2020-2021学年北师大版八年级数学第四章因式分解单元综合能力达标测评3(Word版,附答案解析)

2020-2021年度北师大版八年级数学第4章因式分解单元综合能力达标测评3（附答案）
1．下列由左到右变形，属于因式分解的是（　　）
A．（2x+3）（2x﹣3）＝4x2﹣9
B．4x2+18x﹣1＝4x（x+2）﹣1
C．（a﹣b）2﹣9＝（a﹣b+3）（a﹣b﹣3）
D．（x﹣2y）2＝x2﹣4xy+4y2
2．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　）
A．a2﹣4a+5＝a（a﹣4）+5 B．（x+3）（x+2）＝x2+5x+6
C．a2﹣9b2＝（a+3b）（a﹣3b） D．（x+3）（x﹣1）+1＝x2+2x+2
3．多项式﹣6x2y3+12x3y2﹣18x2yz的公因式为（　　）
A．x2y B．﹣6x2y C．﹣x2y D．6x2y2
4．（﹣8）2022+（﹣8）2021能被下列数整除的是（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
5．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+9
6．下列多项式中，能用公式法分解的是（　　）
A．a2+b2 B．﹣a2+b2 C．a2﹣ab+b2 D．﹣a2﹣b2
7．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（　　）
（1）4x2﹣1；（2）9a2b2﹣3ab+1；（3）x2﹣x+；（4）﹣x2﹣y2；（5）y2+2y﹣1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．将多项式2x2y﹣6xy2分解因式，应提取的公因式是　 　．
9．分解因式：ab﹣a2＝　 　．
10．若a﹣b＝3，ab＝2，则a2b﹣ab2＝　 　．
11．因式分解：m2﹣4m+4＝　 　．
12．分解因式：9a2﹣4＝　 　．
13．分解因式：a2b+4ab+4b＝　 　．
14．因式分解x3+2x2y+xy2＝　 　．
15．分解因式：a2﹣b2﹣2b﹣1＝　 　．
16．多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为　 　．
17．在实数范围内分解因式：4a2﹣3＝　 　．
18．在实数范围内分解因式：x4﹣9＝　 　．
19．如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为　 　．
20．已知x2﹣3x+1＝0，则＝　 　．
21．若a+b﹣3＝0，则2a2+4ab+2b2﹣6的值为　 　．
22．已知x2﹣x﹣1＝0，那么代数式x3﹣2x+1的值是　 　．
23．若x2+3x﹣1＝0，则x3+5x2+5x+18＝　 　．
24．分解下列因式：
（1）（y﹣x）2+2x﹣2y； （2）a2﹣16（a﹣b）2．
25．因式分解：
（1）﹣3x2+6xy﹣3y2 （2）a2（x﹣y）+16（y﹣x）
26．分解因式：
（1）﹣2a3+12a2﹣18a； （2）（x2+1）2﹣4x2．
27．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　 　．
A、提取公因式B．平方差公式
C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底　 　．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果　 　．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
28．分解因式
（1）4n（m﹣2）﹣6（2﹣m） （2）x2﹣2xy+y2﹣1．
29．阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形
由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，
例如：将式子x2+3x+2分解因式．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2，所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．
解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）
请仿照上面的方法，解答下列问题
（1）分解因式：x2+7x﹣18＝　 　
启发应用
（2）利用因式分解法解方程：x2﹣6x+8＝0；
（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是　 　．
30．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
请问：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？　 　（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
31．对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．
（1）求式子中m、n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．
32．已知x2+x﹣1＝0，求x3+2x2+3的值．
33．先分解因式，再求值：已知a+b＝2，ab＝2，求a3b+a2b2+ab3的值．
34．232﹣1可以被10和20之间某两个数整除，求这两个数．
35．求证：817﹣279﹣913能被45整除．
36．为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校．奖金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校．
（1）请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；
（2）设第k所民办学校所得到的奖金为ak元（1≤k≤n），试用k、n和b表示ak（不必证明）；
（3）比较ak和ak+1的大小（k＝1，2，…，n﹣1），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义．
37．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42．因此4、12、20都是“神秘数”．
（1）28和2020这两个数是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？
38．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美；
（1）请你检验说明这个等式的正确性．
（2）若a＝2021，b＝2022，c＝2023，你能很快求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值吗？
（3）若a﹣b＝，b﹣c＝，a2+b2+c2＝1，求ab+bc+ac的值．
参考答案
1．解：A、（2x+3）（2x﹣3）＝4x2﹣9，不是因式分解，故本选项错误；
B、4x2+18x﹣1＝4x（x+2）﹣1，不是因式分解，故本选项错误；
C、（a﹣b）2﹣9＝（a﹣b+3）（a﹣b﹣3），是因式分解，正确；
D、（x﹣2y）2＝x2﹣4xy+4y2不是因式分解，故本选项错误．故选：C．
2．解：A、结果不是整式的积的形式，故错误；
B、整式的乘法，故错误；C、正确；
D、结果不是整式的积的形式，故错误．故选：C．
3．解：﹣6x2y3+12x3y2﹣18x2yz的公因式为﹣6x2y．故选：B．
4．解：（﹣8）2022+（﹣8）2021＝（﹣8）2021×（﹣8+1）＝﹣7×（﹣8）2021，
则（﹣8）2022+（﹣8）2021能被7整除．故选：C．
5．解：A、a2+（﹣b）2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A选项错误；
B、5m2﹣20mn两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故B选项错误；
C、﹣x2﹣y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C选项错误；
D、﹣x2+9＝﹣x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故D选项正确．
6．解：A、a2+b2中的两平方项的符号相同，不能用平方差公式分解，故本选项错误；
B、﹣a2+b2符合平方差公式，故正确；
C、a2﹣ab+b2中的ab为2ab时才能用完全平方公式分解，故本选项错误；
D、﹣a2﹣b2中的两平方项的符号相同，不能用平方差公式分解，故本选项错误．
故选：B．
7．解：（1）可用平方差公式分解为（2x+1）（2x﹣1）；
（2）不能用完全平方公式分解；
（3）可用完全平方公式分解为（x﹣）2；
（4）不能用平方差公式分解；
（5）不能用完全平方公式分解；
能运用公式法分解因式的有2个，
故选：B．
8．解：2x2y﹣6xy2＝2xy（x﹣3y），
多项式2x2y﹣6xy2分解因式，应提取的公因式是2xy，
故答案为：2xy．
9．解：ab﹣a2＝a（b﹣a）．
故答案为：a（b﹣a）．
10．解：∵a﹣b＝3，ab＝2，
∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝2×3＝6．
故答案为：6．
11．解：原式＝（m﹣2）2，
故答案为：（m﹣2）2
12．解：9a2﹣4＝（3a﹣2）（3a+2）．
故答案为：（3a﹣2）（3a+2）．
13．解：原式＝b（a2+4a+4）＝b（a+2）2，
故答案为：b（a+2）2
14．解：原式＝x（x2+2xy+y2）＝x（x+y）2，
故答案为：x（x+y）2
15．解：a2﹣b2﹣2b﹣1
＝a2﹣（b2+2b+1）
＝a2﹣（b+1）2
＝（a+b+1）（a﹣b﹣1）．
故答案为：（a+b+1）（a﹣b﹣1）．
16．解：6x3﹣11x2+x+4，
＝6x3﹣6x2﹣5x2+x+4，
＝6x2（x﹣1）﹣（5x2﹣x﹣4），
＝6x2（x﹣1）﹣（x﹣1）（5x+4），
＝（x﹣1）（6x2﹣5x﹣4），
＝（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．
17．解：4a2﹣3＝．
故答案为：．
18．解：x4﹣9＝（x2）2﹣32＝（x2﹣3）（x2+3）＝（x﹣）（x+）（x2+3）．
故答案为：（x﹣）（x+）（x2+3）．
19．解：∵a+b＝7，ab＝10，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝70．
故答案为：70．
20．解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x+＝3，
∴＝＝＝，
故答案为．
21．解：∵a+b﹣3＝0，即a+b＝3，
∴2a2+4ab+2b2﹣6，＝2（a+b）2﹣6，＝18﹣6，＝12．
22．解：根据题意，x2﹣x＝1，
∴x3﹣x2＝x，
即x3﹣x＝x2，
∴x3﹣2x+1＝x2﹣x+1＝1+1＝2，
故答案为：2．
23．解：∵x2+3x﹣1＝0，
∴x2+3x＝1，
∴x3+5x2+5x+18，＝x3+3x2+2x2+6x﹣x+18，
＝x（x2+3x）+2（x2+3x）﹣x+18，＝x+2﹣x+18，＝20．
故答案为：20．
24．解：（1）（y﹣x）2+2x﹣2y，＝（x﹣y）2+2（x﹣y），
＝（x﹣y）[（x﹣y）+2]，＝（x﹣y）（x﹣y+2）；
（2）a2﹣16（a﹣b）2，＝[a+4（a﹣b）][a﹣4（a﹣b）]，
＝（5a﹣4b）（﹣3a+4b），＝（5a﹣4b）（4b﹣3a）．
25．解：（1）﹣3x2+6xy﹣3y2＝﹣3（x2﹣2xy+y2）＝﹣3（x﹣y）2；
（2）a2（x﹣y）+16（y﹣x）＝（x﹣y）（a2﹣16）＝（x﹣y）（a+4）（a﹣4）．
26．解：（1）原式＝﹣2a（a2﹣6a+9）＝﹣2a（a﹣3）2；
（2）原式＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）＝（x+1）2（x﹣1）2．
27．解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；
（2）x2﹣4x+4还可以分解，分解不彻底；
（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4．
（3）设x2﹣2x＝y．
（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1，＝y（y+2）+1，＝y2+2y+1，＝（y+1）2，＝（x2﹣2x+1）2，
＝（x﹣1）4．
28．解：（1）4n（m﹣2）﹣6（2﹣m）＝4n（m﹣2）+6（m﹣2）＝（4n+6）（m﹣2）
＝2（m﹣2）（2n+3）．
（2）x2﹣2xy+y2﹣1＝（x﹣y）2﹣1＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）．
29．解：（1）原式＝（x﹣2）（x+9）；
（2）方程分解得：（x﹣2）（x﹣4）＝0，
可得x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得：x＝2或x＝4；
（3）﹣8＝﹣1×8；﹣8＝﹣8×1；﹣8＝﹣2×4；﹣8＝﹣4×2，
则p的可能值为﹣1+8＝7；﹣8+1＝﹣7；﹣2+4＝2；﹣4+2＝﹣2．
故答案为：（1）（x﹣2）（x+9）；（3）7或﹣7或2或﹣2．
30．解：（1）∵（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4，
∴该同学因式分解的结果不彻底．
（2）设x2﹣2x＝y
原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4．
故答案为：不彻底．
31．解：（1）在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），中，
分别令x＝0，x＝1，
即可求出：m＝﹣3，n＝﹣5
（2）把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，
则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，（7分）
用上述方法可求得：a＝4，b＝4，（8分）
所以x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4），（9分）＝（x+1）（x+2）2．（10分）
32．解：依题意得：x2+x＝1，
∴x3+2x2+3，＝x3+x2+x2+3＝x（x2+x）+x2+3＝x+x2+3＝4；
或者：依题意得：x2+x＝1，
所以，x3+2x2+3，＝x3+x2+x2+3＝x（x2+x）+x2+3＝x+x2+3＝1+3＝4．
33．解：a3b+a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2．
∴当a+b＝2，ab＝2时，
原式＝×2×22＝×2×4＝4．
34．解：因为（216+1）（216﹣1）＝（216+1）（28+1）（28﹣1），＝（216+1）（28+1）（24+1）（24﹣1），
又因为24+1＝17，24﹣1＝15，所以232﹣1可以被10和20之间的15，17两个数整除．
35．证明：原式＝914﹣99×39﹣913＝328﹣327﹣326＝326（32﹣3﹣1）＝326×5＝324×32×5＝45×324．
所以能被45整除．
36．解：（1）因为第1所学校得奖金a1＝，
所以第2所学校得奖金a2＝（b﹣）＝（1﹣）
所以第3所学校得奖金a3＝＝＝；
（2）由上可归纳得到ak＝；
（3）因为ak＝，ak+1＝，
所以ak+1＝（1﹣）ak＜ak，
结果说明完成业绩好的学校，获得的奖金就多．
37．解：（1）∵28＝82﹣62，2020＝5062﹣5042，
∴28和2020这两个数是“神秘数”；
（2）两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．理由如下：
（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）＝2（4k+2）＝4（2k+1），
∴两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．
38．解：（1）等式右边＝（a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2）＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝左边，得证；
（2）当a＝2021，b＝2022，c＝2023时，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]＝3；
（3）∵a﹣b＝，b﹣c＝，∴a﹣c＝，
∵a2+b2+c2＝1，
∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]＝1﹣（++）＝﹣