浙江省东阳市南马高中2011-2012学年高二上学期入学考试数学试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1. 下列有关命题的说法正确的是（ ）
命题“若，则”的否命题为：“若，则”；
命题“，”的否定是“，”；
命题“若，则”的逆否命题是假命题 ；
已知，命题“若是奇数，则这两个数中一个为奇数，另一个为偶数”的逆命题为假命题.
2. 若点的坐标为，为抛物线的焦点，点是抛物线上的一动点，则取最小值时点的坐标为（ ）
3. 在棱长为的正方体中，分别是和的中点，那么异面直线与所成角的余弦值是（ ）
4.设P为双曲线上的一点且位于第一象限。若、为此双曲线的两个焦点，且，则的周长为 ( )
22 16 14 12
5. 是直线与直线垂直的（ ）
充分不必要条件 必要不充分条件
充分必要条件 既不充分也不必要条件
6. 在空间四边形中,，，，点在线段上，且,为的中点，则等于（ ）
7. 已知正方形的边长为，分别是、的中点，平面，且，则点到平面的距离为（ ）
8. 设抛物线的焦点为F，过点的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，=2，则BCF与ACF的面积之比=( )
2
9.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：）可得这个几何体的体积为（ ）
10. 过双曲线左顶点作斜率为的直线.若与双曲线两条渐近线分别相交于点，且是中点，则双曲线离心率为（ ）
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11.已知实数x、y满足：，则的最小值为 .
12．从正方体的八个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何体（或平面图形）的4个顶点，这些几何体（或平面图形）是__ ____（写出所有正确的结论的编号）
①矩形 ②不是矩形的平行四边形
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体
④每个面都是等边三角形的四面体
13.若圆锥侧面展开图是弧长为cm、半径为cm的扇形，则该圆锥的体积为 .
14. 过点且被点平分的双曲线的弦所在直线方程为 .
15. 如图，把椭圆的长轴分成等分，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于八个点，是椭圆的左焦点，则
.
三、解答题（本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.(本小题满分10分)设是实数，有下列两个命题：
空间两点与的距离.
抛物线上的点到其焦点的距离.
已知“”和“”都为假命题，求的取值范围.
17. (本小题满分10分)如图, 是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为.
(Ⅰ) 求二面角的余弦值；
(Ⅱ) 设是线段上的一个动点，问当的值为多少时，可使得平面，并证明你的结论.]
18．(本小题满分10分)设椭圆（）经过点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数.
（Ⅰ）求椭圆的方程；(注意椭圆的焦点在轴上哦！)
(Ⅱ) 动直线交椭圆于两点，求面积的最大值.
19. (本小题满分10分)如图, 在四棱锥中, 底面ABCD, 为直角, EF分别为PC、CD的中点．
（Ⅰ）试证：平面BEF；
（Ⅱ）设, 且二面角 的平面角大于30°, 求k的取值范围．
20．(本小题满分10分) 如图，椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合，过作与轴垂直的直线与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围．
参考答案
一、选择题
二、填空题
11.
12．1,3,4
13.
14.3X+4Y-5=0
15.40
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.(本小题满分12分)
设是实数，有下列两个命题：
空间两点与的距离.
抛物线上的点到其焦点的距离.
已知“”和“”都为假命题，求的取值范围.
17. (本小题满分12分)
如图, 是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为.
(Ⅰ) 求二面角的余弦值；
(Ⅱ) 设是线段上的一个动点，问当的值为多少时，可使得平面，并证明你的结论.
17. (Ⅰ) 因为平面，
所以. 因为是正方形，
所以,从而平面.
所以两两垂直，以为原点，分
别为轴建立空间直角坐标系如图所示.
因为与平面所成角为，即， 所以.
由可知，.
则，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则.
因为平面，所以为平面的法向量，，
所以.
19.(本小题满分12分)
设椭圆（）经过点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数.
（Ⅰ）求椭圆的方程；(注意椭圆的焦点在轴上哦！)
(Ⅱ) 动直线交椭圆于两点，求面积的最大值.
19. （Ⅰ）双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为，由已知，得， ，所求椭圆M的方程为 ．
…………………4分
当且仅当取等号.
∴. …………………12分
18．(本小题满分14分)
如图, 在四棱锥中, 底面ABCD, 为直角, EF分别为PC、CD的中点．
（Ⅰ）试证：平面BEF；
（Ⅱ）设, 且二面角
的平面角大于30°, 求k的取值范围．
18．(本小题满分14分) 解法一：
（Ⅰ）证：由已知且∠DAB为直角，故ABFD是矩形，从而CD⊥BF.
又PA⊥底面ABCD, CD⊥AD, 故由三垂线定理知CD⊥PD. 在△PDC中, E、F分
别为PC、CD的中点，故EF//PD，从而CD⊥EF，由此得CD⊥面BEF.
（Ⅱ）连接AC交BF于G，易知G为AC的中点，连接
EG，则在△PAC中易知EG//PA，又因
PA⊥底面ABCD，故EG⊥底面ABCD. 在底
面ABCD中，过G作GH⊥BD，垂足为H，连接
EH，由三垂线定理知EH⊥BD. 从而∠EHG为
二面角E—BD—C的平面角.
设AB=A，则在△PAC中，有
由k>0知∠EHG是锐角，故要使∠EHG>30°，必须
解之得，k的取值范围为
解法二：
（Ⅰ）如图，以A为原点, AB所在直线为x轴, AD所在直线为y轴, AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设AB=a，则易知点A，B，C，D，F的坐标分别为
A（0，0，0），B（a，0，0），C（2a，2a，0），
D（0，2a，0），F（a，2a，0）
从而，
设PA=B，则P（0，0，b），而E为PC中点，故
. 从而
由此得CD⊥面BEF.
又因，且的方向相同，故，即
②
由①②解得. 从而.
由k>0知∠EHG是锐角，由∠EHG>30°，得，即
故k的取值范围为
20．(本小题满分15分) 如图，椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合，过作与轴垂直的直线与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围．
20．(本小题满分15分) 解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点．
所以椭圆的方程为：．
解方程组 得C（1，2），D（1，-2）． 由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，
∴，， ∴ ． …………2分
因此，，解得并推得．
故椭圆的方程为 ． …………5分
（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在.
设：，，，，
由得.
∵点在椭圆上，∴，
∴∴，…………12分
∴或，
∴实数取值范围为.…………15分
A
B
C
D
F
E
y
B
C
A
E
z
D
F
x
M