【备战2021年中考数学几何模型汇编专练】专题四 手拉手模型 复习教案

数学模型-----手拉手
有些同学在学习数学时无从下手，找不到突破的方法，做不到举一反三，所以在数学的学习过程中，必须深入本质，做到知识、规律、法则掌握准确，及时反思。下面先给大家介绍一种常见的数学模型---手拉手模型，通过对模型的理解和掌握，把模型的结论融会贯通，理解透彻，那么这一类题型，都是可以迎刃而解的。
一、模型类别
二、相关结论的运用
（一）有公共顶点的等边三角形
2524125637540O
O
-169545247656858026670条件：?ABC和?ADE是等边三角形，BD与CE相交于点O
结论1：△ABD≌△ACE，BD=CE（左手拉左手等于右手拉右手）
结论2：∠BOC=60°
结论3：AO平分∠BOE
条件：?ABC和?ADE是等边三角形，BD与CE相交于点O
结论1：△ABD≌△ACE，BD=CE（左手拉左手等于右手拉右手）
结论2：∠BOC=60°
结论3：AO平分∠BOE
典例精讲:
[问题提出]
（1）如图false均为等边三角形，点false分别在边false上．将false绕点false沿顺时针方向旋转，连结false．在图false中证明false．
4650105103505

[学以致用]
（2）在false的条件下，当点false在同一条直线上时，false的大小为 度．
[拓展延伸]
（3）在false的条件下，连结false．若false直接写出false的面积false的取值范围．
【思路点拨】
（1）根据“手拉手”模型1，证明false即可；
（2）分“当点false在线段false上”和“当点false在线段false的延长线上”两种情况，再根据“手拉手”模型1中的结论2即可求得false的大小；
（3）分别求出false的面积最大值和最小值即可得到结论
【详解】
（1）false均为等边三角形，
false，false，
false，
即false
在false和false中
false
false；
（2）当false在同一条直线上时，分两种情况：
①当点false在线段false上时，如图，
∵false是等边三角形，
false，
false，
由（1）可知，false，
false，
false
②当点false在线段false的延长线上时，如图，
false是等边三角形，
false
false，
由（1）可知，false
false，
false false
综上所述，false的大小为false或false
（3）过点A作false于点F，当点D在线段AF上时，点D到BC的距离最短，此时，点D到BC的距离为线段DF的长，如图：
false是等边三角形，false，false
false，false
false
false
此时false；
当D在线段FA的延长线上时，点D到BC的距离最大，此时点D到BC的距离为线段DF的长，如图，
false是等边三角形，false，false
false，false，
false
false
false
此时，false；
综上所述，false的面积S 取值是false
【解题技法】 “手拉手”模型1中，对应边“拉手线”组成的两个三角形全等
实战演练:
1.（1）如图1，已知△CAB和△CDE均为等边三角形，D在AC上，E在CB上，易得线段AD和BE的数量关系是　 　．
（2）将图1中的△CDE绕点C旋转到图2的位置，直线AD和直线BE交于点F．
①判断线段AD和BE的数量关系，并证明你的结论；
②图2中∠AFB的度数是　 　．
（3）如图3，若△CAB和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F，分别写出∠AFB的度数，线段AD、BE间的数量关系．
（二）有公共顶点的等腰直角三角形
26860572390条件：?ABC和?ADE是等腰直角三角形，BD与CE相交于点O
结论1：△ABD≌△ACE，BD=CE（左手拉左手等于右手拉右手）
结论2：∠BOC=90°
结论3: AO平分∠BOE
条件：?ABC和?ADE是等腰直角三角形，BD与CE相交于点O
结论1：△ABD≌△ACE，BD=CE（左手拉左手等于右手拉右手）
结论2：∠BOC=90°
结论3: AO平分∠BOE
8763071120
典例精讲:
如图，△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC、BD交于M
（1）如图1，当α＝90°时，∠AMD的度数为　 　°
（2）如图2，当α＝60°时，∠AMD的度数为　 　°
（3）如图3，当△OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与α是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用表示∠AMD，并图3进行证明；若不确定，说明理由．
【思路点拨】
（1）如图1中，设OA交BD于K．根据“手拉手”模型2证明△BOD≌△AOC，推出∠OBD=∠OAC，由∠AKM=∠BKO，可得∠AMK=∠BOK=90°；
（2）如图2中，设OA交BD于K．根据“手拉手”模型1证明△BOD≌△AOC，推出∠OBD=∠OAC，由∠AKM=∠BKO，推出∠AMK=∠BOK=60°；
（3）如图3中，设OA交BD于K．根据“手拉手”模型3证明△BOD≌△AOC，根据“手拉手”模型中的结论2可得∠AMD=180°-α.
【详解】
（1）如图1中，设OA交BD于K．
∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，
∴∠BOD＝∠AOC，∴△BOD≌△AOC，
∴∠OBD＝∠OAC，
∵∠AKM＝∠BKO，∴∠AMK＝∠BOK＝90°．
故答案为90．
（2）如图2中，设OA交BD于K．
∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，
∴∠BOD＝∠AOC，
∴△BOD≌△AOC，∴∠OBD＝∠OAC，
∵∠AKM＝∠BKO，∴∠AMK＝∠BOK＝60°．
故答案为60．
（3）如图3中，设OA交BD于K．
∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，
∴∠BOD＝∠AOC，∴△BOD≌△AOC，
∴∠OBD＝∠OAC，
∵∠AKO＝∠BKM，∴∠AOK＝∠BMK＝α．
∴∠AMD＝180°﹣α．
【解题技法】“手拉手”模型2中，两条“拉手线”所在直线的夹角与初始图形中公共顶点对应的角相等或互补
实战演练:
1．已知：如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点E在BC边上．
（1）求证：△ACD≌△ABE；
（2）若∠CDE=60°，求∠AEB的度数．
2.△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°
（1）如图1，点D，E在AB，AC上，则BD，CE满足怎样的数量关系和位置关系？
（2）如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，连结BD，CE，则BD，CE满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
（3）如图3，点D，E都在△ABC外部，连结BD，CE，CD，EB，BD与CE相交于F点．
①若BD=4，求四边形BCDE的面积．
②若AB=2，AD=1，设CD2=x，EB2=y，求y与x之间的函数关系式．
3. 如图乙，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．

（1）如图甲，将△ADE绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接BD、BE，则下列给出的四个结论中，其中正确的是哪几个　 　．（回答直接写序号）
①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2）
（2）若AB＝6，AD＝3，把△ADE绕点A旋转：
①当∠CAE＝90°时，求PB的长；
②直接写出旋转过程中线段PB长的最大值和最小值．
（三）顶角相等的等腰三角形
7810572390条件：?ABC和?ADE是等腰三角形，且∠BAC =∠DAE ，BD与CE相交于点O
结论1：△ABD≌△ACE，BD=CE（左手拉左手等于右手拉右手）
结论2：∠BOC=∠BAC
结论3: AO平分∠BOE
条件：?ABC和?ADE是等腰三角形，且∠BAC =∠DAE ，BD与CE相交于点O
结论1：△ABD≌△ACE，BD=CE（左手拉左手等于右手拉右手）
结论2：∠BOC=∠BAC
结论3: AO平分∠BOE
190572390
典例精讲:
观察猜想
如图1，有公共直角顶点false的两个不全等的等腰直角三角尺叠放在一起，点false在false上，点false在false上.
（1）在图1中，你发现线段false，false的数量关系是___________，直线false，false的位置关系是________.
操作发现
（2）将图1中的false绕点false逆时针旋转一个锐角得到图2，这时（1）中的两个结论是否成立？作出判断并说明理由；
拓广探索
（3）如图3，若只把“有公共直角顶点false的两个不全等的等腰直角三角尺”改为“有公共顶角为false（锐角）的两个不全等等腰三角形”，false绕点false逆时针旋转任意一个锐角，这时（1）中的两个结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由.
（1）false，false；（2）将图1中的false绕点false逆时针旋转一个锐角时，两个结论成立.理由见解析；（3）结论false成立；结论false不成立.
【思路点拨】
（1）根据△ABC和△ADE是等腰直角三角形，得到AB=AC，AD=AE，∠A=90°，即可得出结论；
（2）由旋转的性质得到∠DAB=∠EAC．根据“手拉手”模型2证明△ABD≌△ACE，得出BD=CE．再根据“手拉手”模型2的结论2可得出false．
（3）根据“手拉手”模型3证明△ABD≌△ACE，可得BD=CE成立，再根据“手拉手”模型3的结论2可得出BD⊥CE不成立．
【详解】
（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠A=90°，∴BD=CE，BD⊥CE．
故答案为：BD=CE，BD⊥CE．
（2）将图1中的△ABC绕点A逆时针旋转一个锐角时，两个结论成立．理由如下：
由旋转得：∠DAB=∠EAC．
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE．
如图，延长DB，交CE于点F，交AE于点O．
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC．
∵∠AOD=∠EOF．
∴∠OFE=∠OAD．
∵∠OAD=90°，
∴∠DFE=90°，即BD⊥CE．
（3）结论BD=CE成立，结论BD⊥CE不成立．理由如下：
由旋转得：∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC．
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE．
延长DB交CE于M，BD与AE交于点N．
∵△ABD≌△ACE，∴∠MEA=∠BDA．
∵∠ENM=∠DNA，∴∠EMN=∠EAD．
∵∠EAD≠90°，∴∠EMN≠90°，∴BD⊥CE不成立．
【解题技法】对于以等腰三角形的顶点为旋转点，进行适当旋转的题目，连接对应点构造新的三角形，根据“手拉手”模型3证明三角形全等即可解决问题
实战演练:
1、如图，在false中，false，D、E分别是false、false的中点，false.
（1）如图12-1，若false，求false的长度（用含a的代数式表示）；
（2）如图12-2，将false绕点A顺时针旋转，旋转角为false，连接false、false，判断false与false的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当false的外心在三角形的外部时，请直接写出false的取值范围．
2、如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D,
（1）求证：BE＝CF ；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
（四）有公共顶点的正方形
-102870137985519051437005条件：正方形ABCD和正方形CEFG， BD与CE相交于点O
结论1：△BCE≌△DCE，BE=DG（左手拉左手等于右手拉右手）
结论2：∠BOG=90°
结论3: CO平分∠BOG
条件：正方形ABCD和正方形CEFG， BD与CE相交于点O
结论1：△BCE≌△DCE，BE=DG（左手拉左手等于右手拉右手）
结论2：∠BOG=90°
结论3: CO平分∠BOG
典例精讲:
规定：有一角重合，且角的两边叠合在一起的两个相似四边形叫做“嵌套四边形”，如图，四边形ABCD和AMPN就是嵌套四边形．
（1）问题联想
如图①，嵌套四边形ABCD，AMPN都是正方形，现把正方形AMPN以A为中心顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N'，连接BM'，DN'交于点O，则BM'与DN'的数量关系为_____，位置关系为_____；
（2）类比探究
如图②，将（1）中的正方形换成菱形，∠BAD=∠MAN=60，其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗? 若成立，请说明理由；若不成立，请给出正确的结论，并说明理由；
（3）拓展延伸
如图3，将（1）中的嵌套四边形ABCD和AMPN换成是长和宽之比为2:1的矩形，旋转角换成α（90°＜α＜180°），其他条件不变，请直接写出BM'与DN'的数量关系和位置关系．
【思路点拨】
（1）根据“手拉手”模型4证明△ABM’≌△AND’，得到false，再根据“手拉手”模型4的结论2得出false；
（2）根据“手拉手”模型4和菱形的性质证明false，再推false，故可求解；
（3）根据“手拉手”模型4和矩形的性质证明false，得到false，再推出false即可求解．
【详解】
（1）如图设false，false交于点H，，
∵四边形ABCD，AMPN都是正方形，把正方形AMPN以A为中心顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N'，
∴AB=AD,AM’=AD’, false
∴△ABM’≌△AND’，
∴false，∠ABM’=∠ADN’，
∵∠ADN’+∠DHA+∠DAH=180°，∠ABM’+∠BHO+∠BOD=180°，
又∠DHA=∠BHO
∴false，即false
故答案为：false，false；
（2）false成立，false不成立，false与false相交，且夹角为false.
理由：设false，false交于点false，
由旋转的性质可得false.
∵四边形false，false都是菱形，
∴false，false，
∴false，
∴false，false.
又∵false，
∴false；
故false与false相交，且夹角为false；
（3）false，false，理由如下：
设false，false交于点false，
由旋转的性质可得false.
∵四边形ABCD和AMPN是长和宽之比为2:1的矩形
∴false，false，
∴false
∴false，
∴false，false.
又∵false，
∴false
∴false，false．
【解题技法】利用“手拉手”模型4证明三角形全等，再把特殊情况推广到一般情况，再运用类比的思想方法是一种常用的数学方法．
实战演练:
（1）在正方形ABCD中，G是CD边上的一个动点（不与C、D重合），以CG为边在正方形ABCD外作一个正方形CEFG，连结BG、DE，如图①．直接写出线段BG、DE的关系 ；
（2）将图①中的正方形CEFG绕点C按顺时针方向旋转任意角度false，如图②，试判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论，若不成立，说明理由；
（3）将（1）中的正方形都改为矩形，如图③，再将矩形CEFG绕点C按顺时针方向旋转任意角度false，如图④，若AB=a，BC=b；CE =ka，CG=kb，(false)试判断（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
（五）有公共顶点的直角三角形
190533020条件：CD//AB，且∠AOB =∠COD=90° ，BD与CA相交于点E
结论1：△AOC~△BOD
结论2： false
结论3: 四边形ABCD的面积=12AC.BD
条件：CD//AB，且∠AOB =∠COD=90° ，BD与CA相交于点E
结论1：△AOC~△BOD
结论2： false
结论3: 四边形ABCD的面积=12AC.BD
-13144536195
典例精讲:
1．（1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：
①false的值为　 　；
②∠AMB的度数为　 　．
（2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断false的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=false，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
【思路点拨】
（1）①根据“手拉手”模型3证明△COA≌△DOB，得AC=BD；
②根据“手拉手”模型3的结论2得出∠AMB=∠AOB；
（2）根据“手拉手”模型5证明△AOC∽△BOD，则false，再根据“手拉手”模型5的结论2得出∠AMB的度数；
（3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况，如图3和4，根据在旋转过程中，始终有 “手拉线”AC与BD垂直，据此设出未知数，运用勾股定理求解即可．
【详解】
（1）问题发现：
①如图1，
∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠COA=∠DOB，
∵OC=OD，OA=OB，∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC=BD，∴false
②∵△COA≌△DOB，∴∠CAO=∠DBO，
∵∠AOB=40°，∴∠OAB+∠ABO=140°，
在△AMB中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°，
（2）类比探究：
如图2，false，∠AMB=90°，理由是：
Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，
∴false，
同理得：false，
∴false， ∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC∽△BOD，
∴false ，∠CAO=∠DBO，
在△AMB中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°；
（3）拓展延伸：
①点C与点M重合时，如图3，
同理得：△AOC∽△BOD，∴∠AMB=90°，false，
设BD=x，则AC=falsex，
Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1，
∴CD=2，BC=x-2，
Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=false，
∴AB=2OB=2false，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
(falsex)2+(x?2)2＝(2false)2，
x2-x-6=0，
（x-3）（x+2）=0，
x1=3，x2=-2，
∴AC=3false；
②点C与点M重合时，如图4，
同理得：∠AMB=90°，false，
设BD=x，则AC=falsex，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
(falsex)2+（x+2）2=(2false)2.
x2+x-6=0，
（x+3）（x-2）=0，
x1=-3，x2=2，
∴AC=2false；.
综上所述，AC的长为3false或2false．
【解题技法】用运动和变化的眼光观察和研究图形，把握图形旋转过程中的等量关系，抓住利用“手拉手”模型5得出△AOC∽△BOD是解题的关键．
实战演练:
1、如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α＝0°时，false＝_______；
②当α＝180°时，false＝______．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，false的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．
2、如图（1），在false中，false，点false分别是边false的中点，连接false．
（1）如图①，求false的值；
（2）将false绕点false顺时针旋转到如图（2）的位置时，false的大小是否发生变化，若不变化，请说明理由；若发生变化，请求出它的值；
（3）将false绕点false顺时针旋转到直线false的下方，且false在同一直线上时，如图（3），求线段false的长．
（六）有公共顶点的任意三角形
306705296545条件：CD//AB，BD与CA相交于点E
结论1：△AOC~△BOD
结论2： ∠AEB =∠COD=∠AOB
结论3: 点E在△BOA的外接圆上
条件：CD//AB，BD与CA相交于点E
结论1：△AOC~△BOD
结论2： ∠AEB =∠COD=∠AOB
结论3: 点E在△BOA的外接圆上
154305-52705
典例精讲:
在false，false，false．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当false时，false的值是　 　，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是　 　．
（2）类比探究
如图2，当false时，请写出false的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当false时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时false的值．
【思路点拨】
（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．根据“手拉手”模型1证明false，得出CP=BD，．根据“手拉手”模型1的结论2即可解决问题．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．根据“手拉手”模型6证明false，得出false即可解决问题．
（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明false即可解决问题．
②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：false解决问题．
【详解】
解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．
false，
false，
false，false，
false，
false，false，
false，
false，
false，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是false，
故答案为1，false．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．
false，
false，
false，
false，
false，false，
false，
false，
false直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为false．
（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．
false，false，
false，
false，
false，
false，
false，
false，
false，false，
false，
false，
false，
false，
false，
false，
false，
false，
false，
falseA，D，C，B四点共圆，
false，false，
false，
false，设false，则false，false，
falsec．
如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：false，设false，则false，false，
false，
false．
【解题技法】“手拉手”模型中，对应边和“拉手线”组成的两个三角形相似，学会根据题干的条件灵活运用，运用分类讨论的数学思想思考问题．
实战演练:
在false中，false，false是平面内不与点false重合的任意一点，连接false，将线段false绕点false顺时针旋转false得到线段false，连接false是false的中点，false是false的中点．
（1）问题发现：
如图1，当false时，false的值是_________，直线false与直线false相交所成的较小角的度数是________．
（2）类比探究：
如图2，当false时，请写出false的值及直线false与直线false相交所成的较小角的度数，并说明理由．
（3）解决问题：
如图3，当false时，若false是false的中点，点false在直线false上，且点false在同一条直线上，请直接写出false的值．