2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册第二章3.2 向量的数乘与向量共线的关系学案

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§3.2 向量的数乘与向量共线的关系
————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]————
1、理解并掌握共线（平行）向量基本定理。 2、了解直线的向量表示及直线方向向量的概念
3、理解三点共线定理及三角形中线向量定理。 重点：1、共线（平行）向量基本定理。
2、三点共线定理及三角形中线定理。
难点：共线（平行）向量基本定理及应用。
【课前预习案】 预习靠自觉，把握靠自己
一、阅读教材P90“共线（平行）向量基本定理”部分
【复习回顾】
1、数乘向量的定义
实数与向量的乘积是一个向量，记作，其方向与长度满足：
（1）当时，与同向；当时，与反向；当时，。
（2）。
这种运算称为向量的数乘，或数乘向量。
2、数乘向量的几何意义
当时，的长度是的长度在原方向伸长或缩短倍；
当时，的长度是的长度在反方向伸长或缩短倍。
3、共线（平行）向量定义
若两个非零向量，的方向相同或相反，则称两个向量为共线向量或平行向量，也称两个向量共线或向量平行，记作。
规定：零向量与任意向量共线，即。
思考：若，由数乘向量的定义知，。反之， 若，是否存在一个实数，使得？
分析：若，同向，则是的单位向量，，则；
若，反向，则是的单位向量，，则。
【抽象概括】
1、共线（平行）向量基本定理
共线（平行）向量基本定理：给定一个非零向量，则对于任意向量，的充要条件是存在唯一实数，使。
若，同向，则；若，反向，则。
思考：定理为什么强调为非零向量？
（1）若，，则实数不存在；
（2）若，，则实数有无穷多个。
例1 如图，已知，，试判断与是否平行。
解：
，
。
例2 设中的任何三点不共线，用向量语言描述下列几何图形的特征。
（1）四边形是平行四边形；
（2）在梯形中，上底是下底上的一半；
（3）点是的重心。
二、阅读教材P91“直线的向量表示”部分
思考：已知两点可以确定一条直线，那么已知一点和一个非零向量，是否能确定一条过点且和向量共线的直线？
分析：设点是直线上的任意一点，则，由共线向量基本定理知，存在唯一实数，使得，即点和实数是一一对应，且满足条件的点均在过点且和向量共线的直线上。
结论：平面内一点和一个非零向量确定唯一一条过点且和向量共线的直线，记作。
其中，非零向量称为直线的一个方向向量。
2、三点共线定理
三点共线定理：是直线外的一点，则对于任意点，在直线上的充要条件是存在唯一实数，使。
证明：（充分性）
，
即，即，，所以，在直线上。
（必要性）
在直线上，，，，
即，令，则，。
3、三角形中线向量定理
三角形中线向量定理：若是边的中点，
则。
例3 如图，在□中，点为的中点，点在上，。
求证：三点共线。
例4如图，在四边形，点分别是的中点。
求证：。
1、设向量，不共线，判断下列各组中向量，是否共线。
（1），；
（2），。
2、已知向量，三点不共线)，判断下列各题中的点是否在直线上。
（1）；（2）；
（3）。
3、已知，为不共线，，，
（1）若，，三点共线，求实数的值；
（2）若，，三点共线，求实数的值。
第1页（共3页）——第二章 平面向量及其应用