【2020年中考数学二轮复习】专题四 阅读理解型专题（含答案）

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专题四 阅读理解型专题
专题解读
阅读理解题是指先给出阅读材料，通过阅读其中的数学内容、方法要点，并加以运用，后解决后面提出的问题的一类题型.该类题的篇幅一般较长，试题结构分两大部分，一部分是阅读材料，另一部分是需解决的有关问题.阅读材料既有选用与教材知识相关的内容，也有选用课外并不熟悉的知识.除了考查初中数学的基础知识外，更注重考查阅读理解、迁移转化、范例运用、探索归纳等多方面的素质和能力.
解题策略:解决该类问题的关键是读懂并理解阅读材料中提供的新情境、新知识与新方法等，能熟练地进行知识的迁移、转化与应用.
考点一 定义新概念型
典例1 定义:形如a＋bi的数称为复数（其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i2＝-1），a称为复数的实部，b称为复数的虚部.复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数.例如（1＋3i）2＝12＋2×1×3i＋（3i）2＝1＋6i＋9i2＝1＋6i-9＝-8＋6i，因此，（1＋3i）2的实部是-8，虚部是6.已知复数（3-mi）2的虚部是12，则实部是（ ）
A.-6 B.6 C.5 D.-5
思路导引
先利用完全平方公式得出（3-mi）2＝9-6mi＋m2i2，再根据新定义得出复数（3-mi）2的实部是9-m2，虚部是-6m，由（3-mi）2的虚部是12得出m＝-2，代入9-m2计算即可.
名师点拨
定义新数是指满足一定条件的数给出一个新的名词，提出新问题，然后运用新定义来解决.
跟踪训练1
1.在平面直角坐标系xOy中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”.下列函数的图象中不存在“好点”的是（ ）
A.y＝-x B.y＝x＋2 C.y＝ D.y＝x2-2x
2.阅读下面的材料:
对于实数a，b，我们定义符号min｛a，b｝的意义为:当a＜b时，min｛a，b｝＝a；当a≥b时，min｛a，b｝＝b，如:min｛4，-2｝＝-2，min｛5，5｝＝5.
根据上面的材料回答下列问题:
（1）min｛-1，3｝＝_________；
（2）当时，求x的取值范围.
3.在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”.
定义:对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”.
例如:426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4＋2＝6，6能被6整除；
643不是“好数”，因为6＋4＝10，10不能被3整除.
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由.
4.阅读以下材料，并解决相应问题:
小明在课外学习时遇到这样一个问题:
定义:如果二次函数y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”.求函数y＝2x2-3x＋1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2-3x＋1可知，a1＝2，b1＝-3，c1＝1，根据a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数.
请思考小明的方法解决下面问题:
（1）写出函数y＝x2-4x＋3的旋转函数；
（2）若函数y＝5x2＋（m-1）x＋n与y＝-5x2-nx-3互为旋转函数，求（m＋n）2020的值；
（3）已知函数y＝2（x-1）（x＋3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证:经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x-1）（x＋3）互为旋转函数.
5.定义:对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形.
（1）下面四边形是垂等四边形的是__________；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形.
（2）图形判定:如图1所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明:四边形ABCD是垂等四边形.
（3）由菱形面积公式易知性质:垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半.应用:在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°求⊙O的半径.
考点二 定义新运算型
典例2 对于实数a，b，定义关于“※”的一种运算:a※b＝2a＋b，例如3※4＝2×3＋4＝10.
（1）求4※（-3）的值；
（2）若x※（-y）＝2，（2y）※x＝-1，求x＋y的值.
思路导引
（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出所求.
名师点拨
此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
跟踪训练2
1.对于实数a，b，定义一种新运算“※”为:a※b＝，这里等式右边是实数运算.例如:1※3＝.则方程x※（-2）＝-1的解是（ ）
A.x＝4 B.x＝5 C.x＝6 D.x＝7
2.若定义一种新运算:a※b＝， 例如:3※1＝3-1＝2；5※4＝5＋4-6＝3，则函数y＝（x＋2）※（（x-1）的图象大致是（ ）
3.定义a※b＝a（b＋1），例如2※3＝2×（3＋1）＝2×4＝8，则（x-1）※x的结果为___________.
4.对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“※”如下:a※b＝，如:3※2＝，那么12※4＝____________.
5.对于实数a，b，定义运算“※”如下:a※b＝（a＋b）2-（a-b）2.若（m＋2）※（m-3） ＝24，则m＝__________.
考点三 探究新法则型
典例3 阅读材料:三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心.
（1）特例感知:如图1所示，已知边长为2的等边△ABC的重心为点0，求△OBC与△ABC的面积；
（2）性质探究:如图2所示，已知△ABC的重心为点0，请判断， 是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由；
（3）性质应用:如图3所示，在正方形ABCD中，点E是CD中，，连接BE线AC于点M.
①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；
②若S△CME＝1，求正方形ABCD的面积.
思路导引
（1）连接DE，利用相似三角形证明，运用勾股定理求出AD的长，运用三角形面积公式求解即可；
（2）根据（1）的证明可求解；
（3）①证明△CME∽△AMB，得，再运用勾股定理求出BE的长即可解决问题；②分别求出S△BMC和S△ABM即可求得正方形ABCD的面积.
名师点拨
本题是一道相似形综合题目，主要考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.
跟踪训练3
1.我们约定:（a，b，c）为函数y＝ax2＋bx＋c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”.若关联数为（m，-m-2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为___________.
2.根据有理数乘法（除法）法则可知:
①若ab＞0（或＞0），则或；
②若ab＜0（或＜0），则或.
根据上述知识，求不等式（x-2）（x＋3）＞0的解集.
解:原不等式可化为:
（1）或（2）.
由（1），得x＞2，由（2），得x＜-3.
原不等式的解集为:x＜-3或x＞2.
请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题:
（1）不等式x2-2x-3＜0的解集为；
（2）求不等式＜0的解集（要求写出解答过程）.
3.定义:有一组对角互余的四边形叫做对余四边形.
理解:
（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为_________；
证明:
（2）如图1所示，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D.
求证:四边形ABCD是对余四边形；
探究:
（3）如图2所示，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由.
考点四 学习应用型
典例4 我们不妨约定:若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”，根据该约定，完成下列各题.
（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”.
①y＝2x（ ） ②y＝（m≠0）（ ） ③y＝3x-1（ ）
（2）若点A（1，m）与点B（n，-4）关于x的“H函数”y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值域或取值范围.思路导引
（1）根据“H函数”的定义即可判断；
（2）先根据题意可求出m，n的取值，代入得到a，b，c的关系，再根据对称轴在x＝2的右侧即可求解.
名师点拨
此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的性质及根与系数的关系.
跟踪训练4
1.“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如:解方程x-＝0，就可以利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为:y2-y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”.请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题.
已知实数x，y满足，求x2＋y2的值.
2.我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解:x＝m×n（m，n是正整数，且m≤n）在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解，并规定: .
例如:18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18-1＞9-2＞6-3，所以3×6是18的最佳分解，所以.
（1）填空:＝__________；＝__________.
（2）一个两位正整数t（t＝10a＋b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求的最大值；
（3）填空:
①（22×3×5×7）＝_________； ②（23×3×5×7）＝_________；
③（24×3×5×7）＝_________； ④（25×3×5×7）＝_________.
3.定义:三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.
（1）如图1所示，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝a，请用含a的代数式表示∠E.
（2）如图2所示，四边形ABCD内接于⊙O，弧AD＝弧BD，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E.求证:∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.
（3）如图3所示，在（2）的条件下，连接AE，AF，若AC是⊙O的直径.
①求∠AED的度数；
②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积.
图1 图2 图3
参考答案
典例1 C
跟踪训练1
1.B
2.解:（1）由题意，得min｛-1，3｝＝-1，故答案为:-1；
（2）由题意，得，3（2x-3）≥2（x＋2），
6x-9≥2x＋4，4x≥13，x≥.
∴x的取值范围为x≥.
3.解:（1）312是“好数”，因为3，1，2都不为0，且3＋1＝4，4能被2整除，675不是“好数”，因为6＋7＝13，13不能被5整除；
（2）611，617，721，723，729，831，941共7个，理由:
设十位数数字为a，则百位数字为a＋5（0＜a≤4的整数），
∴a＋a＋5＝2a＋5，
当a＝1时，2a＋5＝7，∴7能被1，7整除，∴满足条件的三位数有611，617，
当a＝2时，2a＋5＝9，∴9能被1，3，9整除，∴满足条件的三位数有721，723，729，
当a＝3时，2a＋5＝11，∴11能被1整除，∴满足条件的三位数有831，
当a＝4时，2a＋5＝13，∴13能被1整除，∴满足条件的三位数有941，
即满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个.
4.解:（1）由y＝x2-4x＋3函数可知，a1＝1，b1＝-4，c1＝3，
∵a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，∴a2＝-1，b2＝-4，c2＝-3，
∴函数y＝x2-4x＋3的旋转函数为y＝-x2-4x-3；
（2）∵y＝5x2＋（m-1）x＋n与y＝-5x2-nx-3互为旋转函数，
∴解得∴（m＋n）2020＝（-2＋3）2020＝1；
（3）证明:当x＝0时，y＝2（x-1）（x＋3）＝-6，
∴点C的坐标为（0，-6）.
当y＝0时，2（x-1）（x＋3）＝0，解得x1＝1，x2＝-3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（-3，0）.
∵点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，
∴A1（-1，0），B1（3，0），C1（0，6）.
设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x＋1）（x-3），
将C1（0，6）代入y＝a（x＋1）（x-3），得6＝-3a，解得a＝-2.
过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝-2（x＋1）（x-3），即y＝-2x2＋4x＋6.
∵y＝2（x-1）（x＋3）＝2x2＋4x-6，
∴a1＝2，b1＝4，c1＝-6，a2＝-2，b2＝4，c2＝6，
∴a1＋a2＝2＋（-2）＝0，b1＝b2＝4，c1＋c2＝6＋（-6）＝0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x-1）（x＋3）互为旋转函数.
5.解:（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；②矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形；③菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形；④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；故选④；
（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，∴AC∥DE.
又∵AD∥BC，∴四边形ADEC是平行四边形,∴AC＝DE.
又∵∠DBC＝45°∴△BDE是等腰直角三角形，∴BD＝DE，∴BD＝AC.
又∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是垂等四边形；
（3）如图所示，过点O作OE⊥BD，
∵四边形ABCD是垂等四边形，∴AC＝BD.
又∵垂等四边形的面积是24，∴AC·BD＝24，解得AC＝BD＝4.
又∵∠BCD＝60°，∴∠DOE＝60°.
设半径为r，根据垂径定理，可得在△ODE中，OD＝r，DE＝2，
∴r＝＝4.∴⊙O的半径为4.
典例2 解:（1）根据题中的新定义，得原式＝8-3＝5；
（2）根据题中的新定义化简，得
①＋②，得3x＋3y＝1，则x＋y＝.
跟踪训练2
1.B 2.A 3.x2-1 4. 5.-3或4
典例3
解:（1）连接DE，如图所示，
∵点O是△ABC的重心，
∴AD，BE是BC，AC边上的中线.∴D，E为BC，AC边上的中点.
∴DE为△ABC的中位线.∴DE∥AB，DE＝AB.∴△ODE∽△OAB.
∴ .∵AB＝2，BD＝1，∠ADB＝90°，∴AD＝，OD＝.
∴S△OBC＝，S△ABC＝；
（2）由（1）可知，，是定值；
点O到BC的距离和点A到BC的距离之比为1:3，
则△OBC和△ABC的面积之比等于点O到BC的距离和点A到BC的距离之比，
故，是定值；
（3）①∵四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB，AB＝BC＝CD＝4.
∴△CME∽△AMB，∴.
∵E为CD的中点，∴CE＝CD＝2.
∴BE＝.∴.∴.即EM＝；
②∵S△CME＝1，且，∴S△BMC＝2.
∵，∴.∴S△AMB＝4.∴S△ABC＝S△BMC＋S△ABM＝2＋4＝6.
又∵S△ADC＝S△ABC，∴S△ADC＝6.∴正方形ABCD的面积为6＋6＝12.
跟踪训练3
1.（2，0），（1，0）或（0，2）
2.解:（1）原不等式可化为:
①或②由①，得无解，由②，得-1＜x＜3，
原不等式的解集为:-1＜x＜3，故答案为:-1＜x＜3；
（2）由＜0知①或②
解不等式组①，得x＞1；解不等式组②，得x＜-4；
所以不等式的解集为:x＞1或x＜-4.
3.（1）解:∵四边形ABCD是对余四边形，当∠A和∠C互余时，∠A＋∠C＝90°.
当∠B与∠D互余时，∠B＋∠D＝90°.则∠A＋∠C＝360°-90°＝270°，
故答案为:90°或270°.
（2）证明:如图1所示，连接OB.
∵∠BAM＝∠BOM，∠BCN＝∠BON，
∴∠BAM＋∠BCN＝（∠BOM＋∠BON）＝90°.
∴四边形ABCD是对余四边形.
（3）解:结论:AD2＋CD2＝BD2.
理由如下:如图2所示，连接AC.
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形.
∴∠BAC＋∠BCA＝120°.∴∠BAD＋∠BCD＞120°.
∵四边形ABCD为对余四边形，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝30°.
将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，点B与点A重合，点D落到E点处，连接DE.
由旋转性质可知AE＝BD，CE＝CD，∠DCE＝60°，∴△CDE是等边三角形.
∴ED＝CD，∠CDE＝60°.∴∠ADE＝∠ADC＋∠CDE＝90°.∴AD2＋ED2＝AE2.
又∵ED＝CD，AE＝BD，∴AD2＋CD2＝BD2.
典例4 解:（1）①y＝2x是“H函数”，②y＝（m≠0）是“H函数”，③y＝3x-1不是“H函数”.
故答案为:√；√；×.
（2）∵A，B是“H点”，∴A，B关于原点对称，∴m＝4，n＝-1.
∴A（1，4），B（-1，-4），代入y＝ax2＋bx＋c（a≠0），
得 解得
又∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，∴.∴.∴1＜a＜0.
∵a＋c＝0，∴c＝-a，∴0＜c＜1.
综上，-1＜a＜0，b＝4，0＜c＜1.
跟踪训练4
1.解:令xy＝a，x＋y＝b，则原方程组可化为
整理，得
②-①，得11a2＝275，解得a2＝25，代入②可得:b＝4，
∴方程组的解为或 x2＋y2＝（x＋y）2-2xy＝b2-2a，
当a＝5时，x2＋y2＝6，当a＝-5时，x2＋y2＝26，
因此x2＋y2的值为6或26.
2.解:（1） 1
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10b＋a，
根据题意得，t′-t＝（10b＋a）-（10a＋b）＝9（b-a）＝54，∴b＝a＋6，
∵1≤a≤b≤9，a，b为正整数，∴满足条件的t为:17，28，39；
∵（17）＝，（28）＝，（39）＝，
∵＞＞，∴（t）的最大值为.
（3）
3.解:（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠E＝∠ECD-∠EBD＝（∠ACD-∠ABC）＝∠A＝a.
（2）如图1所示，延长BC到点T，
∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC＋∠FBC＝180°.
又∵∠FDE＋∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC.
∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE.
∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC.∴BE是∠ABC的平分线
∵弧AD＝弧BD，∴∠ACD＝∠BFD.
∵∠BFD＋∠BCD＝180°，∠DCT＋∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD.∴∠ACD＝∠DCT.
∴CE是△ABC的外角平分线.∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.
（3）①如图2所示，连接CF，
∵∠BEC是△ABC中 ∠BAC的遥望角B，∴∠BAC＝2∠BEC.
∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC.
∵∠BFC＝∠BEC＋∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE.
∵∠FCE＝∠FAD，∴∠BEC＝∠FAD.
又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，∴△FDE≌△FDA （AAS）.DE＝DA.∴∠AED＝∠DAE.
∵AC是00的直径，∴∠ADC＝90°.∴∠AED＋∠DAE＝90°.
∴∠AED＝∠DAE＝∠45°.
②如图3所示，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M.
∵AC是00的直径，∴∠ABC＝90°.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC＝∠FAC＝∠ABC＝45°.
∵∠AED＝45°，∴∠AED＝∠FAC.
∵∠FED＝∠FAD，∴∠AED-∠FED＝∠FAC-∠FAD.∴∠AEG＝∠CAD.
∵∠EGA＝∠ADC＝90°，∴△EGA∽△ADC.∴.
∵在Rt△ABG中AG＝AB＝4，
在Rt△ADE中，AE＝AD，∴.
在Rt△ADC中，AD2＋DC2＝AC2，∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2＋52＝（5x）2，
∴x＝.∴ED＝AD＝.∴CE＝CD＋DE＝.
∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE.
∵FM⊥CE，∴EM＝CE＝.∴DM＝DE-EM＝.
∵∠FDM＝45°，∴FM＝DM＝.∴S△DEF＝DE·FM＝.
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