(共31张PPT)
人教A版（2019）
选择性必修第三册
7.1.2
全概率公式
新知导入
从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
分析：用
Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1，2.事件R2可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，即R2=R1R2UB1R2.
新知导入
P(R2|R1)
P(B2|R1)
P(R2|B1)
P(B2|B1)
利用概率的加法公式和乘法公式，得
新知导入
分析方法
按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率.
新知讲解
全概率公式
一般地，设A1,A2,...,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪...∪An=Ω，
且P(Ai)>0，i=1,2,...,n，则对任意的事件，有
称上面的公式为全概率公式
新知讲解
注意：全概率公式一般适用于前提条件未知或者前一个步骤未知的情况下，求某一事件的概率.
利用全概率公式，可以把比较复杂事件概率的计算问题，化为若干个互不相容的较简单情形，分别求概率然后求和.
例题讲解
例1
某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.
n(Ω)=
n(AB)=
分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.
例题讲解
解：设A1=“第1天去A餐厅用餐”，
B1=“第1天去B餐厅用餐”，
A2=“第2天去A餐厅用餐”，
则Ω=A1∪B1，且A1与B1互斥，根据题意得P(A1)=P(B1)=0.5,
P(A2|
A1)=0.6,
P(A2|
B1)=0.8,
由全概率公式，得
P(A2)=
P(A1)
P(A2|
A1)+
P(B1)
P(A2|
B1)=0.5x0.6+0.5x0.8=0.7
因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.
例题讲解
例2
有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，计算它是第i（i=1，2，3）台车床加工的概率.
解：设B=“任取一个零件为次品”，Ai=“零件为第i台车床加工”（i=1，2，3），则Ω=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，根据题意得
P（A1）=0.25，
P（A2）=0.3，
P（A3）=0.45，
P（B|A1）=0.06,
P（B|A2）=P（B|A3）=0.05.
例题讲解
（1）由全概率公式，得
P（B）=P(A1)
P(B|A1）+
P(A2)
P(B|A2）+P（A3）P
(B|A3）
=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05
=0.0525
(2)“如果取到的零件是次品，计算它是第i（
i
=1，2，3）台车床
加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率.
同理可得
；
合作探究
思考：例5中P(Ai),
P(Ai|B)的实际意义是什么？
P(Ai)是试验之前就已知的概率，它是第i台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率.当已知抽到的零件是次品(B发生)，P(Ai|B)是这件次品来自第i台车床加工的可能性大小，称为后验概率.如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，则，，就分别是第1，2，3台车床操作员应承担的份额.
新知讲解
贝叶斯公式
一般地，设A1，A2，...，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪...∪An=Ω，
且P(Ai)>0，i=1,2,...,n，则对任意的事件B?Ω，P(B)>0，有
注意：贝叶斯公式一般适用于已知事件的结果，求某一种情况发生的概率.
例题讲解
例3:在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.
（1）分别求接收的信号为0和1的概率；
（2）已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.
发送0(A)
发送1(
)
接收0(B)
接收1(
)
例题讲解
解：设A=“发送的信号为0”，B=“接收到的信号为0”，则=“发送的信号为1”，=“接收到的信号为1”.
由题意得
例题讲解
例4:某工厂生产的玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含有0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，某顾客一次预购买一箱玻璃杯，购买时，售货员随机取出一箱，顾客随机查看了四只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，求：
（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率；
（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率.
例题讲解
解:
设B=“顾客买下该箱玻璃杯”
Ai=“抽到的一箱中有i件残次品”，i=0,1,2
(1)事件B在下面三种情况下会发生:抽到的一箱中没有残次品、有1件残次品或有2件次品。由题意知：
P(A0)=0.8
P(A1)=0.1
P(A2)=0.1
由全概率公式可知，P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.94
例题讲解
(2)由贝叶斯公式可知，在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率p为：
课堂练习
1、设1
000件产品中有200件是不合格品,依次不放回地抽取两件产品,则第二
次抽到的是不合格品的概率为（
）
A.
0.2
B.
0.8
C.
0.25
D.
0.75
A
2．某小组有20名射手，其中1，2，3，4级射手分别为2，6，9，3名.又若
选1，2，3，4级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85，
0.64，0.45，0.32，今随机选一人参加比赛，则该小组比赛中射中目标
的概率为(
)
A.
0.285
B.0.3625
C.0.5275
D.
0.5
C
课堂练习
3．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器,第一车间的次品率为0.15,第二车间的次品率为0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库,假设第一,二车间生产的成品比例为2∶3,今有一客户从成品仓库中随机提一台产品,则该产品合格的概率为( )
A.0.6
B.0.85
C.0.868
D.0.88
C
课堂练习
4．有10
箱同种规格的产品,
其中分别有5箱
,
3箱,
2
箱由甲、乙、丙三个工厂生产,三厂产品的废品率依次为
0.1,
0.2,
0.3
从这10箱产品中任取一箱
,
再从这箱中任取一件产品,求取得正品的概率.
解：设A={取得的产品为正品},B1,B2,B3分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”,则
P(B1)=0.5
,P(B2)=0.3
,P(B3)=0.2,
P(A|B1)=0.9,
P(A|B2)=0.8,
P(A|B3)=0.7,则
P(A)=
课堂练习
5．有甲、乙两个袋子，甲袋中有3个白球，2个黑球；乙袋中有4个白球，4个黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，然后再从乙袋中任取一球，求此球为白球的概率.
解：设事件Ai={从甲袋取的2个球中有i个白球}，其中i=0，1，2.
事件B={从乙袋中取到的是白球}，则
课堂练习
6．甲箱产品中有5个正品和3个次品，乙箱产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
解：(1)从甲箱中任取2个产品共有种取法，这2个产品都是次品共有
种可能，所以这2个产品都是次品的概率为.
课堂练习
(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出
2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则
拓展提高
7．播种用的小麦种子混有2%的二等种子,1.5%的三等种子,1%的四等种子.已知用一、二、三、四等种子长出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05,求这批麦种所结出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率.
解：设Bk={从这批种子中任选一颗是k等种子},k=1,2,3,4;设A={从这批种子
中任选一颗结出的麦穗含有50颗麦粒以上},则
P(B2)=0.02，P(B3)=0.015，P(B4)=0.01，
P(B1)=1-0.02-0.015-0.01=0.955,
P(A|B1)=0.5，P(A|B2)=0.15，P(A|B3)=0.1，P(A|B4)=0.05，
由全概率公式可得，P(A)=
拓展提高
8．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，将三家产品混合在一起．
(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；
(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
解：设事件A={取到的产品为正品}，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”,则
P(B1)=0.2，P(B2)=0.3，P(B3)=0.5,
P(A|B1)=0.95，P(A|B2)=0.9，P(A|B3)=0.8
（1）由全概率公式可得
拓展提高
（2）由贝叶斯公式可得
由此可知，这件产品由丙厂生产的可能性最大.
课堂总结
2、贝叶斯公式
一般地，设A1，A2，...，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪...∪An=Ω，
且P(Ai)>0，i=1,2,...,n，则对任意的事件B?Ω，P(B)>0，有
1、全概率公式
一般地，设A1,A2,...,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪...∪An=Ω，
且P(Ai)>0，i=1,2,...,n，则对任意的事件，有
板书设计
7.1.2
全概率公式
一、新知导入
二、新知讲解
全概率公式
三、例题讲解
四、课堂练习
五、拓展提高
六、课堂总结
七、作业布置
贝叶斯公式
作业布置
课本P52
习题7.1
第1~9题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
7.1.2全概率公式教学设计
课题
全概率公式
单元
第七单元
学科
数学
年级
高二
学习
目标
掌握理解全概率公式，能够利用全概率公式计算复杂的概率问题.
重点
使用全概率公式解决实际概率问题.
难点
全概率公式和贝叶斯公式的理解和应用.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
新知导入：
情景：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
分析：用
Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1，2.事件R2可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，即R2=R1R2∪B1R2.利用概率的加法公式和乘法公式，得
按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率.
学生思考问题，引出本节新课内容.
设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课.
讲授新课
新知讲解：全概率公式
一般地，设A1,A2,...,An是一组两两互斥的事件，有A1∪A2∪...∪An=Ω，且
P(Ai)>0，i=1,2,...,n，则对任意的事件B?Ω，有，称上面的公式为全概率公式.
注意：全概率公式一般适用于前提条件未知或者前一个步骤未知的情况下，求某一事件的概率；
利用全概率公式，可以把比较复杂事件概率的计算问题，化为若干个互不相容的较简单情形，分别求概率然后求和.
贝叶斯公式：
一般地，设A1，A2，...，An是一组两两互斥的事件，有A1∪A2∪...∪An=Ω，
且P(Ai)>0，i=1,2,...,n，则对任意事件B?Ω，P(B)>0，有
注意：贝叶斯公式一般适用于已知事件的结果，求某一种情况发生的概率.
例题讲解：
例1
某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.
分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.
解：设A1=“第1天去A餐厅用餐”，
B1=“第1天去B餐厅用餐”，A2=“第2天去A餐厅用餐”，
则Ω=A1∪B1，且A1∪B1互斥，根据题意得P(A1)=P(B1)=0.5,
P(A2|
A1)=0.6,
P(A2|
B1)=0.8,
由全概率公式，得
P(A2)=
P(A1)
P(A2|
A1)+
P(B1)
P(A2|
B1)=0.5x0.6+0.5
x0.8=0.7.因此，王同学第2天去A餐厅用餐得概率为0.7
例2
有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，计算它是第i（i=1，2，3）台车床加工的概率.
解：设B=“任取一个零件为次品”，Ai=“零件为第i台车床加工”（i=1，2，3），则Ω=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，根据题意得
P（A1）=0.25，
P（A2）=0.3，
P（A3）=0.45，
P（B|A1）=0.06,
P（B|A2）=
P（B|A3）=0.05.
（1）由全概率公式，得
P（B）=P(A1)
P
(B|A1）+
P(A2)
P
(B|A2）+
P（A3）P
(B|A3）=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45
×0.05=0.0525
(2)“如果取到的零件是次品，计算它是第i（
i
=1，2，3）台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率.
同理可得
合作探究：
思考：例5中P(Ai),
P(Ai|B)得实际意义是什么？
P(Ai)是试验之前就已知的概率，它是第i台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率.当已知抽到的零件是次品(B发生)，P(Ai|B)是这件次品来自第i台车床加工的可能性大小，称为后验概率.如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，则
分别是第1，2，3台车床操作员应该承担的份额
例3
在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.
（1）分别求接收的信号为0和1的概率；
（2）已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.
解：设A=“发送的信号为0”，B=“接收到的信号为0”，则=“发送的信号为1”，=“接收到的信号为1”
例4
某工厂生产的玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含有0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，某顾客一次预购买一箱玻璃杯，购买时，售货员随机取出一箱，顾客随机查看了四只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，求：
（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率;
（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率.
解:
设B=“顾客买下该箱玻璃杯”
Ai=“抽到的一箱中有i件残次品”，i=0,1,2
(1)事件B在下面三种情况下会发生:抽到的一箱中没有残次品、有1件残次品或有2件次品。由题意知：P(A0)=0.8
P(A1)=0.1
P(A2)=0.1
由全概率公式可知，P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)
=0.94
(2)由贝叶斯公式可知，在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率p为：
课堂练习：
1、设1
000件产品中有200件是不合格品,依次不放回地抽取两件产品,则第二次抽到的是不合格品的概率为（
A
）
A.
0.2
B.
0.8
C.
0.25
D.
0.75
2．某小组有20名射手，其中1，2，3，4级射手分别为2，6，9，3名.又若选1，2，3，4级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85，0.64，0.45，0.32，今随机选一人参加比赛，则该小组比赛中射中目标的概率为(
C
)
A.
0.285
B.0.3625
C.0.5275
D.
0.5
3．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器,第一车间的次品率为0.15,第二车间的次品率为0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库,假设第1,2车间生产的成品比例为2∶3,今有一客户从成品仓库中随机提一台产品,则该产品合格的概率为( C )
A.0.6
B.0.85
C.0.868
D.0.88
4．有10
箱同种规格的产品,
其中分别有5箱
,
3箱,
2
箱由甲、乙、丙三个工厂生产,三厂产品的废品率依次为
0.1,
0.2,
0.3
从这10箱产品中任取一箱
,
再从这箱中任取一件产品,求取得正品的概率.
解：设A={取得的产品为正品},B1,B2,B3分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”,则
P(B1)=0.5
,P(B2)=0.3
,P(B3)=0.2,
P(A|B1)=0.9,
P(A|B2)=0.8,
P(A|B3)=0.7,则
5．有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球，2个黑球；乙袋中有4个白球，4个黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，然后再从乙袋中任取一球，求此球为白球的概率.
解：设事件Ai={从甲袋取的2个球中有i个白球}，其中i=0，1，2.事件B={从乙袋中取到的是白球}，则
6．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
解：(1)从甲箱中任取2个产品共有种取法，这2个产品都是次品共有种可能，所以这2个产品都是次品的概率为
(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则
拓展提高：
7．播种用的小麦种子混有2%的二等种子,1.5%的三等种子,1%的四等种子.已知用一、二、三、四等种子长出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05,求这批麦种所结出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率.
解：设Bk={从这批种子中任选一颗是k等种子},k=1,2,3,4;设A={从这批种子中任选一颗结出的麦穗含有50颗麦粒以上},则
P(B2)=0.02，P(B3)=0.015，P(B4)=0.01，
P(B1)=1-0.02-0.015-0.01=0.955,
P(A|B1)=0.5，P(A|B2)=0.15，P(A|B3)=0.1，P(A|B4)=0.05，
由全概率公式可得，
8．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，将三家产品混合在一起．
(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；
(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
解：设事件A={取到的产品为正品}，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”,则
P(B1)=0.2，P(B2)=0.3，P(B3)=0.5,P(A|B1)=0.95，P(A|B2)=0.9，P(A|B3)=0.8
由全概率公式可得
（2）由贝叶斯公式可得
由此可知，这件产品由丙厂生产的可能性最大.
学生根据情境问题，探究全概率公式与贝叶斯公式.
利用例题引导学生掌握并灵活运用全概率公式与贝叶斯公式解决实际相关计算问题.
通过课堂练习，检验学生对本节课知识点的掌握程度，同时加深学生对本节课知识点的掌握及运用.
利用情境问题，探究全概率公式与贝叶斯公式，培养学生探索的精神.
加深学生对基础知识的掌握，并能够灵活运用基础知识解决具体问题.
通过练习，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神.
课堂小结
全概率公式
贝叶斯公式
学生回顾本节课知识点，教师补充.
让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用.
板书
§7.1.2
全概率公式
一、新知导入
三、例题讲解
二、新知讲解
四、课堂练习
1.全概率公式
五、拓展提高
2.贝叶斯公式
六、课堂总结
七、作业布置
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精品试卷·第
2
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