浙江省东阳市南马高中2012届高三下学期入学考试数学（理）试题

选择题部分 (共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 设P＝{y | y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y | y＝2x，x∈R}，则
(A) PQ (B) QP
(C) R PQ (D) Q R
(2) 已知i是虚数单位，则＝
(A) (B) (C) 3－i (D) 3＋i
(3) 若某程序框图如图所示，则输出的p的值是
(A) 21 (B) 26 (C) 30 (D) 55
(4) 若a，b都是实数，则“a－b＞0”是“a2－b2＞0”的
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
(5) 已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线
(A) 只有一条，不在平面α内 (B) 有无数条，不一定在平面α内
(C) 只有一条，且在平面α内 (D) 有无数条，一定在平面α内
(6) 若实数x，y满足不等式组 则x＋y的最小值是
(A) (B) 3 (C) 4 (D) 6
(7) 若(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a0＋a1＋a3＋a5＝
(A) 122 (B) 123 (C) 243 (D) 244
(8) 袋中共有8个球，其中3个红球、2个白球、3个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至多有1个红球的概率是
(A) (B)
(C) (D)
(9) 如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则·的值是
(A) －8 (B) －1 (C) 1 (D) 8
(10) 如图，有6个半径都为1的圆，其圆心分别为O1(0，0)，O2(2，0)，O3(4，0)，O4(0，2)，O5(2，2)，O6(4，2)．记集合M＝{⊙Oi｜i＝1，2，3，4，5，6}．若A，B为M的非空子集，且A中的任何一个圆与B中的任何一个圆均无公共点，则称 (A，B) 为一个“有序集合对”(当A≠B时，(A，B) 和 (B，A) 为不同的有序集合对)，那么M中 “有序集合对”(A，B) 的个数是
(A) 50 (B) 54 (C) 58 (D) 60
非选择题部分 (共100分)
二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。
(11) 若函数f (x)＝，则f (x)的定义域是 ．
(12) 若sin α＋cos α＝，则sin 2α＝ ．
(13) 若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，
则此几何体的体积是 cm3．
(14) 设随机变量X的分布列如下：
若数学期望E (X)＝10，则方差D (X)＝ ．
(15) 设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝1，an＝－SnSn－1 (n≥2)，则Sn＝ ．
(16) 若点P在曲线C1：上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则 | PQ |－| PR | 的最大值是 ．
(17) 已知圆心角为120° 的扇形AOB半径为，C为 中点．
点D，E分别在半径OA，OB上．若CD 2＋CE 2＋DE 2＝，则OD＋OE的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(18) (本题满分14分) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
tan (A＋B)＝2．
(Ⅰ) 求sin C的值；
(Ⅱ) 当a＝1，c＝时，求b的值．
(19) (本题满分14分) 设等差数列{an}的首项a1为a，前n项和为Sn．
(Ⅰ) 若S1，S2，S4成等比数列，求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ) 证明：n∈N*, Sn，Sn＋1，Sn＋2不构成等比数列．
(20) (本题满分15分) 四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，ABCE为菱形，
∠BAD＝120°，PA＝AB，G，F分别是线段CE，PB上的动点，且满足＝＝λ∈(0，1)．
(Ⅰ) 求证：FG∥平面PDC；
(Ⅱ) 求λ的值，使得二面角F－CD－G的平面角的正切值为．
(21) (本题满分15分) 如图，椭圆C: x 2＋3 y 2＝3b2 (b＞0).
(Ⅰ) 求椭圆C的离心率；
(Ⅱ) 若b＝1，A，B是椭圆C上两点，且 | AB | ＝，
求△AOB面积的最大值.
(22) (本题满分14分) 设函数f (x)＝ln x＋在 (0，) 内有极值．
(Ⅰ) 求实数a的取值范围；
(Ⅱ) 若x1∈(0，1)，x2∈(1，＋)．求证：f (x2)－f (x1)＞e＋2－．
注：e是自然对数的底数．
参考答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题5分, 满分50分。
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。
(11) (－，－1]∪[1,＋) (12) (13) 40 (14) 35
(15) (16) 10 (17)
三、解答题：本大题共5小题，共72分。
(19) 本题主要考查等差数列、等比数列的概念、等差数列的通项公式及前n项和的公式,同时考查反证法与推理论证能力。满分14分。
(Ⅰ) 解：设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na＋，
S1＝a，S2＝2a＋d，S4＝4a＋6d．由于S1，S2，S4成等比数列，因此
＝S1S4，即得d (2a－d)＝0．所以，d＝0或2a．
(1) 当d＝0时，an＝a；
(2) 当d＝2a时，an＝(2n－1)a． …………6分
(Ⅱ) 证明：采用反证法．不失一般性，不妨设对某个m∈N*，Sm，Sm＋1，Sm＋2构成等比数列，即．因此
a2＋mad＋m(m＋1)d2＝0， ①
(1) 当d＝0时，则a＝0，此时Sm＝Sm＋1＝Sm＋2＝0，与等比数列的定义矛盾；
(2) 当d≠0时，要使数列{an}的首项a存在，必有①中的Δ≥0．
然而
Δ＝(md)2－2m(m＋1)d2＝－(2m＋m2)d2＜0，矛盾．
综上所述，对任意正整数n，Sn，Sn＋1，Sn＋2都不构成等比数列． …………14分
方法一：
(Ⅰ) 证明：如图以点A为原点建立空间直角坐标系A－xyz，其中K为BC的中点，
不妨设PA＝2，则，，
，，，．
由，得
，，
，
设平面的法向量=(x，y，z)，则
，，
得
可取=(，1，2)，于是
，故，又因为FG平面PDC，即//平面．
…………6分
(Ⅱ) 解：，，
设平面的法向量，则，，
可取，又为平面的法向量．
由，因为tan＝，cos＝，
所以，解得或(舍去)，
故． …………15分
方法二：
(Ⅰ) 证明：延长交于，连，．
得平行四边形，则// ，
所以．
又，则，
所以//．
因为平面，平面，
所以//平面． …………6分
(21) 本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。
(Ⅰ)解：由x2＋3y2＝3b2 得 ，
所以e＝＝＝＝． …………5分
(Ⅱ)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△ABO的面积为S．
如果AB⊥x轴，由对称性不妨记A的坐标为(，)，此时S＝＝；
如果AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为y＝kx＋m，
由 得x2＋3(kx＋m) 2＝3，
即 (1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，又Δ＝36k2m2－4(1＋3k2) (3m2－3)＞0，
结合①，②得m2＝(1＋3k2)－．又原点O到直线AB的距离为，
所以S＝，
因此 S2＝＝[－]＝[－(－2)2＋１]
＝－(－2)2＋≤，
故S≤．当且仅当＝2，即k＝±1时上式取等号．又＞，故S max＝．
…………15分
(22) 本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查推理论证能力、抽象概括等综合解题能力和创新意识。满分14分。
(Ⅰ)解：或时，
．
由在内有解．令，
不妨设，则，所以 ，，
解得． …………6分
(Ⅱ)解:由或，
由,或，
得在内递增,在内递减,在内递减,在递增．
由，得，
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A，B相互独立，那么
P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n
次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
Pn(k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…，n)
台体的体积公式
V=
其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积，
h表示台体的高
柱体的体积公式
其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
锥体的体积公式
其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
球的表面积公式
S=4πR2
球的体积公式
其中R表示球的半径
开始
p＝1，n＝1
n＝n＋1
P＞20
输出p
结束
(第3题)
是
否
p＝p＋n2
A
B
O
C
(第9题)
x
O1
O2
O4
O5
O3
O6
y
(第10题)
正视图
俯视图
侧视图
2
4
2
3
4
(第13题)
X 0 5 10 20
P 0.1 α β 0.2
A
B
O
E
D
C
(第17题)
A
B
C
P
E
（第20题）
D
G
F
O
x
y
(第21题)
A
B
A
B
C
P
E
（第20题）
D
G
F
z
y
x
K
A
B
C
P
E
（第20题）
D
G
F
Q
M
N