浙江省浙东北联盟（ZDB）2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

浙东北联盟（ZDB）2020-2021学年第二学期期中考试
高一数学试卷
总分150分 考试时间120分钟
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知是虚数单位，复数等于
A. B. C. D.
2.如图，在中，，若的水平放置直观图为 ，则的面积为
A. B. C. D.
3.已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面半径为1，则该圆锥的母线长为
A. B. C. D.
4.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为
A. B. C. D．
5.已知在中，分别为内角的对边，
若，则角的大小为
A. B. C. D.
6.已知复数的共轭复数是，满足（为虚数单位），则的虚部为
A. B. C. D.
7.在平行四边形中，点在线段上，且，与的交点为，则向量等于
A. B. C. D.
8.如图，在四边形中，，，，分别为边上的动点，且，则的最小值为
A. B.
C. D.
第8题图
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9.在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是
A.点位于第二象限 B. C. D.
10.已知向量，，则下列叙述不正确的是
A.若与的夹角为锐角，则 B.若与共线，则
C.若，则与垂直 D.若，则与的夹角为钝角
11.在中，分别为内角的对边，若，
且，则边的大小可能是
A. B. C. D.
12.已知某多面体的平面展开图如图所示，每个面都是边长为2的正三角形，则下列结论正确的是
A.该多面体的体积为
B.该多面体的外接球的表面积为
C.该多面体的内切球的体积为
D.该多面体的表面积为
第12题图
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则这个圆柱的体积为 ．
14.复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为 ．
15.在中，，，，，则的值为 ．
16.已知是两个平面向量，，且对任意，恒有，则的最大值是 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本题10分）已知向量，，且．
（1）设向量与的夹角为，求的值；
（2）若，求实数的值．
18.（本题12分）已知复数，复数，其中是虚数单位，．
（1）若，，求的值；
（2）若，求的值．
19.（本题12分）如图，在长方体中，，，．
（1）求平面四边形的面积；
（2）求几何体的体积．
第19题图
20.（本题12分）如图，在公园内有一块边长为100米的等边三角形空地（记为），现修成草坪，图中把草坪分成面积相等的两部分，点在上，点在上．
（1）若米，求长；
（2）如果是灌溉水管，为了节约成本，希望灌溉水管最短，请确定点的位置，并求的最小值．
第20题图
21.（本题12分）如图，在中，已知且，，，.
（1）求；
（2）设与交于点，求的余弦值大小.
第21题图
22.（本题12分）在中，分别为内角的对边，已知，且边上的中线长为4．
（1）证明：；
（2）求面积的最大值．
浙东北联盟（ZDB）2020-2021学年第二学期期中考试
高一数学答案
选择题
1.D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.D 7.C 8.C
9.BC 10.BD 11.ABD 12.AB
二、填空题（每小题5分，共20分）
13． 14． 15．13 16．4
三、解答题（共70分）
17.（本题10分）已知向量，，且．
（1）设向量与的夹角为，求的值；
（2）若，求实数的值．
解：（1），，
又，，
，，
，，. .........5分
（2），，
，. .........10分
18.（本题12分）已知复数，复数，其中是虚数单位，．
（1）若，，求的值；
（2）若，求的值．
解：（1），，
.........6分
（2），
，. .........12分
19.（本题12分）如图，在长方体中，，，．
（1）求平面四边形的面积；
（2）求几何体的体积．
第19题图
解：（1）由已知得四边形是菱形，边长为，
,,
所以四边形的面积. .........6分
连接,则

由已知得,,
所以. .........12分
20.（本题12分）如图，在公园内有一块边长为100米的等边三角形空地（记为），现修成草坪，图中把草坪分成面积相等的两部分，点在上，点在上．
（1）若米，求长；
（2）如果是灌溉水管，为了节约成本，希望灌溉水管最短，请确定点的位置，并求的最小值．
第20题图
解：（1），，
，米 .........6分
（2）在中，由余弦定理得：
，
即，
当且仅当米时，的最小值为米. .........12分
21.（本题12分）如图，在中，已知且，，，.
（1）求；
（2）设与交于点，求的余弦值大小.
解：（1）因为，
所以
所以
因为，所以
所以. .........5分
（2）因为，所以，而
所以
所以． .........12分
22.（本题12分）在中，分别为内角的对边，已知，且边上的中线长为4．
(1)证明：；
(2)求面积的最大值．
证明：（1） ，,
,
,又，所以. .........5分
(2)由(1) 得，所以，及，
解得．
所以的面积，
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立．
所以面积的最大值为． .........12分
本题方法较多，其它方法同步给分。