浙江省东阳市南马高中2012届高三下学期入学考试数学（文）试题

选择题部分 (共50分)
参考公式：
球的表面积公式 柱体的体积公式
S=4πR2 V=Sh
球的体积公式 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
V=πR3 台体的体积公式
其中R表示球的半径 V=h(S1+ +S2)
锥体的体积公式 其中S1, S2分别表示台体的上、下底面积，
V=Sh h表示台体的高
其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 如果事件A，B互斥，那么
P(A+B)=P(A)+P(B)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 若全集U＝{－1，0，1，2}，P＝{x∈Z | x2＜2}，则 U P＝
(A) {2} (B) {0，2} (C) {－1，2} (D) {－1，0，2}
(2) 已知i为虚数单位，则＝
(A) (B) (C) (D)
(3) 在△ABC中，“A＝60°”是“cos A＝”的
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
(4) 函数f (x)＝ex＋3x的零点个数是
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(5) 已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线
(A) 只有一条，不在平面α内
(B) 有无数条，不一定在平面α内
(C) 只有一条，且在平面α内
(D) 有无数条，一定在平面α内
(6) 若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是
（A） 36 cm3 （B） 48 cm3
（C） 60 cm3 （D） 72 cm3
(7) 若有2位老师，2位学生站成一排合影，则每位老师都不站在两端的概率是
(A) (B) (C) (D)
(8) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若
sin2 B＋sin2 C－sin2A＋sin B sin C＝0，则tan A的值是
(A) (B) － (C) (D) －
(9) 如图，有4个半径都为1的圆，其圆心分别为O1(0，0)，O2(2，0)， O3(0，2)，O4(2，2)．记集合M＝{⊙Oi｜i＝1，2，3，4}．若A，B为M的非空子集，且A中的任何一个圆与B中的任何一个圆均无公共点，则称 (A，B) 为一个“有序集合对” (当A≠B时，(A，B) 和 (B，A) 为不同的有序集合对)，那么M中“有序集合对” (A，B) 的个数是
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
(10) 已知点P在曲线C1：上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则 | PQ |－| PR | 的最大值是
（A） 6 （B） 8 （C） 10 （D） 12
非选择题部分 (共100分)
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
(11) 在等比数列{an}中，若a5＝5，则a3a7＝ ．
(12) 若某程序框图如图所示，则输出的S的值是 ．
(13) 某工厂对一批元件进行了抽样检测，根据抽样检测后的元件长度 (单位：mm) 数据绘制了频率分布直方图 (如图)．若规定长度在 [97，103) 内的元件是合格品，则根据频率分布直方图估计这批产品的合格品率是 ．
(14) 若函数f (x)＝ 则不等式f (x)＜4的解集是 ．
(15) 已知直线ax＋y＋2＝0与双曲线的一条渐近线平行，则这两条平行直线之间的距离是 ．
(16) 已知实数x，y满足若 (－1，0) 是使ax＋y取得最大值的可行解，则实数a的取值范围是 ．
(17) 已知圆心角为120° 的扇形AOB半径为，C为 中点．点D，E分别在半径OA，OB上．若CD2＋CE2＋DE2＝2，则OD＋OE的最大值是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(18) (本题满分14分) 设向量α＝(sin 2x，sin x＋cos x)，β＝(1，sin x－cos x)，其中x∈R，函数f (x)＝αβ．
(Ⅰ) 求f (x) 的最小正周期；
(Ⅱ) 若f (θ)＝，其中0＜θ＜，求cos(θ＋)的值．
(19) (本题满分14分) 设等差数列{an}的首项a1为a，公差d＝2，前n项和为Sn．
(Ⅰ) 若S1，S2，S4成等比数列，求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ) 证明：n∈N*, Sn，Sn＋1，Sn＋2不构成等比数列．
(20) (本题满分14分) 已知正四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2 的正方形，高为．M为线段PC的中点．
(Ⅰ) 求证：PA∥平面MDB；
(Ⅱ) N为AP的中点，求CN与平面MBD所成角的正切值．
(21) (本题满分15分) 已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx， a , bR．
(Ⅰ) 曲线C：y＝f (x) 经过点P (1，2)，且曲线C在点P处的切线平行于直线y＝2x＋1，求a，b的值；
(Ⅱ) 已知f (x)在区间 (1 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，2) 内存在两个极值点，求证：0＜a＋b＜2．
(22) (本题满分15分) 设抛物线C1：x 2＝4 y的焦点为F，曲线C2与C1关于原点对称．
(Ⅰ) 求曲线C2的方程；
(Ⅱ) 曲线C2上是否存在一点P（异于原点），过点P作C1的两条切线PA，PB，切点A，B，满足| AB |是 | FA | 与 | FB | 的等差中项？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算。每小题5分, 满分50分。
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。
三、解答题：本大题共5小题，共72分。
(18) 本题主要考查三角函数性质与三角恒等变换、三角计算等基础知识，同时考查平面向量应用及三角运算求解能力。满分14分。
(Ⅰ)解：由题意得 f (x)＝sin 2x＋(sin x－cos x)(sin x＋cos x)
＝sin 2x－cos 2x＝2sin (2x－)，
故 f (x)的最小正周期T＝＝π． …………6分
(Ⅱ)解：若f (θ)＝，则2sin (2θ－)＝，
所以，sin (2θ－)＝．
又因为0＜θ＜，所以θ＝或．
当θ＝时，cos(θ＋)＝cos(＋)＝；
当θ＝时，cos(θ＋)＝cos(＋)＝－cos＝－． ………14分
(19) 本题主要考查等差数列、等比数列概念、求和公式等基础知识，同时考查推理论证能力及分析问题解决问题的能力。满分14分。
(Ⅰ)解：因为Sn＝na＋n (n－1)，
S1＝a，S2＝2a＋2，S4＝4a＋12．由于S1，S2，S4成等比数列，因此
＝S1S4，即得a＝1．an＝2n－1． …………6分
(Ⅱ)证明：采用反证法．不失一般性，不妨设对某个m∈N*，Sm，Sm＋1，Sm＋2构成等比数列，即．因此
a2＋2ma＋2m(m＋1)＝0，
要使数列{an}的首项a存在，上式中的Δ≥0．然而
Δ＝(2m)2－8m(m＋1)＝－4m (2＋m)＜0，矛盾．
所以，对任意正整数n，Sn，Sn＋1，Sn＋2都不构成等比数列． …………14分
(20) 本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。
(Ⅰ)证明：在四棱锥P－ABCD中，连结AC交BD于点O，连结OM，PO．由条件可得PO＝，AC＝2，PA＝PC＝2，CO＝AO＝．
因为在△PAC中，M为PC的中点，O为AC的中点，
所以OM为△PAC的中位线，得OM∥AP，
又因为AP平面MDB，OM平面MDB，
所以PA∥平面MDB． …………6分
(21) 本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、导数应用及二次方程根的分布等基础知识，同时考查抽象概括能力和推理论证能力。满分15分。
(Ⅰ)解:
＝，
由题设知： 解得 …………6分
(Ⅱ)解：因为在区间内存在两个极值点 ，
所以，即在内有两个不等的实根．
故
由 (1)+(3)得.
由（4）得，
因，故，从而.
所以． …………15分
(Ⅰ)解；因为曲线与关于原点对称，又的方程，
所以方程为． …………5分
(Ⅱ)解：设，，,．
的导数为，则切线的方程，
又，得，
因点在切线上,故．
同理, ．
所以直线经过两点，
即直线方程为,即，
代入得，则,，
所以 ，
由抛物线定义得，．
…………15分
2
4
2
2
2
2
正视图
(第6题)
侧视图
俯视图
x
O1
O2
O3
O4
y
(第10题)
S＝1
开始
k＝1
k≤4？
输出S
结束
k＝k＋1
S＝kS
是
否
(第12题)
频率/组距
0.1800
0.1000
0.0450
0.0275
O
95
93
99
97
103
101
105
长度
(第13题)
A
B
O
E
D
C
(第17题)
A
B
D
C
M
P
N
(第20题)
F
x
y
O
(第22题)
A
B
D
C
M
P
N
(第20题)
O
E