. 6cm D. cm
2．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ ）
A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 33
3．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )
A. 9分米 B. 15分米 C. 5分米 D. 8分米
4． 如图18-1-2-1，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
5. 等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为 ，面积为 .
6. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ．
7．一天，小明买了一张底面是边长为260cm的正方形，厚30cm的床垫回家．到了家门口，才发现门口只有242cm高，宽100cm．你认为小明能拿进屋吗？ ．
【知识点1小结】
在直角三角形中，若已知任意两边，就可以运用勾股定理求出第三边．无直角时，可作垂线构造直角三角形.勾股定理的作用：（1）计算；（2）证明带有平方的问题；（3）实际应用．
【题组练习2】
8. 如图18-1-2-2，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9. 如图18-1-2-3所示，在△ABC中，三边a,b,c的大小关系是（ ）
A.a＜b＜c B. c＜a＜b C. c＜b＜a D. b＜a＜c
10. 第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一连串如图18-1-2-4所示的直角三角形演化而成的. 设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=……=A8A9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中：
OA2 OA3 OA4 OA5 OA6 OA7 OA8
【知识点2小结】
利用勾股定理可以画出长度是无理数的线段，也就可以在数轴上画出表示无理数的点．领会和掌握数形结合的数学思想方法
二跃学科能力内化
11．【易错题】已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少
12．【易错题】铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25 km，C、D两村庄（视为两个点）DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15 km，CB＝10 km，现在要在铁路上建一个土特产收购站E使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
13．【作图题】如图18-1-2-6，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，任意连结这些小正方形的顶点，可得到一些线段.请在图中画出这样的线段，并选择其中的一个说明这样画的道理.
14．【情景题】“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过km/h.如图18-1-2-7，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为m，这辆小汽车超速了吗？
三跃课标能力升华
15. 【生活应用题】将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm， 在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图18-1-2-8. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm）.
16.【趣味题】如图18-1-2-9，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．
（1）如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端也将下滑1m吗？说明你的方法；
（2）如果梯子的顶端下滑2m呢？说说你的理由．
17.【探究题】已知：正方形的边长为1，如图18-1-2-10（a），可以计算出正方形的对角线长为.如图18-1-2-10（b）,求两个并排成的矩形的对角线的长.n个呢？（2）若把18-1-2-10（c）、（d）两图拼成如下“L”形，过C作直线交DE于A，交DF于B.若DB=，求DA的长度.
一链中考典题实战
18．【2011临沂市】如图18-1-2-11，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA＝OB＝1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn＝___ _____.
19．【2011黄冈】如图18-1-2-12，在ΔABC中，AB=AC=10，BC=8．用尺规作图作BC边上的中线AD（保留作图痕迹，不要求写作法、证明），并求AD的长．
二链课外空间遨游
美丽的勾股树
你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物．可是你是否见过如下的勾股树呢
你知道这是如何画出来的吗 仔细看看，你就会发现那一个个细小的部分正是我们学过的勾股图，一个一个连接在一起，构成了多么奇妙美丽的勾股树!动手画画看，相信你也能画出其他形态的勾股树．
一个目标发展是硬道理
成长记录宝库追求目标：题不二错、团队带动
错题题号 错解分析 正确解法 互助记录 规律总结
参考答案
1.C 2.C 3.D 4.10 5.6cm, 24cm2 6. 6, 8, 10 7.能 8.C 9.B 10.依次填
11. 分三种情况讨论，最短距离是5cm
12.解：如答图18-1-2-1，若设AE＝x，则BE＝25－x．
∵DA⊥AB于A
在Rt△ADE中，由勾股定理得AD2＋AE2＝DE2
∵CB⊥AB于B．∴在Rt△ECB中 EB2＋BC2＝CE2
∵DE＝CE ∴DE2＝CE2
∴AD2＋AE2＝EB2＋BC2 ∴152＋x2＝(25－x)2＋102 x＝10
答：E站应建在距A站10 km处．
13.略
14. 车速为72km/h,这辆小汽车超速了。
15. h=170cm
16.（1）底端下滑不止1米；（2）底端也下滑2米 5．49cm2
17.（1），；（2）
18.
19.（1）作图正确得2分（不保留痕迹的得1分）
（2）在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
.
在Rt△ABD中，AB＝10，BD＝4，，
.
二链课外空间遨游
略
图18-1-2-1
A
B
C
图18-1-2-2
图18-1-2-3
图18-1-2-4
Dˊ
A
B
C
D
Aˊ
Bˊ
Cˊ
图18-1-2-5
图18-1-2-6
图18-1-2-7
A
小汽车
小汽车
B
C
观测点
120
90
图18-1-2-8
图18-1-2-9
图18-1-2-10
图18-1-2-11
A
B
C
图18-1-2-12
答图18-1-2-1
