18.2.2勾股定理逆定理
第二课时
一跃教材知能提炼
【题组练习】
1. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )
A.7,24,25 B.3,4,5 C.3,4,5 D.4,7,8
2．在下列说法中是错误的（ ）
A．在△ABC中，∠C＝∠A-∠B，则△ABC为直角三角形.
B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC为直角三角形.
C．在△ABC中，若a＝c，b＝c，则△ABC为直角三角形.
D．在△ABC中，若a：b：c＝2：2：4，则△ABC为直角三角形.
3. 有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（ ）
A．2，4，8 B.4,8,10 C.6,8,10 D.8,10,12
4．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 , , .
5．若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 .
6．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 .
7.已知两条线段的长为5cm和2cm,当第三条线段的长为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.
8.木工周师傅加工一个长方形桌面，测量得到桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，这个桌面 (填“合格”或“不合格”)。
9.如图18-2-2-1，△ABC中，D是BC上的一点， 若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，
则△ABC的面积为 。
10. 传说,古埃及人曾用“拉绳”的方法画直角,现有一根长12厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为12厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边长度分别为_ ______厘米，其中的道理是______________________。
【知识点小结】
应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，建立数学模型；体会从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养转化、推理的能力.
二跃学科能力内化
11．【易错题】已知：如图18-2-2-2，AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，AB⊥AD，求证：BC⊥BD．
12．【易错题】如图18-2-2-3，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=5km,BC=12km,AC=13km.要从B修一条公路BD直达AC.已知公路的造价为26000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？
13．【变式题】如图18-2-2-4，已知等腰△ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长.
三跃课标能力升华
14．【趣味题】如图18-2-2-5，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.
15.【学科内综合题】如图18-2-2-6，在△ABC中，∠ACB=90 ，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．
16.【探究题】如图18-2-2-7，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
一链中考典题实战
17．【2011青海】已知在△ABC中，三条边长分别为a、b、c，且a＝n，b＝ ，c＝（n是大于2的偶数）。求证：△ABC是直角三角形。
18．【2011黑龙江】如图18-2-2-8，在等腰Rt△ABC中，∠CAB＝90°，P是△ABC内一点，且PA＝1，PB＝3，PC＝，求：∠CPA的大小 。
二链课外空间遨游
从勾股定理到费马定理
法国人费马（Fermart,1601-1665）在阅读古希腊数学家丢番图的《算术》一书中论述求的一般解的问题时，在书的空白处，用笔写下这样的心得：“除了三元二次方程（其中都是未知数）有正整数解以外，其他的三元次方程（为已知正整数，且）都不可能有正整数解”。费马采用无穷尽下降方法，证明了的情况.1753年瑞士大数学家欧拉（Euler,1707-1783）,证明了的情况。经过半个多世纪后，乐让德（Legendre,1752-1783）和狄利克雷（Dirichelet,1805-1859）于1825年证明了的情况，费马大定理对当时的数学家是一个最大的挑战 ，在经过357年的努力，英国数学家安得鲁·维尔斯终于在1995年完全证明了费马大定理。
问题：勾股定理反映的是如图18-2-2-9，∠C=90°时S正方形ACED+S正方形BCLH=S正方形AGFB.猜想，如图18-2-2-10，BC为直径半圆的面积与AC为直径半圆的面积和是否等于AB为直径半圆的面积 为什么
一个目标发展是硬道理
成长记录宝库追求目标：题不二错、团队带动
错题题号 错解分析 正确解法 互助记录 规律总结
参考答案
1.B 2.D 3.C 4.5，12，13; 8，15，17; 11，60，61（此题答案不唯一）
5. 3或 6.120cm2 7. ；8. 合格；9. 84；10. 3，4，5，如果三角形三边满足，则它是直角三角形；
11.∵AB⊥AC，AB=4，DA=3，∴BD=5，又BC=12，CD=13，∴CD2=BC2+BD2，
∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD
12 由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形，由面积关系可求出公路的最短距离BD=km，∴最低造价为120000元
13.由BD2+DC2=122+162=202=BC2得CD⊥AB
又AC=AB=BD+AD=12+AD，
在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2，
即(12+AD)2=AD2+162，解得AD=，
故 △ABC的周长为2AB+BC=cm
14. 设AD=x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，BC为5米，
∴(x+10)2+52=(15-x)2，解得x=2，∴10+x=12（米）15. 如图，将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合，即△APC≌△BEC,
∴△PCE为等腰Rt△，∴∠CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8.
又∵PB2=1，BE2=9，
∴PE2+ PB2= BE2,则∠BPE=90°，∴∠BPC=135°.
16.解：设MN交AC于E，则∠BEC=900.
又AB2+BC2=52+122=169=132=AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC=900.
又∵MN⊥CE，∴走私艇C进入我领海的最近距离是CE，
则CE2+BE2=144，（13-CE）2+BE2=25，得26CE=288，
∴CE=. ÷≈0.85（小时）， 0.85×60=51（分）.
9时50分+51分=10时41分.
答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.
17.证明：∵＝，
，
∴
由勾股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形。
18.解：在△ABC外部作△AQC≌△APB，连结PQ，则
AQ＝AP＝1，CQ＝PB＝3，
∠QAC＝∠PAB。
∵∠PAB＋∠PAC＝90°，
∴∠QAC＋∠PAC＝90°，
即 ∠PAQ＝90°。
∴，
∠QPA＝∠PQA＝45°。
在△PQC中，
，，，
∴。
∴∠QPC＝90°。
∴∠CPA＝∠CPQ＋QPA＝90°＋45°＝135°。
二链课外空间遨游
相等。
图18-2-2-1
图18-2-2-2
B
12 5
C 路、 D..13 D A
图18-2-2-3
图18-2-2-4
D
B
C
A
B
A
C
D
.
图18-2-2-5
A
C
P
B
图18-2-2-6
A
M
E
N
C
B
图18-2-2-7
图18-2-2-8
A
B
C
H
L
E
D
F
G
图18-2-2-9
A
C
B
图18-2-2-10
A
C
P
B
E18.2.1勾股定理逆定理
第一课时
一跃教材知能提炼
【题组练习】
1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（ ）
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组
2. 三角形的三边长分别为 a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
3．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )
A.1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍
4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )
A.两直线平行,同旁内角互补； B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等
C.对顶角相等 D.如果a=b,那么a2=b2
5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A B C D
6.任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 .
7.“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是 .
8.在△ABC中，若a2=b2－c2，则△ABC是 三角形， 是直角；
若a2＜b2－c2，则∠B是 .
9.若在△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c= m2＋n2，则△ABC是 三角形.
10.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 .
【知识点小结】
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
（2） 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用的勾股数有3、4、5、；6、8、10；5、12、13等.
（3）应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和再把它和最大边的平方比较.
（4）判定一个直角三角形，除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用勾股定理的逆定理，即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的应用.
二跃学科能力内化
11．【易错题】已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？
⑴a=，b=，c=; ⑵a=5，b=7，c=9;
⑶a=2，b=，c=; ⑷a=5，b=，c=1.
12．【易错题】如图18-2-1-1，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.
13．【情景题】如图18-2-1-2所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m， AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积.
三跃课标能力升华
14．【生活应用题】如图18-2-1-3，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°.你能帮小明计算一下四边形的面积吗？
15.【学科内综合题】如图18-2-1-4，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，设AC＝b，BC＝a，AB＝c，CD＝h，求证：
（1）c＋h>a＋b；
（2）以a＋b，c＋h，h为三边可构成一个直角三角形。
16.【探究题】勾股数又称商高数，它有无数组，是有一定规律的.比如有一组求勾股数的式子：a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2（其中m，n为正整数，且m＞n）.你能验证它吗？利用这组式子，完成下表，通过表格，你会发现勾股数有哪些规律？
1 2 3 4 5 6 …
2
3
4
5
6
… … … … … … … …
一链中考典题实战
17．【2011海南】数组3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；……都是勾股数，若奇数n为直角三角形的一直角边，用含n的代数式表示斜边和另一直角边．并写出接下来的两组勾股数．
二链课外空间遨游
勾股定理的“无字证明”
在勾股定理的学习过程中，我们已经学会运用以下图形，验证著名的勾股定理：
整个大正方形的面积可以表示为里面小正方形的面积与四边上的４个直角三角形的面积之和，即为
(a+b) =c+4·（１/２ab）,
由此可以推出勾股定理
a+b=c．
这种根据图形可以极其简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．
对于勾股定理，我们还可以找到一些用于“无字证明”的图形．现在请你和大家一起，查阅课本和其他有关书籍，上网查询各种相应的资料，相信你一定能够发现更多的有趣图形，验证勾股定理．
实际上你还可以发现“无字证明”也可以用于验证数与代数、空间与图形等领域中的许多数学公式和规律！
问题:如图18-2-1-5，以直角三角形ＡＢＣ的三边为边分别向外作正方形，其中一个正方形划分成四个形状与大小都一样的四边形．试将图中5个带色的图形拼入到大正方形中，填满整个大正方形．
，
一个目标发展是硬道理
成长记录宝库追求目标：题不二错、团队带动
错题题号 错解分析 正确解法 互助记录 规律总结
参考答案
1.B 2.A 3.B 4.C 5.C
6.逆命题，逆定理 7.内错角相等，两直线平行 8.直角，∠B，钝角 9.直角
10.6米，8米，10米，直角三角形.
11. ⑴是，∠B；⑵不是；⑶是，∠C；⑷是，∠A.
12.由勾股定理得AE2=25，EF2=5，AF2=20，
∵AE2= EF2 +AF2，
∴△AEF是直角三角形 .
13.连接AC，因为AD⊥DC，AD=4m，CD=3m，所以AC=5 m,又因为5+12=13，所以∠ACB=90°,所以，所以这块地的面积为
14.提示：连结AC. AC2=AB2+BC2=25，AC2+AD2=CD2，因此∠CAB=90°，
S四边形=S△ADC+S△ABC=36平方米.
15.证明：（1）在Rt△ABC中，
∵CD⊥AB，
∴，
即 ab＝ch。
∴.
∴(c＋h)－(a＋b)
＝
＝
＝
＝
又∵在Rt△ABC中，AB＝c为斜边，
∴c>a，c>b。
∴。
即 (c＋h)－(a＋b)>0。
∴c＋h>a＋b。
（2）由（1）得 ，。
∴
＝，
＝。
∴。
∴以a＋b，h，c＋h 为边的三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。
16.证明：
所以，填表略，
17.解：观察可以发现另两边的长是两个相邻的数，
设它们是x，x+1，根据勾股定理有：n2+x2=（x+1）2，整理得x=（n2-1），x+1=（n2+1）．
所以直角三角形的三边分别是n，（n2-1），（n2+1）．
当n=11时，（n2-1）=（112-1）=60，（n2+1）=61，勾股数是11、60、61；
当n=13时，（n2-1）=（132-1）=84，（n2+1）=85，勾股数是13、84、85．
二链课外空间遨游
略
F
E
A
C
B
D
图18-2-1-1
图18-2-1-2
A
D
C
B
D
C
A
图18-2-1-3
B
图18-2-1-4
勾
股
数
n
m
图18-2-1-5
