第1章计数原理 专解1 计数原理的应用 必备知识点+巩固练习-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-3（含答案）
文档属性
| 名称 | 第1章计数原理 专解1 计数原理的应用 必备知识点+巩固练习-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-3（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 125.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-03 20:28:03 | ||
图片预览
文档简介
223520-15240专题一
计数原理的应用
专题一
计数原理的应用
【必备知识点】
1．分类加法计数原理：
完成一件事,有类办法.在第1类办法中有种不同方法,在第2类办法中有种不同的方法,……,在第类办法中有种不同方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成．
3．分类计数原理和分步计数原理的区别：
两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.
完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则用加法原理；
若完成某件事需分n个步骤，这n个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n个步骤依次都完成后，这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算．
4.
应用两个原理的分别要注意：
若用分类计数原理，要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类计数原理，即加法原理求和得到总数；
若用分步计数原理，要做到步骤“完整”——完成了所有步骤，恰好完成所有任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步计数原理，即乘法原理把完成每一步的方法数相乘得到总数．
5.利用两个基本原理解决具体问题时的方法技巧：
利用两个基本原理解决具体问题，关键环节是分类或者分步。类与步的关系式辩证的。有些问题需要先分类，再在每一类里再分步；有些问题需要先分步，再在每一步里再分类，等等。到底采用何种顺序分类与分步，要看类的趋势和步的趋势谁大谁小。下面用用流程图直观描述。
（1）类中有步情形
从A到B算作一件事的完成。完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数见箭线下面的mi，i=1，2，3，4，5。
完成A→B这件事，共有方法数为m1m2m3+m4m5。
（2）步中有类情形
从A到D算作完成一件事，简单地记为A→D。完成A→D这件事，需要经历三步，即A→B，B→C，C→D。其中B→C这步又分为三类，这就是步中有类。箭线下面的mi（i=1，2，3，4，5）表示相应步的方法数。
完成A→D这件事，共有方法数为m1(m2+m3+m4)m5。
【典例展示】
例（山东）用0,1,……，9,十个数学，可以组成有重复数字的三位数的个数为（
）
A.243
B.252
C.261
D.279
【解析】由题意可得，此题属于分步问题.
用0,1,……，9十个数字组成三位数（可有重复数字）的个数为9×10×10=900,组成没有重复数学的三位数的个数为9×9×8=648，则组成有重复数学的三位数的个数为900-648=252，故选B
答案：B
例2
一名高中毕业生在填写高考志愿表中的第一批中的第一志愿（学校）和第一专业时了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的专业，具体情况如下：
那么，这名同学不同的填法共有多少种？
【解析】
这名同学可以选择A、B两所大学中的一所．在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法．因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4=9（种）．
例3：设某班有男生30名，女生24名.
现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
【解析】第
1
步，从
30
名男生中选出1人，有30种不同选择；
第
2
步，从24
名女生中选出1人，有
24
种不同选择．根据分步乘法计数原理，共有30×24
=720
种不同的选法．
例4.体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（
）
A．12
种
B．7种 C．24种
D．49种
【解析】
错解：学生进出体育场大门需分两类，一类从北边的4个门进，一类从南侧的3个门进，由分类计数原理，共有7种方案.
∴选B
错因:没有审清题意．本题不仅要考虑从哪个门进，还需考虑从哪个门出，应该用分步计数原理去解题.
正解：学生进门有7种选择，同样出门也有7种选择，由分步计数原理，该学生的进出门方案有7×7＝49种.
∴应选D．
例5：
某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，
A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人.
（1）从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
（2）从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
【解析】
（1）任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情已做完，故由分类加法计数原理，共有种不同的选法。
（2）要从四种血型的人中各选人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选人去献血”的事情才完成，由分步乘法计数原理，共有种不同的选法。
例6书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。
【解析】
(1)第一类：当取1本数学书1本语文书时，分两步完成：
第一步取数学书，有3种不同的报名方法；
第二步取语文书，有5种不同方法；
则共有3×5种不同结果.
（2）第二类：当取1本数学书1本英语书时，分两步完成：
第一步取数学书，有3种不同的报名方法；
第二步取英语书，有6种不同方法；
则共有3×6种不同结果.
（3）第三类：当取1本语文书1本英语书时，分两步完成：
第一步取语文书，有5种不同的报名方法；
第二步取英语书，有6种不同方法；
则共有5×6种不同结果.
故共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63（种）。
【思路总结与方法】
思路：解决这个问题首先要确定所给问题的类别.再根据问题类别采用相应的计数原理进行计算求出方法的个数.
解题步骤：
①确定所给问题是“分类”问题还是“分步”问题
②根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理列出算式.
③求出方法总数.
【巩固练习】
1.书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有（
）．
A．22种
B．350种
C．32种
D．20种
【答案】应用分类加法计数原理：10+7+5=22（种），故选A。
2.从甲地到乙地，一天中，有火车2班，汽车3班，飞机2班，，那么从甲地到乙地共有
种不同的走法。
【答案】完成这件事，有三类方法：
第一类是乘火车，有2种不同方法；
第二类是乘汽车，有3种不同方法；
第三类是乘飞机，有2种不同方法。
则完成这件事，依分类加法计数原理，共有N=2+3+2=7种不同方法。
3.体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有 （
）
A．12
种
B．7种 C．24种
D．49种
【解析】
错解：学生进出体育场大门需分两类，一类从北边的4个门进，一类从南侧的3个门进，由分类计数原理，共有7种方案.
∴选B
错因:没有审清题意．本题不仅要考虑从哪个门进，还需考虑从哪个门出，应该用分步计数原理去解题.
正解：学生进门有7种选择，同样出门也有7种选择，由分步计数原理，该学生的进出门方案有7×7＝49种.
∴应选D．
4.的展开式中共有多少项？
【答案】
。因为展开式的每一项都是从第一括号中取一项，再从第二括号中取一项，再从第三括号中取一项，相乘而得到的，根据分步计数原理共有=项。
5.四名运动员争夺三项冠军，不同的结果最多有多少种？
【答案】64；
事件实际上是确定三项冠军的得主，“由冠军到运动员”，完成这件事分三步.：
第一步确定第一项冠军的得主，有4种不同结果；
第二步确定第二项冠军的得主，有4种不同结果；
第三步确定第三项冠军得主，有4种不同结果.
则共有4×4×4=64种不同结果。
6.要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
false
【答案】
按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,
第一步,
m1
=
3
种,
第二步,
m2
=
2
种,
第三步,
m3
=
1
种,
第四步,
m4
=
1
种,
所以根据乘法原理,
得到不同的涂色方案种数共有N
=
3
×
2
×1×1
=
6
7.的展开式中共有多少项？
【答案】
。因为展开式的每一项都是从第一括号中取一项，再从第二括号中取一项，再从第三括号中取一项，相乘而得到的，根据分步计数原理共有=项。
8.四名运动员争夺三项冠军，不同的结果最多有多少种？
【答案】64；
事件实际上是确定三项冠军的得主，“由冠军到运动员”，完成这件事分三步.：
第一步确定第一项冠军的得主，有4种不同结果；
第二步确定第二项冠军的得主，有4种不同结果；
第三步确定第三项冠军得主，有4种不同结果.
则共有4×4×4=64种不同结果。
9.集合A={1，2，－3}，B={－1，－2，3，4}．现从A、B中各取一个元素作为点P（x，y）的坐标．
（1）可以得到多少个不同的点？
（2）在这些点中，位于第一象限的有几个？
【答案】
（1）一个点的坐标由x、y两个元素确定，若它们有一个不同，则表示不同的点，可分为两类：
第一类：选A中的元素为x，B中的元素为y，有3×4=12个不同的点；
第二类：选A中的元素为y，B中的元素为x，有4×3=12个不同的点；
由分类计数原理得不同点的个数为12+12=24（个）．
（2）第一象限内的点，即x、y必须为正数，从而只能取A、B中的正数，同样可分为两类，同（1）．
由分类计数原理得适合题意的不同点的个数为2×2+2×2=8（个）．
10.在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?
【答案】90；
取与取是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性,
第一类,偶偶相加,由分步计数原理得(10×9)/2=45种取法；
第二类,奇奇相加,也有(10×9)/2=45种取法.
根据分类计数原理共有45+45=90种不同取法.
11.用5种不同颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，每个区域涂一种
颜色.
若要求相邻(有公共边)的区域涂不同颜色，那么共有多少种不同的
347789543815D
B
C
A
D
B
C
A
涂色方法?
1
2
3
4
【答案】
如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法．
（1）当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有12种不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法．由分步计数原理可知，有5×12×3＝180种不同的涂法；
（2）当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步计数原理可知．有5×4×4＝80种不同的涂法．
由分类加法计数原理可得，共有180＋80＝260种不同的涂法．
【课后练习】
一、选择题
1．某班有男生26人，女生24人，从中选一位担任学习委员，不同的选法有（
）．
A．50种
B．26种
C．24种
D．616种
2．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（
）．
A．81种
B．64种
C．12种
D．14种
3．已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则x·y可表示不同的值的个数是（
）．
A．1+1=2
B．1+1+1=3
C．2×3=6
D．3×3=9
4．4位同学各从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（
）．
A．12种
B．24种
C．30种
D．36种
5．有不同的红球8个，不同的白球7个，不同的黄球6个，现从中任取不同的颜色的球两个，不同的取法有（
）．
A．21×20=420种
B．8+7+6=21种
C．8×7+7×6+8×6=146种
D．8×7×6=336种
6．某邮局只有0.60元、0.80元、1.10元,面值的三种邮票，现有需要邮资7.50元的邮件，则恰好够邮资最少要购买邮票（
）．
A．7张
B．8张
C．9张
D．10张
二、填空题
7．某商业大楼有8个门供顾客出入，某顾客从任一门进入，从另一门走出，则不同的走法种数为________．
8．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________（用数字作答）．
9．由三个数字组成的号码锁，每个号码可取0，1，2，…，9中任意一个数字，不同的开锁号码设计共有________个．
10.
现在从4名同学中选出2人去参加“数学”“语文”竞赛，要求每科只有一人参加，每人参加一科，则不同的参赛方法有
种。
三、解答题
11．已知集合是平面上的点，．[]
（1）可表示平面上多少个不同的点？
（2）可表示多少个坐标轴上的点？
12．(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？
(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？
13．某校高中一年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观．
（1）推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？
（2）每班选1人为组长带队，有多少种不同的选法？
（3）从他们中选出2人管理生活，要求这两人不同班，有多少种不同的选法？
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】
任意选择该班学生共有50种．
2．【答案】B
【解析】
每个小球都有4种可能的放法，即4×4×4=64（种）．
3．【答案】D
【解析】
分两步，第一步从第1个集合中取一个x，有3种，第二步，从第2个集合中取一个y，有3种，由分步乘法计数原理有3×3=9个不同的值．
4．【答案】B
【解析】
4位同学中恰有2人选修课程甲有6种方法，另外两位同学选修课程乙、丙分别有2种方法．由分步计数原理共有6×2×2=24种．
5．【答案】C
【解析】
分三类：一红一白时，有8×7种；一红一黄时，有8×6种；一白一黄时，有7×6种．由分类加法计数原理知有N=8×7+8×6+7×6=146种．
6．【答案】B
【解析】
∵1.10×6=6.60（元），1.10×7=7.70（元），而1.10×5+0.60×2+0.80=7.50（元）．
∴最少购买8张，恰好够邮资7．50元．
7．【答案】56种
【解析】
顾客从商业大楼出入，需分两步完成：一是进入；二是走出．
（1）第一步，顾客进入商业大楼时，可以从8个门中的任意一个门进入，有8种进入方法；
（2）第二步，顾客走出商业大楼时，应从除去进入的门之外的其他7个门中的任意一个门走出，有7种走出方法．
于是根据分步计数原理可知：所求的走法种数为8×7=56种．
8．【答案】1000
【解析】
由每个号码可取0到9中任意一个数字，有10种取法，根据分步计数原理，共有10×10×10=1000个不同的开锁号码．
9．【答案】336
【解析】
甲、乙、丙每人有7种站法，共73=343种站法，但站在同一台阶有7种站法，故共有343－7=336种站法．
10.
【答案】12；
【解析】完成这件事，分两个步骤：
第一步选一人参加“数学”竞赛，有4种不同方法；
第二步选一人参加“语文”竞赛，有3种不同方法；
则完成这件事，由分步计数原理，共有种不同方法。
11、【解析】（1）完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法也有6种，
∴P点个数为N=6×6=36(个)；
（2）根据分类加法计数原理，分为三类：
①x轴上（不含原点）有5个点；
②y轴上（不含原点）有5个点；
③既在x轴，又在y轴上的点，即原点也适合，
∴共有N=5+5+1=11（个）．
12.
【解析】(1)该问题中要完成的事是4名同学报名，因而可按学生分步完成，每一名同学有3种选择方法，故共有34＝81(种)报名方法．
(2)该问题中，要完成的事是三项冠军花落谁家，故可按冠军分步完成，每一项冠军都有4种可能，故可能的结果有43＝64(种)．
13．【解析】（1）分三类：第一类是从一班的8名优秀团员中产生，共有8种不同的选法；第二类是从二班的10名优秀团员中产生，有10种不同的选法；第三类是从三班的6名优秀团员中产生，共有6种不同的选法，由分类计数原理得，共有N=8+10+6=24种不同的选洗
（2）分三步：第一步从一班的8名同学中选1名组长，共有8种不同的选法；第二步是从二班的10名同学中选1名组长，共有10种不同的选法；第三步是从三班的6名同学中选1名组长，共有6种不同的选法，由分步计数原理可得，共有N=8×10×6=480种不同的选法．
（3）分三类，每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人，有8×10种不同的选法；第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人，有10×6种不同的选法；第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人，有8×6种不同的选法，因此共有N=8×10+10×6+8×6=188种不同的选法．
计数原理的应用
专题一
计数原理的应用
【必备知识点】
1．分类加法计数原理：
完成一件事,有类办法.在第1类办法中有种不同方法,在第2类办法中有种不同的方法,……,在第类办法中有种不同方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成．
3．分类计数原理和分步计数原理的区别：
两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.
完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则用加法原理；
若完成某件事需分n个步骤，这n个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n个步骤依次都完成后，这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算．
4.
应用两个原理的分别要注意：
若用分类计数原理，要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类计数原理，即加法原理求和得到总数；
若用分步计数原理，要做到步骤“完整”——完成了所有步骤，恰好完成所有任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步计数原理，即乘法原理把完成每一步的方法数相乘得到总数．
5.利用两个基本原理解决具体问题时的方法技巧：
利用两个基本原理解决具体问题，关键环节是分类或者分步。类与步的关系式辩证的。有些问题需要先分类，再在每一类里再分步；有些问题需要先分步，再在每一步里再分类，等等。到底采用何种顺序分类与分步，要看类的趋势和步的趋势谁大谁小。下面用用流程图直观描述。
（1）类中有步情形
从A到B算作一件事的完成。完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数见箭线下面的mi，i=1，2，3，4，5。
完成A→B这件事，共有方法数为m1m2m3+m4m5。
（2）步中有类情形
从A到D算作完成一件事，简单地记为A→D。完成A→D这件事，需要经历三步，即A→B，B→C，C→D。其中B→C这步又分为三类，这就是步中有类。箭线下面的mi（i=1，2，3，4，5）表示相应步的方法数。
完成A→D这件事，共有方法数为m1(m2+m3+m4)m5。
【典例展示】
例（山东）用0,1,……，9,十个数学，可以组成有重复数字的三位数的个数为（
）
A.243
B.252
C.261
D.279
【解析】由题意可得，此题属于分步问题.
用0,1,……，9十个数字组成三位数（可有重复数字）的个数为9×10×10=900,组成没有重复数学的三位数的个数为9×9×8=648，则组成有重复数学的三位数的个数为900-648=252，故选B
答案：B
例2
一名高中毕业生在填写高考志愿表中的第一批中的第一志愿（学校）和第一专业时了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的专业，具体情况如下：
那么，这名同学不同的填法共有多少种？
【解析】
这名同学可以选择A、B两所大学中的一所．在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法．因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4=9（种）．
例3：设某班有男生30名，女生24名.
现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
【解析】第
1
步，从
30
名男生中选出1人，有30种不同选择；
第
2
步，从24
名女生中选出1人，有
24
种不同选择．根据分步乘法计数原理，共有30×24
=720
种不同的选法．
例4.体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（
）
A．12
种
B．7种 C．24种
D．49种
【解析】
错解：学生进出体育场大门需分两类，一类从北边的4个门进，一类从南侧的3个门进，由分类计数原理，共有7种方案.
∴选B
错因:没有审清题意．本题不仅要考虑从哪个门进，还需考虑从哪个门出，应该用分步计数原理去解题.
正解：学生进门有7种选择，同样出门也有7种选择，由分步计数原理，该学生的进出门方案有7×7＝49种.
∴应选D．
例5：
某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，
A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人.
（1）从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
（2）从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
【解析】
（1）任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情已做完，故由分类加法计数原理，共有种不同的选法。
（2）要从四种血型的人中各选人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选人去献血”的事情才完成，由分步乘法计数原理，共有种不同的选法。
例6书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。
【解析】
(1)第一类：当取1本数学书1本语文书时，分两步完成：
第一步取数学书，有3种不同的报名方法；
第二步取语文书，有5种不同方法；
则共有3×5种不同结果.
（2）第二类：当取1本数学书1本英语书时，分两步完成：
第一步取数学书，有3种不同的报名方法；
第二步取英语书，有6种不同方法；
则共有3×6种不同结果.
（3）第三类：当取1本语文书1本英语书时，分两步完成：
第一步取语文书，有5种不同的报名方法；
第二步取英语书，有6种不同方法；
则共有5×6种不同结果.
故共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63（种）。
【思路总结与方法】
思路：解决这个问题首先要确定所给问题的类别.再根据问题类别采用相应的计数原理进行计算求出方法的个数.
解题步骤：
①确定所给问题是“分类”问题还是“分步”问题
②根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理列出算式.
③求出方法总数.
【巩固练习】
1.书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有（
）．
A．22种
B．350种
C．32种
D．20种
【答案】应用分类加法计数原理：10+7+5=22（种），故选A。
2.从甲地到乙地，一天中，有火车2班，汽车3班，飞机2班，，那么从甲地到乙地共有
种不同的走法。
【答案】完成这件事，有三类方法：
第一类是乘火车，有2种不同方法；
第二类是乘汽车，有3种不同方法；
第三类是乘飞机，有2种不同方法。
则完成这件事，依分类加法计数原理，共有N=2+3+2=7种不同方法。
3.体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有 （
）
A．12
种
B．7种 C．24种
D．49种
【解析】
错解：学生进出体育场大门需分两类，一类从北边的4个门进，一类从南侧的3个门进，由分类计数原理，共有7种方案.
∴选B
错因:没有审清题意．本题不仅要考虑从哪个门进，还需考虑从哪个门出，应该用分步计数原理去解题.
正解：学生进门有7种选择，同样出门也有7种选择，由分步计数原理，该学生的进出门方案有7×7＝49种.
∴应选D．
4.的展开式中共有多少项？
【答案】
。因为展开式的每一项都是从第一括号中取一项，再从第二括号中取一项，再从第三括号中取一项，相乘而得到的，根据分步计数原理共有=项。
5.四名运动员争夺三项冠军，不同的结果最多有多少种？
【答案】64；
事件实际上是确定三项冠军的得主，“由冠军到运动员”，完成这件事分三步.：
第一步确定第一项冠军的得主，有4种不同结果；
第二步确定第二项冠军的得主，有4种不同结果；
第三步确定第三项冠军得主，有4种不同结果.
则共有4×4×4=64种不同结果。
6.要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
false
【答案】
按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,
第一步,
m1
=
3
种,
第二步,
m2
=
2
种,
第三步,
m3
=
1
种,
第四步,
m4
=
1
种,
所以根据乘法原理,
得到不同的涂色方案种数共有N
=
3
×
2
×1×1
=
6
7.的展开式中共有多少项？
【答案】
。因为展开式的每一项都是从第一括号中取一项，再从第二括号中取一项，再从第三括号中取一项，相乘而得到的，根据分步计数原理共有=项。
8.四名运动员争夺三项冠军，不同的结果最多有多少种？
【答案】64；
事件实际上是确定三项冠军的得主，“由冠军到运动员”，完成这件事分三步.：
第一步确定第一项冠军的得主，有4种不同结果；
第二步确定第二项冠军的得主，有4种不同结果；
第三步确定第三项冠军得主，有4种不同结果.
则共有4×4×4=64种不同结果。
9.集合A={1，2，－3}，B={－1，－2，3，4}．现从A、B中各取一个元素作为点P（x，y）的坐标．
（1）可以得到多少个不同的点？
（2）在这些点中，位于第一象限的有几个？
【答案】
（1）一个点的坐标由x、y两个元素确定，若它们有一个不同，则表示不同的点，可分为两类：
第一类：选A中的元素为x，B中的元素为y，有3×4=12个不同的点；
第二类：选A中的元素为y，B中的元素为x，有4×3=12个不同的点；
由分类计数原理得不同点的个数为12+12=24（个）．
（2）第一象限内的点，即x、y必须为正数，从而只能取A、B中的正数，同样可分为两类，同（1）．
由分类计数原理得适合题意的不同点的个数为2×2+2×2=8（个）．
10.在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?
【答案】90；
取与取是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性,
第一类,偶偶相加,由分步计数原理得(10×9)/2=45种取法；
第二类,奇奇相加,也有(10×9)/2=45种取法.
根据分类计数原理共有45+45=90种不同取法.
11.用5种不同颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，每个区域涂一种
颜色.
若要求相邻(有公共边)的区域涂不同颜色，那么共有多少种不同的
347789543815D
B
C
A
D
B
C
A
涂色方法?
1
2
3
4
【答案】
如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法．
（1）当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有12种不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法．由分步计数原理可知，有5×12×3＝180种不同的涂法；
（2）当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步计数原理可知．有5×4×4＝80种不同的涂法．
由分类加法计数原理可得，共有180＋80＝260种不同的涂法．
【课后练习】
一、选择题
1．某班有男生26人，女生24人，从中选一位担任学习委员，不同的选法有（
）．
A．50种
B．26种
C．24种
D．616种
2．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（
）．
A．81种
B．64种
C．12种
D．14种
3．已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则x·y可表示不同的值的个数是（
）．
A．1+1=2
B．1+1+1=3
C．2×3=6
D．3×3=9
4．4位同学各从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（
）．
A．12种
B．24种
C．30种
D．36种
5．有不同的红球8个，不同的白球7个，不同的黄球6个，现从中任取不同的颜色的球两个，不同的取法有（
）．
A．21×20=420种
B．8+7+6=21种
C．8×7+7×6+8×6=146种
D．8×7×6=336种
6．某邮局只有0.60元、0.80元、1.10元,面值的三种邮票，现有需要邮资7.50元的邮件，则恰好够邮资最少要购买邮票（
）．
A．7张
B．8张
C．9张
D．10张
二、填空题
7．某商业大楼有8个门供顾客出入，某顾客从任一门进入，从另一门走出，则不同的走法种数为________．
8．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________（用数字作答）．
9．由三个数字组成的号码锁，每个号码可取0，1，2，…，9中任意一个数字，不同的开锁号码设计共有________个．
10.
现在从4名同学中选出2人去参加“数学”“语文”竞赛，要求每科只有一人参加，每人参加一科，则不同的参赛方法有
种。
三、解答题
11．已知集合是平面上的点，．[]
（1）可表示平面上多少个不同的点？
（2）可表示多少个坐标轴上的点？
12．(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？
(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？
13．某校高中一年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观．
（1）推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？
（2）每班选1人为组长带队，有多少种不同的选法？
（3）从他们中选出2人管理生活，要求这两人不同班，有多少种不同的选法？
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】
任意选择该班学生共有50种．
2．【答案】B
【解析】
每个小球都有4种可能的放法，即4×4×4=64（种）．
3．【答案】D
【解析】
分两步，第一步从第1个集合中取一个x，有3种，第二步，从第2个集合中取一个y，有3种，由分步乘法计数原理有3×3=9个不同的值．
4．【答案】B
【解析】
4位同学中恰有2人选修课程甲有6种方法，另外两位同学选修课程乙、丙分别有2种方法．由分步计数原理共有6×2×2=24种．
5．【答案】C
【解析】
分三类：一红一白时，有8×7种；一红一黄时，有8×6种；一白一黄时，有7×6种．由分类加法计数原理知有N=8×7+8×6+7×6=146种．
6．【答案】B
【解析】
∵1.10×6=6.60（元），1.10×7=7.70（元），而1.10×5+0.60×2+0.80=7.50（元）．
∴最少购买8张，恰好够邮资7．50元．
7．【答案】56种
【解析】
顾客从商业大楼出入，需分两步完成：一是进入；二是走出．
（1）第一步，顾客进入商业大楼时，可以从8个门中的任意一个门进入，有8种进入方法；
（2）第二步，顾客走出商业大楼时，应从除去进入的门之外的其他7个门中的任意一个门走出，有7种走出方法．
于是根据分步计数原理可知：所求的走法种数为8×7=56种．
8．【答案】1000
【解析】
由每个号码可取0到9中任意一个数字，有10种取法，根据分步计数原理，共有10×10×10=1000个不同的开锁号码．
9．【答案】336
【解析】
甲、乙、丙每人有7种站法，共73=343种站法，但站在同一台阶有7种站法，故共有343－7=336种站法．
10.
【答案】12；
【解析】完成这件事，分两个步骤：
第一步选一人参加“数学”竞赛，有4种不同方法；
第二步选一人参加“语文”竞赛，有3种不同方法；
则完成这件事，由分步计数原理，共有种不同方法。
11、【解析】（1）完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法也有6种，
∴P点个数为N=6×6=36(个)；
（2）根据分类加法计数原理，分为三类：
①x轴上（不含原点）有5个点；
②y轴上（不含原点）有5个点；
③既在x轴，又在y轴上的点，即原点也适合，
∴共有N=5+5+1=11（个）．
12.
【解析】(1)该问题中要完成的事是4名同学报名，因而可按学生分步完成，每一名同学有3种选择方法，故共有34＝81(种)报名方法．
(2)该问题中，要完成的事是三项冠军花落谁家，故可按冠军分步完成，每一项冠军都有4种可能，故可能的结果有43＝64(种)．
13．【解析】（1）分三类：第一类是从一班的8名优秀团员中产生，共有8种不同的选法；第二类是从二班的10名优秀团员中产生，有10种不同的选法；第三类是从三班的6名优秀团员中产生，共有6种不同的选法，由分类计数原理得，共有N=8+10+6=24种不同的选洗
（2）分三步：第一步从一班的8名同学中选1名组长，共有8种不同的选法；第二步是从二班的10名同学中选1名组长，共有10种不同的选法；第三步是从三班的6名同学中选1名组长，共有6种不同的选法，由分步计数原理可得，共有N=8×10×6=480种不同的选法．
（3）分三类，每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人，有8×10种不同的选法；第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人，有10×6种不同的选法；第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人，有8×6种不同的选法，因此共有N=8×10+10×6+8×6=188种不同的选法．