四川省通江中学高2012级高三下）第一次月考数学试题（理科）

通江中学高2012级高三（下）第一次月考
数学试题（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1、复数的虚部为（ ）
A、1 B、-1 C、i D、-i
2、设全集为R，集合（ ）
A． B． C． D．
3、若函数，则f(x)是（ ）
A、最小正周期为的偶函数； B、最小正周期为的奇函数；
C、最小正周期为2的偶函数； D、最小正周期为的奇函数；
4．对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l （ ）
A．平行 B．相交 C．垂直 D．互为异面直线
5．“是定义在（0，+∞）上的连续函数”是“直线和直线互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（ ）
A、 24 B、28 C、32 D、36
7、已知，，若向区域上随机投一点，则点落入区域的概率为( )
A． 　　 B． 　　 C． 　 D．
8、偶函数在内可导，且，则在点（-5，）处切线的斜率为（ ）
A．-2 B．2 C．1 D．-1
9．设双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线交双
曲线右支于不同的两点、．若△为正三角形，则该双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
10、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若垂直且，当△ABC面积为时，则b等于（ ）
A．1 B．4 C． D．2
11．设是等差数列，项和，令的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
12．已知：集合，，且集合B中任意两个元素之和不能被其差整除。记集合B中元素个数为则的最大值为（ ）
A．670 B．671 C．672 D．673
二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项是 ；
14、四面体的外接球球心在上，且，，在外接球面上两点间的球面距离是 ；
15、已知的4个根组成首项为的等差数列，则= ；
16．设函数对其定义域内的任意实数，则称函数为上凸函数． 若函数为上凸函数，则对定义域内任意、、，…，都有（当时等号成立），称此不等式为琴生不等式。现有下列命题：
①是上凸函数；
②二次函数是上凸函数的充要条件是a>0；
③是上凸函数，若是图象上任意两点，点C在线段AB上，且；
④设A，B，C是一个三角形的三个内角，则的最大值是。
其中，正确命题的序号是 （写出所有你认为正确命题的序号）．
三、解答题：（共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）
17、 (本题满分12分) 已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函数，求函数在区间上的取值范围．
18.（本小题满分12分）将编号为1，2，3，4的四张同样材质的卡片，随机放入编码分别为1，2，3，4的四个小盒中，每盒仅放一张卡片，若第号卡片恰好落入第号小盒中，则称其为一个匹对，用表示匹对的个数.
（Ⅰ）求第2号卡片恰好落入第2号小盒内的概率;
（Ⅱ）求匹对数的分布列和数学期望.
19．（本题满分12分）如图，在直三棱柱中，，，是的中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）试问线段上是否存在点，使与成角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由．
20．（本题满分12分）已知数列前n项和，数列为等比数列，首项和公比满足，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，记数列的前n项和为,若不等式对任意恒成立,求实数的最大值。
21、(本题满分12分) 已知抛物线的顶点是椭圆:的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.
（Ⅰ）求抛物线的方程;
（Ⅱ）设椭圆C的右准线交轴于点Q，过点Q的直线交抛物线于D、E两点。求面积的最小值；
（Ⅲ）设、分别为椭圆C的左、右顶点,为右准线上不同于点Q的任意一点，若直线、分别与椭圆相交于异于、的点、。求证：点在以为直径的圆内．
22．(本题满分14分)已知函数 ．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数的图像在点处的切线的斜率为，且对于任意的，函数在区间上总存在极值，求的取值范围；
（Ⅲ）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．
高2012级二月月考数学（理）参考答案
一．选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C A C A D D B B D C B
二．填空题：
13．15； 14、； 15、 16．①③④
三、解答题：（共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）
17、解：（1）因为角终边经过点，所以
，， ------------3分
---------6分
(2) ，
，------------------12分
故：函数在区间上的取值范围是
18、解：（I）解：（1）设为“第2张卡片恰好落入第2号卡片”，则
…………………………4分
（II）的可能取值为0，1，2，4
， ，，…8分
∴的分布列为：
0 1 2 4
∴ …………12分
19．（Ⅰ）证明：连结，交于点，连结.由 是直三棱柱，
得 四边形为矩形，为的中点.
又为中点，所以为中位线，
所以 ∥， …………………………2分
因为 平面，平面，
所以 ∥平面. ………………4分
（Ⅱ）解：由是直三棱柱，且，故两两垂直.如图建立空间直角坐标系.
设，则.
所以 ，
设平面的法向量为，则有
所以 取，得.
易知平面的法向量为.
由二面角是锐角，得 .
所以二面角的余弦值为.………………8分
（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点.
因为在线段上，，，故可设，其中.
所以 ，.
因为与成角，所以.
即，解得，舍去.
所以当点为线段中点时，与成角。 ………………12分
20．解：（Ⅰ）当n=1时，．
当n≥2时，,
验证时也成立．
∴数列的通项公式为： ……………3分
∵
∴，∴数列的通项公式为：……………6分
（Ⅱ）∵
∴
……………………①
②
由①-②得：
∴ ………………………9分
不等式，可化为………(*)
设，易知，函数在上单调递增，
故当时，取得最小值为4，
∴由题意可知：不等式(*)对一切n∈N*恒成立，只需．
∴实数λ的最大值为4．……………………………………………………12分
21、解:(1)由题意,可设抛物线方程为.
由,得.
抛物线的焦点为,.
抛物线的方程为. …………4分
(2)椭圆的右准线方程为，
设直线的方程为，,.
联立,整理得:
当时， …………8分
(3) A（－2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）（－2∵M点在椭圆上，∴y0＝（4－x02）.
又直线AP的方程为y＝，则 P（4，）.
从而＝（x0－2，y0），＝（2，）.
∴·＝2x0－4＋＝（x02－4＋3y02）.
将代入，化简得·＝（2－x0）.
∵2－x0>0，∴·>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，
故点B在以MN为直径的圆内。…………12分
22．解：（Ι）由知：
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；………………4分
（Ⅱ）由得
∴，.
∴,
∵ 函数在区间上总存在极值，
∴有两个不等实根且至少有一个在区间内
又∵函数是开口向上的二次函数，且，∴
由，∵在上单调递减，
所以；∴，
由，解得；综上得：
所以的取值范围为. …………9分
（Ⅲ）令，则
.
①. 当时，由得，从而,
所以，在上不存在使得；
②. 当时，,
在上恒成立，故在上单调递增。
故只要，解得
综上所述，的取值范围是 …………………14分
A
B
C
B1
C1
A1
D
A
B
C
B1
C1
A1
D
O
x
y
z
.
E