五一假期专题复习提升训练卷3（第18章平行四边形）-2020-2021学年人教版八年级数学下册（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 五一假期专题复习提升训练卷3（第18章平行四边形）-2020-2021学年人教版八年级数学下册（Word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-30 12:02:21 | ||
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文档简介
五一假期专题复习提升训练卷3（18章平行四边形）-人教版八年级数学下册
一、选择题
1、下列正确结论的个数是（ ）
①平行四边形内角和为360°；②平行四边形对角线相等；③平行四边形对角线互相平分；
④平行四边形邻角互补．
A．1 B．2 C．3 D．4
2、如图，在中，D，F分别是，上的点，且．点E是射线上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
3、如图，点在直线上移动，是直线上的两个定点，且直线.对于下列各值：①点到直线的距离；②的周长；③的面积；④的大小．
其中不会随点的移动而变化的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
4、平行四边形中一边的长为10cm，那么它的两条对角线的长度可能是（ ）
A．4cm和6cm B．20cm和30cm C．6cm和8cm D．8cm和12cm
5、如图，菱形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，OA＝1，则菱形ABCD的面积为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
6、如图，已知四边形中，R、P分别是、上的点，E、F分别是、的中点，当点P在上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变 D．以上说法都不对
7、如图,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足为E,∠BAE=30°,那么△ECD的面积是 （ ）
A．2 B． C． D．
8、如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（ ）
A．28° B．52° C．62° D．72°
9、已知，如图，正方形的面积为25，菱形的面积为20，求阴影部分的面积（ ）
A．11 B．6.5 C．7 D．7.5
10、如图，在正方形中，，点在边上，且，将 沿对折至，延长交于点，连结，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④① D．①②④
二、填空题
11、在?ABCD中，E是BC边上一点，且AB＝BE，又AE的延长线交DC的延长线于点F．若∠F＝65°，则?ABCD的各内角度数分别为 ．
12、平行四边形两邻边的长分别为20cm，16cm，两条长边的距离是8cm，则两条短边的距离是 cm．
13、在?ABCD中，AB的垂直平分线EF经过点D，在AB上的垂足为E，若?ABCD的周长为38cm，△ABD的周长比?ABCD的周长少10cm，则?ABCD的一组邻边长分别为 ．
14、如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD．则下列结论：①AC=AD；
②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是________________(填写正确的序号）．
15、如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为_____．
16、如图，菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，当菱形的边长为10，一条对角线为12时，则阴影部分的面积为_____．
17、如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝4，BC＝10，则EF的长为_____．
18、如图，在平行四边形中，平分，，连接，是的中点，连接，若，则_____．
19、如图，在?ABCD 中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点 E、F 分别是边 AB、CD 上的动点，将该四边形
沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为 ．
20、如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
三、解答题
21、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝DC．
（2）若AB＝AC时，试证明四边形AFBD是矩形．
22、如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．
（1）求证：AEF≌DEC；
（2）求证：四边形ACDF是平行四边形．
23、如图所示，在中，对角线，相交于点O，，E，F为直线上的两个动点（点E，F始终在的外面），且，连结，，，．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）若，上述结论还成立吗？若呢？
（3）若平分，，求四边形的周长．
24、如图，正方形ABCD中，点E为边BC的上一动点，作AF⊥DE交DE、DC分别于P、F点，连PC
（1）若点E为BC的中点，求证：F点为DC的中点；
（2）若点E为BC的中点，PE＝6，PC=4，求PF的长．
25、在菱形中，点是对角线的交点，点是边的中点，点在延长线上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，如果，请你写出图中所有的等边三角形．
26、如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．
27、在正方形ABCD中．
（1）如图1，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB=90°，试判断AE与BF的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，点E、F、G、H分别在边BC、CD、DA、AB上，EG、FH相交于点O，∠GOH=90°，且EG=7，求FH的长；
（3）如图3，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB=90°，若AB=5，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为4：5，求△ABO的周长．
五一假期专题复习提升训练卷3（18章平行四边形）-人教版八年级数学下册（解析）
一、选择题
1、下列正确结论的个数是（ ）
①平行四边形内角和为360°；②平行四边形对角线相等；③平行四边形对角线互相平分；
④平行四边形邻角互补．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：正确结论是：①③④，共3个，所以正确结论的个数是3，故选C．
2、如图，在中，D，F分别是，上的点，且．点E是射线上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由结合已知条件可证明，从而可判断，由结合已知条件可证明，从而可判断，由结合已知条件可判断，由结合已知条件仍不能判定四边形为平行四边形，从而可得到答案．
【详解】解：A、∵∠ADE=∠E， ∴AB∥CE，
又∵DF∥BC， ∴四边形DBCE为平行四边形；故选项A不符合题意；
B、∵DF∥BC， ∴∠ADE=∠B， ∵∠B=∠E， ∴∠ADE=∠E， ∴AB∥CE，
∴四边形DBCE为平行四边形；故选项B不符合题意；
C、∵DF∥BC， ∴DE∥BC， 又∵DE=BC， ∴四边形DBCE为平行四边形；故选项C不符合题意；
D、由DF∥BC，BD=CE，不能判定四边形DBCE为平行四边形；故选项D符合题意； 故选：D．
3、如图，点在直线上移动，是直线上的两个定点，且直线.对于下列各值：①点到直线的距离；②的周长；③的面积；④的大小．
其中不会随点的移动而变化的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】根据平行线间的距离不变即可判断①；根据三角形的周长和点P的运动变化可判断②④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断③；进而可得答案．
【详解】解：∵直线，∴①点到直线的距离不会随点的移动而变化；
∵PA、PB的长随点P的移动而变化，
∴②△PAB的周长会随点的移动而变化，④∠APB的大小会随点的移动而变化；
∵点到直线的距离不变，AB的长度不变，∴③△PAB的面积不会随点的移动而变化；
综上，不会随点的移动而变化的是①③．故选：B．
4、平行四边形中一边的长为10cm，那么它的两条对角线的长度可能是（ ）
A．4cm和6cm B．20cm和30cm C．6cm和8cm D．8cm和12cm
解：因为平行四边形的对角线互相平分，一边与两条对角线的一半构成三角形，所以根据三角形的三边关系进行判断：
A、根据三角形的三边关系可知：2+3＜10，不能构成三角形；
B、10+10＞15，能构成三角形；
C、3+4＜10，不能构成三角形；
D、4+6＝10，不能构成三角形．
故选：B．
5、如图，菱形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，OA＝1，则菱形ABCD的面积为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
解：∵对角线AC，BD交于点O，OA＝1，∴AC＝2AO＝2，
∵菱形ABCD的边长为，∴AB＝，
∴BO＝＝＝2，∴BD＝2BO＝4，
∴菱形ABCD的面积＝BD×AC＝＝4，
故选：D．
6、如图，已知四边形中，R、P分别是、上的点，E、F分别是、的中点，当点P在上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变 D．以上说法都不对
【答案】C
【分析】连接AR，E、F分别是、的中点，AR不变，根据中位线定理可得，据此解题．
【详解】连接AR，如图，
因为AR不变，E、F分别是、的中点，由中位线的性质得，
当点P在上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变故选：C．
7、如图,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足为E,∠BAE=30°,那么△ECD的面积是 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，先求Rt△AED的面积，再证明△ECD的面积与它相等．
【解析】如图：过点C作CF⊥BD于F.∵矩形ABCD中，BC=2，AE⊥BD，∠BAE=30°.
∴∠ABE=∠CDF=60°,AB=CD,AD=BC=2,∠AEB=∠CFD=90°，∠AED=30°，
∴△ABE≌△CDF.∴AE=CF. ∴S△AED=EDAE,S△ECD=EDCF. ∴S△AED=S△CDE
∵AE=1,DE=，∴△ECD的面积是.
故答案选:D.
8、如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（ ）
A．28° B．52° C．62° D．72°
【答案】C
【分析】根据菱形的性质以及AM＝CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO＝CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB＝BC，
∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，
在△AMO和△CNO中，∵ ，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO＝CO，
∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC＝90°，
∵∠DAC＝28°，∴∠BCA＝∠DAC＝28°，∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．
故选：C．
9、已知，如图，正方形的面积为25，菱形的面积为20，求阴影部分的面积（ ）
A．11 B．6.5 C．7 D．7.5
【答案】A
【分析】由题意易得AB=BC=BP=PQ=QC=5，EC=4，在Rt△QEC中，可根据勾股定理求得EQ=3，又有PE=PQ-EQ=2，进而可得S阴影的值．
【解析】∵正方形ABCD的面积是25，∴AB=BC=BP=PQ=QC=5，
又∵S菱形BPQC=PQ×EC=5×EC=20，∴S菱形BPQC=BC?EC，即20=5?EC，∴EC=4
在Rt△QEC中，EQ==3；∴PE=PQ-EQ=2，
∴S阴影=S正方形ABCD-S梯形PBCE=25-×（5+2）×4=25-14=11．
故选A.
10、如图，在正方形中，，点在边上，且，将 沿对折至，延长交于点，连结，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④① D．①②④
【答案】D
【分析】依据HL即可判定Rt△ABG≌Rt△AFG，判断出①正确；根据全等三角形对应边相等可得BG=FG，再根据“CD=3DE”求出DE的长，然后设BG=x，表示出CG、EG，然后利用勾股定理列出方程求出x，从而求出BG=FG=CG，判断出②正确；利用即可求得，判断出③错误；依据∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE，即可得到∠EAG=∠BAD，判断出④正确．
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=6，∠B=∠GCE=∠D=90°，
由折叠的性质得：AF=AD，∠AFE=∠D=90°，∴∠AFG=90°=∠B，AB=AF，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正确；∴BG=FG，
∵AB=6，CD=3DE，∴DE=2，CE=6-2=4，设BG=x，则CG=6-x，EG=x+2，
在Rt△CEG中，CG2+CE2=EG2，即(6-x)2+42=(x+2)2，解得x=3，∴BG=FG=CG=3，故②正确；
由②得：BG =CG=3，DE=2，CE=4，AB=AD=6，
∴
，故③错误；
∴∠BAG=∠FAG，由折叠可得，∠DAE=∠FAE，∴∠EAG=∠BAD=，故④正确；
综上，①②④正确．故选：D．
二、填空题
11、在?ABCD中，E是BC边上一点，且AB＝BE，又AE的延长线交DC的延长线于点F．若∠F＝65°，则?ABCD的各内角度数分别为 ．
解：∵AB＝BE∴∠AEB＝∠BAF＝65°∴∠B＝50°
∴∠D＝50°，∠BAD＝∠C＝130°．
故答案为50°，130°，50°，130°．
12、平行四边形两邻边的长分别为20cm，16cm，两条长边的距离是8cm，则两条短边的距离是 cm．
解：如图，
?ABCD中，AB＝16cm，BC＝20cm，
∴S?ABCD＝20×8＝160，
而BA＝16，S?ABCD＝BC×两条短边的距离，
∴两条短边的距离＝160÷16＝10．
则两条短边的距离是10cm．
故填空答案：10．
13、在?ABCD中，AB的垂直平分线EF经过点D，在AB上的垂足为E，若?ABCD的周长为38cm，△ABD的周长比?ABCD的周长少10cm，则?ABCD的一组邻边长分别为 ．
解：∵AB的垂直平分线EF经过点D,∴DA＝DB
∵四边形ABCD是平行四边形，∴DA＝CB，
∵△ABD的周长比?ABCD的周长少10cm,∴CD＝10
∵?ABCD的周长为38cm,∴BC＝×38﹣10＝9．
故答案为9、10．
14、如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD．则下列结论：①AC=AD；
②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是________________(填写正确的序号）．
【答案】①②③
【分析】根据旋转和等边三角形的性质得出∠ACE＝120°，∠DCE＝∠BCA＝60°，AC＝CD＝DE＝CE，求出△ACD是等边三角形，求出AD＝AC，根据菱形的判定得出四边形ABCD和ACED都是菱形，根据菱形的判定推出AC⊥BD．
【解析】∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，
∴∠ACE＝120°，∠DCE＝∠BCA＝60°，AC＝CD＝DE＝CE，∴∠ACD＝120°?60°＝60°，
∴△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，AC＝AD＝DE＝CE，∴四边形ACED是菱形，
∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，AC＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∴①②③都正确，
故答案为：①②③．
15、如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为_____．
【答案】1.2
【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM=EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【解析】∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°.
又PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF=AP.
∵M是EF的中点，∴AM=EF=AP.
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，∴AM的最小值是1.2.
16、如图，菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，当菱形的边长为10，一条对角线为12时，则阴影部分的面积为_____．
【答案】48．
【分析】连接AC、BD，由菱形的性质与勾股定理求出AC，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．
【解析】连接AC、BD，如图所示，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝10，OB＝OD＝BD＝6，OA＝OC，AC⊥BD，
∴OA＝，∴AC＝2OA＝16，
∴菱形ABCD的面积＝＝×16×12＝96，
∵O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积＝×96＝48；
故答案为：48．
17、如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝4，BC＝10，则EF的长为_____．
【答案】3
【分析】先根据三角形中位线定理求得DE，然后再根据直角三角形的性质求出DF，最后运用线段的和差计算即可．
【详解】解：∵DE为△ABC的中位线，∴DE＝BC＝5，
∵∠AFB＝90°，D是AB 的中点，∴DF＝AB＝2，∴EF＝DE﹣DF＝3．故答案为3．
18、如图，在平行四边形中，平分，，连接，是的中点，连接，若，则_____．
【答案】2
【分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解，即可得，利用等腰三角形的性质得到，进而可得是的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．
【详解】解：在平行四边形中，，∴，
∵平分，∴，∴，∴，
∵，∴，∵是的中点，∴是的中位线，∴
∵，∴；故答案为：2．
19、如图，在?ABCD 中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点 E、F 分别是边 AB、CD 上的动点，将该四边形
沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为 ．
【答案】或
【分析】设点A落在BC边上的A′点，分两种情况：①当A′C=BC=2时；②如图2，当A′B=BC=2时，过A′点作AB延长线的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理即可．
【详解】设点A落在BC边上的A′点．①如图1，当A′C=BC=2时，A′B=4，
设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．过A′点作A′M垂直于AB，交AB延长线于M点，
在Rt△A′BM中，∠A′BM=60°，∴BM=2，A′M=2．
在Rt△A′EM中，利用勾股定理可得：x2=（10-x）2+12，解得x=．即AE=；
②如图2，当A′B=BC=2时，设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．
过A′点作A′N垂直于AB，交AB延长线于N点，
在Rt△A′BN中，∠A′BN=60°，∴BN=1，A′N=．
在Rt△A′EN中，利用勾股定理可得：x2=（9-x）2+3，解得x=．
即AE=；所以AE的长为5.6或．故答案为5.6或．
20、如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴AE＝CF＝×2＝1，
∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC， DH＝FH，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝1，∴AP＝AD﹣PD＝1，
∴PE＝＝， ∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴GH＝EP＝．
三、解答题
21、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝DC．
（2）若AB＝AC时，试证明四边形AFBD是矩形．
证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，
∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF＝DC，
∵AF＝BD，∴BD＝CD；
（2）∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°
∵AF＝BD，∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
又∵∠ADB＝90°，∴四边形AFBD是矩形．
22、如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．
（1）求证：AEF≌DEC；
（2）求证：四边形ACDF是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB//CD，根据平行线的性质可得就爱∠FAE=∠CDE，利用ASA即可证明△AEF≌△DEC；
（2）根据全等三角形的性质可得AF=DC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得结论．
【详解】（1）∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，
∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC（ASA）．
（2）∵△AEF≌△DEC，∴AF＝DC，
∵AF∥DC，∴四边形ACDF是平行四边形．
23、如图所示，在中，对角线，相交于点O，，E，F为直线上的两个动点（点E，F始终在的外面），且，连结，，，．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）若，上述结论还成立吗？若呢？
（3）若平分，，求四边形的周长．
【答案】（1）见解析；（2）结论成立，结论成立，见解析；（3）40cm
【分析】（1）由平行四边形的性质可知、，结合、可得出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形为平行四边形；
（2）由、可得出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形为平行四边形，由此可得出原结论成立，再找出结论“若，，则四边形为平行四边形”即可；
（3）根据平行四边形的性质结合平分，即可得出，进而可得出是的垂直平分线，再根据可得出是等边三角形，根据的长度即可得出、的长度，套用平行四边形周长公式即可求出四边形的周长．
【详解】解：（1）证明：四边形是平行四边形，，．
，，，，
四边形为平行四边形．
（2），，，，四边形为平行四边形．
上述结论成立，由此可得出结论：若，，则四边形为平行四边形．
（3）在中，，．
平分，，，．
，，是的垂直平分线，．
，是等边三角形，，
．
24、如图，正方形ABCD中，点E为边BC的上一动点，作AF⊥DE交DE、DC分别于P、F点，连PC
（1）若点E为BC的中点，求证：F点为DC的中点；
（2）若点E为BC的中点，PE＝6，PC=4，求PF的长．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°，
∵AF⊥DE，∴∠APD＝∠DPF＝90°，
∴∠ADP+∠DAF＝90°，∠ADP+∠EDC＝90°，∴∠DAF＝∠EDC，
在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（AAS），∴DF＝CE，
∵EC=BC，BC＝DC，∴DF=DC，∴F点为DC的中点；
（2）延长PE到N，使得EN＝PF，连接CN，
∵∠AFD＝∠DEC，∴∠CEN＝∠CFP，
又∵E，F分别是BC，DC的中点，∴CE＝CF，
∵在△CEN和△CFP中，∴△CEN≌△CFP（SAS），
∴CN＝CP，∠ECN＝∠PCF，
∵∠PCF+∠BCP＝90°，∴∠ECN+∠BCP＝∠NCP＝90°，∴△NCP是等腰直角三角形，
∴PN＝PE+NE＝PE+PF=PC，∴PFPE＝8﹣6＝2．
25、在菱形中，点是对角线的交点，点是边的中点，点在延长线上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，如果，请你写出图中所有的等边三角形．
【答案】（1）证明见解析；（2）△OCE，△ECF，△ABC，△ADC
【分析】（1）利用菱形的性质得BO=DO，易得OE是△BDC的中位线，利用中位线的性质得OE//BC且OE=12BC，利用平行四边形的判定得出结论；（2）由直角三角形的性质，斜边中线等于斜边的一半得EF=12CD，易得△ECF为等边三角形，利用（1）的结论，易得△OCE为等边三角形，利用等边三角形的性质，得∠ABC=60°，利用判定定理得△ABC与△ADC为等边三角形．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BO=DO，
∵E点是边CD的中点，∴OE是△BDC的中位线，∴OE//BC且OE=BC，
∵CF=BC，∴OE=CF，∵OE//CF，∴四边形OCFE是平行四边形；
（2）解：∵DF⊥CF，E点是边CD的中点，∴EF=CD，
∵CE=CD，CF=BC=CD，∴△ECF为等边三角形；
∵四边形OCFE是平行四边形，∴OC=EF=CE=CF=OE，∴△OCE为等边三角形；
∵△ECF为等边三角形，∴∠ECF=60°，∴∠ABC=60°，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∴△ABC为等边三角形；
同理得△ADC为等边三角形；
∴图中的等边三角形有：△OCE，△ECF，△ABC，△ADC．
26、如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．
【分析】（1）（1）先求证AB＝AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4＝60°，AC＝AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE＝CF；
（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE＝S△ACF，故根据S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC即可解题；由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的周长会随着AE的变化而变化，求出当AE最短时，△CEF的周长即可．
【解析】解：（1）如图，连接AC，
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，
∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，
∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，∴∠1＝∠3，
∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，∴∠4＝60°，AC＝AB，
∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF；
（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的周长发生变化．理由如下：
由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE＝S△ACF，
故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H点，则BH＝2，
S四边形AECF＝S△ABC
△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+EF＝BC+EF＝BC+AE
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的周长会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，
△CEF的周长会最小=4+．
27、在正方形ABCD中．
（1）如图1，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB=90°，试判断AE与BF的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，点E、F、G、H分别在边BC、CD、DA、AB上，EG、FH相交于点O，∠GOH=90°，且EG=7，求FH的长；
（3）如图3，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB=90°，若AB=5，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为4：5，求△ABO的周长．
【答案】（1）AE=BF，理由见解析；（2）FH=7；（3）△AOB的周长为5+
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形可得AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，根据余角的性质可得∠BAO=∠CBF，然后根据ASA可证△ABE≌△BCF，进而可得结论；
（2）如图4，作辅助线，构建平行四边形AMEG和平行四边形BNFH，得AM=GE，BN=FH，由（1）题的结论知△ABM≌△BCN，进而可得FH的长；
（3）根据正方形的面积和阴影部分的面积可得：空白部分的面积为25－20=5，易得△AOB的面积与四边形OECF的面积相等，设AO=a，BO=b，则易得ab=5，根据勾股定理得：a2+b2=52，然后根据完全平方公式即可求出a+b，进一步即得结果．
【解析】解：（1）AE=BF，理由是：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
∵∠AOB=90°，∴∠BAO+∠ABO=90°，
又∵∠CBF+∠ABO=90°，∴∠BAO=∠CBF，∴△ABE≌△BCF（ASA）．∴AE=BF；
（2）在图2中，过点A作AM∥GE交BC于M，过点B作BN∥FH交CD于N，AM与BN交于点O′，如图4，则四边形AMEG和四边形BNFH均为平行四边形，∴AM=GE，BN=FH，
∵∠GOH=90°，AM∥GE，BN∥FH，∴∠AO′B=90°，由（1）得，△ABM≌△BCN，
∴AM=BN，∴FH=GE=7；
（3）如图3，∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为4：5，
∴阴影部分的面积为×25=20，∴空白部分的面积为25－20=5，
由（1）得，△ABE≌△BCF，∴△AOB的面积与四边形OECF的面积相等，均为×5=，
设AO=a，BO=b，则ab=，即ab=5，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∴a2+b2=52，
∴a2+2ab+b2=25+10=35，即，∴a+b=，即AO+BO=，
∴△AOB的周长为5+．
一、选择题
1、下列正确结论的个数是（ ）
①平行四边形内角和为360°；②平行四边形对角线相等；③平行四边形对角线互相平分；
④平行四边形邻角互补．
A．1 B．2 C．3 D．4
2、如图，在中，D，F分别是，上的点，且．点E是射线上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
3、如图，点在直线上移动，是直线上的两个定点，且直线.对于下列各值：①点到直线的距离；②的周长；③的面积；④的大小．
其中不会随点的移动而变化的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
4、平行四边形中一边的长为10cm，那么它的两条对角线的长度可能是（ ）
A．4cm和6cm B．20cm和30cm C．6cm和8cm D．8cm和12cm
5、如图，菱形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，OA＝1，则菱形ABCD的面积为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
6、如图，已知四边形中，R、P分别是、上的点，E、F分别是、的中点，当点P在上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变 D．以上说法都不对
7、如图,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足为E,∠BAE=30°,那么△ECD的面积是 （ ）
A．2 B． C． D．
8、如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（ ）
A．28° B．52° C．62° D．72°
9、已知，如图，正方形的面积为25，菱形的面积为20，求阴影部分的面积（ ）
A．11 B．6.5 C．7 D．7.5
10、如图，在正方形中，，点在边上，且，将 沿对折至，延长交于点，连结，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④① D．①②④
二、填空题
11、在?ABCD中，E是BC边上一点，且AB＝BE，又AE的延长线交DC的延长线于点F．若∠F＝65°，则?ABCD的各内角度数分别为 ．
12、平行四边形两邻边的长分别为20cm，16cm，两条长边的距离是8cm，则两条短边的距离是 cm．
13、在?ABCD中，AB的垂直平分线EF经过点D，在AB上的垂足为E，若?ABCD的周长为38cm，△ABD的周长比?ABCD的周长少10cm，则?ABCD的一组邻边长分别为 ．
14、如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD．则下列结论：①AC=AD；
②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是________________(填写正确的序号）．
15、如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为_____．
16、如图，菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，当菱形的边长为10，一条对角线为12时，则阴影部分的面积为_____．
17、如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝4，BC＝10，则EF的长为_____．
18、如图，在平行四边形中，平分，，连接，是的中点，连接，若，则_____．
19、如图，在?ABCD 中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点 E、F 分别是边 AB、CD 上的动点，将该四边形
沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为 ．
20、如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
三、解答题
21、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝DC．
（2）若AB＝AC时，试证明四边形AFBD是矩形．
22、如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．
（1）求证：AEF≌DEC；
（2）求证：四边形ACDF是平行四边形．
23、如图所示，在中，对角线，相交于点O，，E，F为直线上的两个动点（点E，F始终在的外面），且，连结，，，．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）若，上述结论还成立吗？若呢？
（3）若平分，，求四边形的周长．
24、如图，正方形ABCD中，点E为边BC的上一动点，作AF⊥DE交DE、DC分别于P、F点，连PC
（1）若点E为BC的中点，求证：F点为DC的中点；
（2）若点E为BC的中点，PE＝6，PC=4，求PF的长．
25、在菱形中，点是对角线的交点，点是边的中点，点在延长线上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，如果，请你写出图中所有的等边三角形．
26、如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．
27、在正方形ABCD中．
（1）如图1，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB=90°，试判断AE与BF的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，点E、F、G、H分别在边BC、CD、DA、AB上，EG、FH相交于点O，∠GOH=90°，且EG=7，求FH的长；
（3）如图3，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB=90°，若AB=5，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为4：5，求△ABO的周长．
五一假期专题复习提升训练卷3（18章平行四边形）-人教版八年级数学下册（解析）
一、选择题
1、下列正确结论的个数是（ ）
①平行四边形内角和为360°；②平行四边形对角线相等；③平行四边形对角线互相平分；
④平行四边形邻角互补．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：正确结论是：①③④，共3个，所以正确结论的个数是3，故选C．
2、如图，在中，D，F分别是，上的点，且．点E是射线上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由结合已知条件可证明，从而可判断，由结合已知条件可证明，从而可判断，由结合已知条件可判断，由结合已知条件仍不能判定四边形为平行四边形，从而可得到答案．
【详解】解：A、∵∠ADE=∠E， ∴AB∥CE，
又∵DF∥BC， ∴四边形DBCE为平行四边形；故选项A不符合题意；
B、∵DF∥BC， ∴∠ADE=∠B， ∵∠B=∠E， ∴∠ADE=∠E， ∴AB∥CE，
∴四边形DBCE为平行四边形；故选项B不符合题意；
C、∵DF∥BC， ∴DE∥BC， 又∵DE=BC， ∴四边形DBCE为平行四边形；故选项C不符合题意；
D、由DF∥BC，BD=CE，不能判定四边形DBCE为平行四边形；故选项D符合题意； 故选：D．
3、如图，点在直线上移动，是直线上的两个定点，且直线.对于下列各值：①点到直线的距离；②的周长；③的面积；④的大小．
其中不会随点的移动而变化的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】根据平行线间的距离不变即可判断①；根据三角形的周长和点P的运动变化可判断②④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断③；进而可得答案．
【详解】解：∵直线，∴①点到直线的距离不会随点的移动而变化；
∵PA、PB的长随点P的移动而变化，
∴②△PAB的周长会随点的移动而变化，④∠APB的大小会随点的移动而变化；
∵点到直线的距离不变，AB的长度不变，∴③△PAB的面积不会随点的移动而变化；
综上，不会随点的移动而变化的是①③．故选：B．
4、平行四边形中一边的长为10cm，那么它的两条对角线的长度可能是（ ）
A．4cm和6cm B．20cm和30cm C．6cm和8cm D．8cm和12cm
解：因为平行四边形的对角线互相平分，一边与两条对角线的一半构成三角形，所以根据三角形的三边关系进行判断：
A、根据三角形的三边关系可知：2+3＜10，不能构成三角形；
B、10+10＞15，能构成三角形；
C、3+4＜10，不能构成三角形；
D、4+6＝10，不能构成三角形．
故选：B．
5、如图，菱形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，OA＝1，则菱形ABCD的面积为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
解：∵对角线AC，BD交于点O，OA＝1，∴AC＝2AO＝2，
∵菱形ABCD的边长为，∴AB＝，
∴BO＝＝＝2，∴BD＝2BO＝4，
∴菱形ABCD的面积＝BD×AC＝＝4，
故选：D．
6、如图，已知四边形中，R、P分别是、上的点，E、F分别是、的中点，当点P在上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变 D．以上说法都不对
【答案】C
【分析】连接AR，E、F分别是、的中点，AR不变，根据中位线定理可得，据此解题．
【详解】连接AR，如图，
因为AR不变，E、F分别是、的中点，由中位线的性质得，
当点P在上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变故选：C．
7、如图,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足为E,∠BAE=30°,那么△ECD的面积是 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，先求Rt△AED的面积，再证明△ECD的面积与它相等．
【解析】如图：过点C作CF⊥BD于F.∵矩形ABCD中，BC=2，AE⊥BD，∠BAE=30°.
∴∠ABE=∠CDF=60°,AB=CD,AD=BC=2,∠AEB=∠CFD=90°，∠AED=30°，
∴△ABE≌△CDF.∴AE=CF. ∴S△AED=EDAE,S△ECD=EDCF. ∴S△AED=S△CDE
∵AE=1,DE=，∴△ECD的面积是.
故答案选:D.
8、如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（ ）
A．28° B．52° C．62° D．72°
【答案】C
【分析】根据菱形的性质以及AM＝CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO＝CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB＝BC，
∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，
在△AMO和△CNO中，∵ ，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO＝CO，
∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC＝90°，
∵∠DAC＝28°，∴∠BCA＝∠DAC＝28°，∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．
故选：C．
9、已知，如图，正方形的面积为25，菱形的面积为20，求阴影部分的面积（ ）
A．11 B．6.5 C．7 D．7.5
【答案】A
【分析】由题意易得AB=BC=BP=PQ=QC=5，EC=4，在Rt△QEC中，可根据勾股定理求得EQ=3，又有PE=PQ-EQ=2，进而可得S阴影的值．
【解析】∵正方形ABCD的面积是25，∴AB=BC=BP=PQ=QC=5，
又∵S菱形BPQC=PQ×EC=5×EC=20，∴S菱形BPQC=BC?EC，即20=5?EC，∴EC=4
在Rt△QEC中，EQ==3；∴PE=PQ-EQ=2，
∴S阴影=S正方形ABCD-S梯形PBCE=25-×（5+2）×4=25-14=11．
故选A.
10、如图，在正方形中，，点在边上，且，将 沿对折至，延长交于点，连结，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④① D．①②④
【答案】D
【分析】依据HL即可判定Rt△ABG≌Rt△AFG，判断出①正确；根据全等三角形对应边相等可得BG=FG，再根据“CD=3DE”求出DE的长，然后设BG=x，表示出CG、EG，然后利用勾股定理列出方程求出x，从而求出BG=FG=CG，判断出②正确；利用即可求得，判断出③错误；依据∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE，即可得到∠EAG=∠BAD，判断出④正确．
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=6，∠B=∠GCE=∠D=90°，
由折叠的性质得：AF=AD，∠AFE=∠D=90°，∴∠AFG=90°=∠B，AB=AF，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正确；∴BG=FG，
∵AB=6，CD=3DE，∴DE=2，CE=6-2=4，设BG=x，则CG=6-x，EG=x+2，
在Rt△CEG中，CG2+CE2=EG2，即(6-x)2+42=(x+2)2，解得x=3，∴BG=FG=CG=3，故②正确；
由②得：BG =CG=3，DE=2，CE=4，AB=AD=6，
∴
，故③错误；
∴∠BAG=∠FAG，由折叠可得，∠DAE=∠FAE，∴∠EAG=∠BAD=，故④正确；
综上，①②④正确．故选：D．
二、填空题
11、在?ABCD中，E是BC边上一点，且AB＝BE，又AE的延长线交DC的延长线于点F．若∠F＝65°，则?ABCD的各内角度数分别为 ．
解：∵AB＝BE∴∠AEB＝∠BAF＝65°∴∠B＝50°
∴∠D＝50°，∠BAD＝∠C＝130°．
故答案为50°，130°，50°，130°．
12、平行四边形两邻边的长分别为20cm，16cm，两条长边的距离是8cm，则两条短边的距离是 cm．
解：如图，
?ABCD中，AB＝16cm，BC＝20cm，
∴S?ABCD＝20×8＝160，
而BA＝16，S?ABCD＝BC×两条短边的距离，
∴两条短边的距离＝160÷16＝10．
则两条短边的距离是10cm．
故填空答案：10．
13、在?ABCD中，AB的垂直平分线EF经过点D，在AB上的垂足为E，若?ABCD的周长为38cm，△ABD的周长比?ABCD的周长少10cm，则?ABCD的一组邻边长分别为 ．
解：∵AB的垂直平分线EF经过点D,∴DA＝DB
∵四边形ABCD是平行四边形，∴DA＝CB，
∵△ABD的周长比?ABCD的周长少10cm,∴CD＝10
∵?ABCD的周长为38cm,∴BC＝×38﹣10＝9．
故答案为9、10．
14、如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD．则下列结论：①AC=AD；
②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是________________(填写正确的序号）．
【答案】①②③
【分析】根据旋转和等边三角形的性质得出∠ACE＝120°，∠DCE＝∠BCA＝60°，AC＝CD＝DE＝CE，求出△ACD是等边三角形，求出AD＝AC，根据菱形的判定得出四边形ABCD和ACED都是菱形，根据菱形的判定推出AC⊥BD．
【解析】∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，
∴∠ACE＝120°，∠DCE＝∠BCA＝60°，AC＝CD＝DE＝CE，∴∠ACD＝120°?60°＝60°，
∴△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，AC＝AD＝DE＝CE，∴四边形ACED是菱形，
∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，AC＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∴①②③都正确，
故答案为：①②③．
15、如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为_____．
【答案】1.2
【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM=EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【解析】∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°.
又PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF=AP.
∵M是EF的中点，∴AM=EF=AP.
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，∴AM的最小值是1.2.
16、如图，菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，当菱形的边长为10，一条对角线为12时，则阴影部分的面积为_____．
【答案】48．
【分析】连接AC、BD，由菱形的性质与勾股定理求出AC，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．
【解析】连接AC、BD，如图所示，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝10，OB＝OD＝BD＝6，OA＝OC，AC⊥BD，
∴OA＝，∴AC＝2OA＝16，
∴菱形ABCD的面积＝＝×16×12＝96，
∵O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积＝×96＝48；
故答案为：48．
17、如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝4，BC＝10，则EF的长为_____．
【答案】3
【分析】先根据三角形中位线定理求得DE，然后再根据直角三角形的性质求出DF，最后运用线段的和差计算即可．
【详解】解：∵DE为△ABC的中位线，∴DE＝BC＝5，
∵∠AFB＝90°，D是AB 的中点，∴DF＝AB＝2，∴EF＝DE﹣DF＝3．故答案为3．
18、如图，在平行四边形中，平分，，连接，是的中点，连接，若，则_____．
【答案】2
【分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解，即可得，利用等腰三角形的性质得到，进而可得是的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．
【详解】解：在平行四边形中，，∴，
∵平分，∴，∴，∴，
∵，∴，∵是的中点，∴是的中位线，∴
∵，∴；故答案为：2．
19、如图，在?ABCD 中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点 E、F 分别是边 AB、CD 上的动点，将该四边形
沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为 ．
【答案】或
【分析】设点A落在BC边上的A′点，分两种情况：①当A′C=BC=2时；②如图2，当A′B=BC=2时，过A′点作AB延长线的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理即可．
【详解】设点A落在BC边上的A′点．①如图1，当A′C=BC=2时，A′B=4，
设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．过A′点作A′M垂直于AB，交AB延长线于M点，
在Rt△A′BM中，∠A′BM=60°，∴BM=2，A′M=2．
在Rt△A′EM中，利用勾股定理可得：x2=（10-x）2+12，解得x=．即AE=；
②如图2，当A′B=BC=2时，设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．
过A′点作A′N垂直于AB，交AB延长线于N点，
在Rt△A′BN中，∠A′BN=60°，∴BN=1，A′N=．
在Rt△A′EN中，利用勾股定理可得：x2=（9-x）2+3，解得x=．
即AE=；所以AE的长为5.6或．故答案为5.6或．
20、如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴AE＝CF＝×2＝1，
∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC， DH＝FH，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝1，∴AP＝AD﹣PD＝1，
∴PE＝＝， ∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴GH＝EP＝．
三、解答题
21、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝DC．
（2）若AB＝AC时，试证明四边形AFBD是矩形．
证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，
∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF＝DC，
∵AF＝BD，∴BD＝CD；
（2）∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°
∵AF＝BD，∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
又∵∠ADB＝90°，∴四边形AFBD是矩形．
22、如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．
（1）求证：AEF≌DEC；
（2）求证：四边形ACDF是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB//CD，根据平行线的性质可得就爱∠FAE=∠CDE，利用ASA即可证明△AEF≌△DEC；
（2）根据全等三角形的性质可得AF=DC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得结论．
【详解】（1）∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，
∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC（ASA）．
（2）∵△AEF≌△DEC，∴AF＝DC，
∵AF∥DC，∴四边形ACDF是平行四边形．
23、如图所示，在中，对角线，相交于点O，，E，F为直线上的两个动点（点E，F始终在的外面），且，连结，，，．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）若，上述结论还成立吗？若呢？
（3）若平分，，求四边形的周长．
【答案】（1）见解析；（2）结论成立，结论成立，见解析；（3）40cm
【分析】（1）由平行四边形的性质可知、，结合、可得出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形为平行四边形；
（2）由、可得出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形为平行四边形，由此可得出原结论成立，再找出结论“若，，则四边形为平行四边形”即可；
（3）根据平行四边形的性质结合平分，即可得出，进而可得出是的垂直平分线，再根据可得出是等边三角形，根据的长度即可得出、的长度，套用平行四边形周长公式即可求出四边形的周长．
【详解】解：（1）证明：四边形是平行四边形，，．
，，，，
四边形为平行四边形．
（2），，，，四边形为平行四边形．
上述结论成立，由此可得出结论：若，，则四边形为平行四边形．
（3）在中，，．
平分，，，．
，，是的垂直平分线，．
，是等边三角形，，
．
24、如图，正方形ABCD中，点E为边BC的上一动点，作AF⊥DE交DE、DC分别于P、F点，连PC
（1）若点E为BC的中点，求证：F点为DC的中点；
（2）若点E为BC的中点，PE＝6，PC=4，求PF的长．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°，
∵AF⊥DE，∴∠APD＝∠DPF＝90°，
∴∠ADP+∠DAF＝90°，∠ADP+∠EDC＝90°，∴∠DAF＝∠EDC，
在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（AAS），∴DF＝CE，
∵EC=BC，BC＝DC，∴DF=DC，∴F点为DC的中点；
（2）延长PE到N，使得EN＝PF，连接CN，
∵∠AFD＝∠DEC，∴∠CEN＝∠CFP，
又∵E，F分别是BC，DC的中点，∴CE＝CF，
∵在△CEN和△CFP中，∴△CEN≌△CFP（SAS），
∴CN＝CP，∠ECN＝∠PCF，
∵∠PCF+∠BCP＝90°，∴∠ECN+∠BCP＝∠NCP＝90°，∴△NCP是等腰直角三角形，
∴PN＝PE+NE＝PE+PF=PC，∴PFPE＝8﹣6＝2．
25、在菱形中，点是对角线的交点，点是边的中点，点在延长线上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，如果，请你写出图中所有的等边三角形．
【答案】（1）证明见解析；（2）△OCE，△ECF，△ABC，△ADC
【分析】（1）利用菱形的性质得BO=DO，易得OE是△BDC的中位线，利用中位线的性质得OE//BC且OE=12BC，利用平行四边形的判定得出结论；（2）由直角三角形的性质，斜边中线等于斜边的一半得EF=12CD，易得△ECF为等边三角形，利用（1）的结论，易得△OCE为等边三角形，利用等边三角形的性质，得∠ABC=60°，利用判定定理得△ABC与△ADC为等边三角形．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BO=DO，
∵E点是边CD的中点，∴OE是△BDC的中位线，∴OE//BC且OE=BC，
∵CF=BC，∴OE=CF，∵OE//CF，∴四边形OCFE是平行四边形；
（2）解：∵DF⊥CF，E点是边CD的中点，∴EF=CD，
∵CE=CD，CF=BC=CD，∴△ECF为等边三角形；
∵四边形OCFE是平行四边形，∴OC=EF=CE=CF=OE，∴△OCE为等边三角形；
∵△ECF为等边三角形，∴∠ECF=60°，∴∠ABC=60°，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∴△ABC为等边三角形；
同理得△ADC为等边三角形；
∴图中的等边三角形有：△OCE，△ECF，△ABC，△ADC．
26、如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．
【分析】（1）（1）先求证AB＝AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4＝60°，AC＝AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE＝CF；
（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE＝S△ACF，故根据S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC即可解题；由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的周长会随着AE的变化而变化，求出当AE最短时，△CEF的周长即可．
【解析】解：（1）如图，连接AC，
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，
∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，
∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，∴∠1＝∠3，
∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，∴∠4＝60°，AC＝AB，
∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF；
（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的周长发生变化．理由如下：
由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE＝S△ACF，
故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H点，则BH＝2，
S四边形AECF＝S△ABC
△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+EF＝BC+EF＝BC+AE
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的周长会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，
△CEF的周长会最小=4+．
27、在正方形ABCD中．
（1）如图1，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB=90°，试判断AE与BF的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，点E、F、G、H分别在边BC、CD、DA、AB上，EG、FH相交于点O，∠GOH=90°，且EG=7，求FH的长；
（3）如图3，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB=90°，若AB=5，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为4：5，求△ABO的周长．
【答案】（1）AE=BF，理由见解析；（2）FH=7；（3）△AOB的周长为5+
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形可得AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，根据余角的性质可得∠BAO=∠CBF，然后根据ASA可证△ABE≌△BCF，进而可得结论；
（2）如图4，作辅助线，构建平行四边形AMEG和平行四边形BNFH，得AM=GE，BN=FH，由（1）题的结论知△ABM≌△BCN，进而可得FH的长；
（3）根据正方形的面积和阴影部分的面积可得：空白部分的面积为25－20=5，易得△AOB的面积与四边形OECF的面积相等，设AO=a，BO=b，则易得ab=5，根据勾股定理得：a2+b2=52，然后根据完全平方公式即可求出a+b，进一步即得结果．
【解析】解：（1）AE=BF，理由是：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
∵∠AOB=90°，∴∠BAO+∠ABO=90°，
又∵∠CBF+∠ABO=90°，∴∠BAO=∠CBF，∴△ABE≌△BCF（ASA）．∴AE=BF；
（2）在图2中，过点A作AM∥GE交BC于M，过点B作BN∥FH交CD于N，AM与BN交于点O′，如图4，则四边形AMEG和四边形BNFH均为平行四边形，∴AM=GE，BN=FH，
∵∠GOH=90°，AM∥GE，BN∥FH，∴∠AO′B=90°，由（1）得，△ABM≌△BCN，
∴AM=BN，∴FH=GE=7；
（3）如图3，∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为4：5，
∴阴影部分的面积为×25=20，∴空白部分的面积为25－20=5，
由（1）得，△ABE≌△BCF，∴△AOB的面积与四边形OECF的面积相等，均为×5=，
设AO=a，BO=b，则ab=，即ab=5，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∴a2+b2=52，
∴a2+2ab+b2=25+10=35，即，∴a+b=，即AO+BO=，
∴△AOB的周长为5+．