北京三十五中2012届高三数学（理）综合提高测试题（5）

2011-2012北京三十五中高三数学综合提高测试五(理)
一、选择题
1. 若函数的图象的一条对称轴在 内，则满足此条件的一
个值是（ ）
A.　 　 B. 　 C. 　D.
2、函数取得最大值时的为( )
A． B．1 C． D．0
3、定义域为的函数满足,当时，,若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．(-∞,-1］∪(0,3］ B．( -∞,-］∪(0, ］
C．［-1,0) ∪［3,+∞) D．［-,0) ∪［,+∞)
4函数是函数的导函数，且函数在点处的切线为
，如果函数在区间上的图像
如图所示，且，那么（ ）
A．是的极大值点
B．=是的极小值点
C．不是极值点
D．是极值点
二、填空题
5. 当实数满足约束条件（其中为小于零的常数）时，的最小值为2，则实数的值是 ．
6. 设函数,．若，使得与同时成立，则实数a的取值范围是 ．
7. 下列命题中：①若函数的定义域为R，则一定是偶函数；
②若是定义域为R的奇函数，对于任意的都有，则函数
的图象关于直线对称；
③是函数定义域内的两个值，且，若，则是减函数；
④若是定义在R上的奇函数，且也为奇函数，则周期的为4其中正确的命题序号是 ．
8. 当为正整数时，定义函数表示的最大奇因数．如N (3) = 3，N (10) = 5，…．
记．则（1） ．（2） 。
三、解答题
9. 已知函数 .
(1)若图象上的点处的切线斜率为，求的极大值；
(2)若在区间上是单调减函数，求的最小值.
10. 椭圆的上顶点，O为坐标原点，N（），并且满足，
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（II）求过原点O及此椭圆的左焦点F1，并且与直线相切的圆的方程；
（Ⅲ）若过点N的直线与（I）中的椭圆交于不同的两点E、F（E在N、F之间），
，试求实数的取值范围.
11. 已知函数是图像上的两点，横坐标为的点是M, N的中点.
（1）求证：为定值；
（2）若，求；
（3）在(2)的条件下，若，为数列的前项和，若对一切都成立，试求实数的取值范围.
2011-2012北京三十五中高三数学综合提高测试五（理）答案
一、选择题
1、A ． 2、． C. 3、C 4、C
二、填空题
5. 6.
【解析】由题设知，，即或,且恒过定点．①当时，如上左图，则；③当时，如上右图，， 又，显然不成立．综上知，的取值范围为．
7. 8. 86 ，．
三、解答题
9. 解：(1)∵f ′(x)=x2+2ax－b ,
∴ 由题意可知：f ′(1)=－4且f (1)= －,
∴ 解得：…………………………3分
∴ f (x)=x3－x2－3x。f ′(x)=x2－2x－3=（x+1）（x－3）.
令f ′(x)=0，得x1=－1，x2=3，
由此可知：
x (－∞,－1) －1 (－1, 3) 3 (3, +∞)
f ’(x) + 0 － 0 +
f (x) ↗ f (x)极大5/3 ↘ f (x) 极小 ↗
∴ 当x=－1时, f (x)取极大值. …………………………6分
(2) ∵y=f (x)在区间[－1，2]上是单调减函数，
∴f ′(x)=x2+2ax－b≤0在区间[－1，2]上恒成立.
根据二次函数图象可知f ′(－1)≤0且f ′(2)≤0，即：
也即…………………10分
作出不等式组表示的平面区域如图：
当直线z=a+b经过交点P(－, 2)时，z=a+b取得最小值z=－+2=,
∴z=a+b取得最小值为……………………14分
10. 解：（Ⅰ）由，，A（0，b）,F1(-c,0),F2(c,0)
,
从而所求椭圆的方程为………………4分
（II）因为过点O、F1 ,所以圆心M在直线x=上， 设M（，t），
则圆半径由
（Ⅲ）解法一：如图，由题意知直线的斜率存在，设方程为y=k(x+2)
代入，整理得，
由△>0得， 设E(x1，y1)，F(x2，y2)
则 ①…………………………………………10分
由于E在N、F之间，
由①知②
③
③÷②2得……………………12分
又
.
∴的取值范围是[3－2，1）………14分
11、解：（1）证明：由已知可得，,
（4分）
（2）由（1）知当时，
①
②
①+②得
（3）当时，
又当时，所以 （12分）
故 （14分）
对一切都成立，即恒成立（16分）
又，所以的取值范围是 （18分）
O
x
y
－1
2
o
a
b
P(－, 2)
4a-b+4=0
2a+b-1=0
z=a+b
-2
2
4
E
O
N
F
y
x