【备战2021年中考数学几何模型汇编专练】专题三 三垂直模型 复习教案

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三垂直模型
一,三垂直与勾股定理
模型分析:
赵爽弦图:
设直角三角形的三边中较_?????????è§?è?????_a,另一直角边为b,斜边为c
∴四个直角三角形面积=2ab,中心正方形面积=(b-a)?=b?-2ab+a?
∴大正方形面积=c?=a?+b?
毕达哥拉斯内弦图
大正方形的面积=(a+b)2
大正方形的面积=四个直角三角形+中心正方形面积=2ab+c2
根据等面积法得(a+b)2=2ab+c2
∴c?= a?+b?,即c?= a?+b?
总统证明勾股定理:
将毕达哥拉斯的图形平分即可得到总统证法
规律总结:弦图能够解析完全平方_??????,?????¤???_股定理,完全平方和弦图有机结合在一起,体现了数形结合的思想.【来源：21·世纪·教育·网】21cnjy.com21世纪21世纪教育网有
实例精炼:
1．汉代数学家赵爽为了证_??????è???????????_创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1＋S2＋S3＝10，则S2的值为(　　)21·世纪*教育网21世纪教育网21-cn-jy.com21世纪教育网21-cn-jy.com
A． B． C．3 D．
【答案】B
2．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求的值．【来源：21cnj*y.co*m】21·世纪*教育网2·1·c·n·j·y21教育网
【答案】
3．（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab＋(a－b)2，所以4×ab＋(a－b)2=c2，即a2＋b2=c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2=c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．【出处：21教育名师】2-1-c-n-j-y21·世纪*教育网
(2)试用勾股定理解决以下问题：
如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ．
(3)试构造一个图形，使它的_é???§?è???¤?è§?é??_(a－2b)2=a2－4ab＋4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．21世纪21世纪教育网有2-1-c-n-j-y
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
4．（阅读理解）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．她反映了直角三角形的三边关系即直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长的平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方．也就是说，设直角三角形两直角边为和，斜边为，那么．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有400种．如：美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为或者是，因此得到，运用乘法公式展开整理得到．
（尝试探究）（1）其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图2用四个直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形直角边分别为、，斜边长为，请你根据古人的拼图完成证明．21教育网21*cnjy*com21*cnjy*com
（2）如图3是2002年在中国北京召开的国际数学家大会会标，利用此图也能证明勾股定理，其中四个直角三角形直角边分别为、，斜边长为，请你帮助完成．
（实践应用）（3）已知、、为的三边，试比较代数式与的大小关系．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）代数式与的大小关系是相等．
5．我国古代数学家赵爽_?????????è????????_图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼制成一个大正方形（如下图），设勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD的面积是_______【来源：21cnj*y.co*m】【出处：21教育名师】2·1·c·n·j·y
【答案】1．
6．把图1中_é?????????????????_3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为_____．【版权所有：21教育】21*cnjy*com21*cnjy*com
【答案】1．
二,三垂直与全等和相似
模型分析:
规律总结:
由同角的余角相等得到∠1=∠C,∠2=∠A,结合边长信息即可证明全等.
★补充:射影定理
直角三角形射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.
公式: 如图，Rt△ABC_?????????ABC_=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)?=AD?DC， 21教育名师原创作品21·cn·jy·com【来源：21·世纪·教育·网】
（2）(AB)?=AD?AC ，
（3）(BC)?=CD?CA.
直角三角形射影定理的证明
在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，
∴∠ABD=∠C，
又∵∠BDA=∠BDC=90°
∴△BAD∽△CBD
∴ 即BD?=AD?DC.其余同理可得可证
有射影定理如下：
AB?=AD?AC，BC?=CD?CA
两式相加得：
AB?+BC?=（AD?AC）+（CD?AC）=（AD+CD)?AC=AC?.
规律总结:
由三垂直得到射影定理,能够得到边长平方与斜边之间的关系,是解决边长数量关系的常用方法.
实例精炼:
1．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，则斜边BD的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2．已知Rt△_ABC?????????_BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE⊥AE，过点B作BD⊥AE，交AE的延长线于D．www-2-1-cnjy-com
（1）如图1，求证BD=AE；
（2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求∠EDH的度数；
（3）如图3，在（2_??????????????????_点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG⊥FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM的面积为30，∠EHB=∠BHG，求线段EH的长．www-2-1-cnjy-com
【答案】（1）见解析；（2）∠EDH＝45°；（3）EH＝10．
3．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D， BE⊥MN于E．21·cn·jy·com21世纪教育网版权所有
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：△ADC≌△CEB；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE的等量关系?并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）DE=AD-BE，理由见解析
4．在中，．
(1)如图①，以点为直角顶点，为腰在右侧作等腰，过点作交的延长线于点．求证：．
(2)如图②，以为底边在左侧作等腰，连接，求的度数．
(3)如图③，中，,垂足为点，以为边在左侧作等边,连接交于，,,求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）8
5．如图1，在中，，，直线经过点，且于点，于点．易得（不需要证明）．
（1）当直线绕点旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时之间的数量关系，并说明理由；2·1·c·n·j·y21cnjy.com
（2）当直线绕点旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时之间的数量关系（不需要证明）．www-2-1-cnjy-com
【答案】(1) 不成立，DE=AD-BE，理由见解析；(2) DE=BE-AD
6．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．21*cnjy*com【版权所有：21教育】
（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；
（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点；
（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交于G点，若BC＝4，BE＝3，则＝　 　（直接写出结果）21教育名师原创作品
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或
三,三垂直与直角坐标系
模型分析:
规律总结:
在坐标系中,一般利用点_??????????????????_含义作垂线,构建三垂直模型进行解题.具体考题中一般结合面积进行展开,常见的有一次函数与反比例函数的面积,二次函数中面积得最值等.2-1-c-n-j-y
实例精炼:
1．如图，在中，，，点、分别是轴和轴上的一动点，点的横坐标为，求点的坐标.
【答案】B（0，-3）．
2．如图所示，，，以为边作正方形，求，的坐标.
【答案】；
3．如图，在平面直角坐标_????????????è?°???_角三角形ABC的顶点A在x轴上，AB＝AC，∠BAC＝90°，且A（2，0）、B（3，3），BC交y轴于M，
（1）求点C的坐标；
（2）连接AM，求△AMB的面积；
（3）在x轴上有一动点P，当PB+PM的值最小时，求此时P的坐标．
【答案】（1）C的坐标是（﹣1，1）；（2）；（3）点P的坐标为（1，0）．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴正半轴于点（1，0）和点，交轴于点．
（1）如图1，直线经过点、点，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点为该抛物线的顶点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，该抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点，当时，求点的纵坐标．21*cnjy*com【出处：21教育名师】
（3）如图3，在（1）（2）的结论下，抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点，作轴于点，延长交于，当时，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）点P的纵坐标为2；（3）点的坐标为（，11）．
5．如图，直线与轴、轴分别交于两点，于点，点为直线上不与点重合的一个动点.
(1)求线段的长；
(2)当的面积是6时，求点的坐标；
(3)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与全等，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标，否则，说明理由.
【答案】(1)； (2) (-4，6)； (3) (，)或(，)或(，)或(，)
6．如图,直线AB与坐_???è??????????¤???_点A、点B,且OA、OB的长分别为方程x2－6x+8=0的两个根（OA＜OB）,点C在y轴上,且OA︰AC=2︰5,直线CD垂直于直线AB于点P,交x轴于点D．21·cn·jy·com【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求出点A、点B的坐标.
（2）请求出直线CD的解析式.
（3）若点M为坐标平面内任_?????????,??¨???_标平面内是否存在这样的点M,使以点B、P、D、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M的坐标；若不存在,请说明理由.21教育名师原创作品【版权所有：21教育】21·cn·jy·com
【答案】（1）A(0,2)，B(－4,0);（2）直线CD的解析式:yCD=－2x+7;（3）存在，，，．
7．（模型建立）
（1）如图1，等腰R_t???ABC???_，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；
（模型应用）
（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2；求直线l2的函数表达式；
（3）如图3_??????é?????è§????_标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．【来源：21·世纪·教育·网】www.21-cn-jy.com
【答案】（1）见详解；（2）；（3）点D坐标得（，）或（4， 7）或（，）．
8．如图，在平面直角坐标系中_?????????AB???_别交x、y轴于点A、B，直线BC分别交x、y轴于点C、B，点A的坐标为（2，0），∠ABO=30，且AB⊥BC．
（1）求直线BC和AB的解析式；
（2）将点B沿某条直_???????????°???O_，折痕分别交BC、BA于点E、D，在x轴上是否存在点F，使得点D、E、F为顶点的三角形是以DE为斜边的直角三角形？若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由；【出处：21教育名师】
【答案】（1）y=；（2）（﹣2，0）或（0，0）
9．如图，在平面直角_???????????????l_是经过A（2，0），B（0，b）两点的直线，且b0，点C的坐标为（2，0），当点B移动时，过点C作CD⊥l交于点D．
（1）求点D，O之间的距离；
（2）当tan∠CDO=时，求直线l的解析式；
（3）在（2）的条件下，直接写出△ACD与△AOB重叠部分的面积．
【答案】（1）2；（2）；（3）
四,三垂直与正方形
模型分析:
规律总结:
以正方形或直角梯形为背景的三_??????????????????_全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口.21世纪21世纪教育网有www-2-1-cnjy-com21·世纪*教育网
实例精炼:
1．如图1，在正方形中，对角线相交于点，点为线段上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点.21世纪教育网21-cn-jy.com【来源：21cnj*y.co*m】
（1）若，求的面积；
（2）如图2，线段的延长线交于点，过点作于点，求证：；
（3）如图3，点为射线上一点，线段的延长线交直线于点，交直线于点，过点作垂直直线于点，请直接写出线段的数量关系.【版权所有：21教育】21*cnjy*com
【答案】（1）5；（2）见解析；（3）
2．探究：如图1和2,四边形中,已知，，点，分别在、上，．
（1）①如图 1,若、都是直角，把绕点逆时针旋转至，使与重合，则能证得，请写出推理过程；
②如图 2，若、都不是直角，则当与满足数量关系_______时，仍有;
（2）拓展：如图3,在中，,，点、均在边上,且．若，求的长．
【答案】（1）①见解析；②，理由见解析；（2）
3．（操作发现）
如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．
∠MAN＝45°，将△A_MD??????Aé??_时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．21教育网2-1-c-n-j-y
（实践探究）
（1）在图①条件下，若CN＝3，CM＝4，则正方形ABCD的边长是 　．
（2）如图②_??????M???N???_别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．2·1·c·n·j·y
（拓展）
（3）如图③，在矩_???ABCD???_，AB＝3，AD＝4，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的长．

【答案】（1）6；（2），见解析；（3）2
4．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、AB边上的点，且AE⊥DF，垂足为点O，△AOD的面积为，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
5．如图所示，直线_a???è???????????_ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为__．
【答案】13
6．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，且BE＝CF．
求证：
（1）AE＝BF；
（2）AE⊥BF．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
六,三垂直与圆
模型分析:
规律总结:
之间所对的圆周角等于9_0?°,è?????é??_藏条件长再圆中与切线和直角三角形一起出现,此时即可运用三垂线模型证明相似,或者有摄影灯里得到边长之间的关系,若存在特殊的角度可以结合三角函数进行求解.21*cnjy*com21教育网
实例精炼:
1.如图，以的直角边为直径作交斜边于点，过圆心作，交于点，连接．
（1）判断与的位置关系并说明理由；
（2）求证：．
2．如图，以Rt_???ABC???A_C边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF和AD．21cnjy.com
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠EAC＝60°，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）AD＝．
3．如图，是的直径，为的弦，，与的延长线交于点，点在上， 满足．
（1）求证：是的切线；
（2）若，， 求线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
4．如图，AB是△ABC外接_???????????????O_为圆心，CH?AB，垂足为H，且∠PCA=∠ACH， CD平分∠ACB，交⊙O于点D，连接BD，AP=2．
（1）判断直线PC是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）若∠P=30°，求AC、BC、BD的长．
（3）若tan∠ACP=，求⊙O半径．
【答案】（1）PC 是⊙O的切线，理由见解析；（2）AC=2；BC=；BD=；（3）⊙O的半径为3．21cnjy.com21教育名师原创作品【来源：21·世纪·教育·网】
5．如图，是的直径，点是弧上一点，且，与交与点．
(1)求证：是的切线；
(2)若平分，求证：；
(3)在(2)的条件下，延长，交于点，若，，求的长和的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
6．已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
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