宿州市2012年学业水平测试复习学案（必修一）
文档属性
| 名称 | 宿州市2012年学业水平测试复习学案（必修一） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 398.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-03-07 15:24:14 | ||
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文档简介
宿州市2011——2012届学业水平测试复习资料
必修1 集合与函数
§1.1 集合
一、知识点梳理
（一）集合中相关概念
1.集合 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。
例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。
2.集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，分别表示有理数集和正实数集。
3．子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为，例如。如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。包含两个意思：①A与B相等 、②A是B的真子集。规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
4. 交集，
5. 并集，
6. 补集，若称为A在I中的补集。
（二）对集合中元素三大性质的理解
（1）确定性 集合中的元素，必须是确定的．对于集合和元素，要么，要么，二者必居其一．比如：“所有大于100的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的．而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的．再如，“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合．
（2）互异性 对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素．如：由，组成一个集合，则的取值不能是或1．
（3）无序性 集合中的元素的次序无先后之分．如：由组成一个集合，也可以写成组成一个集合，它们都表示同一个集合．
二、集合中常用方法总结
（1）注意与的区别．是集合的一个元素，而是含有一个元素的集合，二者的关系是．
（2）注意与的区别．是不含任何元素的集合，而是含有元素的集合．
（3）用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义．例如：
集合中的元素是，这个集合表示二元方程的解集，或者理解为曲线上的点组成的点集；
集合中的元素是，这个集合表示函数中自变量的取值范围；
集合中的元素是，这个集合表示函数中函数值的取值范围；
（4）集合运算常用工具：数轴、韦恩图
（5）常见结论：
①
②
③
④当集合中有n个元素时，有2n个子集，有2n-1个真子集，有2n-2个非空真子集。
三、例题评析
例1 已知，，求．
例2 若，
，且，试求实数．
例3 已知集合
若，求实数a的值；
若，求实数a的取值范围。
四、巩固练习
（一）选择题：
1．下列不属于集合中元素的特性的是 （ ）
A．确定性 B．真实性 C．互异性 D．无序性
2.已知集合则等于 （ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
3. 已知集合则下列结论正确的是 （ ）
Ａ. Ｂ.
Ｃ. Ｄ.
4.已知集合，，则等于 （ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
5.下列能表示图形中阴影部分的是 （ ）
Ａ. Ｂ.
Ｃ. Ｄ.
6．下列六个关系式：① ② ③ ④
⑤ ⑥ 其中正确的个数为( )
A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个
7.已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有
A. 3个 B. 2个
C. 1个 D. 无穷多个
8.集合,,若,则的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.4
9.若集合则A∩B是 ( )（A） (B)
（C） (D)
10．已知集合，，且，则的值为 （ ）
A．1 B．—1 C．1或—1 D．1或—1或0
11．设集合，，，若，则 （ ）
A． B． C ． D．
12．设＝{1，2，3，4,5} ，若＝{2}，，，则下列结论正确的是 （ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
13． 设为全集，为非空集合，且,下面结论中不正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
14．下列四个集合中，是空集的是 （ ）
A． B．
C． D．
15．设全集，，，那么∩= （ ）
A． B．{（2，3）} C ．（2，3） D．
16．下列关系正确的是 （ ）
A． B．=
C． D．=
17．已知，，且，则a的值A．1或2 B．2或4 C．2 D．1
18．下列命题之中，U为全集时，不正确的是 （ ）
A．若= ，则 B．若= ，则= 或=
C．若= ，则 D．若= ，则
（二）填空题：
19．.用适当的符号填空：
①π___; ②{3.14}____; ③∪R+_____R; ④{x|x=2k+1, k∈Z}___{x|x=2k－1, k∈Z}。
20已知集合A={} 用列举法表示集合A= 。
21已知全集U＝｛2，4，1－a｝，A＝｛2，a2－a＋2｝如果，那么a的值为____.
22已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N=
（三）解答题：
23设全集 U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，A = {3，4，5} B = {4，7，8},
求：（CU A）∩(CU B), (CU A)∪(CU B), CU(A∪B), CU (A∩B).
24已知集合,
（1）当a=3时，求，；
（2）若，求实数a的取值范围。
25、设A={x∣} ,B={x∣},A≠B,A∪B={﹣3,4},
A∩B={﹣3} ，求p,q,r的值。
§1.2 函数概念及其表示
一、知识点梳理
（一）映射
1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的 元素，在集合B中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 . ( http: / / www.21cnjy.com / )2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的 叫做象， 叫做原象。
（二）函数 ( http: / / www.21cnjy.com / )1．定义：设A、B是 ，f:A→B是从A到B的一个映射，则映射f:A→B叫做A到B的 ，记作 .
2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。 ( http: / / www.21cnjy.com / )3．函数的表示法有 、 、 。
（三）定义域：
1．函数的定义域就是使函数式 的集合. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．常见的三种题型确定定义域：
①. 求定义域的主要依据是：整式函数实全体；分式分母_____；偶次根式被开方数为_______；对数的真数_______；实际问题具体分析，要符合_________.
②.复合函数的定义域：已知f(x)的定义域是，求f[g(x)]的定义域，就是求满足不等式_________________的 x的集合；
已知f[g(x)]的定义域是，求f(x)的定义域，就是求g(x) 在上的值域。
（四）值域：
1．函数y＝f (x)中，与自变量x的值 的集合. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法）
例如：① 形如y＝，可采用 法；② y＝，可采用 法或 法；③ y＝a[f (x)]2＋bf (x)＋c，可采用 法；④ y＝x－，可采用 法；⑤ y＝x－，可采用 法；⑥ y＝可采用 法等.
注：由于值域取决于定义域和对应法则，所以不论采取什么方法求值域，都要考虑定义域。
二、例题评析
例1. 定义在上的函数满足（），，则等于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
例2.．函数对于任意实数满足条件，若则_______________。
例3．求下列函数的定义域：
（1）y=+(x-1)0 ; (2)y=+(5x-4)0; (3)y=+lgcosx;
例4．求下列函数的值域：
（1）y= (2)y=x-; (3)y=.
三、巩固练习
（一）选择题：
1.设函数则的值为（ ）
A． B． C． D．
2.图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）
(A) (0≤x≤2) (B) (0≤x≤2)
(C) (0≤x≤2) (D) (0≤x≤2)
3．设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素，则在映射f下，象20的原象是（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
4．若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
5． 函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
6.函数的值域是 （ ）
A． B. C. D.
（二）填空题：
7．已知函数，分别由下表给出
则的值为 ；当时， ．
8 .已知函数f(x)＝，那么f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()＝_______
9.已知，则的值等于________．
10.函数的定义域为 _________________ ．
（三）解答题：
11．设函数的定义域为集合M，函数的定义域为集合N．求：（1）集合M，N； （2）集合，．
12．函数f(x)=的定义域为A, g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为B. (1) 求集合A；
(2) 若BA, 求实数a的取值范围.
13.已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6 (x∈R).
（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a的值；
（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域.
1.3 函数的单调性与奇偶性
一、知识点梳理
1.函数的单调性：设函数f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值,当时，都有____________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值,当时，都有____________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）__________，区间D叫做函数y=f(x)的____________.
注：函数在区间D上是连续且单调递增（或递减）的区间D上的任意两个自变量的值,当时，都有（或）函数的导数（或）。
2．判断单调性的方法：
(1) 定义法，其步骤为：① ；② ；③ .
(2) 导数法，若函数y＝f (x)在定义域内的某个区间上可导，①若 ，则f (x)在这个区间上是增函数；②若 ，则f (x)在这个区间上是减函数.
3、单调性的有关结论
（1）若f (x), g(x)均为增(减)函数，则f (x)＋g(x) 函数；
（2）若f (x)为增(减)函数，则－f (x)为 ；
（3）互为反函数的两个函数有 的单调性；
（4）复合函数y＝f [g(x)]是定义在M上的函数，若f (x)与g(x)的单调相同，则f [g(x)]为 ，若f (x), g(x)的单调性相反，则f [g(x)]为 .
（5）奇函数在其对称区间上的单调性 ，偶函数在其对称区间上的单调性 .
4. 函数的奇偶性：如果对于函数的定义域内任意一个x都有______________________,那么函数f(x)就叫做奇函数，奇函数的图像关于_______对称；如果对于函数的定义域内任意一个x都有___________,那么函数f(x)就叫做偶函数，偶函数的图像关于_______对称。 当函数是奇函数或偶函数时，称函数具有________性。
注1．函数具备奇偶性的前提是其定义域关于原点对称；
2．奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反
3．若f(x)是奇函数，且f(0)有意义，则必定有f(0)=________。
二、例题评析
例1．若函数分别是上的奇函数和偶函数，且满足, 则有
A． B．
C． D．
例2．对于函数①，②，③，判断如下两个命题的真假：命题甲：是偶函数；
命题乙：在上是减函数，在上是增函数；
能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ）
Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③
例3．若f(x)=-x2+2ax与在区间[1,2]上都是减函数，则a的值范围是（ ）
A． B． C．（0，1） D．
例4．已知f(x)是偶函数，而且在(0,+)上是减函数．判断f(x)在(–,0)上是增函数还是减函数，并加以证明。
例5. 判断函数f(x)=在定义域上的单调性.
三、巩固练习
（一）选择题：
1．若函数为偶函数，则a=（ ）
A． B． C． D．
2．函数的图像关于（ ）
A．轴对称 B． 直线对称 C． 坐标原点对称 D． 直线对称
3.已知f(x)为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是（ ）
A.(-，1) B.(1，+) C.(-,0)(0,1) D. (-,0)(1,+)
4.已知定义域为R的函数f(x)在上为减函数,且y=f(x+8)函数为偶函数,则( )
A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)
5．设是上的任意函数，下列叙述正确的是（ ）
Ａ．是奇函数 Ｂ．是奇函数
Ｃ．是偶函数 Ｄ．是偶函数
6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
7．函数和的递增区间依次是( )
A． B． C． D
8．若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式 ．
9.设奇函数在上为增函数，且，则不等式
的解集为（ ）
A. B.
C. D.
（三）解答题：
10．设是R上的偶函数．
（Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．
11：求函数y=（4x-x2）的单调区间.
12．在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x（x＞0）台的收入函数为R（x）=3 000x-20x2 (单位：元)，其成本函数为C（x）=500x+4 000（单位：元），利润是收入与成本之差.
（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；
（2）利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）是否具有相同的最大值？
§1.4 二次函数 幂函数 函数与方程
一、知识点梳理
1.函数f(x)=叫做_____________函数,它的图像是_____________.
2. 二次函数y=通过配方可以得到它的恒等形式y=a(x+____)2+_______。二次函数f(x)=图像的对称轴方程是__________,顶点坐标是________.
当a>0时，图像开口______，f(x)在___________上是减函数，在___________上是增函数；当x=_______时，函数取得最_____值___________
当a<0时，图像开口______，f(x)在_________上是减少的，在_________上是增加的；
当x=_______时，函数取得最_____值___________
3. 幂函数的概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量，
是常数；
注意：幂函数与指数函数的区别．
4.幂函数的性质：
（1）幂函数的图象都过点 ；
（2）当时，幂函数在上 ；
当时，幂函数在上 ；
（3）当时，幂函数分别是 ；
当时，幂函数分别是 ．
5. 函数的零点：
①概念：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。
②判断：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。
如果函数在区间内有零点，并不意味就一定有。
二、例题评析
例1.设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
例2.已知函数f(x)=x2+2x+a， f(bx)=9x2-6x+2,其中x∈R，a,b为常数，则方程f(ax+b)=0的解集为 .
例3．在函数中，若a，b，c成等比数列且，
则有最______________值（填“大”或“小”），且该值为______________
例4.已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12. 求的解析式；
三、巩固练习
（一）选择题：
1．函数的最大值是( )
A． B． C． D．
2．已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a＞0)。若x1＜x2，x1＋x2=0，则（ ）
A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)=f(x2) C．f(x1)3．已知函数，，若对于任一实数，
与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．设函数若f(-4)=f(0),f(-2)=-2, 则关于x的
方程的解的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
（二）填空题：
5．方程的实数解的个数为 .
6.函数（）的最大值为 .
7．已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则t= _ ．
8．设函数，，，则 ．
9．设函数则实数a的取值范围是 ．
（三）解答题：
10．某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
§1.5 指对数和指对数函数
一、知识点梳理
1．指数的定义：形如叫做指数（其中
2．指数的性质（如右图）：
3．指数函数性质：（1），定义域R，值域为（）.
①当，指数函数：在定义域上为增函数；
②当，指数函数：在定义域上为减函数.
⑵当时，的值越大，其图像越靠近轴；
当时，的值越小，其图像越靠近轴.
4．对数的定义：如果的次幂等于，就是，数就叫做以为底的的对数，记作 ，负数和零没有对数）；其中叫底数，叫真数.
5．对数运算性质：
6．对数函数性质：
（1）（），定义域（），值域为R.
①当，指数函数：在定义域上为增函数；
②当，指数函数：在定义域上为减函数.
（2）当时，的值越大，其图像越靠近轴；
当时，的值越小大，其图像越靠近轴.
7．（）与互为反函数.
二、基本方法总结
1、对和的单调性要注意的两种情况。
2、比较两个幂大小时，化成同底或同指。
3、比较对数大小时，化成同底（或找中间量）。
三、例题评析
例1.化简下列各式（其中各字母均为正数）:
（1）
（2）
例2、 计算：（1）
（2)2()2+·+;
例3、若在［2，+∞）上恒有)＞1,则实数a的取值范围是 ．
例4、已知=.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）证明：是定义域内的增函数；
（3）求的值域.
四、巩固练习
（一）选择题：
1．使不等式成立的的取值范围是( )
A. B.
C. D..
2．下列各式错误的是 ( )
A. B.
C. D.
3． 能使不等式成立的自变量的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
4．已知函数 ,则其反函数是（ ）
A. B. C. D.
5．函数的图象为（ ）
6．若，在区间上函数是（ ）
A 增函数且 B 增函数且
C 减函数 D 减函数且
7．下列函数中是奇函数的是（ ）
A B
C D
（二）填空题：
8． 若曲线与直线没有公共点，则的取值范围是 ．
9．函数的递增区间是 ．
10．设a＞1,函数在区间［a,2a］上的最大值与最小值之差为，则a= ．
（三）解答题：
11．函数是偶函数.（1）试确定的值,及此时的函数解析式;
（2）证明函数在区间上是减函数;
（3）当时求函数的值域
12.已知函数 (a＞0,且a≠1，b＞0).
（1）求的定义域；
（2）讨论的奇偶性；
（3）讨论的单调性.
§1.6 函数的图象
一、知识点梳理
（一）基本函数图象特征（作出草图）
1．一次函数为 ；
2．二次函数为 ；
3．反比例函数为 ；
4．指数函数为 ，对数函数为 .
（二）函数图象变换
1．平移变换：①水平变换：y＝f(x)→y＝f(x－a) (a>0)
y＝f(x)→y＝f(x＋a) (a>0)
②竖直变换：y＝f(x)→y＝f(x)＋b (b>0)
y＝f(x)→y＝f(x)－b (b>0)
2．对称变换：
① y＝f(－x)与y＝f(x)关于 对称
② y＝－f(x)与y＝f(x)关于 对称
③ y＝－f(－x)与y＝f(x)关于 对称[]
④ y＝f -1(x)与y＝f(x)关于 对称
⑤ y＝|f(x)|的图象是将y＝f(x)图象的
⑥ y＝f(|x|)的图象是将y＝f(x)图象的
3．伸缩变换：
① y＝Af (x) (A>0)的图象是将y＝f(x)的图象的 .
② y＝f (ax) (a>0)的图象是将y＝f(x)的图象的 .
4．若对于定义域内的任意x，若f (a－x)＝f (a＋x) (或f (x)＝f (2a－x))，则f (x)关于 对称，若f (a－x)＋f (a＋x)＝2b (或f (x)＋f (2a－x)＝2b)，则f (x)关于 对称.
二、例题评析
例1 作出下列函数的图象.
（1）y=(lgx+|lgx|); （2）y=; （3）y=|x|.
变式训练1：作出下列各个函数的图象：（1）y=2-2x； （2）y=|log（1-x）|；
（3）y=.
例2 函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是 （ ）
变式训练2：设a＞1,实数x,y满足|x|-loga=0,则y关于x的函数的图象形状大致是 ( )
例3设函数f(x)=x2-2|x|-1 (-3≤x≤3).
（1）证明：f(x)是偶函数；
（2）画出函数的图象；
（3）指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；
（4）求函数的值域.
变式训练3：当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2＜logax恒成立,则a的取值范围为 .
三、归纳总结
1．作函数图象的基本方法是：
① 讨论函数的定义域及函数的奇偶性和单调性；
② 考虑是否可由基本初等函数的图象变换作出图象；
③ 准确描出关键的点线(如图象与x、y轴的交点，极值点(顶点)，对称轴，渐近线，等等).
2．图象对称性证明需归结为任意点的对称性证明.
3．注意分清是一个函数自身是对称图形，还是两个不同的函数图象对称.
§1.6 函数模型及其应用
一、知识点梳理
1．抽象概括：研究实际问题中量，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；
2．建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；
3．求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.
这些步骤用框图表示是：
二、例题评析
例1. 某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值.
例2. 据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度
v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴
的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）.（1）当t=4时，求s的值；
（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这
场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将
侵袭到N城？如果不会，请说明理由.
变式训练2：某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，
需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x-（万元）(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量（单位：百台）.
（1）把利润表示为年产量的函数；
（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？
（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？
例3. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨.
（1）求y关于x的函数；
（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.
变式训练3：1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.
（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？
（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？
以下数据供计算时使用：
数N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000
对数lgN 0.004 3 0.006 5 0.007 3 0.117 3 0.301 0
数N 3.000 5.000 12.48 13.11 13.78
对数lgN 0.477 1 0.699 0 1.096 2 1.117 6 1.139 2
三、归纳总结
解决函数应用问题应着重注意以下几点：
1．阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；
2．建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，不要忘记考察函数的定义域；
3．求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值等，注意发挥函数图象的作用.
4．还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论，作出回答.
A
B
C
实际问题
函数模型
抽象概括
实际问题的解
函数模型的解
还原说明
运用函数的性质
必修1 集合与函数
§1.1 集合
一、知识点梳理
（一）集合中相关概念
1.集合 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。
例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。
2.集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，分别表示有理数集和正实数集。
3．子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为，例如。如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。包含两个意思：①A与B相等 、②A是B的真子集。规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
4. 交集，
5. 并集，
6. 补集，若称为A在I中的补集。
（二）对集合中元素三大性质的理解
（1）确定性 集合中的元素，必须是确定的．对于集合和元素，要么，要么，二者必居其一．比如：“所有大于100的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的．而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的．再如，“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合．
（2）互异性 对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素．如：由，组成一个集合，则的取值不能是或1．
（3）无序性 集合中的元素的次序无先后之分．如：由组成一个集合，也可以写成组成一个集合，它们都表示同一个集合．
二、集合中常用方法总结
（1）注意与的区别．是集合的一个元素，而是含有一个元素的集合，二者的关系是．
（2）注意与的区别．是不含任何元素的集合，而是含有元素的集合．
（3）用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义．例如：
集合中的元素是，这个集合表示二元方程的解集，或者理解为曲线上的点组成的点集；
集合中的元素是，这个集合表示函数中自变量的取值范围；
集合中的元素是，这个集合表示函数中函数值的取值范围；
（4）集合运算常用工具：数轴、韦恩图
（5）常见结论：
①
②
③
④当集合中有n个元素时，有2n个子集，有2n-1个真子集，有2n-2个非空真子集。
三、例题评析
例1 已知，，求．
例2 若，
，且，试求实数．
例3 已知集合
若，求实数a的值；
若，求实数a的取值范围。
四、巩固练习
（一）选择题：
1．下列不属于集合中元素的特性的是 （ ）
A．确定性 B．真实性 C．互异性 D．无序性
2.已知集合则等于 （ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
3. 已知集合则下列结论正确的是 （ ）
Ａ. Ｂ.
Ｃ. Ｄ.
4.已知集合，，则等于 （ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
5.下列能表示图形中阴影部分的是 （ ）
Ａ. Ｂ.
Ｃ. Ｄ.
6．下列六个关系式：① ② ③ ④
⑤ ⑥ 其中正确的个数为( )
A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个
7.已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有
A. 3个 B. 2个
C. 1个 D. 无穷多个
8.集合,,若,则的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.4
9.若集合则A∩B是 ( )（A） (B)
（C） (D)
10．已知集合，，且，则的值为 （ ）
A．1 B．—1 C．1或—1 D．1或—1或0
11．设集合，，，若，则 （ ）
A． B． C ． D．
12．设＝{1，2，3，4,5} ，若＝{2}，，，则下列结论正确的是 （ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
13． 设为全集，为非空集合，且,下面结论中不正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
14．下列四个集合中，是空集的是 （ ）
A． B．
C． D．
15．设全集，，，那么∩= （ ）
A． B．{（2，3）} C ．（2，3） D．
16．下列关系正确的是 （ ）
A． B．=
C． D．=
17．已知，，且，则a的值A．1或2 B．2或4 C．2 D．1
18．下列命题之中，U为全集时，不正确的是 （ ）
A．若= ，则 B．若= ，则= 或=
C．若= ，则 D．若= ，则
（二）填空题：
19．.用适当的符号填空：
①π___; ②{3.14}____; ③∪R+_____R; ④{x|x=2k+1, k∈Z}___{x|x=2k－1, k∈Z}。
20已知集合A={} 用列举法表示集合A= 。
21已知全集U＝｛2，4，1－a｝，A＝｛2，a2－a＋2｝如果，那么a的值为____.
22已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N=
（三）解答题：
23设全集 U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，A = {3，4，5} B = {4，7，8},
求：（CU A）∩(CU B), (CU A)∪(CU B), CU(A∪B), CU (A∩B).
24已知集合,
（1）当a=3时，求，；
（2）若，求实数a的取值范围。
25、设A={x∣} ,B={x∣},A≠B,A∪B={﹣3,4},
A∩B={﹣3} ，求p,q,r的值。
§1.2 函数概念及其表示
一、知识点梳理
（一）映射
1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的 元素，在集合B中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 . ( http: / / www.21cnjy.com / )2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的 叫做象， 叫做原象。
（二）函数 ( http: / / www.21cnjy.com / )1．定义：设A、B是 ，f:A→B是从A到B的一个映射，则映射f:A→B叫做A到B的 ，记作 .
2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。 ( http: / / www.21cnjy.com / )3．函数的表示法有 、 、 。
（三）定义域：
1．函数的定义域就是使函数式 的集合. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．常见的三种题型确定定义域：
①. 求定义域的主要依据是：整式函数实全体；分式分母_____；偶次根式被开方数为_______；对数的真数_______；实际问题具体分析，要符合_________.
②.复合函数的定义域：已知f(x)的定义域是，求f[g(x)]的定义域，就是求满足不等式_________________的 x的集合；
已知f[g(x)]的定义域是，求f(x)的定义域，就是求g(x) 在上的值域。
（四）值域：
1．函数y＝f (x)中，与自变量x的值 的集合. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法）
例如：① 形如y＝，可采用 法；② y＝，可采用 法或 法；③ y＝a[f (x)]2＋bf (x)＋c，可采用 法；④ y＝x－，可采用 法；⑤ y＝x－，可采用 法；⑥ y＝可采用 法等.
注：由于值域取决于定义域和对应法则，所以不论采取什么方法求值域，都要考虑定义域。
二、例题评析
例1. 定义在上的函数满足（），，则等于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
例2.．函数对于任意实数满足条件，若则_______________。
例3．求下列函数的定义域：
（1）y=+(x-1)0 ; (2)y=+(5x-4)0; (3)y=+lgcosx;
例4．求下列函数的值域：
（1）y= (2)y=x-; (3)y=.
三、巩固练习
（一）选择题：
1.设函数则的值为（ ）
A． B． C． D．
2.图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）
(A) (0≤x≤2) (B) (0≤x≤2)
(C) (0≤x≤2) (D) (0≤x≤2)
3．设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素，则在映射f下，象20的原象是（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
4．若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
5． 函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
6.函数的值域是 （ ）
A． B. C. D.
（二）填空题：
7．已知函数，分别由下表给出
则的值为 ；当时， ．
8 .已知函数f(x)＝，那么f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()＝_______
9.已知，则的值等于________．
10.函数的定义域为 _________________ ．
（三）解答题：
11．设函数的定义域为集合M，函数的定义域为集合N．求：（1）集合M，N； （2）集合，．
12．函数f(x)=的定义域为A, g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为B. (1) 求集合A；
(2) 若BA, 求实数a的取值范围.
13.已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6 (x∈R).
（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a的值；
（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域.
1.3 函数的单调性与奇偶性
一、知识点梳理
1.函数的单调性：设函数f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值,当时，都有____________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值,当时，都有____________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）__________，区间D叫做函数y=f(x)的____________.
注：函数在区间D上是连续且单调递增（或递减）的区间D上的任意两个自变量的值,当时，都有（或）函数的导数（或）。
2．判断单调性的方法：
(1) 定义法，其步骤为：① ；② ；③ .
(2) 导数法，若函数y＝f (x)在定义域内的某个区间上可导，①若 ，则f (x)在这个区间上是增函数；②若 ，则f (x)在这个区间上是减函数.
3、单调性的有关结论
（1）若f (x), g(x)均为增(减)函数，则f (x)＋g(x) 函数；
（2）若f (x)为增(减)函数，则－f (x)为 ；
（3）互为反函数的两个函数有 的单调性；
（4）复合函数y＝f [g(x)]是定义在M上的函数，若f (x)与g(x)的单调相同，则f [g(x)]为 ，若f (x), g(x)的单调性相反，则f [g(x)]为 .
（5）奇函数在其对称区间上的单调性 ，偶函数在其对称区间上的单调性 .
4. 函数的奇偶性：如果对于函数的定义域内任意一个x都有______________________,那么函数f(x)就叫做奇函数，奇函数的图像关于_______对称；如果对于函数的定义域内任意一个x都有___________,那么函数f(x)就叫做偶函数，偶函数的图像关于_______对称。 当函数是奇函数或偶函数时，称函数具有________性。
注1．函数具备奇偶性的前提是其定义域关于原点对称；
2．奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反
3．若f(x)是奇函数，且f(0)有意义，则必定有f(0)=________。
二、例题评析
例1．若函数分别是上的奇函数和偶函数，且满足, 则有
A． B．
C． D．
例2．对于函数①，②，③，判断如下两个命题的真假：命题甲：是偶函数；
命题乙：在上是减函数，在上是增函数；
能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ）
Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③
例3．若f(x)=-x2+2ax与在区间[1,2]上都是减函数，则a的值范围是（ ）
A． B． C．（0，1） D．
例4．已知f(x)是偶函数，而且在(0,+)上是减函数．判断f(x)在(–,0)上是增函数还是减函数，并加以证明。
例5. 判断函数f(x)=在定义域上的单调性.
三、巩固练习
（一）选择题：
1．若函数为偶函数，则a=（ ）
A． B． C． D．
2．函数的图像关于（ ）
A．轴对称 B． 直线对称 C． 坐标原点对称 D． 直线对称
3.已知f(x)为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是（ ）
A.(-，1) B.(1，+) C.(-,0)(0,1) D. (-,0)(1,+)
4.已知定义域为R的函数f(x)在上为减函数,且y=f(x+8)函数为偶函数,则( )
A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)
5．设是上的任意函数，下列叙述正确的是（ ）
Ａ．是奇函数 Ｂ．是奇函数
Ｃ．是偶函数 Ｄ．是偶函数
6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
7．函数和的递增区间依次是( )
A． B． C． D
8．若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式 ．
9.设奇函数在上为增函数，且，则不等式
的解集为（ ）
A. B.
C. D.
（三）解答题：
10．设是R上的偶函数．
（Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．
11：求函数y=（4x-x2）的单调区间.
12．在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x（x＞0）台的收入函数为R（x）=3 000x-20x2 (单位：元)，其成本函数为C（x）=500x+4 000（单位：元），利润是收入与成本之差.
（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；
（2）利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）是否具有相同的最大值？
§1.4 二次函数 幂函数 函数与方程
一、知识点梳理
1.函数f(x)=叫做_____________函数,它的图像是_____________.
2. 二次函数y=通过配方可以得到它的恒等形式y=a(x+____)2+_______。二次函数f(x)=图像的对称轴方程是__________,顶点坐标是________.
当a>0时，图像开口______，f(x)在___________上是减函数，在___________上是增函数；当x=_______时，函数取得最_____值___________
当a<0时，图像开口______，f(x)在_________上是减少的，在_________上是增加的；
当x=_______时，函数取得最_____值___________
3. 幂函数的概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量，
是常数；
注意：幂函数与指数函数的区别．
4.幂函数的性质：
（1）幂函数的图象都过点 ；
（2）当时，幂函数在上 ；
当时，幂函数在上 ；
（3）当时，幂函数分别是 ；
当时，幂函数分别是 ．
5. 函数的零点：
①概念：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。
②判断：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。
如果函数在区间内有零点，并不意味就一定有。
二、例题评析
例1.设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
例2.已知函数f(x)=x2+2x+a， f(bx)=9x2-6x+2,其中x∈R，a,b为常数，则方程f(ax+b)=0的解集为 .
例3．在函数中，若a，b，c成等比数列且，
则有最______________值（填“大”或“小”），且该值为______________
例4.已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12. 求的解析式；
三、巩固练习
（一）选择题：
1．函数的最大值是( )
A． B． C． D．
2．已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a＞0)。若x1＜x2，x1＋x2=0，则（ ）
A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)=f(x2) C．f(x1)
与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．设函数若f(-4)=f(0),f(-2)=-2, 则关于x的
方程的解的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
（二）填空题：
5．方程的实数解的个数为 .
6.函数（）的最大值为 .
7．已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则t= _ ．
8．设函数，，，则 ．
9．设函数则实数a的取值范围是 ．
（三）解答题：
10．某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
§1.5 指对数和指对数函数
一、知识点梳理
1．指数的定义：形如叫做指数（其中
2．指数的性质（如右图）：
3．指数函数性质：（1），定义域R，值域为（）.
①当，指数函数：在定义域上为增函数；
②当，指数函数：在定义域上为减函数.
⑵当时，的值越大，其图像越靠近轴；
当时，的值越小，其图像越靠近轴.
4．对数的定义：如果的次幂等于，就是，数就叫做以为底的的对数，记作 ，负数和零没有对数）；其中叫底数，叫真数.
5．对数运算性质：
6．对数函数性质：
（1）（），定义域（），值域为R.
①当，指数函数：在定义域上为增函数；
②当，指数函数：在定义域上为减函数.
（2）当时，的值越大，其图像越靠近轴；
当时，的值越小大，其图像越靠近轴.
7．（）与互为反函数.
二、基本方法总结
1、对和的单调性要注意的两种情况。
2、比较两个幂大小时，化成同底或同指。
3、比较对数大小时，化成同底（或找中间量）。
三、例题评析
例1.化简下列各式（其中各字母均为正数）:
（1）
（2）
例2、 计算：（1）
（2)2()2+·+;
例3、若在［2，+∞）上恒有)＞1,则实数a的取值范围是 ．
例4、已知=.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）证明：是定义域内的增函数；
（3）求的值域.
四、巩固练习
（一）选择题：
1．使不等式成立的的取值范围是( )
A. B.
C. D..
2．下列各式错误的是 ( )
A. B.
C. D.
3． 能使不等式成立的自变量的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
4．已知函数 ,则其反函数是（ ）
A. B. C. D.
5．函数的图象为（ ）
6．若，在区间上函数是（ ）
A 增函数且 B 增函数且
C 减函数 D 减函数且
7．下列函数中是奇函数的是（ ）
A B
C D
（二）填空题：
8． 若曲线与直线没有公共点，则的取值范围是 ．
9．函数的递增区间是 ．
10．设a＞1,函数在区间［a,2a］上的最大值与最小值之差为，则a= ．
（三）解答题：
11．函数是偶函数.（1）试确定的值,及此时的函数解析式;
（2）证明函数在区间上是减函数;
（3）当时求函数的值域
12.已知函数 (a＞0,且a≠1，b＞0).
（1）求的定义域；
（2）讨论的奇偶性；
（3）讨论的单调性.
§1.6 函数的图象
一、知识点梳理
（一）基本函数图象特征（作出草图）
1．一次函数为 ；
2．二次函数为 ；
3．反比例函数为 ；
4．指数函数为 ，对数函数为 .
（二）函数图象变换
1．平移变换：①水平变换：y＝f(x)→y＝f(x－a) (a>0)
y＝f(x)→y＝f(x＋a) (a>0)
②竖直变换：y＝f(x)→y＝f(x)＋b (b>0)
y＝f(x)→y＝f(x)－b (b>0)
2．对称变换：
① y＝f(－x)与y＝f(x)关于 对称
② y＝－f(x)与y＝f(x)关于 对称
③ y＝－f(－x)与y＝f(x)关于 对称[]
④ y＝f -1(x)与y＝f(x)关于 对称
⑤ y＝|f(x)|的图象是将y＝f(x)图象的
⑥ y＝f(|x|)的图象是将y＝f(x)图象的
3．伸缩变换：
① y＝Af (x) (A>0)的图象是将y＝f(x)的图象的 .
② y＝f (ax) (a>0)的图象是将y＝f(x)的图象的 .
4．若对于定义域内的任意x，若f (a－x)＝f (a＋x) (或f (x)＝f (2a－x))，则f (x)关于 对称，若f (a－x)＋f (a＋x)＝2b (或f (x)＋f (2a－x)＝2b)，则f (x)关于 对称.
二、例题评析
例1 作出下列函数的图象.
（1）y=(lgx+|lgx|); （2）y=; （3）y=|x|.
变式训练1：作出下列各个函数的图象：（1）y=2-2x； （2）y=|log（1-x）|；
（3）y=.
例2 函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是 （ ）
变式训练2：设a＞1,实数x,y满足|x|-loga=0,则y关于x的函数的图象形状大致是 ( )
例3设函数f(x)=x2-2|x|-1 (-3≤x≤3).
（1）证明：f(x)是偶函数；
（2）画出函数的图象；
（3）指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；
（4）求函数的值域.
变式训练3：当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2＜logax恒成立,则a的取值范围为 .
三、归纳总结
1．作函数图象的基本方法是：
① 讨论函数的定义域及函数的奇偶性和单调性；
② 考虑是否可由基本初等函数的图象变换作出图象；
③ 准确描出关键的点线(如图象与x、y轴的交点，极值点(顶点)，对称轴，渐近线，等等).
2．图象对称性证明需归结为任意点的对称性证明.
3．注意分清是一个函数自身是对称图形，还是两个不同的函数图象对称.
§1.6 函数模型及其应用
一、知识点梳理
1．抽象概括：研究实际问题中量，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；
2．建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；
3．求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.
这些步骤用框图表示是：
二、例题评析
例1. 某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值.
例2. 据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度
v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴
的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）.（1）当t=4时，求s的值；
（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这
场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将
侵袭到N城？如果不会，请说明理由.
变式训练2：某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，
需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x-（万元）(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量（单位：百台）.
（1）把利润表示为年产量的函数；
（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？
（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？
例3. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨.
（1）求y关于x的函数；
（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.
变式训练3：1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.
（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？
（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？
以下数据供计算时使用：
数N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000
对数lgN 0.004 3 0.006 5 0.007 3 0.117 3 0.301 0
数N 3.000 5.000 12.48 13.11 13.78
对数lgN 0.477 1 0.699 0 1.096 2 1.117 6 1.139 2
三、归纳总结
解决函数应用问题应着重注意以下几点：
1．阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；
2．建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，不要忘记考察函数的定义域；
3．求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值等，注意发挥函数图象的作用.
4．还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论，作出回答.
A
B
C
实际问题
函数模型
抽象概括
实际问题的解
函数模型的解
还原说明
运用函数的性质