2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册第二章1 从位移、速度、力到向量学案

2020级高一数学导学案 为你提高数学成绩，赵老师全力以赴
§1 从位移、速度、力到向量
————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]————
1、了解向量的实际背景，理解向量的相关概念。 2、掌握向量的表示方法。
3、理解相等向量、共线向量的概念。
4、理解向量的夹角、向量垂直的概念。 重点：1、向量的有关概念及向量的表示。
2、相等向量与共线向量的概念。
3、向量夹角及向量垂直的概念。
难点：共线（平行）向量的概念。
【课前预习案】 预习靠自觉，把握靠自己
一、阅读教材P74“向量的背景——位移、速度、力”部分
问题一：赵老师本周末要到小明家进行家访，小明只告诉其家距离学校20km，问赵老师能否完成本次家访任务？为什么？赵老师要想完成家访任务，还需要知道什么条件？
问题二：标枪运动员投掷距离，除了与标枪的出手速度大小有关，还与标枪的出手角度有关。某标枪运动员为了获得最好成绩，只要用力就可以了吗？还要了解什么？
问题三：问题一和问题二中反映的物理量分别是什么？有什么共同特征？请再举出一些具有类似性质的物理量。
二、阅读教材P74—P75“向量的概念与表示”部分
1、向量的概念
既有大小又有方向的量 只有大小没有方向的量
数学 向量 数量
物理学 矢量 标量
2、有向线段
在数学中，具有方向和长度的线段称为有向线段，以为起点，为终点的有向线段，记作。
3、向量的表示
（1）几何表示：有向线段。
线段的长度表示向量大小，箭头所指方向表示向量的方向。
（2）字母表示：小写字母：，，，···；
大写字母：，，···。
4、向量的模
向量的大小，又称向量的模，记作或。
5、两个特殊向量
（1）零向量：长度为0的向量，记作，其方向是任意的。
（2）单位向量：长度为1的向量。
三、阅读教材P76—P77“向量的基本关系”部分
6、相等向量与相反向量
（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作。
注意：长度相等且方向相同的有向相段表示的向量均是相等向量，和有向相段的起点没有关系，即向量可以自由平移。
（2）相反向量：长度相等且方向相反的向量，的相反向量记作， 的相反向量记作。零向量的相反向量仍是零向量。
注意：向量只能比较相等或不等，不能比较大小。
7、共线向量
若两个非零向量，的方向相同或相反，则称两个向量为共线向量或平行向量，也称两个向量共线或向量平行，记作。
规定：零向量与任意向量共线，即。
思考：向量平行与相段平行，向量共线与线段共线意思一样吗？
例1 判断下列结论是否正确，并说明理由。
①单位向量都相等。
②所有向量都可以用有向相等表示。
③表示相等向量的有向相等都重合。
④若，则。
⑤若与共线，则与共线。
⑥在四边形中，若，则为平行四边形。
⑦若且，则。
例2 如图，点分别是等边的边的中点。在以点为起点或终点的向量中：
（1）找出与向量相等的向量；
（2）找出与向量共线的向量。
8、向量夹角
（1）向量夹角：已知两非零向量和，在平面内任选一点 ，作，，则称为向量与的夹角。
（2）向量夹角范围：。
当时，与同向；当时，与反向；当时，与垂直，记作。
规定：零向量与任意向量垂直，即。
例3如图，点分别是等边的边的中点，指出如下各组向量的夹角。
（1）与； （2）与；
（3）与。
1、判断下列结论是否正确，并说明理由。
（1）若向量的模小于的模，则；
（2）平行向量就是共线向量；
（3）若与共线，则在一条直线上；
（4）若向量共线，则向量的方向相同或相反。
2、在等边中，与的夹角为 ；点为的中点，则与的夹角为 。
3、如图，在单位圆中，为圆心，点是圆周上的三等分点，的模为 ；与的夹角为 ；与的夹角为 ；与的夹角为 。
第1页（共3页）——第二章 平面向量及其应用