【备战2021年中考数学几何模型汇编专练】专题五 半角模型 复习教案

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数学模型-----半角模型
几何是初中数学中非常重要的内容_?????¨??°?????????_习过程中，若能抓住基本图形，举一反三，定能引领学生领略到“一图一世界”的风采。下面先给大家介绍一种常见的数学模型---半角模型，通过对模型的理解和掌握，把模型的结论融会贯通，理解透彻，有助于理清思路、节省大量时间，遇到这一类题型，都是可以迎刃而解的。21世纪21世纪教育网有21世纪教育网21-cn-jy.com21*cnjy*com21世纪教育网版权所有
一、模型类别
二、相关结论的运用
（一）等边三角形中120含60半角模型

条件：△ABC是等边三角形，∠CDB =120 ，∠EDF=60，BD=CD，旋转△BDE至△CDG【来源：21·世纪·教育·网】www-2-1-cnjy-com21·cn·jy·com21·cn·jy·com
结论1：△FDE△FDG
结论2：EF=BE+CF
结论3: ∠DEB =∠DEF
典例精讲:
已知四边形ABCD中，AB⊥A_D???BC???C_D，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F．
（1）当∠MBN绕B_??????è????°AE_＝CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：　　+　　＝　　．（不需证明）2-1-c-n-j-y21世纪21世纪教育网有【版权所有：21教育】2-1-c-n-j-y
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由．
（3）当∠MBN绕B点旋转到A_E???CF??????_图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．21*cnjy*com【来源：21cnj*y.co*m】【出处：21教育名师】
【思路点拨】
（1）证明△ABE≌△CBF且△BEF是等边三角形即可；
（2）根据“半角”模型1，先_è?????BAE???_△BCG，再根据“半角”模型1中的结论2得出△GBF≌△EBF，再根据“半角”模型1中的结论3即可；
（3）根据“半角”模型1，先证△BAH≌△BCF，再根据“手拉手”模型1中的结论2得出△EBF≌△EBH即可．
【详解】
解：（1）如图1，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠CBF＝∠EBA，BE＝BF，
∵∠ABC＝120°，∠EBF＝60°，
∴△BEF是等边三角形，CF＝，AE＝，
∴EF＝BE＝BF＝AE+CF；
（2）如图2，延长FC至G，使AE＝CG，连接BG，
在△BAE和△BCG中，
，
∴△BAE≌△BCG（SAS），
∴∠ABE＝∠CBG，BE＝BG，
∵∠ABC＝120°，∠EBF＝60°，
∴∠ABE+∠CBF＝60°，
∴∠CBG+∠CBF＝60°，
∴∠GBF＝∠EBF，
在△GBF和△EBF中，
，
∴△GBF≌△EBF（SAS），
∴EF＝GF＝CF+CG＝CF+AE；
（3）不成立，但满足新的数量关系．
如图3，在AE上截取AH＝CF，连接BH，
在△BAH和△BCF中，
，
∴△BAH≌△BCF（SAS），
∴BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，
∵∠EBF＝60°＝∠FBC+∠CBE
∴∠ABH+∠CBE＝60°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠HBE＝60°＝∠EBF，
在△EBF和△HBE中，
，
∴△EBF≌△EBH（SAS），
∴EF＝EH，
∴AE＝EH+AE＝EF+CF．
【解题技法】本题典型的利用“半角”模型1，其基本思路是“旋转补短”，从而构造全等三角形．
实战演练:
1、如图1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，AC，BD相交于点O．
(1)求边AB的长；
(2)求∠BAC的度数；
(3)如图2，将一个足够大_??????è§????è§????_60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF．判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由．2·1·c·n·j·y21cnjy.com
2、在平行四边形ABCD中_??????E???F???_别在边AD，AB上（均不与顶点重合），且∠BCD＝120°，∠ECF＝60°．【出处：21教育名师】21世纪教育网21-cn-jy.com
（1）如图1，若AB＝AD，求证：△AEC≌△BFC；
（2）如图2，若AB＝2AD，过点C作CM⊥AB于点M，求证：①AC⊥BC；②AE＝2FM；
（3）如图3，若AB＝3AD，试探究线段CE与线段CF的数量关系．
（二）等腰直角三角形中90含45半角模型

条件：△ABC是等腰直角三角形，∠CAB =90 ，AB=AC，∠DAE=45，旋转△BDE至△CDG(△BDE沿AD翻折到△ADF)2·1·c·n·j·y
结论1：△ADE△AFE(△ACE△AFE)
结论2： DE2＝BD2+EC2
结论3：C?CEF=BC(C?DEF=BC)
典例精讲:
已知Rt△ABC中，∠ACB＝_90?°???CA_＝CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．
（1）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图①，求证：MN2＝AM2+BN2；
思路点拨：考虑MN_2???AM2+_BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了．【来源：21cnj*y.co*m】2·1·c·n·j·y
请你完成证明过程：
（2）当扇形CE_F??????C???è??_至图②的位置时，关系式MN2＝AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．21世纪21世纪教育网有
【思路点拨】
（1）将△AC_M?????????CE_对折，得△DCM，连DN，根据“半角”模型2，证明出△CDN≌△CBN，再根据“半角”模型2的结论2即可；【出处：21教育名师】
（2）将△ACM沿直_???CE?????????_得△GCM，连GN，根据“半角”模型2，证明△CGN≌△CBN，再根据“半角”模型2的结论2即可；21世纪教育网21-cn-jy.com
【详解】
（1）证明：
将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，
则△DCM≌△ACM．
有CD＝CA，DM＝AM，∠DCM＝∠ACM，∠CDM＝∠A．
又由CA＝CB，得 CD＝CB．
由∠DCN＝∠ECF﹣∠DCM＝45°﹣∠DCM，
∠BCN＝∠ACB﹣∠ECF﹣∠ACM＝90°﹣45°﹣∠ACM，
得∠DCN＝∠BCN．
又CN＝CN，
∴△CDN≌△CBN．
∴DN＝BN，∠CDN＝∠B．
∴∠MDN＝∠CDM+∠CDN＝∠A+∠B＝90°．
∴在Rt△MDN中，由勾股定理，
得MN2＝DM2+DN2．即MN2＝AM2+BN2．
（2）关系式MN2＝AM2+BN2仍然成立．
证明：将△ACM沿直线CE对折，得△GCM，连GN，
则△GCM≌△ACM．
有CG＝CA，GM＝AM，
∠GCM＝∠ACM，∠CGM＝∠CAM．
又由CA＝CB，得 CG＝CB．
由∠GCN＝∠GCM+∠ECF＝∠GCM+45°，
∠BCN＝∠ACB﹣∠ACN＝90°﹣（∠ECF﹣∠ACM）＝45°+∠ACM．
得∠GCN＝∠BCN．
又CN＝CN，
∴△CGN≌△CBN．
有GN＝BN，∠CGN＝∠B＝45°，∠CGM＝∠CAM＝180°﹣∠CAB＝135°，
∴∠MGN＝∠CGM﹣∠CGN＝135°﹣45°＝90°．
∴在Rt△MGN中，由勾股定理，
得MN2＝GM2+GN2．即MN2＝AM2+BN2．
【解题技法】利用“半角”模型2，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键。
实战演练:
在等腰△ABC中，CA＝CB，点D，E在射线AB上，不与A，B重合（D在E的左边），且∠DCE＝∠ACB．21*cnjy*com21教育网21教育名师原创作品【来源：21cnj*y.co*m】
（1）如图1，若∠ACB＝90°，将△CAD沿CD翻折，点A与M重合，求证：△MCE≌△BCE；
（2）如图2，若∠ACB＝120°，且以AD、DE、EB为边的三角形是直角三角形，求的值；
（3）∠ACB＝120°，点D在射线AB上运动，AC＝3，则AD的取值范围为　 　．
（三）正方形中90含45半角模型
条件：正方形ABCD中，∠MAN =45 ，旋转△ABF至△AND；
结论1：△AFM△AMN
结论2： MN=BM+DN(MN=DN-BM)
结论3：C?MCN=2AB；
结论4： ()
典例精讲:
（1）（发现证明）
如图1，在正方形ABCD中，点E_???F?????????B_C，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．21·世纪*教育网2-1-c-n-j-y21*cnjy*com21教育网
小明发现，当把△ABE_??????Aé?????é??_旋转90°至△ADG，使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程．www-2-1-cnjy-com21cnjy.com【版权所有：21教育】
（2）（类比引申）①_??????2?????¨???_方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．
②如图3，如果点E，F分别是BC_???CD???é?????_上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是　 （不要求证明）21教育名师原创作品
（3）（联想拓展）如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE＝3，求AF的长．
【思路点拨】
（1）（发现证明）根据“半角”模型3，证明出△EAF≌△GAF，再根据“半角”模型3的结论2即可得证；21教育名师原创作品
（2）（类比引申）①根据“半角”模型3，证明出△EAF≌△GAF，再根据“半角”模型3的结论2即可得证；21*cnjy*com
②根据“半角”模型3，证明△AFE≌△ANE，再根据“半角”模型3的结论2即可得证；
（3）（联想拓展）
求出DG＝2，设DF＝x，则根据_??????è§?????¨????_3的结论2得出EF＝DG＝x+3，CF＝6﹣x，在Rt△EFC中，得出关于x的方程，解出x则可得解．
【详解】
（1）（发现证明）
证明：把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，如图1，
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠FAD＝45°，
∴∠DAG+∠FAD＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵AF＝AF，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG＝DF+DG，
∴EF＝DF+BE；
（2）（类比引申）
①不成立，结论：EF＝DF﹣BE；
证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，
∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，
∴∠FAM＝45°＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△EAF≌△MAF（SAS），
∴EF＝FM＝DF﹣DM＝DF﹣BE；
②如图3，将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，
∴AN＝AF，∠NAF＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠NAE＝45°，
∴∠NAE＝∠FAE，
∵AE＝AE，
∴△AFE≌△ANE（SAS），
∴EF＝EN，
∴BE＝BN+NE＝DF+EF．
即BE＝EF+DF．
故答案为：BE＝EF+DF．
（3）（联想拓展）
解：由（1）可知AE＝AG＝3，
∵正方形ABCD的边长为6，
∴DC＝BC＝AD＝6，
∴＝＝3．
∴BE＝DG＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣3＝3，
设DF＝x，则EF＝DG＝x+3，CF＝6﹣x，
在Rt△EFC中，∵CF2+CE2＝EF2，
∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，
解得：x＝2．
∴DF＝2，
∴AF＝＝＝2．
【解题技法】“半角”模型3，常与旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，将分散的条件集中起来，将隐秘的关系显现出来．
实战演练:
1、思维探索：
在正方形ABCD中，AB＝4，∠EAF的两边分别交射线CB，DC于点E，F，∠EAF＝45°．
（1）如图1，当点E，F分别在线段BC，CD上时，△CEF的周长是　8　；
（2）如图2，当点E，F分别在CB，DC的延长线上，CF＝2时，求△CEF的周长；
拓展提升：如图3，在R_t???ABC???_，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点B作BD⊥BC，连接AD，在BC的延长线上取一点E，使∠EDA＝30°，连接AE，当BD＝2，∠EAD＝45°时，请直接写出线段CE的长度．21cnjy.com21·cn·jy·com21·世纪*教育网
2、（1）如图，在正_??????_ABC_D 中，∠FAG=45°，请直接写出 DG，BF 与FG 的数量关系，不需要证明．21·cn·jy·com【来源：21·世纪·教育·网】2-1-c-n-j-y21cnjy.com
（2）如图，在__Rt???AB_C 中，∠BAC=90°，AB=AC，E，F 分别是 BC 上两点，∠EAF=45°，【出处：21教育名师】21*cnjy*comwww.21-cn-jy.com
①写出 BE，CF，EF 之间的数量关系，并证明．
②若将（2）中的△AE_F_??????_A_ 旋转至如图所示的位置，上述结论是否仍然成立？ 若不成立，直接写出新的结论 ，无需证明．【版权所有：21教育】【来源：21·世纪·教育·网】
（3）如图，△AEF 中∠EAF=45°，AG⊥EF 于 G，且GF=2，GE=3，则 = ．
（四）等边三角形中60含30半角模型
条件：△ABC是等边三角形，∠DAE =30 ，旋转△ABD至△ACF；
结论1：△ADE△AFE
结论2：∠ECF =120
结论3：C?ECF=AB；
典例精讲:
转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．
（一）尝试探究
如图1所示，在四边形ABCD中，_AB???AD???_∠BAD＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F分别在线段BC、CD上，∠EAF＝30°，连接EF．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）如图2所示，将△ABE绕点_Aé?????é?????è??_60°后得到△A′B′E′（A′B′与AD重合），请直接写出∠E′AF＝　　度，线段BE、EF、FD之间的数量关系为　　．
（2）如图3，当点E、F分别在线_???BC???CD_的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．21教育名师原创作品
（二）拓展延伸
如图4，在等边△ABC中，E_???F???è??BC_上的两点，∠EAF＝30°，BE＝1，将△ABE绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′（A′B′与AC重合），连接EE′，AF与EE′交于点N，过点A作AM⊥BC于点M，连接MN，求线段MN的长度．
【思路点拨】
（一）（1）（发现证明）根据“半角”模型4，证明出△AEF≌△AE′F，进而根据线段的和差关系得出结论；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）先在BE上截取BG＝DF，连接AG，根据“半角”模型4，判定△GAE≌△FAE，根据线段的和差关系得出结论；www-2-1-cnjy-com
（二）先根据“半角”模型4，判定△AEE′是等边三角形，进而得到和∠BAE＝∠MAN，最后判定△BAE∽△MAN，并根据相似三角形对应边成比例，列出比例式求得MN的长．【版权所有：21教育】
解：（一）（1）将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′，
则∠BAE＝∠DAE'，BE＝DE′，AE＝AE′，
∵∠BAD＝60°，∠EAF＝30°，
∴∠BAE+∠DAF＝30°，
∴∠DAE'+∠DAF＝30°，即∠FAE′＝30°
∴∠EAF＝∠FAE′，
在△AEF和△AE′F中，，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴EF＝E′F，即EF＝DF+DE′，
∴EF＝DF+BE，即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE+DF＝EF，
故答案为：30，BE+DF＝EF；
（2）如图3，在BE上截取BG＝DF，连接AG，
在△ABG和△ADF中，，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，且AG＝AF，
∵∠DAF+∠DAE＝30°，
∴∠BAG+∠DAE＝30°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠GAE＝60°﹣30°＝30°，
∴∠GAE＝∠FAE，
在△GAE和△FAE中，，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE＝FE，
又∵BE﹣BG＝GE，BG＝DF，
∴BE﹣DF＝EF，
即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE﹣DF＝EF；
（二）如图4，将△ABE绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′，则
AE＝AE′，∠EAE′＝60°，
∴△AEE′是等边三角形，
又∵∠EAF＝30°，
∴AN平分∠EAE'，
∴AN⊥EE′，
∴RtANE中，，
∵在等边△ABC中，AM⊥BC，
∴∠BAM＝30°，
∴，且∠BAE+∠EAM＝30°，
∴，
又∵∠MAN+∠EAM＝30°，
∴∠BAE＝∠MAN，
∴△BAE∽△MAN，
∴，即，
∴MN＝．
【解题技法】根据“半角”模型，对图形进行分解、组合，抓住图形旋转前后的对应边相等，一般解题方法为作辅助线构造全等三角形或相似三角形．
实战演练:
（1）问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB_???AD??????B_AD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．21教育网21·世纪*教育网21教育网21·世纪*教育网
小王同学探究此问题的方法是，延_é??FD??°???G_．使DG＝BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　 　；2·1·c·n·j·y21*cnjy*comwww-2-1-cnjy-com21*cnjy*com
（2）探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论　 　仍然成立（填“是”或“否”）；
结论应用：
如图3，在某次_??????????????????_舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
能力提高：
如图4，等腰直角三角形ABC中，_???BAC???9_0°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，则MN的长为 ．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_