五一假期专题复习提升训练卷1（第9章中心对称图形-平行四边形）-2020-2021学年苏科版八年级数学下册（Word版含解析）

五一假期专题复习提升训练卷1（9章中心对称图形-平行四边形）
-苏科版八年级数学下册
一、选择题
1、下列图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把△ABC绕AC边的中点M旋转后得△DEF，若直角顶点F恰好落在AB边上，且DE边交AB边于点G，若AC＝4，BC＝3，则AG的长为（　　）
A． B． C． D．1
3、在下列性质中，平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．邻角互补 B．对角相等
C．内角和为360° D．对角互补
4、下列四个选项中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB＝CD，AC＝BD B．∠A＝∠B，∠B＝∠C
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，∠A＝∠C
5、菱形的对角线不具备的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线一定相等
C．对角线一定垂直 D．对角线平分一组对角
6、如图所示，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于点F，若DE＝2，矩形ABCD的周长为16，且CE＝EF，求AE的长（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
7、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，连接CE，△DEC的周长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
8、如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（　　）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC
9、如图，在平面直角坐标系中，?ABCD的顶点坐标分别为A（3，a），B（2，2），C（b，3），D（8，6），则a+b的值为（　　）
A．8 B．9 C．12 D．11
10、如图，?ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S?ABCD=AB?AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11、如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（　　）
A． B． C． D．
12、如图，正方形ABCD的边长为2，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　）
A．2 B．2 C． D．
二、填空题
13、如图,△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称.有下列说法:①∠BAC=∠B1A1C1;②AC=A1C1;③OA=OA1;
④△ABC与△A1B1C1的面积相等.其中正确的有　　　　 (只填序号).?

14、如图,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=7,D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点,连接DE,DF,EF,
则△DEF的周长是　　　　.?

15、如图，点O是?ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF=AB，G、H是BC边上的点，且GH=BC，若，则= ．
16、如图,在矩形ABCD中,BC=20 cm,点P和点Q分别从点B和点D同时出发,按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动,点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s,则最快　　　　s后,四边形ABPQ成为矩形.?

17、如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E在线段AO上，且DE＝DC，若∠EDO＝15°，
则∠DEC＝______°．

18、如图，矩形ABCD中，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，若∠DAF＝18°，则∠DCF＝　 　度．
19、如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF＝　　．
20、如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则当OC为最大值时，点C的坐标是 ．
21、如图,在正方形ABCD中,E是AB边上的一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点,
则PB+PE的最小值是　　　　.?

22、如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，过点E作EF∥CD，交AD于F，交对角线BD于G，取DG的中点H，连结AH，EH，FH．下列结论：①∠EFH＝45°；②△AHD≌△EHF；③∠AEF+∠HAD＝45°； ④若＝2，则．其中结论正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
三、解答题
23、如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）作出△ABC以O为旋转中心，顺时针旋转90°的△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，写出B2和C2的坐标；
（3）直接写出△ABC绕原点O顺时针旋转一周扫过的图形面积．
24、如图，四边形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长交CB的延长线于点F，∠E＝∠F，AD＝BC．
（1）求证：O是线段AC的中点：
（2）连接AF、EC，证明四边形AFCE是平行四边形．
25、已知:如图,在?ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,G为AD的中点,连接CG并延长交BA的延长线于点F,连接FD.
(1)求证:AB=AF;
(2)若AG=AB,∠BCD=120°,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论.
26、在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．
27、如图，E为?ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE交BC于点F，连接AC、BE．
（1）如图1，求证：AF＝EF；
（2）连接BD交AC于点O，连接OF并延长交BE于点G，直接写出图中所有长度是OF二倍的线段．
28、如图(a),在矩形纸片ABCD中,AB=3 cm,AD=5 cm,折叠纸片使点B落在边AD上的点E处,折痕为PQ,过点E作EF∥AB交PQ于点F,连接BF.
(1)求证:四边形BFEP为菱形.
(2)当点E在AD边上移动时,折痕的端点P,Q也随之移动.
①当点Q与点C重合时,如图(b),求菱形BFEP的边长;
②若限定点P,Q分别在边BA,BC上移动,求点E在边AD上移动的最大距离.

29、如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线上方一动点,连接AC、BC，分别以AC、BC
为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1.
(1)如图②，当点E恰好在直线l上时(此时E1与E重合),试说明DD1＝AB；
(2)在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并
说明理由；
(3)如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系.
图① 图② 图③
30、如图，已知平行四边形中，对角线，交于点，是延长线上的点，且 是等边三角形．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求证：四边形是正方形．
五一假期专题复习提升训练卷1（9章中心对称图形-平行四边形）
-苏科版八年级数学下册（解析）
一、选择题
1、下列图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把△ABC绕AC边的中点M旋转后得△DEF，若直角顶点F恰好落在AB边上，且DE边交AB边于点G，若AC＝4，BC＝3，则AG的长为（　　）
A． B． C． D．1
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，
∵点M是AC边的中点，∴CM＝AM＝AC＝2，
∵把△ABC绕AC边的中点M旋转后得△DEF，若直角顶点F恰好落在AB边上，
∴CM＝FM＝2，∠D＝∠A，∠C＝∠DFE，AB＝DE，∴AM＝MF，∴∠A＝∠AFM，
∴∠D＝∠AFD，∴DG＝FG，
∵∠D+∠E＝∠DFG+∠GFE＝90°，
∴∠E＝∠EFG，∴EG＝FG，∴FG＝DE＝，
∵AM＝CM＝FM＝AC，∴∠AFC＝90°，∴CF＝＝，
∴AF＝＝，∴AG＝AF﹣FG＝﹣＝，
故选：A．
3、在下列性质中，平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．邻角互补 B．对角相等
C．内角和为360° D．对角互补
解：平行四边形邻角互补，对角相等，内角和为360°，不具备的性质是对角互补，
故选：D．
4、下列四个选项中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB＝CD，AC＝BD B．∠A＝∠B，∠B＝∠C
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，∠A＝∠C
解：A、AB＝CD，AC＝BD不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
B、∠A＝∠B，∠B＝∠C不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
C、AB＝CD，AD∥BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
D、∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝∠B+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；
故选：D．
5、菱形的对角线不具备的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线一定相等
C．对角线一定垂直 D．对角线平分一组对角
解：菱形的性质：四条边都相等，对角线互相垂直平分，是轴对称图形，并且每一条对角线平分一组对角；
菱形的对角线不一定相等；
故选：B．
6、如图所示，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于点F，若DE＝2，矩形ABCD的周长为16，且CE＝EF，求AE的长（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，
∵EF⊥CE，∴∠CEF＝90°，∴∠CED+∠AEF＝90°，
∵∠CED+∠DCE＝90°，∴∠DCE＝∠AEF，
在△AEF和△DCE中，，∴△AEF≌△DCE（AAS），∴AE＝DC，
由题意可知：2（AE+DE+CD）＝16，DE＝2，∴2AE＝6，∴AE＝3；
故选：B．
7、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，连接CE，△DEC的周长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
解：设DE＝x，则AE＝6﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，DC＝AB＝4，AD＝BC＝6，AO＝OC，
∵EF⊥AC，AO＝OC，∴AE＝CE＝6﹣x，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：DE2+DC2＝EC2，
即x2+42＝（6﹣x）2，解得：x＝，
即DE＝，CE＝AE＝6﹣＝，
∴△DEC的周长为DE+CE+DC＝++4＝10，
故选：A．
8、如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（　　）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC
解：∵点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，
∴EG＝FH＝AB，EH＝FG＝CD，
∵当EG＝FH＝GF＝EH时，四边形EGFH是菱形，
∴当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．
故选：A．
9、如图，在平面直角坐标系中，?ABCD的顶点坐标分别为A（3，a），B（2，2），C（b，3），D（8，6），则a+b的值为（　　）
A．8 B．9 C．12 D．11
解：如图，连接AC、BD交于点O′．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO′＝O′C，BO′＝O′D，
∵A（3，a），B（2，2），C（b，3），D（8，6），
∴＝，＝，
∴a＝5，b＝7，∴a+b＝12，
故选：C．

10、如图，?ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S?ABCD=AB?AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S?ABCD=AB?AC，故②正确，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，
∵AB=BC，∴AE=BC，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，故①正确；
∵AC⊥AB，∴S?ABCD=AB?AC，故②正确，
∵AB=BC，OB=BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故③错误；
∵CE=BE，CO=OA，∴OE=AB，∴OE=BC，故④正确．
故选：C．
11、如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（　　）
A． B． C． D．
解：连接AE，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．
又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF． 所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．
作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，
连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．根据对称性可知AE＝HE， 所以AE+DE＝DH．
在Rt△ADH中，DH＝，
∴BF+DE最小值为．
故选：D．

12、如图，正方形ABCD的边长为2，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　）
A．2 B．2 C． D．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；正方形的性质．
【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为4，可求出AB的长，从而得出结果．
【解答】解：连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的边长为2，∴AB=2．
又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2．∴所求最小值为2．
故选：A．
二、填空题
13、如图,△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称.有下列说法:①∠BAC=∠B1A1C1;②AC=A1C1;③OA=OA1;
④△ABC与△A1B1C1的面积相等.其中正确的有　　　　 (只填序号).?

[答案] ①②③④
[解析] 中心对称的两个图形全等,所以∠BAC=∠B1A1C1,AC=A1C1,△ABC与△A1B1C1的面积相等,故①②④正确;对称点到对称中心的距离相等,故③正确.故答案为①②③④.
14、如图,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=7,D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点,连接DE,DF,EF,
则△DEF的周长是　　　　.?

[答案] 9
[解析] ∵D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点,∴DE=BC=3.5,DF=AC=3,EF=AB=2.5,
∴△DEF的周长=DE+DF+EF=9.
故答案为9.
15、如图，点O是?ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF=AB，G、H是BC边上的点，且GH=BC，若，则= ．
【答案】2
【解析】解：连接AC、BD，如图，
∵点O是?ABCD的对称中心，∴AC、BD交于点O，∴S△AOB=S△BOC，
∵EF=AB，∴S△EOF=S△AOB，
∵GH=BC，∴S△OGH=S△BOC，
∴S△EOF：S△OGH=3：2,
∵，∴=2.
故答案为：2.

16、如图,在矩形ABCD中,BC=20 cm,点P和点Q分别从点B和点D同时出发,按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动,点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s,则最快　　　　s后,四边形ABPQ成为矩形.?

[答案] 4
[解析] 设最快x s后,四边形ABPQ成为矩形,由BP=AQ,得3x=20-2x.
解得x=4.
故答案为4.
17、如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E在线段AO上，且DE＝DC，若∠EDO＝15°，
则∠DEC＝______°．

【答案】55
【解析】解：设∠DEC＝x，
∵DE＝DC，∴∠DCE=x，
∵四边形ABCD为矩形，∴∠ODC=∠DCE=x，
∴∠DOE=∠OCD+∠ODC=2x，
∵△DOE内角和为180°，∴，解得：，即∠DEC＝，
故答案为：55．
18、如图，矩形ABCD中，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，若∠DAF＝18°，则∠DCF＝　 　度．
【分析】由折叠的性质得：FE＝BE，∠FAE＝∠BAE，∠AEB＝∠AEF，求出∠BAE＝∠FAE＝36°，由直角三角形的性质得出∠AEF＝∠AEB＝54°，求出∠CEF＝72°，求出FE＝CE，由等腰三角形的性质求出∠ECF＝54°，即可得出∠DCF的度数．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠BCD＝90°，
由折叠的性质得：FE＝BE，∠FAE＝∠BAE，∠AEB＝∠AEF，
∵∠DAF＝18°，∴∠BAE＝∠FAE=（90°﹣18°）＝36°，
∴∠AEF＝∠AEB＝90°﹣36°＝54°，∴∠CEF＝180°﹣2×54°＝72°，
∵E为BC的中点，∴BE＝CE，∴FE＝CE，
∴∠ECF=（180°﹣72°）＝54°，
∴∠DCF＝90°﹣∠ECF＝36°；
故答案为：36．
19、如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF＝　　．
【分析】连接OP．由勾股定理得出AC＝10，可求得OA＝OB＝5，由矩形的性质得出S矩形ABCD＝AB?BC＝48，S△AOB=S矩形ABCD＝12，OA＝OB＝5，由S△AOB＝S△AOP+S△BOP=OA?PE+OB?PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）＝12求得答案．
【解析】连接OP，如图：
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，AC==10，
∴S矩形ABCD＝AB?BC＝48，S△AOB=S矩形ABCD＝12，OA＝OB＝5，
∴S△AOB＝S△AOP+S△BOP=OA?PE+OB?PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）＝12，
∴PE+PF=； 故答案为：．
20、如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则当OC为最大值时，点C的坐标是 ．
【答案】（,）
【解析】解：E为AB的中点，当O，E及C共线时，OC最大，过C作CF⊥x轴于F，则∠CFO=90°，
此时，由勾股定理得：
OC=1+2=3，即
∵∠CBE=90°，∴∠ECB=30°，∠BEC=60°，∴∠AEO=60°，
∵在Rt△AOB中，E为斜边AB中点，∴AE=OE，∴△AOE等边三角形，∴∠AOE=60°，∴∠COB=90°-60°=30°，
由勾股定理得：
所以点C的坐标是
故答案为：

21、如图,在正方形ABCD中,E是AB边上的一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点,
则PB+PE的最小值是　　　　.?

[解析] 如图,连接DE,交AC于点P,连接PB,则此时PB+PE的值最小.
∵四边形ABCD是正方形,∴点B,D关于AC对称,∴PB=PD,∴PB+PE=PD+PE=DE.
∵BE=2,AE=3BE,∴AE=6,AB=8,∴AD=8,∴DE=10,
故PB+PE的最小值是10.

22、如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，过点E作EF∥CD，交AD于F，交对角线BD于G，取DG的中点H，连结AH，EH，FH．下列结论：①∠EFH＝45°；②△AHD≌△EHF；③∠AEF+∠HAD＝45°； ④若＝2，则．其中结论正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】①根据正方形的性质证明∠ADB＝45°，进而得△DFG为等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一性质得∠EFH＝∠EFD＝45°，故①正确；
②根据矩形性质得AF＝EB，∠BEF＝90°，再证明△AFH≌△EGH得EH＝AH，进而证明△EHF≌△AHD，故②正确；
③由△EHF≌△AHD得∠EHF＝∠AHD，怀AH＝EH得∠AEF+∠HEF＝45°，进而得∠AEF+∠HAD＝45°，故③正确；
④如图，过点H作MN⊥AD于点M，与BC交于点N，设EC＝FD＝FG＝x，则BE＝AF＝EG＝2x，BC＝DC＝AB＝AD＝3x，HM＝x，AM＝x，HN＝x，由勾股定理得AH2，再由三角形的面积公式得，便可判断④的正误，
【解答】证明：①在正方形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°，∠ADB＝45°，
∵EF∥CD，∴∠EFD＝90°，∴四边形EFDC是矩形．
在Rt△FDG中，∠FDG＝45°，∴FD＝FG，
∵H是DG中点，∴∠EFH＝∠EFD＝45°故①正确；
②∵四边形ABEF是矩形，∴AF＝EB，∠BEF＝90°，
∵BD平分∠ABC，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴BE＝GE，∴AF＝EG．
在Rt△FGD中，H是DG的中点，∴FH＝GH，FH⊥BD，
∵∠AFH＝∠AFE+∠GFH＝90°+45°＝135°，
∠EGH＝180°﹣∠EGB＝180°﹣45°＝135°，
∴∠AFH＝∠EGH，∴△AFH≌△EGH（SAS），∴EH＝AH，
∵EF＝AD，FH＝DH，∴△EHF≌△AHD（SSS），故②正确；
③∵△EHF≌△AHD，∴∠EHF＝∠AHD，∴∠AHE＝∠DHF＝90°，
∵AH＝EH，∴∠AEH＝45°，即∠AEF+∠HEF＝45°，
∵∠HEF＝∠HAD，∴∠AEF+∠HAD＝45°，故③正确；
④如图，过点H作MN⊥AD于点M，与BC交于点N，
设EC＝FD＝FG＝x，则BE＝AF＝EG＝2x，
∴BC＝DC＝AB＝AD＝3x，HM＝x，AM＝x，HN＝x，
∴AH2＝，∴＝，故④错误；
故选：A．
三、解答题
23、如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）作出△ABC以O为旋转中心，顺时针旋转90°的△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，写出B2和C2的坐标；
（3）直接写出△ABC绕原点O顺时针旋转一周扫过的图形面积．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
（2）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A2、B2和C2的坐标，然后描点即可；
（3）△ABC绕原点O顺时针旋转一周扫过的图形为圆环，大圆半径为OB，小圆半径为OC，然后利用两圆的面积差求解．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，B2（4，﹣1），C2（1，﹣2）；
（3）OB＝＝，OC＝＝，
所以△ABC绕原点O顺时针旋转一周扫过的图形面积＝π×（）2﹣π×（）2＝12π．
24、如图，四边形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长交CB的延长线于点F，∠E＝∠F，AD＝BC．
（1）求证：O是线段AC的中点：
（2）连接AF、EC，证明四边形AFCE是平行四边形．
【解析】证明：（1）∵∠E＝∠F，∴AD∥BC，
∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC，BD互相平分；即O是线段AC的中点．
（2）∵AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCA，
在△OAE和△OCF中， ,∴△OAE≌△OCF（ASA）．
∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形．
25、已知:如图,在?ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,G为AD的中点,连接CG并延长交BA的延长线于点F,连接FD.
(1)求证:AB=AF;
(2)若AG=AB,∠BCD=120°,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论.
解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∴∠AFC=∠DCG.
又∵∠AGF=∠CGD,GA=GD,∴△AGF≌△DGC, ∴AF=CD,∴AB=AF.
(2)结论:四边形ACDF是矩形.
证明:∵AF=CD,AF∥CD,∴四边形ACDF是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BAD=∠BCD=120°,∴∠FAG=60°.
又∵AF=AB=AG,∴△AFG是等边三角形,∴AG=GF.
∵△AGF≌△DGC,∴FG=CG.
又∵AG=GD,∴AD=CF,∴四边形ACDF是矩形.
26、在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．
【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE；
（2）利用（1）中全等三角形的对应边相等得到AF＝BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD＝DC，从而得出结论．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．
∵DB＝DC，∴AF＝CD．
∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形．
27、如图，E为?ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE交BC于点F，连接AC、BE．
（1）如图1，求证：AF＝EF；
（2）连接BD交AC于点O，连接OF并延长交BE于点G，直接写出图中所有长度是OF二倍的线段．
【分析】（1）由AB∥CD可以得到∠BAF＝∠E，∠ABF＝∠ECF，再利用DC＝CE即可证明△ABF≌△ECF，便可得结论；
（2）证明OF是△ACE的中位线，得CE＝2OF，进而得AB＝CD＝CE＝2OF，再证明四边形OGEC为平行四边形得OG＝2OF．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．
又∵DC＝CE，∴AB＝CE．
∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠E，∠ABF＝∠ECF．∴△ABF≌△ECF（ASA），∴AF＝EF；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴OB＝OD，
∵AF＝CF，∴OF是△ACE的中位线，∴OF∥CE，CE＝2OF，
∵AB＝CD＝CE，∴AB＝CD＝CE＝2OF，
∵AB∥CE，AB＝CE，∴四边形ABEC为平行四边形，∴AC∥BE，
∵OF∥CE，∴四边形OGEC为平行四边形，∴OG＝CE＝2OF，
故图中长度是OF二倍的线段有AB，CD，CE，OG．
28、如图(a),在矩形纸片ABCD中,AB=3 cm,AD=5 cm,折叠纸片使点B落在边AD上的点E处,折痕为PQ,过点E作EF∥AB交PQ于点F,连接BF.
(1)求证:四边形BFEP为菱形.
(2)当点E在AD边上移动时,折痕的端点P,Q也随之移动.
①当点Q与点C重合时,如图(b),求菱形BFEP的边长;
②若限定点P,Q分别在边BA,BC上移动,求点E在边AD上移动的最大距离.

解:(1)证明:由折叠的性质,得PB=PE,BF=EF,∠BPF=∠EPF.
∵EF∥AB,∴∠BPF=∠EFP,∴∠EPF=∠EFP,
∴PE=EF,∴BF=EF=PE=PB,∴四边形BFEP为菱形.
(2)①∵四边形ABCD是矩形, ∴BC=AD=5 cm,CD=AB=3 cm,∠A=∠D=90°.
由折叠的性质,得CE=BC=5 cm.
在Rt△CDE中,DE==4 cm, ∴AE=AD-DE=5-4=1(cm).
在Rt△APE中,AE=1 cm,AP=3-PB=3-PE,∴PE2=12+(3-PE)2,解得PE=(cm),
∴菱形BFEP的边长为cm.
②当点Q与点C重合时,点E离点A最近,由①知,此时AE=1 cm;
当点P与点A重合时,如图所示:
点E离点A最远,此时四边形ABQE为正方形,AE=AB=3 cm.
∵3-1=2(cm), ∴点E在边AD上移动的最大距离为2 cm.
29、如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线上方一动点,连接AC、BC，分别以AC、BC
为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1.
(1)如图②，当点E恰好在直线l上时(此时E1与E重合),试说明DD1＝AB；
(2)在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并
说明理由；
(3)如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系.
图① 图② 图③
【解答】（1）证明：∵四边形CADF、CBEG是正方形，∴AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，
∴∠DAD1+∠CAB=90°，∵DD1⊥AB，∴∠DD1A=∠ABC=90°，∴∠DAD1+∠ADD1=90°，
∴∠ADD1=∠CAB，在△ADD1和△CAB中，，
∴△ADD1≌△CAB（AAS），∴DD1=AB；
（2）解：AB=DD1+EE1．证明：过点C作CH⊥AB于H，∵DD1⊥AB，∴∠DD1A=∠CHA=90°，
∴∠DAD1+∠ADD1=90°，∵四边形CADF是正方形，∴AD=CA，∠DAC=90°，
∴∠DAD1+∠CAH=90°，
∴∠ADD1=∠CAH，在△ADD1和△CAH中，，
∴△ADD1≌△CAH（AAS），∴DD1=AH；
同理：EE1=BH， ∴AB=AH+BH=DD1+EE1；
（3）解：AB=DD1-EE1．
证明：过点C作CH⊥AB于H，∵DD1⊥AB，∴∠DD1A=∠CHA=90°，
∴∠DAD1+∠ADD1=90°，∵四边形CADF是正方形，∴AD=CA，∠DAC=90°，
∴∠DAD1+∠CAH=90°， ∴∠ADD1=∠CAH，
在△ADD1和△CAH中，，∴△ADD1≌△CAH（AAS），∴DD1=AH；
同理：EE1=BH，∴AB=AH-BH=DD1-EE1．
30、如图，已知平行四边形中，对角线，交于点，是延长线上的点，且 是等边三角形．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求证：四边形是正方形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由题意易得△AOE≌△COE，∴∠AOE=∠COE=90°，∴BE⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；
（2）根据有一个角是90°的菱形是正方形．由题意易得∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC=2∠ADO=90°，∴四边形ABCD是正方形．
【解析】解：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．
又∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC（三线合一），即AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．
又∵△ACE是等边三角形，∴EO平分∠AEC（三线合一），∴∠AED=∠AEC=×60°=30°，
又∵∠AED=2∠EAD∴∠EAD=15°，
∴∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°（三角形的一一个外角等于和它外角不相邻的两内角之和），
∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC=2∠ADO=90°，∴平行四边形ABCD是正方形．