第1章计数原理 专解3 特殊元素（位置)问题 必备知识点+巩固练习-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-3（含答案）
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| 名称 | 第1章计数原理 专解3 特殊元素（位置)问题 必备知识点+巩固练习-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-3（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 124.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-03 20:32:54 | ||
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文档简介
223520-15240专题三
特殊元素（位置）问题
专题三
特殊元素（位置）问题
【必备知识点】
1.解排列组合综合问题应遵循的原则
先分类后分步；
先选后排；先组合后排列；有限制条件的优先；限制条件多的优先；避免重复和遗漏.
2.解排列组合综合问题时要注意
（1）分清分类加法计算原理与分步乘法计数原理：主要看是“独立”完成，还是“分步”完成.
（2）分清排列问题与组合问题：主要看是否与“顺序”有关.
（3）分清是否有限制条件：被限制的元素称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置.
解这类问题通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数.
要特别注意既不要重复，也不要遗漏.
【典例展示】
例1.
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排法总数.
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
【思路点拨】本题是排列问题.(1)无限制条件的排列问题，可直接应用公式；(2)分排问题可直接处理，相当于全排列；(3)“在”与“不在”的问题，“甲”是特殊元素，优先考虑
【解析】(1)从7个人中选5个人来排列，有false种.
(2)方法一：分两步完成：
先选3人排在前排，有false种方法，余下4人排在后排，有false种方法，故共有falsefalse=5
040种.
方法二：本小题可看作7人排成一排的全排列，即false=5
040种.
(3)方法一：甲为特殊元素.
先排甲，有5种方法；其余6人有false种方法，故共有5×false=3
600种.
方法二：排头与排尾为特殊位置.
排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有false种方法，中间5个位置由余下4人和甲进行全排列，有false种方法，共有falsefalse=3
600种.
例2.
用0,1,2,3,4,5这六个数字组成四位数.
（1）可组成多少不同的五位数？
（2）可组成多少个无重复数字的五位数？
（3）可组成多少个无重复数字的五位奇数？
（4）可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数？
【解析】（1）先安排首位，有5种不同排法；其他各位没有限制都有6种不同排法，
故有false种不同的五位数.
（2）先安排首位，有false种不同排法；再从剩下的5个数字中选出4个安排剩下的四位数，有false种，
故有false个不同的五位数.
（3）分三步：
先安排末位，从1，3，5中选取1个，有false种；
再安排首位，从剩下的元素（除0外）中选取1个，有false种；
最后安排中间3位，从剩下的元素中选取3个，有false种.
故共有false=288个不同的五位数.
（4）分两类：
个位数为0时，只要从1，2，3，4，5这5个元素中选择4个安排五位数的前4位数即可，有false种；
当个位数为5时，分两步进行：
先安排首位，从1，2，3，4中选取1个，有false种；
再安排中间三位，从剩下的4元素中选取3个，有false种.
则有false个不同的五位数.
所以，共有false个不同的五位数.
例3（北京）从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中计数的个数为（
）
A.24
B.18
C.12
D.6
答案：B
例4:（山东）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的方案共有（
）种
A,36
B,42
C.48
D.54
答案:B
【思路总结与方法】
思路：解决特殊元素（位置）问题的关键是对特殊元素（位置）的讨论和排列，对于特殊元素（位置）排列的每一种情况，再求其他元素排列的种数，最后求出总的种数.
解题步骤：
①首先确定特殊元素（或位置）的排列种数
②确定剩余元素（或位置）的排列种数.
③求出总的排列总数
【巩固练习】
1.6个人坐在一排10个座位上,问：
(1)空位不相邻的坐法有多少种?
(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?
【答案】6个人排有false种坐法,6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位.
(1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中,有false种插法，故空位不相邻的坐法有false种.
(2)将相邻的3个空位当作一个元素,另一空位当作另一个元素,往7个“间隔”里插，有false种插法,故4个空位中只有3个相邻的坐法有false种.
(3)4个空位至多有2个相邻的情况有三类：
①4个空位各不相邻有false种坐法;
②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有false种坐法；
③4个空位分两组,每组都有2个相邻,有false种坐法.
综上所述,应有false种坐法.
2.从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（
）
A．12
B．24
C．36
D．48
【答案】D.
若选甲，则有false种排法；若不选甲，则有A种排法，
则共有false＋false＝48(种)．
3.用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成无重复数字的自然数。
（1）可组成多少个四位偶数？
（2）可组成多少个被25整除的四位数？
（3）将组成的所有四位数按大小、从小到大排队，第1010个数是哪个四位数？
（4）从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数是多少.
【答案】
（1）false=2296；
（2）false=174；
（3）3014；
（4）false.
4.小于50000且含有两个5，而其它数字不重复的五位数的不同个数为（
）
A.false
B.false
C.false
D.false
【答案】B
【课后练习】
一、选择题
1．由1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为（
）
A．36
B．24
C．12
D．
6
2．9、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ）
A．
140种
B．
84种
C．
70种
D．
35种
3．5个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（
）
A．false
B．
4false
C．false
D．false
4．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（
）
A．504
B．210
C．336
D．120
5．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有（
）
A．36种
B．42种
C．50种
D．72种
6．有只不同的试验产品，其中有只次品，只正品，现每次取一只测试，直到只次品全测出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有（
）
A．36种
B．144
C．288种
D．576种
二、填空题
7．将4封信投入3个不同的邮箱，则不同的投放种数是__________.
8．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，若男、女同学各2名，则不同的选法种数是__________.
9．将4个不同的球放入3个不同的盒中，每个盒内至少有1个球，则不同的放法种数为__________.
10．某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)．
三、解答题
11.
2名女生，4名男生排成一排．
（1）2名女生相邻的不同排法共有多少种？
（2）2名女生不相邻的不同排法共有多少种？
（3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？
12.
高二（1）班有30名男生，20名女生，从50名学生中
3名男生，2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共有多少种不同的选法？
13．一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况有多少种．
【参考答案】
1．【答案】C
【解析】由题意可得，个位是奇数有1或3，2种方法，百位与十位可从剩余的三个数中任选2个的排列有A32种方法，由乘法原理可得满足条件的三位奇数共有2A32=12个．
2．【答案】C
【解析】甲型1台与乙型电视机2台共有4?C52=40；甲型2台与乙型电视机1台共有C42?5=30；不同的取法共有70种
3．【答案】C
【解析】5个人排成一排不考虑限制条件有A55
若甲，乙两人都站中间有A32A33，
∴甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数A55﹣A32A33为所求
故选C．
4．【答案】A
【解析】false
5．【答案】B
【解析】每人值班2天的排法或减去甲值周一或乙值周六的排法，再加上甲值周一且乙值周六的排法，共有false
6．【答案】D
【解析】本题的实质是，前五次测试中有只正品，只次品，且第五次测试的是次品．
思路一：设想有五个位置，先从只正品中任选只，放在前四个位置的任一个上，有种方法；再把只次品在剩下的四个位置上任意排列，有种排法．故不同的情形共有种．
7.【答案】81
【解析】分4步进行：
先投放第一封信，有3种不同投法；
先投放第二封信，有3种不同投法；
先投放第三封信，有3种不同投法；
先投放第四封信，有3种不同投法；
按照分部乘法计数原理，共有false种不同投法.
8【答案】1440
【解析】可分两步求解，先选出四人，再作一全排列.
男、女同学各2名的选法有C42×C52=6×10=60种，总的不同选法有60×A44=1440种.
9．【答案】36
【解析】由题意知四个不同的小球全部随意放入三个不同的盒子中，
每个盒子最少一个，
首先要从4个球中选2个作为一个元素，有C42种结果，
同其他的两个元素在三个位置全排列有A33
根据分步乘法原理知共有C42A33=6×6=36
10．【答案】120
【解析】
11.
【解析】（1）“捆绑法”：将2名女生看成一个元素，与4名男生共5个元素排成一排，共有种排法，又因为2名相邻女生有种排法，因此不同的排法种数是．
（2）方法一：（插空法）
分两步完成：
第一步，将4名男生排成一排，有种排法；
第二步，排2名女生．由于2名女生不相邻，故可在4名男生之间及两端的5个位置中选出2个排2名女生，有种排法．
根据分步计数原理，不同的排法种数是种．
方法二：（间接法）
因为2名女生的排法只有相邻与不相邻两种情况，所以由（1）的结果可知，2名女生不相邻的不同排法共有种．
（3）方法一：（特殊元素优先考虑）
分2步完成：
第一步，排2名女生．由于女生顺序已定，故可从6个位置中选出2个位置，即；第二步，排4名男生．将4名男生排在剩下的4个位置上，有种方法．[]
根据分步计数原理，不同的排法种数是．
方法二：（除法）
如果将6名学生全排列，共有种排法．其中，在男生位置确定之后，女生的排法数有种，因为女生的顺序已定，所以在这中排法中，只有一种符合要求，故符合要求的排法数为种．
12.【解析】完成这件事分三步进行：
第一步，从30名男生中选3名男生，有种方法；
第二步，从20名男生中选2名男生，有种方法；
第一步，将选出的5名学生进行分工，即全排列，有种方法．
根据分步计数原理，共有种选法．
答：共有92568000种不同的选法．
13．【答案】65
【解析】分二类：第一类，甲上7楼，有52种；第二类：甲不上7楼，有4×2×5种，52＋4×2×5＝65．
特殊元素（位置）问题
专题三
特殊元素（位置）问题
【必备知识点】
1.解排列组合综合问题应遵循的原则
先分类后分步；
先选后排；先组合后排列；有限制条件的优先；限制条件多的优先；避免重复和遗漏.
2.解排列组合综合问题时要注意
（1）分清分类加法计算原理与分步乘法计数原理：主要看是“独立”完成，还是“分步”完成.
（2）分清排列问题与组合问题：主要看是否与“顺序”有关.
（3）分清是否有限制条件：被限制的元素称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置.
解这类问题通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数.
要特别注意既不要重复，也不要遗漏.
【典例展示】
例1.
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排法总数.
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
【思路点拨】本题是排列问题.(1)无限制条件的排列问题，可直接应用公式；(2)分排问题可直接处理，相当于全排列；(3)“在”与“不在”的问题，“甲”是特殊元素，优先考虑
【解析】(1)从7个人中选5个人来排列，有false种.
(2)方法一：分两步完成：
先选3人排在前排，有false种方法，余下4人排在后排，有false种方法，故共有falsefalse=5
040种.
方法二：本小题可看作7人排成一排的全排列，即false=5
040种.
(3)方法一：甲为特殊元素.
先排甲，有5种方法；其余6人有false种方法，故共有5×false=3
600种.
方法二：排头与排尾为特殊位置.
排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有false种方法，中间5个位置由余下4人和甲进行全排列，有false种方法，共有falsefalse=3
600种.
例2.
用0,1,2,3,4,5这六个数字组成四位数.
（1）可组成多少不同的五位数？
（2）可组成多少个无重复数字的五位数？
（3）可组成多少个无重复数字的五位奇数？
（4）可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数？
【解析】（1）先安排首位，有5种不同排法；其他各位没有限制都有6种不同排法，
故有false种不同的五位数.
（2）先安排首位，有false种不同排法；再从剩下的5个数字中选出4个安排剩下的四位数，有false种，
故有false个不同的五位数.
（3）分三步：
先安排末位，从1，3，5中选取1个，有false种；
再安排首位，从剩下的元素（除0外）中选取1个，有false种；
最后安排中间3位，从剩下的元素中选取3个，有false种.
故共有false=288个不同的五位数.
（4）分两类：
个位数为0时，只要从1，2，3，4，5这5个元素中选择4个安排五位数的前4位数即可，有false种；
当个位数为5时，分两步进行：
先安排首位，从1，2，3，4中选取1个，有false种；
再安排中间三位，从剩下的4元素中选取3个，有false种.
则有false个不同的五位数.
所以，共有false个不同的五位数.
例3（北京）从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中计数的个数为（
）
A.24
B.18
C.12
D.6
答案：B
例4:（山东）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的方案共有（
）种
A,36
B,42
C.48
D.54
答案:B
【思路总结与方法】
思路：解决特殊元素（位置）问题的关键是对特殊元素（位置）的讨论和排列，对于特殊元素（位置）排列的每一种情况，再求其他元素排列的种数，最后求出总的种数.
解题步骤：
①首先确定特殊元素（或位置）的排列种数
②确定剩余元素（或位置）的排列种数.
③求出总的排列总数
【巩固练习】
1.6个人坐在一排10个座位上,问：
(1)空位不相邻的坐法有多少种?
(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?
【答案】6个人排有false种坐法,6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位.
(1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中,有false种插法，故空位不相邻的坐法有false种.
(2)将相邻的3个空位当作一个元素,另一空位当作另一个元素,往7个“间隔”里插，有false种插法,故4个空位中只有3个相邻的坐法有false种.
(3)4个空位至多有2个相邻的情况有三类：
①4个空位各不相邻有false种坐法;
②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有false种坐法；
③4个空位分两组,每组都有2个相邻,有false种坐法.
综上所述,应有false种坐法.
2.从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（
）
A．12
B．24
C．36
D．48
【答案】D.
若选甲，则有false种排法；若不选甲，则有A种排法，
则共有false＋false＝48(种)．
3.用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成无重复数字的自然数。
（1）可组成多少个四位偶数？
（2）可组成多少个被25整除的四位数？
（3）将组成的所有四位数按大小、从小到大排队，第1010个数是哪个四位数？
（4）从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数是多少.
【答案】
（1）false=2296；
（2）false=174；
（3）3014；
（4）false.
4.小于50000且含有两个5，而其它数字不重复的五位数的不同个数为（
）
A.false
B.false
C.false
D.false
【答案】B
【课后练习】
一、选择题
1．由1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为（
）
A．36
B．24
C．12
D．
6
2．9、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ）
A．
140种
B．
84种
C．
70种
D．
35种
3．5个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（
）
A．false
B．
4false
C．false
D．false
4．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（
）
A．504
B．210
C．336
D．120
5．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有（
）
A．36种
B．42种
C．50种
D．72种
6．有只不同的试验产品，其中有只次品，只正品，现每次取一只测试，直到只次品全测出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有（
）
A．36种
B．144
C．288种
D．576种
二、填空题
7．将4封信投入3个不同的邮箱，则不同的投放种数是__________.
8．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，若男、女同学各2名，则不同的选法种数是__________.
9．将4个不同的球放入3个不同的盒中，每个盒内至少有1个球，则不同的放法种数为__________.
10．某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)．
三、解答题
11.
2名女生，4名男生排成一排．
（1）2名女生相邻的不同排法共有多少种？
（2）2名女生不相邻的不同排法共有多少种？
（3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？
12.
高二（1）班有30名男生，20名女生，从50名学生中
3名男生，2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共有多少种不同的选法？
13．一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况有多少种．
【参考答案】
1．【答案】C
【解析】由题意可得，个位是奇数有1或3，2种方法，百位与十位可从剩余的三个数中任选2个的排列有A32种方法，由乘法原理可得满足条件的三位奇数共有2A32=12个．
2．【答案】C
【解析】甲型1台与乙型电视机2台共有4?C52=40；甲型2台与乙型电视机1台共有C42?5=30；不同的取法共有70种
3．【答案】C
【解析】5个人排成一排不考虑限制条件有A55
若甲，乙两人都站中间有A32A33，
∴甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数A55﹣A32A33为所求
故选C．
4．【答案】A
【解析】false
5．【答案】B
【解析】每人值班2天的排法或减去甲值周一或乙值周六的排法，再加上甲值周一且乙值周六的排法，共有false
6．【答案】D
【解析】本题的实质是，前五次测试中有只正品，只次品，且第五次测试的是次品．
思路一：设想有五个位置，先从只正品中任选只，放在前四个位置的任一个上，有种方法；再把只次品在剩下的四个位置上任意排列，有种排法．故不同的情形共有种．
7.【答案】81
【解析】分4步进行：
先投放第一封信，有3种不同投法；
先投放第二封信，有3种不同投法；
先投放第三封信，有3种不同投法；
先投放第四封信，有3种不同投法；
按照分部乘法计数原理，共有false种不同投法.
8【答案】1440
【解析】可分两步求解，先选出四人，再作一全排列.
男、女同学各2名的选法有C42×C52=6×10=60种，总的不同选法有60×A44=1440种.
9．【答案】36
【解析】由题意知四个不同的小球全部随意放入三个不同的盒子中，
每个盒子最少一个，
首先要从4个球中选2个作为一个元素，有C42种结果，
同其他的两个元素在三个位置全排列有A33
根据分步乘法原理知共有C42A33=6×6=36
10．【答案】120
【解析】
11.
【解析】（1）“捆绑法”：将2名女生看成一个元素，与4名男生共5个元素排成一排，共有种排法，又因为2名相邻女生有种排法，因此不同的排法种数是．
（2）方法一：（插空法）
分两步完成：
第一步，将4名男生排成一排，有种排法；
第二步，排2名女生．由于2名女生不相邻，故可在4名男生之间及两端的5个位置中选出2个排2名女生，有种排法．
根据分步计数原理，不同的排法种数是种．
方法二：（间接法）
因为2名女生的排法只有相邻与不相邻两种情况，所以由（1）的结果可知，2名女生不相邻的不同排法共有种．
（3）方法一：（特殊元素优先考虑）
分2步完成：
第一步，排2名女生．由于女生顺序已定，故可从6个位置中选出2个位置，即；第二步，排4名男生．将4名男生排在剩下的4个位置上，有种方法．[]
根据分步计数原理，不同的排法种数是．
方法二：（除法）
如果将6名学生全排列，共有种排法．其中，在男生位置确定之后，女生的排法数有种，因为女生的顺序已定，所以在这中排法中，只有一种符合要求，故符合要求的排法数为种．
12.【解析】完成这件事分三步进行：
第一步，从30名男生中选3名男生，有种方法；
第二步，从20名男生中选2名男生，有种方法；
第一步，将选出的5名学生进行分工，即全排列，有种方法．
根据分步计数原理，共有种选法．
答：共有92568000种不同的选法．
13．【答案】65
【解析】分二类：第一类，甲上7楼，有52种；第二类：甲不上7楼，有4×2×5种，52＋4×2×5＝65．